Một số bài toán thực tế liên quan đến hình học lớp 12 năm 2020

Từ tấm nhôm hình chữ nhật có cùng kích thước 50 cm x 120 cm người thợ muốn làm một cái thùng hình trụ bằng cách gò tấm tôn thành mặt xung quanh của cái thùng (đáy của thùng được cắt bổ [r]

Trang | MỘT SỐ BÀI TỐN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC

MƠN TỐN LỚP 12 NĂM 2020 A Nội dung kiến thức

Bài toán thực tế liên quan đến hình học thường xoay quanh số nội dung sau: Tính tốn để đường ngắn nhất, tính tốn để diện tích lớn nhất, hay đơn giản tính diện tích thể tích vật…

Ta ý số kiến thức sau:

1 Cơng thức tính chu vi, diện tích hình, thể tích khối hình

* Hình tam giác: Cho tam giác ABC đường cao AH, đặt a = BC, b = CA, c = AB, h = AH

Chu vi tam giác : P = a + b + c.

Diện tích tam giác :

1

.sin ( )( )( )

2

S ah ab C p p a p b p c   ( với

2 P p )

* Hình quạt: Xét hình quạt OAB có bán kính R, góc tâm bằng (tính theo radian)

Chu vi hình quạt :

2

2

P R  P R 

  

Diện tích hình quạt :

2

2

2

S R  S R 

  

Trang |

Diện tích xuang quanh hình nón có bán kính đường trịn đáy r và có độ dài đường sinh l

là:Sxq rl

Diện tích tồn phần hình nón trịn xoay diện tích xung quanh hình nón cộng với diện tích

đáy hình nón:

tp

S rlr

Thể tích khối nón trịn xoay có có chiều cao h và bán kính đáy r là:

V  r h

*Hình trụ, khối trụ:

Diện tích xuang quanh hình trụ có bán kính đáy r và có đường sinh l là:Sxq 2rl

Diện tích tồn phần hình trụ diện tích xung quanh hình trụ cộng với diện tích hai đáy

hình trụ: Stp 2rl2r2

Thể tích khối trụ có chiều cao h và có bán kính đáy r là:

V r h

Trang |

Mặt cầu bán kính R có diện tích là:

4

S R Khối cầu bán kính R có thể tích là:

3 S  R

2 Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn, khoảng, nửa đoạn, nửa khoảng

Có lẽ toán quen thuộc với nhiều bạn đọc, tác giả không nhắc lại phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhỏ Tác giả cung cấp thêm cho bạn đọc số công thức sau:

 Cho hàm số

,

yax bx c a > hàm số cho đạt giá trị nhỏ

b x

a 



 Cho hàm số

,

yax bx c a < hàm số cho đạt giá trị lớn

b x

a    Với a , b số thực dương ta có:

2

( )

2

AM GM a b a b

ab    ab  Đẳng thức xảy

a = b

 Với a , b, c số thực dương ta có:

3

3 ( )

3 27

AM GM a b c a b c

abc     abc   Đẳng thức

xảy a = b = c

Phần chứng minh xin để lại cho bạn đọc

3 Ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng, tính thể tích khối trịn xoay  Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [ a;b] diện tích S của hình phẳng giới hạn

đường : y f x y( ), 0,xa x, b ( ) b

a

S f x dx

 Diện tích S của hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x( )g x( ) liên tục đoạn [ a;

b] hai đường thẳng x = a, x = b ( ) ( )

b

a

Trang |  Cho hàm số y = f(x) liên tục [a , b] Thể tích V của khối trịn xoay tạo hình phẳng giới

hạn đườngy f x y( ), 0,xa x, b, : quay xung quanh trục hoành tính theo

cơng thức :

( ) b

a

V f x dx

 Thể tích V khối trịn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường ( ), ( ), (0 ( ) ( ); ;

y f x yg x  f x g x f g liên tục đoạn [a;b]), x = a, x = b , quay xung

quanh trục Ox được tính theo cơng thức : 2

( ) ( ) b

a

V  g x  f x dx B Ví dụ minh hoạ

Ví dụ Một đường dây điện nối từ nhà máy điện bờ biển vị trí A đến vị trí C trên hịn

đảo Khoảng cách ngắn từ C đến đất liền đoạn BC có độ dài km, khoảng cách từ A đến B là km Người ta chọn vị trí điểm S nằm A và B để mắc đường dây điện từ A đến S, từ S đến C

như hình vẽ Chi phí km dây điện đất liền 3000USD, km dây điện đặt ngầm biển 5000USD Hỏi điểm S phải cách điểm A bao nhiêu km để chi phí mắc đường dây điện

nhất

A 3,25 km B. km C. km D. 1,5 km

Lời giải

Giả sửAS x, 0  x BS  4 x

Tổng chi phí mắc đường dây điện :

( ) 300 500 (4 ) f x  x  x Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn f x( ) (0;4)

Cách 1: Ta có:

2

2

13

(4 )

'( ) 300 500 (4 ) 5(4 ) ( 4)

19 16

1 (4 )

4

x x

F x x x x

x x

    

             

   



So sánh với điều kiện ta có 13 3, 25

4

Trang |

Đáp án A

Cách 2:

Ta có: Ta có: f (3,25) =1600; f (1) =1881,13883; f (2) =1718,033989; f (1,5) =1796,291202 Như ta tìm A đáp án

Bình luận: Khơng bạn đọc cho cách giải thứ hai không khoa học làm vẻ đẹp toán học Quan điểm tác giả Cách Cách sau:

 Cả hai cách phải tìm giá trị lớn f (x) (0;4)

 Cách 1: Chúng ta giải cách khảo sát hàm số f (x) khoảng (0;4) để tìm giá trị x mà f (x) đạt giá trị lớn nhất; tiếp theo, so sánh kết tìm với

đáp án A, B, C, D để tìm câu trả lời cho câu hỏi

 Cách 2: Sau lập hàm số f (x) Cách 1, tính f (3,25), f (1), f (2), f (1,5); số lớn bốn số tính giá trị lớn f (x) Từ đó, hiển nhiên, dễ dàng tìm câu trả lời cho câu hỏi

Có thể thấy, rõ ràng Cách giúp ta tìm đáp án nhanh cách Sự khác biệt Cách Cách nêu nằm quan niệm tình đặt Với Cách 1, ta coi các phương

án A, B, C, D chỉ các liệu đưa để đối chiếu; với Cách 2, ta coi các phương án A, B, C, D là

giả thiết tình đặt ra

 Có lẽ tập trắc nghiệm làm theo Cách đơi phần hạn chế việc kiểm tra theo hình thức trắc nghiệm, nhiên trình làm thi câu hỏi người đề ngầm ấn định khoảng thời gian làm bài, theo tác giả gặp câu hỏi phòng thi học sinh nên làm theo Cách

Ví dụ Một sổ có dạng hình vẽ, bao gồm: hình chữ nhật ghép với nửa hình trịn có tâm nằm cạnh hình chữ nhật Biết chu vi cho phép của sổ m Hỏi diện tích lớn cửa sổ

A.

4 m B

2

8

4 m C

2

2m D

Trang |

Gọi độ dài IA AB a b ( < a, b < 4)

Vì chu vi cửa sổ 4m nên ta có: (2 ) 4 (1)

2 a a

a a b b 

       

Diện tích cửa sổ là:

2

2

4

( ) ( ) 2

2 2

a a a a

S a   a   S a  a a    a  a

 

Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn S(a) (0;4)

Cách 1:

Ta có: '( ) 4

4

S a a a a



      

 Suy :0

4

max ( )

4

x S a S  

 

 

  

 

 

Đáp án B

Cách 2:

Do S(a) hàm số bậc hai có hệ số a2 âm nên đạt giá trị lớn khi:

0

4 4

max ( )

4 4

2 2

x

a a S a S

                              

Đáp án B

Bình luận: Vì (1) không biểu diễn a theo b mà lại biểu diễn b theo a? Đâu có bạn đọc

nghĩ việc biểu diễn a theo b hay biểu diễn b theo a thì bước làm khơng ảnh hưởng

đến q trình làm Liệu điều có đúng? Câu trả lời không? Chúng ta biết cửa gồm hai phận (bộ phận hình chữ nhật phận có dạng nửa đường tròn), hai phận tính diện tích phải tính theo a Như biểu diễn a theo b thì việc tính tốn phức tạp biểu diễn b theo a Công việc tưởng chừng đơn giản giúp ích nhiều cho bạn đọc tính tốn

Ví dụ Có hai cột dựng mặt đất cao m m, đỉnh hai cột cách m Người ta cần chọn vị trí mặt đất (nằm hai chân cột) giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí mơ hình bên Tính độ dài dây ngắn

Trang | Lời giải

KẻAFBEDEAF= 5232 4

Đặt DCx, (0 x 4)CE 4 x

Độ dài đoạn dây cần giăng :

2

2

( ) 16 (4 )

( ) 32

f x x x

f x x x x

    

     

Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ f(x) (0;4)

Ta có:

2

4

'( ) 0

1 32

x x

f x

x x x



   

  

Dùng MTCT sử dụng tính nhẩm nghiệm ta tính được:

'( ) 0,8 ( ) (0,8) 41

f x   x  f x  f 

Đáp án A

Ví dụ Một hình ti vi hình chữ nhật cao 1,4 m đặt độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép hình) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn ( góc nhìn) Hãy xác định độ dài AO để nhìn rõ BOC

A AO = 2,4 m B. AO = m. C. AO = 2,6 m D. AO = m

Trang |

Đặt : 2

, ( 0) 3, 24, 10, 24

AOx x OB x  OC x  Ta có:

2 2 2

2 2

3, 24 10, 24 1,96 5, 76

2 2 3, 24. 10, 24 3, 24. 10, 24

OB OC BC x x x

cosBOC

OB OC x x x x

      

  

   

Góc nhìn BOC lớn bé cosBOC Cách 1:

Đặt:

,

tx t Xét:

2

5, 76 5, 76

( )

