SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH ––––––––– ðỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN : TOÁN ( BẢNG A ) Ngày thi : 23/10/2012 Thời gian làm : 180 phút (Không kể thời gian giao ñề) Họ tên,chữ ký giám thị số ––––––––––––– ––––––––––––– (ðề thi có 01 trang) Bài (6 ñiểm) : Cho hàm số y = x+2 có đồ thị (C), gọi I giao hai tiệm cận Viết phương trình x −1 tiếp tuyến với ñồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt hai ñường tiệm cận ñồ thị hai ñiểm A, B cho bán kính đường trịn nội tiếp tam giác IAB lớn Tính giới hạn sau : lim x →0 ( x + 2012) − x − 2012 x Bài (3 điểm) : Tìm m để phương trình sau có nghiệm : x − x + m( x − 4) x+2 + + x − x − 14 − m = 4−x Bài (3 điểm) : Cho tam giác ABC vng A, gọi I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ðặt IA = x , IB = y , IC = z Chứng minh : 1 = 2+ 2+ x y z yz Bài (5 ñiểm) : Trong mặt phẳng (P) cho đường trịn đường kính BC cố định M ñiểm di ñộng ñường tròn Trên ñường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) B lấy ñiểm A cố ñịnh Gọi H, K hình chiếu B AM AC Chứng minh M di ñộng mặt phẳng (BHK) cố định Xác định vị trí M để diện tích tam giác BHK lớn Bài (3 ñiểm) : Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn abc = 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P= a + b6 b6 + c c6 + a6 + + a + b4 + a 2b b4 + c + b c c + a + c a – – – – – – – – – – – – –Hết– – – – – – – – – – – – – Họ tên thí sinh : – – – – – – – – – – – – –– – – – – – – – –Số báo danh: – – – – SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn Tốn – Bảng A (đề thi thức) Bài Sơ lược lời giải Bài 1 Giao hai tiệm cận I( 1;1) 6ñiểm Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với ñồ thị điểm có hồnh độ x0 −3 x +2 ( x − x0 ) + =>phương trình tiếp tuyến có dạng: y = x0 − ( x0 − 1) Tiếp tuyến cắt tiệm cận ñứng A( 1; ðiểm 0,5 x0 + ) x0 − 0,5 Tiếp tuyến cắt tiệm cận ngang B( x0 − 1;1 ) Ta có IA = x0 + ; −1 = x0 − x0 − IB = x0 − − 1) = x0 − 0,5 x0 − = 12 Nên IA IB = x0 − 1 Do diện tích tam giác IAB : S = IA IB = Gọi p nửa chu vi ∆IAB => bán kính đường trịn nội tiếp ∆IAB : r = S = p p 0,5 => r lớn p nhỏ Mặt khác ∆IAB vuông I nên p = IA + IB + AB = IA + IB + IA2 + IB ≥ IA IB + IA IB = + Dấu “ = ” xảy IA = IB ⇔ ( x0 − 1) = ⇔ x = ± Với x = − ta có tiếp tuyến d1 : y = − x − 2( − 1) Với x = + ta có tiếp tuyến d2 : 0,5 y = 2( + 1) − x ( x + 2012) − x − ( x + 2012) + x x − 2x −1 ( x + 2012) + x = lim x →0 x L = lim x →0 Ta có L1 = lim( x + 2012) = 2012 ; x →0 Tính L2 = lim x →0 − 2x −1 x ðặt 0,5 L3 = lim x = x →0 − x = t => x = − t7 Và x → t → => L2 = lim t →1 2(t − 1) −2 = lim =− t → 1− t 1+ t + t + t + t + t + t 4024 Vậy L = 2012 − + = − 7 x + 4 − x ≥ ⇔ −2 ≤ x < ðiều kiện: x ≠ 8 + x − x ≥ Bài 3điểm 0,5 Với đ/k phương trình cho tương ñương với ⇔ −(− x + x + 8) − m + x − x + + x − x − − m = 0,5 (1) ðặt t = + 2x − x ; Khi x ∈ [ – 2; 4) t ∈ [ 0; 3] Phương trình trở thành : – t2 – mt + 2t – – m = (2) −t + 2t − t +1 −t + 2t − −t − 2t + Xét hàm số f (t ) = ; t ∈ [ 0;3] ; f’(t) = t +1 (t + 1)2 ⇔ 0,5 m= 0,5 t = −4 t = f’(t) = ⇔ Bảng biến thiên hàm số f(t) ñoạn [ ; ] t –∞ –4 –1 f’(t) – + + + -2 +∞ – 0,5 f(t) − –6 Phương trình cho có nghiệm x∈ [–2; 4) ⇔ Phương trình (2) có nghiệm t∈ [0; 3] ⇔ ðường thẳng y = m cắt ñồ thị hàm số f(t) , t ∈ [ 0; ] ⇔ – ≤ m ≤ – 0,5 Vậy với – ≤ m ≤ – thi phương trình có nghiệm Bài Ta có: r 3ñiểm x= o sin 45 y= r B sin r z= C sin = r B+C sin ; A r ; B r r I C Suy ra: B+C B C C B sin sin cos + sin cos 2 yz 2 2 = ( r + r ) = a => a = y z (1) =r =r B C B C B C x x2 sin sin sin sin tg tg 2 2 2 Ngoài ñịnh lý hàm cos tam giác BIC cho : a = y + z − yz cos BIC a = y + z − yzcos (180 − a = y + z − yzcos135o a = y + z + yz 2 (2) y z2 1 = y + z + yz = + + x x y z yz Từ (1) (2) ta có : Bài 5điểm B+C ) a) A CM ⊥ BM => CM ⊥ ( ABM ) ⊃ BH CM ⊥ AB BH ⊥ CM => => BH ⊥ ( ACM ) ⊃ AC BH ⊥ AM AC ⊥ BH => => AC ⊥ ( BHK ) AC ⊥ BK K H B Mặt phẳng (BHK) ñi qua B cố định vng góc với AC cố ñịnh nên mp(BHK) cố ñịnh C M ∆BHK vuông H => SBHK= (1/2) BH.HK ≤ ∆BHK có diện tích lớn Khi BH = 0,5 BH + HK BK = (const) 4 BH = HK ∆BHK vuông cân BK 1 1 1 = + = + 2 2 BK AB BC BH AB BM 1 1 1 = + = + => 2 2 BK BH AB BC AB BM Mà 1 1 1 h2 + 2R = + = + = BM BC 2 AB 4R2 h2 4h R => BM = 4h R BM = h2 + 2R2 hR h2 + R (với R bán kính đường trịn (C), AB = h ) Mà B cố ñịnh => M thuộc đường trịn tâm B bán kính hR h2 + R => có hai vị trí M làm cho diện tích ∆BHK đạt GTLN giao đường trịn (C) đường trịn (B;BM) 0,5 Bài (a + b2 )(a + b − a 2b ) (b + c )(b + c − b 2c ) ( c + a )( c + a − c 2a ) P= + + 3ñiểm a + b + a 2b b4 + c + b2c c + a + c 2a Nhận xÐt: Do abc = 2 nên a2, b2, c2 l số thùc d−¬ng XÐt : A = 0,5 x + y − xy với x,y > x + y + xy 0,5 x t2 − t +1 Chia tử v mẫu cho y v đặt t = ta đợc A = với t > y t + t +1 XÐt hàm sè f(t) = t2 − t +1 trªn (0;+∞) t2 + t +1 Ta cã : f’(t) = 2(t − 1) = ⇔ t =1 (t + t + 1) 2 Dựa vào bảng biến thiên ta có f (t ) T ủú A = Bảng biến thiên: t ’ f (t) – 1 f(t) + + 1 với t > x + y − xy ≥ với x,y > 0; dấu xảy t = nên x = y x + y + xy a + b − a 2b2 Áp dụng với x = a , y = b ta có 4 2 ≥ a +b +a b 0,5 0,5 b + c − b2 c c + a − c 2a ≥ , ≥ b4 + c + b c c + a + c 2a 1 => P ≥ (a + b ) + (b + c ) + (c + a ) = (a + b + c ) 3 3 Tương tự 0,5 Áp dụng BðT Cơsi ta có a + b + c ≥ 3 a 2b 2c = với abc = 2 => P ≥ dấu ñẳng thức xảy chẳng hạn a = b = c = Vậy Pmin = chẳng hạn a = b = c = 2 0,5 Chú ý: Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược giải Bài làm học sinh tiết,lập luận chặt chẽ,tính tốn xác điểm tối ña Các cách giải khác ñúng cho điểm Tổ chấm trao đổi thơng chi tiết khơng q số điểm dành cho câu, phần Có thể chia điểm thành phần khơng 0,25 điểm phải thống tổ chấm ðiểm toàn tổng số điểm phần chấm Khơng làm trịn điểm Mọi vấn đề phát sinh q trình chấm phải ñược trao ñổi trng tổ chấm cho ñiểm theo thống tổ së gi¸o dơc đào tạo quảng ninh kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2012-2013 Đề thi thức môn : Toán H v tờn, ch ký ca giỏm th s ( bảng B ) Ngày thi : 23/10/2012 Thêi gian lµm bµi : 180 (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang) Bài (4 điểm): Tớnh giới hạn sau : lim x→ + 2x + 3x x2 Bài (3 điểm): Cho tam gi¸c ABC cã C = α, B = β víi α < β, trung tuyến AM Gäi ϕ góc nhọn tạo AM với cạnh BC, chng minh rằng: 2cotϕ = cotα - cotβ Bµi (4 ®iĨm): Giải bất phương trình: x + x + x + < 18 Bài (6 điểm): Cho tam giác ñều ABC cạnh a, ñường thẳng (d) qua A vng góc với mặt phẳng (ABC) Trên (d) lấy ñiểm M Gọi I trực tâm tam giác MBC, H trực tâm tam giác ABC, giao ñiểm ñường thẳng HI với (d) N Chứng minh tứ diện MNBC có cặp cạnh đối vng góc với Chứng minh M di chuyển (d) tích AM.AN khơng ủi Bài (3 điểm): a4 b4 a2 b2 a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + − + + + b a b a b a với a, b số thực thỏa mãn a ≠ 0, b ≠ - HÕt -Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh: MA TRẬN ðỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2012-2013 MƠN TỐN BẢNG B ðỀ THI CHÍNH THƯC (ðề tự luận) Mức ñộ nhận thức Vận dụng Nhận biết Chủ ñề kiến thức Giới hạn hàm số Thơng hiểu Mức độ thấp Tổng Mức độ cao (lớp 11) Hệ thức lượng giác 4,0 hình học phẳng (lớp 11) Giải phương trình, bất 3,0 1 phương trình, hệ có sử dụng tính chất hàm số (lớp 10, 12) Hình học khơng gian (lớp 11) 4,0 2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ 6,0 biểu thức có dùng tính chất hàm số (lớp 10, lớp 12) 0,0 8,0 7,0 3,0 5,0 20,0 SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2012-2013 MƠN TỐN BẢNG B ðỀ CHÍNH THƯC (Hướng dẫn chấm có 03 trang) Bài Bi ủim Sơ lợc lời gi¶i + x − ( x + 1) + ( x + 1) − + x + x − + 3x Có : lim = lim 2 x →0 x → x x −x2 x ( x + 3) = lim + x →0 2 x + x + ( x + 1) x ( x + 1) + ( x + 1) + x + (1 + x) −1 x+3 −1 = lim + = +1 = x →0 2 + x + ( x + 1) ( x + 1) + ( x + 1) + x + (1 + x) Bài điểm * Trường hợp góc β nhọn: KỴ AH ⊥ BC, α < β nên BH 2HM/AH = CH/AH - BH/AH , hay cotϕ = cotα - cotβ Ta có đpcm ! Cho ®iĨm 1,5 1,5 1,0 0,5 0,5 0,5 A B Bài ñiểm H M C * Trường hợp góc β tù: Chứng minh tương tự TXð: x∈ (-2; +∞) Nếu x ∈[-2; 0] thì: BPT cho có VT ≤ + + < 18 = VP Suy ∀x ∈[-2; 0] ñều nghiệm BPT ñã cho Nếu x > 0, xét hàm số y = f(x) = x + x + x + với x∈ (0; +∞) Có f’(x) = 2x + + 3/ x + > ∀x∈ (0; +∞) => f(x) ñồng biến (0; +∞) Mà f(2) = 18 nên với x∈(0; +∞) ta có: BPT cho f(x) < f(2) x IH cắt (d) N Theo giả thiết (d)⊥mp(ABC) => (d)⊥BC hay MN⊥BC Chứng minh ñược BH⊥mp(MAC) suy BH⊥MC Mà BI⊥MC nên MC⊥ mp(BHI), từ suy MC⊥BN Chứng minh tương tự, ñược MB⊥CN Vậy tứ diện MNBC có cặp cạnh đối vng góc với (ñpcm !) 4.2 (2 ñiểm) Chứng minh ñược: BC⊥mp(MAE) => BC⊥IH MC⊥mp(BKF) => MC⊥IH suy IH⊥MB 1,0 Trong tam giác MNE, có: ANH = AEM (góc có cạnh tương ứng vng góc) suy ∆ ANH ∼ ∆ AEM 0,5 đó: AN AH a a a2 = => AM.AN = AE.AH = = AE AM 2 Vậy tích AM.AN khơng đổi (đpcm !) M A B I F H E K C N 0,5 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 Bài Sơ lược lời giải Bài ñiểm a b a2 b2 a b2 a4 b4 2 ðặt: t = + => t ≥ ; t = + + ⇒ + = t − => + = t − 4t + b a b a b a b a Khi đó: P = Cho ñiểm 0,5 a4 b4 a2 b2 a b + − + + + = t − 4t + − (t − 2) + t = t − 5t + t + 4 b a b a b a Xét hàm: f (t ) = t − 5t + t + với t ≥ , có: f '(t ) = 4t − 10t + ; f "(t ) = 12t − 10 0,75 Với t ≥ f”(t) > => hàm f’(t) đồng biến (-∞ ; -2] [2; +∞) Nên : t > => f’(t) > f’(2) = 13 > 0; t < –2 => f’(t) < f’(–2) = -11 < Ta có bảng biến thiên : t –∞ –2 +∞ f’(t) – + +∞ +∞ f(t) –2 0,75 Mà f(-2) = - < = f(2), suy : f(t) = –2 ; ñạt t = –2 a = – b ≠ Vậy giá trị nhỏ P -2, ñạt ñược a = - b ≠ C¸c chó ý chÊm: Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác ñược ñiểm tối ña Các cách giải khác ñúng cho ñiểm Tổ chấm trao ñổi thơng chi tiết khơng q số điểm dành cho câu, phần Có thể chia điểm thành phần khơng 0,25 điểm phải thống tổ chấm ðiểm toàn tổng số điểm phần chấm Khơng làm trịn điểm Mọi vấn đề phát sinh q trình chấm phải trao đổi tổ chấm cho ñiểm theo thống tổ SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2 012 – 2013 Mơn Tốn – Bảng A (đề thi thức) Bài Sơ lược lời giải Bài 1 Giao... vấn đề phát sinh q trình chấm phải trao đổi trng tổ chấm cho ñiểm theo thống ca c t sở giáo dục đào tạo quảng ninh kú thi häc sinh giái cÊp tØnh líp 12 thpt năm học 2 012- 2013 Đề thi thức môn. .. dùng tính chất hàm số (lớp 10, lớp 12) 0,0 8,0 7,0 3,0 5,0 20,0 SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2 012- 2013 MƠN TỐN BẢNG B ðỀ CHÍNH THƯC (Hướng dẫn chấm