Phương trình truyền sóng và ứng dụng

PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SĨNG VÀ ỨNG DỤNG LÊ VĂN ĐƠNG GVHD: TS.Chử Văn Tiệp Khoa Toán học Đại học sư phạm Đà Nẵng 27 - 04 - 2019 (UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 / 24 Outline Mở đầu Bài toán dao động sợi dây vơ hạn Bài tốn Cauchy R3 Phương pháp tách biến Phương trình truyền sóng nhiều chiều (UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 / 24 Mở đầu Sóng tượng phổ biến tự nhiên ví dụ sóng nước, sóng âm thanh, sóng siêu thanh, sóng điện từ, sóng ánh sáng, sóng hấp dẫn, sóng lượng tử Giải phương trình truyền sóng utt − ∆u = f (x, t) giúp hiểu giải thích nhiều tượng vật lý sống thường ngày tượng phản xạ âm thanh, lan truyền sóng nước, tượng giao thoa ánh sáng, tượng sóng dừng, cấu tạo hộp cộng hưởng đàn, sáo âm nhạc v.v (UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 / 24 Bài toán dao động sợi dây vơ hạn Xét phương trình ∂2u 2∂ u − a = f (x, t), ∀x ∈ (−∞, +∞), ∀t > 0, ∂t ∂x u(x, 0) = ϕ(x), ∀x ∈ (−∞, +∞), ∂u (x, 0) = ψ(x), ∀x ∈ (−∞, +∞), ∂t (1) f (x, t), ϕ(x) ψ(x) hàm liên tục miền xác định chúng Hàm u = u(x, t) hàm chưa biết toán biểu thị biên độ dao động thời điểm t, vị trí x (UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 / 24 Công thức D’Alembert 1 u(x, t) = [ϕ(x + at) + ϕ(x − at)] + 2a + 2a t x+at ψ(s)ds x−at x+a(t−τ ) f (ξ, τ )dξ (2) dτ x−a(t−τ ) τ) ∆(x, t) t− τ) ξ= a( x− a( x+ t− ξ= Miền phụ thuộc miền ảnh hưởng nghiệm τ (x, t) • (x − at, 0) (UED) • (x + at, 0) (x0 , 0) Phương trình truyền sóng ξ 27 - 04 - 2019 / 24 Ví dụ Giải phương trình sau utt − a2 uxx = −2(2x − 1)e −x , x ∈ R, t > 0, u(x, 0) = 0, x ∈ R, ut (x, 0) = 0, x ∈ R u(x, t) = = t 2a a t x+a(t−τ ) −2(2ξ − 1)e−ξ dξdτ x−a(t−τ ) 2 (x + a(t − τ ))e−(x+a(t−τ )) − (x − a(t − τ ))e−(x−a(t−τ )) dτ = a e−(x+a(t−τ )) e−(x−a(t−τ )) + 2a 2a t 2 = 2e−x − e−(x+at) − e−(x−at) 2a (UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 / 24 u(x, t) = 2a2 2 2e−x − e−(x+at) − e−(x−at) với a = t=3 u(x, 3) t=2 u(x, 2) t=1 u(x, 1) t=0 u(x, 0) = (UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 / 24 t=7 u(x, 7) t=6 u(x, 6) t=5 u(x, 5) t=4 u(x, 4) (UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 / 24 Bài toán Cauchy R3 ∂2u (x, y , z, t)−a2∆u(x, y , z, t) = f (x, y , z, t), ∀(x, y , z, t)∈ R3 ×(0, +∞), ∂t u(x, y , z, 0) = ϕ(x, y , z), ∀(x, y , z) ∈ R3 , (3) ∂u (x, y , z, 0) = ψ(x, y , z), ∀(x, y , z) ∈ R3 ∂t Bài toán có nghiệm cho cơng thức u(x, y , z, t) = 4πa2 B(x,y ,z,at) + + với r = 4πa2 ∂ 4πa2 ∂t f (ξ, η, ζ, t − r /a) dξdηdζ, r ∂B(x,y ,z,at) ∂B(x,y ,z,at) ψ(ξ, η, ζ) dσat , t ψ(ξ, η, ζ) dσat t (4) , (x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2 (UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 / 24 Phương pháp tách biến Xét phương trình ∂2Φ 2∂ Φ − c =0, < x < L, t > 0, ∂t ∂x ∂Φ (x, 0) = g (x), ≤ x ≤ L, Φ(x, 0) =f (x), ∂t Φ(0, t) =Φ(L, t) = 0, t ≥ 0, (5) Sử dụng PP tách biến ta tìm nghiệm toán dạng ∞ Φ(x, t) = sin n=1 nπ x L An cos nπc t L + Bn sin nπc t L hệ số An , Bn cho công thức An = Bn = (UED) L L f (x) sin ncπ nπ x dx L L g (x) sin Phương trình truyền sóng nπ x L 27 - 04 - 2019 10 / 24 Ví dụ Giải phương trình ∂2u ∂2u = , < x < 1, < t < 2, ∂t ∂x với điều kiện ban đầu u(x, 0) = x(1 − x), ∂u(x, 0) = 0, < x < 1, ∂x điều kiện biên u(0, t) = u(1, t) = 0, với t > (UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 11 / 24 Nghiệm phương trình có dạng ∞ u(x, t) = m=1 sin((2m − 1)πx) cos(a(2m − 1)πt) (2m − 1)3 π (a) Nghiệm số với lưới chia × 10 (UED) (b) Nghiệm số với lưới chia 10 × 25 Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 12 / 24 (c) Nghiệm số với lưới chia 20 × 50 (UED) Phương trình truyền sóng (d) Nghiệm giải tích 27 - 04 - 2019 13 / 24 Phương trình truyền sóng nhiều chiều Cho Ω tập mở Rn T số thực, T > Do đó, tốn Cauchy kết hợp với phương trình sóng gồm có ∂2u (x, t) − ∆u(x, t) = 0, ∀(x, t) ∈ QT , ∂t u(x, 0) = u0 (x), ∀x ∈ Ω, ∂u (x, 0) = u1 (x), ∀x ∈ Ω, ∂t QT = Ω × (0, T ) (UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 14 / 24 Số chiều lẻ Định lý Cho n số nguyên lẻ, u0 ∈ C (n+3)/2 (Rn ) u1 ∈ C (n+1)/2 (Rn ) Khi đó, nghiệm cổ điển tốn Cauchy cho phương trình truyền sóng cho cơng thức sau u(x, t) = 1.3.5 (n − 2)ωn × ∂ ∂t ∂ t ∂t t n−2 (n−3)/2 u0 (x + t, y )dσ(y ) S(0,1) + (UED) ∂ t ∂t (n−3)/2 t n−2 u1 (x + t, y )dσ(y ) S(0,1) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 15 / 24 Số chiều chẵn Định lý Cho n số chẵn, n = 2k, u0 ∈ C k+2 (R2k ) u1 ∈ C k+1 (R2k ) Khi đó, nghiệm cổ điển tốn Cauchy cho phương trình truyền sóng cho công thức sau: u(x, t) = · · (2k − 1)ω2k+1 × ∂ ∂t ∂ t ∂t + (UED) k−1 u0 (x + t, y ) t 2k−1 B(0,1) ∂ t ∂t k−1 dy u1 (x + t, y ) t 2k−1 Phương trình truyền sóng − |y |2 B(0,1) − |y |2 dy 27 - 04 - 2019 16 / 24 Một số ví dụ minh họa 2D Ví dụ Xét dao động màng mỏng hình chữ nhật có cạnh ghim cố định có vị trí ban đầu vận tốc ban đầu mơ tả phương trình sau: utt = c ∆u, < x < a, < y < b, t > 0, u(x, y , 0) = f (x, y ), ≤ x ≤ a, ≤ y ≤ b, ut (x, y , 0) = g (x, y ), ≤ x ≤ a, ≤ y ≤ b, u(x, 0, t) = u(x, b, t) = 0, ≤ x ≤ a, t ≥ 0, u(0, y , t) = u(a, y , t) = 0, ≤ y ≤ b, t ≥ (UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 17 / 24 Công thức nghiệm ∞ u(x, y , t) = [Anm cos(λnm ct) + Bnm sin(λnm ct)] sin(µn x) sin(νm y ) n,m=1 số Anm Bnm chọn cho ∞ u(x, y , 0) = f (x, y ) = Anm sin(µn