3, 24 10, 24 13, 48 33,1776

t t

f t

t t t t

        Ta có: 2 6, 74

13, 48 33,1776 ( 5, 76)

13, 48 33,1776 '( )

13, 48 33,1776 t

t t t

t t f t t t          

 3

2

0,98 5, 6448

'( ) '( ) 5, 76

13, 48 33,1776

t

f t f t t

t t



    

 

Suy cos BOC lớn x 5, 762, Đáp án A

Cách 2:

Ta thử xem đáp án cho đáp án làm nhỏ đáp án cần tìm cosBOC

Đặt:

2

2

5, 76 ( )

3, 24 10, 24

x f x

x x

 

  Ta có:

24

(2, 4) 0,96; (2) 0,9612260675; (2, 6) 0,960240166; (3) 0,960240166 25

f   f  f  f 

Từ suy A đáp án

Ví dụ Mỗi trang giấy sách giáo khoa cần diện tích 384 cm2 Lề lề 3cm, lề trái

và lề phải cm Hãy cho biết kích thước tối ưu trang giấy

A. Dài 24 cm; rộng 16 cm

B. Dài 23,5 cm; rộng 17 cm

C. Dài 25 cm; rộng 15,36 cm

Trang | Lời giải

Trang giấy có kích thước tối ưu diện tích phần trình bày nội dung lớn Gọi chiều dài trang giấy làx x, ( 8 6), suy chiều rộng là384

x

Diện tích để trình bày nội dung là: f x( ) (x 6) 384 4x 2304 408

x x

 

       

 

Ta cần tìm giá trị lớn f x( ) với x8

Ta có : f x'( ) 23042 f x'( ) x 24

x

      

Đáp án A

Ví dụ (Đề minh hoạ lần kỳ thi THPTQG năm 2017) Cho nhôm hình vng cạnh 12 cm

Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x

(cm), gập nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận

được tích lớn

A x = B. x = C. x = D. x =

Lời giải

Thể tích hộp là:V x( )x(12 ) x Ta cần tìm x để V(x) đạt giá trị lớn với < x <

Cách 1:

Ta có: V(6) = 0; V(3) = 108; V(2) = 128; V(4) = 64

Suy C đáp án

Cách 2:

Trang | 10

Suy ra: '( ) 12 96 144

2

x

V x x x

x  

      





Mà V(6) = 0; V(2) = 128 nên x = thỏa mãn đề

Đáp án C

Cách 3:

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

3

2 (6 ) (6 )

( ) 2.2 (6 )(6 ) 2.64 128

3

AM GM x x x

V x  x x x          

 

Đẳng thức xảy : 2x = – x => x = Đáp án C

Cách 4:

Sử dụng chức TABLE MTCT (fx-570ES PLUS) ta thực sau:

Bước 1: Nhấn MODE chọn chức TABLE cách nhấn số

Bước 2: Màn hình yêu cầu nhập hàm số f(x) bạn đọc nhập V(x) vào sau nhấn dấu “=”

Bước 3: Màn hình “Start?” giá trị bắt đầu, bọn đọc nhấn số sau nhấn dấu “=” Màn hình tiếp “End?” giá trị kết thúc, bạn đọc nhấn số sau nhấn dấu “=” Màn hình lại tiếp “Step?” khoảng cách mà bạn đọc cần chọn để đặt khoảng cách cho giá trị x, với bạn đọc nhấn số sau nhấn dấu “=”

Bước 4: Màn hình lên cho ta bảng gồm hai cột, cột bên trái giá trị x kẻm theo giá trị tương ứng V(x) bên phải Dựa vào bảng bạn đọc suy x = V(x) lớn

Đáp số C

Bình luận: Sau xem cách giải có bạn đọc cho cách giải thứ cách giải thứ tư nhanh chóng đơn giản Tuy nhiên quan điểm tác sau:

 Cách giải thứ áp dụng

 Cách giải thứ tư khơng hữu ích toán biến số số lẻ (hay bạn đọc cịn gọi số xấu) giá trị f (x) bảng lớn (nhỏ nhất) chưa hẳn

Trang | 11

án A, B, C, D số nguyên nên ta nhanh chóng so sánh đối chiếu với giá trị máy tính

 Theo tác giả cách giải thứ ba nhanh chóng khoa học nhất, làm tác giả giải chi tiết, tác giả tìm giá trị lớn V(x) Tuy nhiên tìm x để V(x)

lớn ta tìm nhờ việc giải phương trình: 4x = 12 - 2x hoặc 2x = - x, hai phương trình cho ta nghiệm x =

 Câu hỏi: Tại tác giả lại tìm hai phương trình 4x =12-2x

2x = 6- x ? Câu trả lời đơn giản, mục A (kiến thức cần nhớ) tác giả cung cấp cho bạn đọc dẫn xuất bất đẳng thức AM-GM đó là:

Ta có:

3

3 ( )

3 27

AM GMa b c a b c

abc abc

    

   , với a, b, c số thực dương

Đẳng thức xảy a = b = c

Dẫn xuất bất đẳng thức AM-GM trong phần tác giả đóng khung mạnh tốn chuyển trạng thái liên kiết a, b, c từ liên kết nhân sang liên kết cộng

Trở lại với tốn Ta cần tìm x để V(x) = x(12-2x)2 đạt giá trị lớn với < x < Trong biểu thức

V(x) có liên kết nhân cụ thể liên kết nhân x, 12 - 2x và 12 - 2x, ta dùng AM-GM để chuyển sang liên kết cộng tổng:

3

(12 ) (12 ) 24 ( ) (12 )(12 )

3

AM GM x x x x

V x x x x

         

       

    , rõ ràng ta không thử

được x Tuy nhiên ta nhận thêm vào chuyện khác:

1 (12 ) (12 )

( ) (12 )(12 ) 512 128,

4 4

AM GM x x x

V x x x x

      

       

  đẳng thức xảy :

4x 12 2x x

Như để giải tốn bạn đọc cần giải phương trình 4x = 12-2x hoặc 2x = - x là tìm ran gay đáp án Việc tìm hai phương trình khơng khó bước xác định điểm rơi đơn giản bất đẳng thức AM-GM

 Câu hỏi: Nếu đề yêu cầu tìm giá trị lớn V(x) liệu việc tính tốn có thời gian và gây sai lầm tính tốn khơng, có số mũ chưa kể khả số xấu? Rõ ràng việc tìm giá trị lớn biểu thức dài có lẽ trở ngại định cho số bạn đọc, để giải vấn đề (cách làm áp dụng cho hình thức thi trắc nghiệm) bạn đọc làm sau: Đầu tiên bạn đọc xác định điểm rơi để tìm x với mục đích xác định xem x

bằng V(x) lớn ( giả sử x =x0 ), sau bạn đọc tính V(x0)như bạn đọc

tìm giá trị lớn V(x)

Trang | 12

Bước 1: Giải phương trình 4x = 12 – 2x ta có x =

Bước 2: Tính V(2) ta có giá trị lớn V(x) = 128

Ví dụ 7: Một người thợ khí vẽ bốn nửa đường trịn nhơm hình vng cạnh m, sau cắt thành hình bơng hoa (phần tơ đậm hình vẽ) Hãy tính diện tích bơng hoa cắt

A.0,56m2. B 0, 43m2 C 0,57m2 D 0, 44m2

Lời giải

Nhận xét: Diện tích nửa cánh hoa diện tích phần tư đường trịn trừ diện tích tam giác ABC (xem hình vẽ bên)

Diện tích nửa cánh hoa là: 2

.3,14.0,5 0,5 0, 07125( )

4 2  m

Diện tích bơng hoa cắt là:

Trang | 13 Ví dụ (Đề minh hoạ kỳ thi THPTQG năm 2017) Từ nhơm hình chữ nhật có kích thước 50 cm x 240 cm, người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50 cm, theo hai cách sau (xem hình minh hoạ dướu đây):

Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng

Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gị thành mặt xung quang thùng

Kí hiệu thể tích V1 thùng gò theo cách V2 tổng thể tích hai thùng gị theo

cách Tính tỉ số V V A. 2 V

V  B.

1

1 V

V  C.

1

2 V

V  D.

1 V V  Lời giải

Gọi bán kính đáy thùng gị theo cách R1 bán kính đáy thùng gị theo cách R2

Ta có:

2

1 1

2

2 2

50

2.50

V R R

V R R

    Mà: 1

1 2

2

240 R R R R

R R

 

     

Suy ra:

4 2 V

V  

Trang | 14 Ví dụ Một mũ vải nhà ảo thuật với kích thước hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải

cần để làm mũ biết vành mũ hình trịn ống mũ hình trụ

A.700cm2 B 754, 25cm2 C 750, 25cm2 D 756, 25cm2 Lời giải

Ống mũ hình trụ với chiều cao h = 30 cm, bán kính đáy 35 2.10 7,5

2

R   cm

Diện tích vải để làm ống mũ là:S12Rhh2 2 7,5.30 .7,52 506, 25 ( cm2) Diện tích vải để vành mũ là: S2 .17,52.7,52 250 ( cm2)

Tổng diện tích vải cần để mũ là:506, 25250 756, 25 ( cm2) Đáp án D

Ví dụ 10 Người ta giăng lưới để ni riêng loại cá góc hồ Biết lưới giăng theo

một đường thẳng từ vị trí bờ ngang đến vị trí bờ dọc phải qua cọc cắm sẵn vị trí A Hỏi diện nhỏ giăng bao nhiêu, biết khoảng cách từ cọc đến bờ ngang m khoảng cách từ cọc đến bờ dọc 12 m

Trang | 15 Lời giải

Đặt tên điểm hình vẽ ĐặtCJ x x, ( 0)

Vì hai tam giác AJC và BKA là hai tam giác đồng dạng nên: 12 60

5 x

KB

KB x

  

Diện tích khu ni cá là: ( ) 1( 5).(60 12)

2

S x x

x

  

1 300 150

( ) 60 12 60 ( ) 60

2

S x x S x x

x x

 

         

 

Ta có:S x'( ) 1502 x

x

     

Suy diện tích nhỏ giăng là:S(5) 120( m2) Đáp án A

Ví dụ 11 Một khối lập phương có cạnh m chứa đầy nước Đặt vào khối khối nón có đỉnh trùng với tâm mặt lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với cạnh mặt đối diện Tính tỉ số thể tích lượng nước tràn ngồi lượng nước ban đầu khối hộp

A. 12



B.12

 C.

4

 D.

Trang | 16 Lời giải

Thể tích lượng nước tràn ngồi thể tích khối nón

Thể tích khối nón là:

1

1

.1 .0,5

3 12

S   S  

Thể tích khối lập phương là: S2 1.1.1S2 1

Do tỉ số cần tìm là:

:1

12 12

S S

 

 

Đáp án A

Ví dụ 12 Một miếng nhơm hình vng cạnh 1,2 m người thợ kẻ lưới thành vng nhỏ có diện tích Sau vị trí điểm A và A’ vẽ hai cung trịn bán kính 1,2 m; vị trí điểm B

và B’ vẽ hai cung trịn bán kính 0,8 m; vị trí điểm C và C’ vẽ hai cung trịn bán kính 0,4 m Người

này cắt hai cánh hoa (quan sát cánh hoa tô đậm hình) Hãy tính diện tích phần tơn dùng để tạo cánh hoa

A.0,3648m2 B 0,3637m2 C 0, 2347m2 D 0, 2147m2

Lời giải

Trang | 17

Suy diện tích cánh hoa là:

2

2 2

.1, 0,

.1, 0, 0,3648( )

4

S         m

   

Đáp án A

Ví dụ 13 Bác nơng dân làm hàng rào trồng rau hình chữ nhật có chiều dài song song với bờ tường Bác làm ba mặt mặt thứ tư bác tận dụng ln bờ tường Bác dự tính dùng 180 m lưới sắt để làm nên toàn hàng rào Hỏi diện tích lớn bác rào

A.3600m2 B 4000m2 C 8100m2 D 4050m2

Lời giải

Gọi x là chiều dài cạnh song song với bờ tường, y là chiều dài cạnh vng góc với bờ tường Theo ta có:x2y180 x 180  y

Diện tích khu trồng rau là:Sx y (180 ) . y y

Ta có:

2

1 (2 180 )

.2 (180 ) 4050

2

y y

S  y  y     S

Đẳng thức xảy khi:2y180 2 y y 45( )m Đáp án D

Ví dụ 14 Từ miếng tơn có hình dạng nửa đường trịn bán kính m, người ta cắt hình chữ nhật (phần tơ đậm hình vẽ) Hỏi cắt miếng tơn có diện tích lớn

A.

0,8m B

1m C

1, 6m D

Trang | 18 Lời giải

Đặt:ABx, (0 x 1).Suy ra:BD2OB2 1x2

Diện tích hình nhật là:

( )

f x  x x Ta có: f2( )x 4 (1x2 x2)

Đặt:

, (0 1)

yx  y Xétg y( )4 (1y y) 4y24 y Ta có f(x) lớn y(y) lớn nhất, mà g(y) lớn khi:

4

2.( 4)

y  

 Suy f(x) lớn

2

axf(x)=f

2

x m  

 

Đáp án B

Ví dụ 15 Một hộp không nắp làm từ bìa tơng Hộp có đáy hình vuông cạnh x

(cm), đường cao h (cm) tích 500

cm Tìm x sao cho diện tích mảnh bìa tông nhỏ

A 5 cm B. 10 cm C. 15 cm D. 20 cm

Lời giải

Ta tích hộp là:

Trang | 19

Do hộp tích 500cm3 nên ta có: x h2 500 h 5002 x

  

Tổng diện tích bìa tông là: 2 200

( ) ( )

S x x xh S x x x

    

Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ 200

( ) S x x

x

  (0;)

Ta có ( ) 100 100 33 2.100 100. ( ) 300.

AM GM

S x x x S x

x x x x



     

Đẳng thức xảy khi: 100

10( )

x x cm

x

  

Đáp án B

Ví dụ 16 (Đề thi thử nghiệm kỳ thi THPTQG năm 2017) Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16 m độ dài trục bé 10 m Ông muốn trồng hoa mảnh đất rộng m nhận trục bé elip làm trục đối xứng hình vẽ Biết kinh phí trồng hoa 100000 đồng/ m2 Hỏi ơng An cần tiền để trồng hoa mảnh đất (số tiền làm trịn đến hàng nghìn)

A 7862000 đồng B 7653000 đồng C 7128000 đồng D 7826000 đồng

Lời giải

Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ Ta có phương trình đường elip là:

2

1

64 25

x y

 

Phần đường cong phía trục Ox có phương trình là:

2

64

x

y 

Suy diện tích mảnh đất trồng hoa là:

4

4

2

64

x

S dx



Trang | 20

Sử dụng MTCT ta tính 2S = 76,5289182 (m2)

Suy số tiền để mảnh đất là: 2S 100000 = 7652891,82 (đồng) Do làm trịn đến hàng nghìn nên số tiền 7653000 đồng

Đáp án B

Ví dụ 17 Từ nhơm hình chữ nhật có kích thước 50 cm x 120 cm người thợ muốn làm thùng hình trụ cách gị tơn thành mặt xung quanh thùng (đáy thùng cắt bổ sung từ miếng tơn khác) Có hai cách gị sau (quan sát hình vẽ minh hoạ):

Cách 1: Gị cho thùng có chiều cao 50 cm Cách 2: Gò cho thùng có chiều cao 120 cm

Gọi V1 thể tích thùng gị theo cách 1, V2 thể tích thùng gị theo cách Kết luận sau

A.V1V2 B V1V2 C V1 V2 D

5 12 V  V

Lời giải

Bán kính đáy thùng gị theo cách là:2R1 120 R1 60



  

Thể tích thùng gị theo cách là:

2

1 1

60 180000

.50

V R h 

 

 

    

 

Bán kính đáy thùng gò theo cách là: 2R2 50 R2 25



  

Thể tích thùng gò theo cách là:

2

2 2

25

.120 75000

V R h  

 

    

Trang | 21

Suy ra:V1V2 Đáp án C

C Bài tập đề nghị

Bài 1 Một sợi dây có chiều dài 6m chia thành hai phần Một phần uốn thành hình tam giác phần uốn thành hình vng Hỏi độ dài cạnh hình tam giác để tổng diện tích hai hình thu nhỏ

A.54 24

11 m



B 36

13 m C

48 12

13 m



D 54 72

13 m

 

Bài Bác nông dân làm hàng rào trồng rau hình chữ nhật có chiều dài song song với bờ tường Bác làm ba mặt mặt thứ tư bác tận dụng ln bờ tường Bác dự tính dùng 200m lưới sắt để làm nên tồn hàng rào Hỏi diện tích lớn bác rào

A.

1500m B

10000m C

2500m D

5000m

Bài 3: Bạn Hoa từ nhà vị trí A đến trường vị trí C phải qua cầu từ A đến B rồi từ B đến trường

Trận lũ vừa qua cầu bị ngập nước, bạn Hoa phải thuyền từ nhà đến vị trí D nào

đoạn BC với vận tốc km/h sau với vận tốc km/h đến C Biết độ dài AB = 3km, BC = km Hỏi muộn bạn Hoa phải xuất phát từ nhà để có mặt AB trường lúc h 30 phút sáng kịp

Trang | 22

A 6 h 03 phút; B 6 h 16 phút; C 5 h 30 phút; D 5 h

45 phút

Bài 4. Người ta lắp đặt đường dây điện nối từ điểm A trên bờ AC đến điểm B trên đảo; khoẳng cách ngắn từ B đến AC bằng km, khoảng cách từ A đến C là 12 km Chi phí lắp đặt km dây điện nước 100 triệu đồng, bờ 80 triệu đồng Hỏi phải chọn điểm S trên bờ AC cách A

bao nhiêu để chi phí mắc dây điện từ A đến S rồi từ S đến B là thấp

A 4 km; B 8 km; C 6 km; D 10 km

Bài 5 Hai vị trí A và B cách 615 m nằm phía bờ sơng Khoảng cách từ A và từ B

đến bờ sông 118 m 487 m Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn

đường ngắn mà người (làm trịn đến chữ số thập phân thứ nhất)

A 569,5 m; B 671,4 m; C 779,8 m; D 741,2 m

Trang | 23

đến hai đỉnh C và D của cọc hình vẽ Hỏi ta phải đặt chốt vị trí để tổng độ dài hai sợi dây ngắn

A AM = m, BM = 18 m B. AM = m, BM = 17 m

C. AM = m, BM = 20 m D. AM = 12 m, BM = 12 m

Bài 7. Từ mảnh giấy hình vng cạnh cm, người ta gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tứ giác hình vẽ Hỏi thể tích lăng trụ

A.4cm3 B 16cm3 C 4

3cm D

3

16 cm

Bài 8. Một người lính đặc cơng thực bơi luyện tập từ vị trí A trên bờ biển đến thuyền neo đậu vị trí C trên biển Sau bơi 1,25 km khát nước người bơi vào vị trí E trên bờ để uống nước từ E bơi đến C Hãy tính xem người lính phải bơi km Biết

Trang | 24 A.3 5km. B. 29 2km. C. 26 5km. D.5 12

4 km



Bài 9. Đổ nước vào thùng hình trụ có bán kính đáy 20 cm Nghiêng thùng cho mặt nước chạm vào miệng cốc đáy cốc hình vẽ mặt nước tạo với đáy cốc góc 45o Hỏi thể tích thùng cm3

A.16000 B 12000 C 8000 D 6000

Bài 10. Tính thể tích chi tiết máy hình biết mặt cắt cắt theo phương vng góc với trục thẳng đứng

Trang | 25 Bài 11. Người ta gập miếng bìa hình chữ nhật có kích thước 60 cm x 20 cm hình vẽ để ghép thành hộp hình hộp đứng (hai đáy cắt từ miếng tôn khác để ghép vào) Tính

diện tích tồn phần hộp thể tích hộp lớn

A.