x) sin(νm y ) (6) λnm cBnm sin(µn x) sin(νm y ) (7) n,m=1 ∞ ut (x, y , 0) = g (x, y ) = n,m=1 Sử dụng công thức khai triển Fourier chiều ta tính Anm = Bnm = (UED) ab a b f (x, y ) sin(µn x) sin(νm y )dxdy , abcλnm a b g (x, y ) sin(µn x) sin(νm y )dxdy 0 Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 18 / 24 Ví dụ ∂ u(x, y , t) ∂ u(x, y , t) + ∂x ∂y = ∂ u(x, y , t) ∂t ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ ≤ t ≤ với u(0, y , t) = 0, u(2, y , t) = 0, u(x, 0, t) = 0, u(x, 2, t) = 0, u(x, y , t) (UED) t=0 = 0.1 sin(πx) sin(πy /2), ∂u (x, y , t) = ∂t Hình: Phương trình sóng Phương trình truyền sóng 2D 27 - 04 - 2019 19 / 24 Ví dụ Xét phương trình a2 ∂ u(r , t) ∂u(r , t) + ∂r r ∂r = ∂ u(r , t) ∂t với điều kiện biên điều kiện ban đầu u(c, t) = 0, ∀t ≥ 0, u(r , 0) = f (r ) ∂u(r , t) ∂t t=0 = g (r ), < r < c Sử dụng phương pháp tách biến, ta tìm nghiệm dạng u(r , t) = R(r )T (t) (UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 20 / 24 Công thức nghiệm ∞ u(r , t) = (An cos cα0n t + Bn sin cα0n t) J0 (α0n r ) (8) n=1 Ta sử dụng điều kiện ban đầu để tính hệ số An , Bn theo công thức khai triển Fourier-Bessel: An = Bn = (UED) 2 c J1 (α0n c) c rJ0 (α0n r )f (r )dr 2 aα0n c J12 (α0n c) c rJ0 (α0n r )g (r )dr Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 21 / 24 (a) t = 0.5 (b) t = (c) t = 1.5 Hình: Dao động màng trống thời điểm t = 0.5, 1, 1.5 (UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 22 / 24 Kết luận Khóa luận trình bày Tổng hợp kiến thức để giải phương trình truyền sóng Tính tốn chi tiết ví dụ Giải số phương trình truyền sóng phương pháp sai phân hữu hạn Hướng nghiên cứu tương lai Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn để giải phương trình truyền sóng Nghiên cứu khái niệm nghiệm yếu Tìm hiểu thêm phương pháp khác giải phương trình truyền sóng ví dụ phương pháp sử dụng biến đổi Laplace, Fourier (UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 23 / 24 Em xin chân thành cám ơn! (UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 24 / 24 ... giải phương trình truyền sóng Nghiên cứu khái niệm nghiệm yếu Tìm hiểu thêm phương pháp khác giải phương trình truyền sóng ví dụ phương pháp sử dụng biến đổi Laplace, Fourier (UED) Phương trình truyền. .. Cauchy R3 Phương pháp tách biến Phương trình truyền sóng nhiều chiều (UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 / 24 Mở đầu Sóng tượng phổ biến tự nhiên ví dụ sóng nước, sóng âm thanh, sóng siêu... 10 × 25 Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 12 / 24 (c) Nghiệm số với lưới chia 20 × 50 (UED) Phương trình truyền sóng (d) Nghiệm giải tích 27 - 04 - 2019 13 / 24 Phương trình truyền sóng nhiều