1450cm B

1200cm C

2150cm D

1650cm

Bài 12. Một bóng đèn huỳnh quang dài 120 cm, đường kính đường trịn đáy cm đặt khít vào ống giấy cứng dạng hình hộp chữ nhật (xem hình vẽ) Tính diện tích phần giấy cứng dùng để làm hộp (hộp hở hai đầu khơng tính lề, mép)

A.96cm2 B 960cm2 C 9600cm2 D 96000cm2

Trang | 26

A. 3

9

V   dm

B 3

3 V   dm

C 3

27 V   dm

D 3

81 V   dm

Bài 14. Một hộp sữa Ơng Thọ cơng ty Vinamilk sản xuất tích 293 ml Hỏi phải sản xuất đáy hộp có đường kính cm (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) trọng lượng vỏ hộp nhẹ Biết vỏ hộp làm từ hợp kim có độ dày vị trí

A 7,20 cm B. 6,32 cm C. 7,36 cm D. 6,10 cm

Trang | 27 A.1

3 B

2

3 C

1

2 D

1

Bài 16. Một xơ inox có dạng hình vẽ Các kích thước (tính đơn vị dài) cho kèm theo Tính diện tích xung quanh xơ

A.1440 B 756 C 1323 D 486

Bài 17. Tính diện tích vải cần có để may mũ có dạng kích thước (cùng đơn vị đo) cho hình vẽ bên (khơng kể riềm, mép)

A.350 B 400 C 450 D 500

Trang | 28 A.

4

 B 2

4

 C

2

 D

5



Bài 19: Một dụng cụ gồm phần có dạng hình trụ, phần cịn lại có dạng hình nón, kích thước cho hình vẽ (đơn vị đo dm) Tính xem thể tích khối dụng cụ dm3

A.490 B 4900 C 49000 D 490000

Bài 20. Một người thợ khí vẽ bốn nửa đường trịn nhơm hình vng cạnh 1,5 m Sau cắt thành hình bơng hoa (phần tơ đậm hình vẽ) Hãy tính khối lượng phần nhôm bị cắt bỏ biết m2 nhơm có khối lượng 10 kg

A 8,55 kg B 6,45 kg C 9,675 kg D 7,526 kg

Bài 21. Từ tơn hình chữ nhật kích thước 40 cm x 60 cm người ta gị thành mặt xung quanh hình trụ có chiều cao 40 cm Tính thể tích khối trụ

A.144000

cm

 B

3

36000 cm

 C

3

48000 cm

 D

3

Trang | 29 Bài 22. Một nhơm hình vng cạnh 18 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x (cm), gập nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn

A x B x C x D x

Bài 23. Từ nhơm hình chữ nhật có kích thướ ời ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50 cm, theo hai cách sau (xem hình minh hoạ dướu đây):

Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng

Cách 2: Gị tơn thành bốn mặt xuang quanh hình lăng trụ tứ giác

Kí hiệu V1là thể tích thùng gị theo cách V2là thể tích thùng gị theo cách Tính tỉ

số

2

V k

V



A.k 1 B k



 C k



 D

4 k

Trang | 30 A. 10

3

x  B. 12

4

x  C 12

4

x  D 10

3 x 

Bài 25. Một thùng rượu vỏ gỗ có bán kính đáy 30 cm, bán kính lớn thân thùng 40 cm Chiều cao thùng rượu m Hãy tính xem thùng rượu chứa lít rượu (làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) Biết cạnh bên hông thùng rượu có hình dạng parabol

A.15329

150 

lít B 502

3 

lít C. 305

3 

lít D.406

3 

lít

Bài 26. Một miếng nhơm hình vng cạnh 2,1 m người thợ kẻ lưới thành vng nhỏ có diện tích Sau vị trí điểm A và A' vẽ cung trịn bán kính 2,1 m; vị trí điểm B

và B' vẽ cung trịn bán kính 1,4 m; vị trí điểm C và C ' vẽ cung tròn bán kính 0,7 m Người cắt hai cánh hoa (quan sát cánh hoa tơ đậm hình) Hãy tính khối lượng phần tơn bị cắt bỏ, biết m2

Trang | 31

A 11,172 kg B 22,344 kg C 21,756 kg D 32,928 kg

Bài 27. Một cầu lông hộp đựng có kích thước cho hình vẽ Hãy tính xem hộp đựng cầu lông

A 26 B 27 C 28 D 29

Bài 28. Từ nhơm hình vng cạnh người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều 3mcao m, theo hai cách sau (xem hình minh hoạ dướu đây):

Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng

Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành ba nhau, gị thành mặt xung quang thùng

Kí hiệuV1 thể tích thùng gị theo cách V 2 tổng thể tích hai thùng gị

theo cách Tính tỉ số

V V

A.

1 V

V  B

1

1 V

V  C

1

2 V

V  D

1

Trang | 32 Bài 29. Người ta muốn làm thùng hình trụ từ miếng nhơm có chu vi 120 cm (quan sát hình minh hoạ) Hãy cho biết mảnh tơn có kích thước thể tích thùng lớn Biết chiều cao thùng chiều rộng miếng nhôm

A Dài 35 cm, rộng 25 cm B Dài 40 cm, rộng 20 cm

C Dài 50 cm, rộng 10 cm D Cả A, B, C sai

Bài 30 Một hình chữ nhật có diện tích 100 cm2 Hỏi kích thước để chu vi nhỏ

A 10 cm x 10 cm B. 20 cm x cm C. 25 cm x cm D Đáp án khác

Bài 31 Một lão nông chia đất cho trai để người canh tác riêng, biết người chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi 800 m Hỏi phải chọn mảnh đất có kích thước để diện tích đất canh tác lớn

A 300 m x 100 m B. 250 m x 150 m C. 350 m x 50 m D Cả A, B, C sai

Bài 32 Từ tơn hình chữ nhật kích thước 500 cm x 100 cm người ta gò thành mặt xung quanh hình trụ có chiều cao 50 cm Tính thể tích khối trụ

A.15000

3 cm B

3

125000 cm

 C

3

48000 cm

 D

3

12000 cm 

Trang | 33

A.

700cm B 1512,5cm2 C 1500,5cm2 D 756, 25cm2

Bài 34. Một nhóm học sinh dựng lều dã ngoại cách gấp đơi bạt hình chữ nhật có chiều dài 12 m, chiều rộng m (gấp theo đường hình minh hoạ) sau dùng hai gậy có chiều dài chống theo phương thẳng đứng vào hai mép gấp Hãy tính xem dùng gậy có chiều dài khơng gian lều lớn

A. m B 1,5 m C. m D.

2 m

Bài 35. Một nhơm hình trịn tâm O bán kính R được cắt thành hai miếng hình quạt, sau quấn

thành hai hình nón (N1) (N2) Gọi V1 V2 thể tích hai hình nón Tính tỉ số

2

V k

V 

Trang | 34

A k = B. 105

9

k  C. k = D 105

5 k

Bài 36. Từ miếng bìa hình tam giác cạnh người ta gấp thành tứ diện (quan sát hình vẽ minh hoạ) Tính thể tích khối tứ diện gấp

A.

96

V  B

12

V  C

96

V  D

16 V 

Trang | 35 A.3

2 dm B.

2dm C

5

2 dm D 2 2dm

Bài 38. Viên phấn viết bẳng có dạng khối trụ trịn xoay đường kính cm, chiều dài cm Người ta làm hộp tông đương phấn dạng hinh hộp chữ nhật có kích thước 6cm x cm x cm Muốn xếp 350 viên phấn vào 12 hộp, ta kết kết sau

A Vừa đủ B Thiếu 10 viên C Thừa 10 viên D Thiếu viên

Bài 39. Một cốc nước hình trụ có chiều cao 12 cm, đường kính đáy cm Thả vào cốc viên bi có đường kính cm Hỏi nước dâng cao cách mép cốc cm, biết lượng nước cốc cao 10 cm so với đáy cốc

A.1

3 B.

2

3 C 0,75 D 0,25

Bài 40. Một kim tự tháp Ai Cập có dạng hình chóp tứ giác Kim tự tháp có chiều cao 150 m, cạnh đáy dài 220 m Hãy tính diện tích xung quanh kim tự tháp

A.2200 346m2 B 4400 346m2 C 2420000m2 D 1110 346m2

Bài 41. Trong hộp hình trụ, người ta bỏ vào hộp vừa khít ba bóng Tennis, biết đường kính đáy hộp đường kính bóng Tennis Gọi S1 tổng diện tích ba bóng, S2là diện tích xuang quanh hộp Tính tỉ số diện tích

2

S S

A B C D

Bài 42 Một cốc hình nón cụt có đường kính miệng cốc cm, đường kính đáy cốc cm., chiều cao cốc 12 cm Nếu dùng cốc để đong 10 lít nước phải đong lần

Trang | 36 Bài 43 Bốn bạn An, Bình, Chi, Dũng có chiều cao 1,6 m; 1,65 m; 1,7 m; 1,75 m Họ muốn tham

gia trò chơi đứng thẳng bóng hình cầu tích

0,8m lăn cỏ Hỏi bạn không đủ điều kiện tham gia chơi

A Bạn An B Bạn An bạn Bình

C Bạn Dũng D Bạn Chi bạn Dũng

Bài 44. Một cơng ty sản suất bóng tennis muốn thiết kế hộp làm giấy cứng để đựng bóng tennis có bán kính r, hộp đựng có dạng hình hộp chữ nhật theo hai cách sau:

Cách 1: Mỗi hộp đựng bóng tennis đặt dọc thành bốn lớp, đáy hình vng cạnh 2r Cách 2: Mỗi hộp đựng bóng tennis xếp thành lớp, đáy hộp hình vng cạnh 4r

Gọi S S1, 2 theo thứ tự diện tích tồn phần hộp theo cách cách Tính tỉ số

S S

A.8

9 B C D.

2 3

Bài 45. Để làm mũ sinh nhật từ miếng giấy hình trịn bán kính 20 cm người ta cắt bỏ phần hình quạt OAB sao cho góc tâm 75 Sau dán phần hình quạt lớn cịn lại cho đAB ể làm mũ Hỏi thể tích mũ

cm

A.3125 511 648



B.8000



C.45125 215 648



D.1000



Bài 46. Một người thợ pha khối thạch cao vào nước tạo thành hỗn hợp tích 330 cm3, sau đổ vào khn để đúc thành viên phấn hình trụ có bán kính đáy 0,5 cm chiều cao cm Hỏi người thợ đúc tối đa viên phấn

A 50 viên B 70 viên C 24 viên D 23 viên

Trang | 37

Bán kính viên bi gần với giá trị giá trị sau đây, biết đường kính viên bi khơng vượt q cm

A 2,59 cm B 2,45 cm C 2,86 cm D 2,68 cm

Bài 48 Một ly có dạng hình nón hình vẽ Người ta đổ lượng nước vào ly cho chiều cao lượng nước ly 1/3 chiều cao phần hình nón Hỏi bịt kín miện ly lộn ngược ly lên tỉ lệ chiều cao nước phần hình nón

A.3 2 

B.1

6 C.

1

9 D

3

3 26 

Bài 49. Người thợ làm bể cá hai ngăn khơng nắp với thể tích 1, 296cm3 Người thợ cắt tấmkính ghép lại bể cá dạng hình hộp chữ nhật với ba kích thước a, b, c như hình vẽ Hỏi người thợ

phải thiết kế kích thước a, b, c bằng mét để đỡ tốn kính Giả thiết độ dày kính khơng đáng kể

Trang | 38 Bài 50 Một gàu múc nước hình nón có bán kính đáy 1,5 dm độ dài đường sinh dm Hỏi

phải múc lượt để đổ đầy thùng tích 240 lít

A 28 lượt B 27 lượt C 26 lượt D 25 lượt

Bài 51 Người ta cắt miếng tơm hình trịn làm ba miếng hình quạt Sau quấn gị

ba miếng tơn thành ba hình nón Tính góc đỉnh hình nón

A.120 B 60 C.2 arcsin

2 D

1 arcsin

3

Bài 52 Một nhơm hình chữ nhật ABCD có AD = 60cm Ta gập nhơm theo hai cạnh MN và PQ

vào đến AB và CD trùng hình vẽ để lăng trụ khuyết hai đáy Tìm x để thể

tích khối lăng tru lớn

A.

27

x  B

x  C

x  D 2

x 

Trang | 39

A 75 m B 100 m C 125 m D 150 m

Bài 55 Một người lấy dải ruy bang dài 160 cm bọc quanh hộp quà hình trụ Khi bọc quà người dùng 40 cm dải ruy băng để thắt nơ nắp hộp hình vẽ Hỏi dùng dây bọc hộp quà tích lớn

A.4000cm3 B 1000cm3 C 2000cm3 D 1600cm3

Bài 56. Người ta phải cưa thân hình trụ có đường kính m, chiều dài m để xà hình khối chữ nhật hình vẽ Hỏi thể tích lớn khối gỗ sau cưa xong

A.4m3 B 2 2m3 C 4 2m3 D 8m3

Trang | 40

xây chân trụ rộng 5m Bề dày bề rộng nhịp cầu không đổi 20 cm (mặt cắt nhịp cầu mơ hình vẽ) Hỏi lượng bê tông để xây nhịp cầu (làm tròn đến hàng đơn vị)

A.

20m B

50m C

40m D

100m

Bài 58. Một hình nón có chiều cao gấp lần bán kính đáy Một hình trụ nội tiếp hình nón

cho Hãy tính diện tích xuang quanh hình nón, biết khối trụ tích là16

9 dm chiều cao

của đường kính đáy đường tròn

A. 10

xq

S   dm B.Sxq 4 10dm2 C Sxq 4dm2 D Sxq 2dm2

Trang | 41 A 12 mảnh da hình ngũ giác, 20 mảnh da hình lục giác

B 20 mảnh da hình ngũ giác, 20 mảnh da hình lục giác

C 10 mảnh da hình ngũ giác, 20 mảnh da hình lục giác

D 12 mảnh da hình ngũ giác, 24 mảnh da hình lục giác

Bài 60. Một khối gạch hình lập phương khơng thấm nước có cạnh đặt vào phễu hình nón trịn xoay chứa đầy nước theo cách sau: Một cạnh viên gạch nằm mặt nước (nằm đường kính mặt này); đỉnh lại nằm mặt nón; tâm viên gạch nằm trục hình nón Tính thể tích nước cịn lại nằm phễu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A 22,27 B 22,30 C 23,10 D 20,64

Trang | 42

A 8820 lít B 8802 lít C 8800 lít D 8825 lít

Bài 62. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ tích Một hình nón có tâm đường trịn đáy trùng với tâm hình vng ABCD, đồng thời điểm A’, B’, C’, D’ nằm đường sinh hình

nón Thể tích nhỏ khối nón nêu

A.9

8 B

9

16 C

2

3 D Đáp án khác

Trang | 43

A B C.7

2 D.4 2

Bài 64. Cho tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12 cm chiều rộng cm Gấp góc bên phải tờ giấy cho sau gấp, đỉnh góc chạm đáy hình vẽ Gọi độ dài nếp gấp y thì giá trị nhỏ y là

A.3 7 B 3 C 6 D 6

Bài 65. Một miếng bìa hình trịn có bán kính 20 cm Trên biên miếng bìa ta xác định điểm A, B, C,

Trang | 44

A.4000(2 2) 2

2

 

B.

3

4000( 2 )

2



C.4000(2 2) 2 D.4000( 2 )3

Bài 66. Một chậu nước hình bán cầu nhơm bán kính R = 10cm Ban đầu lượng nước chậu có chiều cao (tính từ đáy chậu đến mặt nước) h = 4cm, người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên phủ kìn viên bi Biết thể tích khối chỏm cầu tính theo cơng thức

2

, h V h R 

  tính bán kính viên bi (làm tròn đến hàng đơn vị)

A 2 cm B 4 cm C 7 cm D 10 cm

Bài 67. Người thợ gốm nặm chum từ khối đất hình cầu bán kính dm cách cắt bỏ hai chỏm cầu đối diện Hãy tính thể tích chum biết chiều cao 60 cm

A 414,48 lít B 128,74 lít C 104,(6) lít D 135,02 lít

Bài 68. Người ta muốn treo bóng đèn phía bàn có bán kính

2 m cho mép bàn nhận nhiều ánh sáng Biết cường độ sáng C của bóng đèn

biểu thị cơng thứcC csin l



 (trong đó góc tạo tia sáng tới mép bàn mặt bàn, c là

số tỉ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng, l là khoảng cách từ bóng đèn tới mép bàn) Hỏi phải treo bóng đèn

cách mặt bàn mét

Trang | 45 Bài 69. Một miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài 50 cm, chiều rộng 20 cm Người ta chia miếng bìa

thành ba phần hình vẽ để gấp lại thu hình lăng trụ đứng có chiều cao chiều rộng miếng bìa Hỏi diện tích xuang quang lăng trụ gấp

A.1500cm2 B 2000cm2 C 1000cm2 D 500cm2

Bài 70. Người ta xếp viên bi có bán kính r vào lọ hình trụ cho tất viên bi tiếp xúc với đáy, viên bi nằm tiếp xúc với viên bi xung quanh viên bi xung quanh viên bi xung quanh tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ Hãy tính diện tích đáy lọ

A.

16r B

18r C

9r D

36r

Bài 71. Một gia đình cần xây dựng hố ga (khơng nắp) dạng hình hộp chữ nhật tích (m3) Tỉ số chiều cao hố (h) chiều rộng đáy (y) Tìm chiều dài đáy (x) để tốn vật liệu

xây hố ga

A.3

4m B 1,5 m C

4

3m D. 2,5 m

Bài 72. Từ bìa cứng hình vng cạnh a, người ta cắt bốn góc bốn hình vng gấp

Trang | 46 A.

2 a

B

8 a

C

3 a

D

6 a

Bài 73. Từ nhơm hình vng cạnh 200 cm, cắt nhơm hình tam giác vng có tổng cạnh huyền cạnh góc vng 120 cm Để miếng nhơm cắt có diện tích lớn cạnh huyền miếng nhơm có độ dài

A 40 cm B.40 3cm C. 80 cm D 40 2cm

Bài 74. Để đo chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ Kỳ đài trước Ngọ Môn (Đại Nội – Huế), người ta cắm hai cọc MA và NB cao 1,5 mét so với mặt đất Hai cọc song song, cách 10 mét thẳng hàng so với tim cột cờ (xem hình vẽ minh hoạ) Đặt giác kế đứng A và B để nhắm đến

đỉnh cột cờ, người ta đo góc là51 40'12'' 45 39 ' so với đường song song mặt đất Hãy tính chiều cao cột cờ (làm tròn đến 0,01 m)

A 52,20 m B 52,29 m C 52,30 m D 52,31 m

Bài 75. Người ta muốn làm đường từ địa điểm A đến địa điểm B ở hai bên bờ sông,

Trang | 47

xây dựng km đường bên bờ có điểm B gấp 1,3 lần chi phí xây dựng km đường bên bờ có điểm A, chi phí làm cầu MN tại địa điểm Hỏi phải xây dựng cầu điểm M cách điểm H bao nhiêu (làm trịn đến 0,001 km) để chi phí làm đường nhỏ

A 1,758 km B 2,630 km C 2,360 km D Kết khác

Bài 76. Một ống thép tròn phi 21 theo tiêu chuẩn Lào có đường kính 15 mm, độ dày mm chiều dài ống m Biết khối lượng riêng thép 7800 kg/m3 Hỏi 10 thép nguyên liệu làm

được tối đa ống thép (làm tròn đến hàng đơn vị) theo tiêu chuẩn

A 1998 ống B 2000 ống C 2001 ống D 1999 ống

Bài 77. Khi thiết kế vỏ lon sữa bị hình trụ nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí làm vỏ lon nhỏ (diện tích tồn phần nhỏ nhất) Muốn thể tích lon sữa V mà diện tích tồn phần lon sữa nhỏ bán kính đáy lon

A. .

2

V R



 B R V.



 C

2

V R



 D R V

 

Bài 78. Một lon sữa hình trụ trịn xoay có chiều cao 10 cm đường kính đáy cm Nhà sản xuất muốn tiết kiệm chi phí sản xuất vỏ lon mà khơng làm thay đổi thể tích lon sữa nên hạ chiều cao lon sữa hình trụ trịn xoay xuống cịn cm Tính bán kính đáy lon sữa

A. 45

2

R cm B R 45cm C 65

R cm D 45

4 R cm

Bài 79. Một đội xây dựng cần hoàn thiện hệ thống cột tròn cửa hàng kinh doanh gồm 10 cột Trước hoàn thiện cột khối bê tơng hình lăng trụ lục giác có cạnh20 cm; sau hồn thiện cách trát thêm vữa tổng hợp vào xung quanh cột khối trụ có đường kính đáy 42 cm Chiều cao cột trước sau hoàn thiện m Biết lượng xi măng cần

dùng chiếm 80% lượng vữa bao xi măng 50 kg tương đương với 6400 cm3 xi măng Hỏi

Trang | 48

A 25 bao B 18 bao C 28 bao D 22 bao

Bài 80. Một bìa hình vng, người ta cắt bỏ góc bìa hình vng có cạnh 12 cm gấp lại thành hình hộp chữ nhật khơng nắp Nếu dung tích hộp 4800 cm3

cạnh bìa

A 38 cm B 36 cm C 4 cm D 42 cm

Bài 81 Một khối lập phương có cạnh 1m Người ta sơn đỏ tất mặt khối lập phương cắt khối lập phương mặt phẳng song song với mặt khối lập phương để 1000 khối lập phương có cạnh 10 cm Hỏi khối lập phương thu sau cắt có khối lập phương tô đỏ số mặt

A 64 B 81 C 100 D 96

Bài 82 Một viên đá có dạng khối chóp tứ giác với tất cạnh a Người ta cưa

viên đá theo mặt phẳng song song với mặt đáy khối chóp để chia viên đá thành hai phần tích Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa mặt phẳng nói

A.

2

a

B

2

2

a

C.

2

4

a

D Kết khác

Bài 83. Một nhơn hình chữ nhật có kích thước a x 2a Người ta nhơm thành hình trụ Nếu hình trụ tạo thành có chiều dài đường sinh 2a thì bán kính đáy bao nhiêu:

A.a

 B 2

a

C

2 a

Trang | 49 ĐÁP ÁN

1 10

A D A B C A A D A C

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

D B A A A B B A A C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

B B B A D C C D B A

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

D B C D D B D B B B

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

A C D A C B A D C A

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

D A B B B A C B A A

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

A A C C C A A A C C

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

C D C C B B A A B C

81 82 83

Trang | 50 HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài Gọi độ dài cạnh hình tam giác x ( x > 0), ta có cạnh hình vng :6

x 

Tổng diện tích hai hình là:

2

2

3

(9 3) 36 36

4 16

x x

S        x  x 

 

min

S 36 54 24

11 2(9 3)

x    x  

Bài 2. Gọi chiều dài chiều rộng khu đất rào x và y (0 < y < x < 200) Ta có:x2y200 x 200  y

Diện tích rào : f y( )x y (200 ). y y 2y2200 y

Diện tích lớn : 200 50 100 axS=5000

2( 2)

y    x m



Bài 3. Ta tính xem bạn Hoa cần thời gian để từ A đến C

Giả sử

, (0 5) (5 )

CDx   x BD  x AD  x

Thời gian Hoa di từ A đến C :

2

2

10 34

( ) '( )

4 4 10 34

x x x x

f x f x

x x

  

    

 

Ta có: f x'( )  0 x Mà f(1)1, 45.Như bạn Hoa cần h 27 phút để di chuyển muộn 6h03phút Hoa phải xuất phát

Bài Giả sửASx, (0 x 12)BS  32(12x)2  x224x153 Số tiền để mắc đường dây điện là: f x( )80x100 x224x153

Ta có: f(4) 1174, 400375, (8) 1140, (6) 1150,820393, (10) 1160,555123. f  f  f  Suy ra: x =

Trang | 51

Ta có :EDAC492

Đặt EF=xFD=492-x

Đoạn đường mà người phải là:

2 2

( ) 118 (492 ) 487

f x  x   x 

2

( ) 13924 984 479233

f x x x x

     

Ta có:

2

492 '( )

13924 984 479233

x x x

f x

x x x



 

  

Do đó: '( ) 58056

605

f x   x Suy đoạn đường ngắn là: (59056) 779,8 605

f 

Bài 6. ĐặtAMx, (0 x 24) Ta có tổng độ dài hai sợi dây là:

2 2

( ) 10 30 (24 )

f x  x   x Ta có:

(6) 34; (7) 46, 68843491; (4) 29 10 13; (12) 61 29

f  f  f   f  

Bài 7 V 1.1.44(cm3)

Bài 8. HD: Giả sử EF = x

Suy quãng đường mà người phải bơi là: 2 2

( ) 1, 25 (3 )

Trang | 52 Bài HD: Do mặt nước tạo với mặt đáy góc 450 nên chiều cao hình trụ đường kính đáy

Bài 10.

2

10 (5 )

80

V     

Bài 11. Đáy hộp hình bình hành, thể tích hộp lớn diện tích đáy hộp lớn Gọi

một góc mặt đáy, ta có diện tích đáy là:

2

30

.sin 225

2

x y

Sxy      

   

Đẳng thức xảy khi: x = y góc hình bình hành 900

Như đáy hộp hình vng cạnh 15 cm

Ta tính diện tích tồn phần hộp 1650 cm2

Bài 12 Diện tích phần giấy cứng để làm hộp diện tích xuang quanh hộp Chu vi đáy hộp là: 2.4=8 (cm)

Diện tích giấy để làm hộp là: S 8.12(cm2)

Bài 13

Gọi r và h lần lượt bán kính đường cao khối hình trụ tiện

Ta có:

2 2

2 2

1

2

h h

r    R r  

 

Thể tích khối hình trụ tiện là:V r h2

Suy :

2

4

h V   h

  , V lớn

2

4

h h

 



 

  lớn

Trang | 53

Xét

2

( ) ( )

4

h h

f h   h f h  h

 

Ta có:

2

3

'( )

4

h

f h     h

Dễ thấy f(h) lớn

3

h 3( 3)

9 V   dm Bài 14. Ta có :V 293ml293cm3

Gọi bán kính đáy hộp R cm Ta có chiều cao hộp là:h V2 R 



Để hộp sữa có trọng lượng vỏ hộp nhẹ diện tích tồn phần phải nhỏ

Ta có: 2

2

2

2 2

tp tp tp

V V

S R R h S R R S R

R R

    



       

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

3

2 3 2

2

tp tp

V V V V

S R R S V

R R R R

  

     

Đẳng thức xảy : 3 3

2 2

2

V V V

R R d R

R 

 

     

Áp dụng cho toán : 23 293 7, 20( )

2.3,14

d  cm

Bài 15 Thể tích ban đầu khối gỗ là:V r h2  V .1 22 2

Thể tích khối gỗ bị khoét là: 1 1

2 3

V    r V  

 

 

Thể tích khối gỗ bị khoét :

1 4

2

2 3

V    r V  

 

 

Thể tích cịn lại khối gỗ sau kht là: 2 1

3

V   V V     

Trang | 54 Bài 16. HD: Nếu úp ngược lại xơ có hình nón cụt, tính diện tích xung quanh thơng qua diện tích hai hình nón khác.Sxq .12.(36 108) .9.108756 

Bài 17.S ( 15 2.5 )2 .5.30350 

Bài 18 2

9 36 3888

V       

Bài 19. 72 92 490

V     

Bài 20 Xem ví dụ

Bài 21

Gọi bán kính đáy khối trụ r ta có:2r 60 r 30 

  

Thể tích khối trụ là:V .r2h (30) 402 36000(cm3)

 

  

Bài 22. Ta có: 1 18 18

(18 ) (18 )(18 ).4

4 27

x x x

V   x x  x  x x     

Đẳng thức xảy xa khi: 4x 18 2x x

Bài 23. Ta có

2

1

2

200

200 S

k S

 



 

 

 

  

 

 

 

Bài 24 Thể tích hộp :V x( )7(12 )(8 ). x  x x Thể tích hộp lớn 10

3 x 

Trang | 55

HD: Toạ độ hoá hình vẽ Thể tích thùng rượu thể tích khối trịn xoay tạo thành

quay hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số

40 250

y  x  trục Ox và hai đường thẳng x = -50, x

= 50 (như hình vẽ bên) xung quanh trục Ox Cơng việc tính tốn xin để lại cho bạn đọc

Bài 26 Xem ví dụ 12

Bài 27. Ta có:50 (9 1,5)28, (3) 1,5

 

Suy số lượng cầu long đựng hộp 28

Bài 28 Gọi R1 bán kính đáy khối trụ thứ nhất, ta có: 1 1 1 27

2

R R V



 

    

Gọi R2 bán kính đáy khối trụ thứ nhất, ta có: 2

1

2

2

R R V



 

    

Suy ra:

3 V V 

Bài 29 Gọi chiều dài x thì chiều rộng 60 – x Bán kính đáy chiều cao h = 60 –x

Suy ra:

3

2 60

x x

V R h

  

 

Xét hàm số: f x( )  x3 60x x2, (0;60)

Ta có: '( ) 120 0

40

x

f x x x

x  

      





Trang | 56 Bài 30. Trong hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn Bài tốn giải nhờ bất đẳng thức AM-GM hoặc khảo sát biến thiên hàm số

Bài 31 Gọi hai cạnh miếng đất x, y Ta có: x + y = 400 (m)

Ta có:

2

2

( ) 400

40000

4

x y

xy   

Đẳng thức xảy khi: x = y = 200 (m)

Bài 32 Gọi bán kính thùng r ta có:2r 100 r 50 

  

Thể tích hộp là:

2

2 50 125000

.50 ( )

V r h  cm

 

 

    

 

Bài 33 Xem ví dụ

Bài 34

Không gian lều lớn diện tích tam giác ABC lớn

Ta có:

2

1 9

.sin sin sin 90

2 2

ABC

S  AB AC A A 

Đẳng thức xảy khi:ABC90

Suy chiều cao gậy chống là:

2

3.3

2

3

Trang | 57 Bài 35 Gọi r r1, 2 bán kính đáy hình nón (N1), (N2)

Ta có:

1

2

1 2

3 1

;

4 4

xqN xqN

S r l R  r R S r l R  r R

Suy ra:

2

2 2

1

1

1

2 2

2

2 2 2

2

1

3 105

3 16

1 1 15 5

3 16 4

R

S h r R r R

V

V S h r R r R

R        

Bài 36 Gọi S là đỉnh khối tứ diện gấp được, ABC là tam giác đáy, G là trọng tâm tam giác ABC Do tứ diện gấp tứ diện nênSG(ABC)

Ta có:

.sin 60

3

AG AB  Suy ra: 2 12

9

SG SA AG   

Thể tích tứ diện gấp là:

3 12

V  

Bài 37.

Gọi độ dài cạnh đáy mơ hình x, chiều cao mơ hình h

Ta có: 5

2 x x BC BC 

Suy ra:

2

2 10 50 50 10

4

x x x x

h BC AB      

Thể tích mơ hình là: ( ) .2 50 10

3

x

Trang | 58

Ta có:

( ) (25 ) 18

V x  x  x V(x) lớn V2( )x lớn hay

( ) 25

f x   x  x lớn

Mà

'( ) 25 100

2 x

f x x x

x  

      



 Suy x2 thỏa mãn đề

Bài 38. Mỗi hộp đựng 30 viên phấn, suy 12 hộp đựng 260 viên phấn Do thiếu 10 viên phấn

Bài 39 Thể tích bốn viên bi là: 16

4 .1

3         

Chiều cao nước dâng lên là: 16 : ( )2 4( )

9  3 cm Như nước cách mép cốc

2 ( ) cm

Bài 40. 1502 110 2202 4400 346( 2)

xq

S     m

 

Bài 41. Tổng diện tích ba bóng là: 2

1 2.4 12

S  r  r Diện tích xuang quanh hộp là:S2 2r r.6 12r2

Suy ra:

2

1 S S 

Bài 42. Thể tích cốc là: 2

.4 (12 36) 36 464, 72( )

V      cm

Suy ra: V = 0,46472 (lít) Do dùng cốc để đong 10 lít nước phải đong 22 lần

Bài 43 Người chơi đủ điều kiện tham gia có chiều cao thấp đường kính bóng Bài 44 Ta có:S1 2.(2 ) 4.(8 )r r  r r 72 ;r S2 2 2.(4 ) 4.(4 )r r  r r 64 r2

Suy ra: 2 72 64 S r

S  r 

Bài 45 Diện tích xuang quanh mũ là: 20 360 75 950

360



  

Suy ra: 20 950 95

3

r  r

Trang | 59

Chiều cao mũ là:

2

2 95 215

20

6

h   

 

Thể tích mũ là:

2

2 95 215 45125 215

6 648

V r h    

 

Bài 46 Thể tích viên phấn là:.0,5 62 4, 71(cm3)

Ta có:33070.4, 71 0,3 nên đúc tối đa 70 viên phấn

Bài 47 Gọi chiều cao mực nước dâng lên x (cm)

Bán kính viên bi là: 4, 56

2 x

r 

Vì phần nước dâng lên tích thể tích viên bi nên:4 4,56

( ) 6,12

3

x

x

   

Sử dụng tính nhẩm nghiệm MTCT ta tính được:x0, 6176533847 r 0,59

Bài 48. Gọi r là bán kính miệng ly, h là chiều cao (phần hình nón) ly

Thể tích ly là:

3

V  r h

Thể tích lượng nước đổ vào là:

2

2

1

3 3 81

n

r h

V      r h

 

Thể tích cịn lại cốc là:26

81r h (1)

Gọi h - k chiều cao nước úp ngược lại

Thể tích lại cốc là:

2 h r k k   

  (sử dụng tam giác đồng dạng) (2)

Từ (1) (2) suy ra:

2 3

2

3

1 26 26 26

3 81

h k h k

r r h

k n h

        

Trang | 60

Diện tích phần kính dùng để làm bể cá là:

3 2

3 36

2 3 3

5 AM GM

S ab ac bc ab ac bc a b c



     

Đẳng thức xảy khi:

1,8

2 1,

3

0, a b c

S ab ac bc b

a c c                  

Bài 50 Chiều cao gàu là: 42 1,52 55( )

h   dm

Thể tích gàu là: 1,5 55 8, 732573719( 3)

3

V    dm

Suy cần múc 28 lần để đổ đầy thùng tích 240 lít

Bài 51 Diện tích xung quanh hình nón là:S rl, mà ta lại có:

2

l S 

Suy ra:

2

1

3

l

rl  r

   

Do đó:Sin 2 arcsin

3

r l

   

Bài 52 Thể tích khối lăng trụ lớn diện tích đáy lớn

Diện tích đáy lăng trụ là: ( ) 1(60 ) (30 )2 (30 ) 60 900

2

S x   x x  x  x x

Sử dụng MTCT ta tính được:S x'( )  0 x 20

Nếu để ý chút bạn đọc thấy có đáp án A thoả mãn đáp án B, C, D 2x60

Bài 53 Gọi r là bán kính khối nón, h là chiều cao khối nón Khơng tính tổng qt ta xem

R = Ta có:h R2r2  1r2

Do diện tích xuang quanh hình nón ằng diện tích phần hình quạt đem quấn nên:

2

2 2

x x x

R rR r r

  

Trang | 61

Thể tích khối nón là:

2

2

1

( )

3 2

x x

V r h 

           Đặt ( 0) x y y       

  Xét hàm số:g y( ) y 1y , ta có:

1

'( )

2

g y y y

y

  



Suy ra: '( ) 2(1 )

3

g y   y   y y

Do đó:

2 2

2 3

x x x              

Bình luận: Nếu bạn đọc tính theo R thì tốn khó khăn phức tạp nhiều

Bài 54 Gọi độ dài hàng rào xây xi măng x (x > 5) và độ dài hai hàng rào vng góc với y

Vì diện tích khu đất rào 600m2 nên:xy 600 y 600

x

  

Độ dài dây thép để làm hàng rào là:(x 5) 2y x 2.600 x 1200

x x

       

Suy tổng chi phí là: f x( ) x 1200 14000 x.28000 42000x 16800000 70000

x x

 

       

 

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: f x( ) 42000 x16800000 1610000

x

  

Đẳng thức xảy khi:42000x 16800000 x 20

x

  

Suy chu vi khu đất là:2( ) 20 600 100( )

20

xy     m

 

Bài 55 Gọi x và y lần lượt bán kính đáy chiều cao hình trụ

Dải dây ruy băng thắt nơ là: 160 – 40 = 120 (cm)

Trang | 62

   3

2 (30 )

( ) (30 ) (30 )

27 ( ) 1000

x x x

V x x x x x x

V x

  



  

    

 

Đẳng thức xảy khi:x30 2 x x 10(cm)

Bài 56 Gọi chiều dài chiều rộng đáy khối gỗ lần luột x và y

Ta có: x2y2 2rx2y2 1

Thể tích khối gỗ lớn diện tích đáy lớn nhất, tức là: xy lớn

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

2

1

2

x y

xy  

Đẳng thức xảy khi:

2 x y

Suy thể tích lớn khối gỗ sau cưa xong là:

.8 4( )

V   m

Bài 57

Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ Gọi parabol qua điểm I là (P1) có phương trình:

2

yax bxx Do ( P1 )đi qua gốc toạ độ nên( ) :P1 yax2bx

Sử dụng tiếp kiện (P1 ) qua I và A ta suy

2

( ) :

625 25

Trang | 63

Do parabol phía có phương trình

2

2

( ) :

625 25

P y  x  x

Khi diện tích nhịp cầu là S 2S1 với S1 phần diện tích giới hạn parabol( )P1 (P2) khoảng (0;25)

Suy ra:

0,2 25

2

0 0,2

2

2 9,9( )

625 25

S    x  x dx  dx m

 

 

  

Thể tích nhịp cầu là:

1 0, 9,9.0, 1,98( )

V S   m

Suy lượng bê tông để xây dựng nhịp cầu là:

2.(1,98.10)39, 6(m ) (*)

Do làm tròn đến hàng đơn vị nên ta cần

40m

Chú ý: Tại (*) nhân phải xây dựng hai bên cầu

Bài 58

Gọi bán kính đáy hình nón R, (R > 0) Suy chiều cao hình nón 3R chiều cao hình trụ 2R

Gọi bán kính hình trụ r thì

2 r HB

Ta có:

3

DC SD R

r

Trang | 64

Do thể tích khối trụ bằng16

9  nên ta có:

2

16

.2

3

R

R R

      

 

Suy đường sinh hình nón là: 2 2

6 2 10

l SH AH   

Diện tích xuang quanh hình nón là:Rl.2.2 104 10 ( dm2)

Bài 59 Gọi m là số mảnh da ngũ giác, n là số mảnh da lục giác (để cho thuận tiện tác giả gọi mảnh da ngũ giác mảnh da đen, mảnh da lục giác mảnh da trắng)

Số mảnh da bóng là: M = m + n

Mỗi mảnh da đen tiếp xúc với mảnh da trắng nên số đường khâu ghép mảnh da đen mảnh da trắng 5m (1)

Mỗi mảnh da trắng tiếp xúc với mảnh da đen nên số đường khâu ghép mảnh da trắng mảnh da đen 3n (2)

Từ (1) (2) ta có:5 3

5 n m n m

Suy số mảnh da bóng là:

5

n n

m n   n

Số đường khâu ghép mảnh da trắng với là3

2 n

Vì mảnh da trắng lại tiếp xúc

với mảnh da trắng khác đường khâu ghép ta đếm lần

Tổng số đường khâu ghép bóng là: Số đường khâu mảnh da màu + Số đường

khâu mảnh da khác màu 3

2

n n

n

  

Số đỉnh tất mảnh da 5m hay 3n (bằng tổng tất đỉnh mảnh da đen) Theo công thức Euler ta có: Số đỉnh + Số mặt = Số cạnh + 2 nên ta có:

8 3.20

3 2 12

5 10

n n

n    n  m 

Bài 60. Gọi R và h theo thứ tự bán kính chiều cao phễu

Trang | 65

Ta có: 2

3

R h h

R

R h h

 

   (1)

Thiết diện song song với đáy phễu, chứa cạnh đối diện với cạnh nằm đáy phễu hình trịn có bán kínhR2 1

Ta có:R2 h h 2.R 1

R h h

 

   (2)

Từ (1) (2) suy ra:

2 2

h

h h

 

  

 R2 1

Thể tích cịn lại phễu là: 23 22, 27

3

V  R h 

Bài 61.V 50.20.10 10.20.1 49.20.1 8820   (lít)

Bài 62.

Gọi I là tâm hình vng ABCD, H là tâm hình vng A’B’C’D’, EF là đường sinh qua hình vẽ

bên

Do hình lập phương tích nên ta có:AA ' 1, '

2 HI A H AI

   

Đặt EH = x ta có: ' 2 ( )

1 2

x A H x x

FI r

EI FI x FI x



 

       

Trang | 66

Thể tích khối nón là:

2

2

2

1 1 ( 1)

( 1)

3 6

x x

r EI x

x x



       

 

Xét hàm số

3

( 1)

( ) x

f x

x 

 x > ta có

2

( 2)( 1)

'( ) x x

f x

x

 

 Do thể tích khối nón đạt giá

trị nhỏ x = Thể tích khối nón là:

8 

Bài 63 Diện tích hình thang nhỏ SSAEH SCGF SDGH lớn Ta có:2S2x3y (6 x)(6y)xy4x3y36 (1)

Mà hai tam giác AEH và CGF đồng dạng nên AE AH xy

CG  CF   (2)

Thay (2) vào (1) ta có:2S 42 4x 18

x

 

   

  2S lớn

18 4x

x

 nhỏ

Suy ra:4 18 2

2

x x y x y

x

       

Bài 64

Gọi điểm hình vẽ, kẻ PQ vng góc với CD Để N chạm đáy CQ thì MB > MC nên x > 4

Hai tam giác MNC và NPQ đồng dạng nên ta có:

2 2 (8 ) 8 x x

MN NC x NC x

NP PQ PB y x

Trang | 67

Ta ý thêm điều kiệnPBAB12 y2x2 1218 5  x 18 5 Suy ra:18 5  x

Xét hàm số

3 ( ) x f x x 

 ta có:

2

0

2 ( 6)

'( ) , '( )

6

( 4)

x x x

f x f x

x x          

Ta suy ra:miny f(6) 6

Bài 65

Gọi O là tâm miếng bìa.Ta có:

45 AOB

Suy ra:

0

2 2

1 45

2 0.sin 22,5 40 20 2

2

40 (20 2 ) 20 2

cos

AB A

BE AE AB



   

      

Chiều cao hộp gấp là:

1

( ) 10( 2 2 )

2

10 2 2 2 2 10 2

h BE AB

h

     

         

Thể tích hộp gấp là:V AB h2 4000(2 2) 2.

Bình luận: Nếu bạn đọc sử dụng định lý hàm số cos để tính AB thì đơn giản chút

Bài 66 Gọi x là bán kính viên bi Điều kiện: 2 x10  0 x

Thể tích viên bi là:

3 bi

Trang | 68

Thể tích khối nước hình chỏm cầu chưa thả viên bi vào là:

2

4 416 16 10

3 3

h

V h R     

   

Thể tích khối nước hình chỏm cầu thả viên bi vào là:

2

2

2 (30 )

(2 )

3

x x x

V  x R   

 

Ta có phương trình:

2

3

2

3

4 (30 ) 416

4 (30 ) 416

3 3

3 30 104 0(1) bi

x x

V V V x x x x

x x

      

        

   

Giải phương trình (1) ba nghiệm sau so sánh với điều kiện làm tròn đến hàng đơn vị ta x =

Bài 67 Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ

Thể tích chum thể tích hình giới hạn đường trịn có phương trình y 25x2 đường thẳngx 3 quay xung quanh trục Ox

Suy ra:

3

2

(25 ) 132

V  x dx 



   

Bài 68 Gọi h là khoảng cách từ bóng đèn đến mặt bàn

Ta có :sin h

l

  h2  l2

Suy cường độ sáng mép bàn là:

 3

3

2 ( )

2

h ch

C C h c

l h

  



Trang | 69

Ta có: (1) 3; (1, 2) 1, 3; (1,5) 1,5 3; (2) 3

( 3) ( 3, 44) ( 4, 25) ( 6)

c c c c

C  C  C  C 

Suy h = m cường độ sáng mép bàn lớn

Bài 69 HD: Diện tích xung quanh hộp diện tích miếng bìa

Bài 70 Bán kính đáy lọ là:R r 2r3 r

Diện tích đáy lọ là: 2

(3 ) sR  r  r

Bài 71 Ta có: h h 4y

y   

Do thể tích hố ga nên ta có: 32

4

xyh xy y x

y

    

Tổng diện tích mặt cần xây là:

2

2

3 3 27

2 .4 8

4 4

xy xh yh y y y y y y

y y y y y

         

Ta có:8 27 27 27 83 2.27 27

4 8 8

AM GM

y y y

y y y y y



     

Đẳng thức xảy khi: 27

8

8

y y x

y

    

Bài 72 Gọi x là độ dài cạnh bốn hình vuông cắt bỏ(0 ) a x

 

Thể tích hộp là:

  3

1 2

( )( ) ( )( ).4

4 27

AM GM a a a x x a

V a x a x x a x a x x

      

         

 

Đẳng thức xảy khi:

6 a a x x x

Bài 73 Gọi x là độ dài cạnh góc vng ( x > ),thì độ dài cạnh huyền 120 - x độ dài cạnh góc

vng cịn lại 14400 240  x

Diện tích miếng nhơm cắt là: ( ) 14400 240

2

Trang | 70

Ta có:

( ) (14400 240 ) 120 120 (14400 240 )

2 2.120

f x  x  x  x x  x

Suy f(x) lớn 120x14400 240 x x 40 cạnh huyền 80 cm diện tích miếng nhơm lớn

Bài 74.

Gọi H là giao điểm AB với tim cột cờ Ta cần tính chiều cao cột cờ tức tính HC

Xét tam giác ABC ta có: ' ''

6 1012 C  A B

Theo định lý hàm sin tam giác ABC ta có:

0 ' ' '' 10.sin 45 39

sin sin sin 1012

AB AC

AC

C  B  

Ta có: ' ''

.sin sin 51 4912

HCAC CAH AC

0 ' ' ''

0 ' '' 10sin 45 39 sin 51 4912

52,30( ) sin 1012

HC m

  

Bài 75 ĐặtHM x, (0 x 4,1) Suy :AM  x21, 44,BN  (4,1x)22, 25

Gọi a là số tiền để làm km đường bên bờ có điểm A Khơng tính tổng qt giả sử a = số tiền

để làm đường là: 2

( ) 1, 44 1,3 (4,1 ) 2, 25

f x  x   x 

Ta có:

2

4,1

'( ) 1,3

1, 44 (4,1 ) 2, 25

x x

f x

x x



 

  

Trang | 71 Bài 76 Diện tích mặt cắt ống là: 2

S R r với r = 0,0075 (m) R = 0,0095 (m) Thể tích phần thép tạo nên ống là:V 6 (S m3)

Khối lượng ống thép là: m = 7800.V(kg)

Suy số ống thép tạo từ 10 thép nguyên liệu là:10000 2000 7800V  (ống) Bài 77. Ta có:Stp R2 R h Stp R2 R V2 Stp R2 2V

R R

    



       

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: 2 3 23 2. . 3 23

tp tp

V V V V

S R R S V

R R R R

  

     

Đẳng thức xảy khi: 3

2

2

V V

R R

R 



  

Bài 78 Thể tích lon sữa là:V10 3 90 ( cm3)

Bán kính đáy lon sữa là: 45

8 90 ( )

2

R R cm

    

Bài 79 Thể tích lượng vữa cần trát thêm vào cột là:

2

400 21 20.20.sin 60 138203,8062( )

2

V      cm

 

 

Thể tích xi măng tương ứng là:V'(10 ).80% 1105630, 449(V  cm3)

Số lượng bao xi măng cần dùng là: ' 17, 27547577

64000

V 

suy cần dùng 18 bao xi măng

Bài 80 Diện tích đáy hộp là:4800 400( 2) 12  cm

Suy cạnh đáy hộp là: 20 (cm)

Cạnh bìa hình vng là: 20 + 2.12 =44 (cm)

Bài 81. Số khối lập phương nhỏ sơn đỏ số mặt là: 8, 12 = 96 (khối)

Trang | 72

Gọi (DEF) thiết diện cắt viên đá Ta có: EF

1 S D S ABC V

V 

Suy ra:

3

3

1 1

2 2

SD SE SF SD SD

SA SB SC SA SA

 

     

 

Do đó:

3

1

2

DE a

DE

AB   

Dễ thấy DEF là tam giác nên:

2

3 3

1

.sin 60

2 2 4

DEF

a a a

S  

Bài 83. Ta có:2

2 a

R a R



Trang | 73

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng

xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường

Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

các môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia