14 tích phân đáp án

TÀI LIỆU TỔNG ƠN TẬP TNTHPT 2020 TÍCH PHÂN Vấn đề 14   A ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN a) Định nghĩa:  b b  f  x  dx  F  x  a  F  b   F  a   với  F  x   là một nguyên hàm của  f  x   trên   a; b   a b) Tính chất: a b  f  x  dx    a  b a a  f  x  dx    f  x  dx   a b kf  x  dx  k  f  x  dx  (k là hằng số)   a c b c a a b b b a  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx b b  f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx    a a b b b a a a  f  x  dx   f  t  dt   f  u  du    Nếu  f  x   0, x   a; b  thì   f  x  dx    a   b b Nếu  f  x   g  x  , x   a; b  thì   f  x  dx   g  x  dx     b a a  Đặc biệt: a  Nếu hàm  y  f  x   là hàm số lẻ trên   a; a  thì   f  x  dx    a a a a  Nếu hàm  y  f  x   là hàm số chẵn trên   a; a  thì   f  x  dx   f  x  dx   Câu 3 Nếu   f  x  dx  2  và   f  x  dx   thì   f  x  dx  bằng A 3   B    C 1.  D   Lời giải  Chọn B 3 Ta có   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2   1   1 Câu Nếu   f  x  dx   thì   f  x  dx  bằng 0 A 16 B C Lời giải  D Chọn D 1 Ta có:   f  x  dx  2 f  x  dx  2.4  Câu 1 Cho   f  x  dx   và   g  x  dx   khi đó    f  x   g  x   dx  bằng  A 3   0 B 12   C 8   Lời giải  D   Chọn C 1 Ta có   g  x  dx   2 g  x  dx  10   g  x  dx  10   0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  1 Xét    f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx     10  8   0 Câu 2 Biết   f  x  dx   và   g  x  dx  , khi đó    f  x   g  x   dx 1 A B 8 D 4 C Lời giải  Chọn D 2 Ta có:    f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx    4 1 Câu 1 Biết tích phân   f  x  dx   và   g  x  dx  4  Khi đó    f  x   g  x  dx  bằng  0 B   A 7   C 1   Lời giải  D 1.  Chọn C 1 Ta có    f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx    4   1   0 1 0 Biết   f ( x)dx  và   g ( x)dx  4 , khi đó    f ( x)  g ( x)  dx  bằng  A   B 6   C    Lời giải  D   Chọn C 1 0   f ( x )  g ( x )  dx   f ( x)dx   g( x)dx   (4)  2   Câu Cho hàm số  f  x   có đạo hàm trên đoạn  1; 2 ,  f 1   và  f     Tính  I   f   x  dx   A I    B I  1   D I    C I    Lời giải Chọn A 2 Ta có  I   f   x  dx  f  x   f    f 1      Câu Cho   f  x  dx  2  Tích phân    f  x   3x  dx  bằng 0 A 133 B 120 C 130 Lời giải  D 140 Chọn A 5 5 2   f  x   3x  dx  4 f  x  dx  3 x dx   2    x   8  125  133 0 Câu Cho   f  x  dx  3, A 12   1  g  x  dx  2  Tính giá trị của biểu thức  I    f  x   3g  x   dx   0 B   C   Lời giải  D y  6   Chọn A Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  1 Ta có  I    f  x   g  x   dx   f  x  dx  3 g  x  dx  2.3   2   12   0 Câu Biết rằng   f  x dx  , tính  I    f  x   1dx   A I    B I    C I    D I    Lời giải  Chọn A 2 2 Ta có  I    f  x   1dx  2 f  x dx   1dx   x      0 Câu 10   Cho hàm số  f  x   liên tục trên    và   f  x   3x dx  10  Tính   f ( x)dx A 18 C 18 Lời giải  B 2 D Chọn D 2   Ta có:   f  x   3x dx  10   f  x  dx  10   3x dx  10  x 0 Câu 11  Cho   f  x dx   và   f  x dx  1  Tích phân   f  x dx  bằng A 3 C Lời giải  B D 1 Chọn C 4 Ta có   f  x dx   f  x dx   f  x dx    1  1 Câu 12 Cho  2 f ( x) dx   và   g ( x)dx  1 , khi đó    x  f ( x)  g ( x)  dx  bằng  1 A 1   1 B   17   Lời giải C D 11 2  Chọn A 2 2 Ta có    x  f ( x)  3g(x) dx   xdx   f ( x)dx   g ( x)dx  1 1 1 1 Câu 13 43   2 10 Cho  hàm số  f  x   liên  tục  trên     và  thỏa mãn   f  x  dx  7,  f  x  dx  3,  f  x  dx    Tính  3 10 giá trị của   f  x  dx   B 10 A C Lời giải  D   Chọn C Ta có   f  x  dx   f  x  dx  0  10 f  x  dx      10 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx      Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  e Câu 14 Cho hàm số f  x   cos  ln x   Tính tích phân  I   f   x  dx A I  2 C I  2 Lời giải B I  D I  2   Chọn A e e I   f   x  dx  f  x   f  e   f 1  cos  ln e   cos  ln1    cos   cos  2 Câu 15 7 Cho   h( x)dx  và   h( x)dx  10 , khi đó   h( x)dx  bằng    A   B   C   Lời giải Chọn C 7 7 D    h( x)dx   h( x)dx   h( x)dx  nên   h( x)dx   h( x)dx   h( x)dx  10     1 5 Câu 16 5 Cho hai tích phân   f  x  dx   và   g  x  dx  3  Tính  I  2 A I  13   2   f  x   g  x   1dx   2 C I  11   Lời giải  B I  27   D I    Chọn A Ta có:  I    f  x   g  x   1dx   2 2 5 f  x  dx   g  x  dx   dx    3   13   2 2 Câu 17 Cho  f  x    là  một  hàm  số  liên  tục  trên   2;5   và   f  x  dx  8,  f  x  dx  3   Tính  2 1  f  x  dx   f  x  dx P 2 A P    B P  11   C P  11   Lời giải  D P  5   Chọn C  2 f  x  dx   f  x  dx +   f  x  dx    f  x  dx    2  f  x  dx +   f  x  dx   2  2 f  x  dx   f  x  dx  11   Câu 18 Cho  hàm  số  f  x    liên  tục,  có  đạo  hàm  trên  đoạn   1;  ,  biết  tích  phân   f   x  dx  9   và  1 f  1   Tính  f     A f    1   B f      C f      D f    16   Lời giải  Chọn A Ta có:   f   x  dx  9  f  x  1  9  f    f  1  9  f    9  f  1  9   1   1 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  Vậy  f    1   Câu 19 4 Cho   f  x  dx  ,   f  t dt  4  Tính  I   f  y  dy   2 2 A I    B I    C I  3   Lời giải  D I  5   Chọn D 4 Do tích phân khơng phụ thuộc vào biến số nên   f  t dt  4 Ta có  I   f  y  dy   f  x  dx  2 Câu 20 2  f  x dx  4   2  f  x  dx   f  x  dx  4   5   2 2 2 Cho   f  x  dx   và   g  x  dx  1  Tính  I    x  f  x   g  x   dx   1 A I  1 11   1 B I  17   C I    D I    Lời giải Chọn B 2 x2 Ta có:  I    x  f  x   g  x   dx  1 Câu 21 f  x, g  x   Cho  là  1 1 hàm  1 số  liên  tục  17  2.2   1    2 A I    trên  1;3 và    3 mãn   f  x   3g  x   dx  10   f  x   g  x   dx   Tính  I    f  x   g  x   dx  bằng  các    f  x  dx   g  x  dx  thỏa  B I    C I  Lời giải D I    Chọn B 3 3 3 f x  g x d x  10 f x d x  g x d x  10              f  x  dx  1   1 1     13 Ta có:       f x  g x  dx  2 f x dx  g x dx   g x dx    1              1  1 3 Vậy  I    f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx      1 B TÍCH PHÂN CƠ BẢN(THƠNG QUA BẢNG CƠNG THỨC NGUN HÀM) Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C số tùy ý)   0dx  C    x n dx          k dx  kx  C   x n 1 C.  n 1     (ax  b)n dx  dx  ln x  C   x 1 dx    C   x x            sin x dx   cos x  C   (ax  b)n 1 C.  a n 1 1 dx  ln ax  b  C   ax  b a 1 dx    C.  a ax  b (ax  b)     sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C   a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489     cosx dx  sin x  C      dx   cot x  C   sin2 x     sin(ax  b)  C   a dx   cot(ax  b)  C   a sin (ax  b)    dx  tan x  C   cos2 x     dx  tan(ax  b)  C   cos (ax  b ) a     cos(ax  b)dx     e x dx  e x  C      a x dx      eax b dx  eax b  C   a a x  C       a x  dx   ln a ax C.  ln a ♦ Nhận xét Khi thay x (ax  b) lấy nguyên hàm nhân kết thêm   a Một số nguyên tắc tính PP  khai triễn   Tích đa thức lũy thừa  PP  khai triển theo cơng thức mũ   Tích hàm mũ   1 1   Bậc chẵn sin cosin  Hạ bậc: sin2 a   cos 2a, cos2 a   cos 2a 2 2 PP   Chứa tích thức x   chuyển lũy thừa.  MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu 22 dx  x   bằng  A ln   B ln 35   C ln   D ln   D   15 Lời giải  Ta có   dx 1  ln x    ln  ln   ln   2x  2 Câu 23 Tích phân   dx  bằng  x3 16 A   225 B log   C ln   Lời giải Chọn C dx 0 x   ln x   ln   Câu 24 dx   1 2x B I  ln   Tính tích phân  I   A I   ln   C I   ln   Lời giải  D I  ln   Chọn C 5 dx   ln  x    ln  ln1   ln   2  2x 1 Ta có  I   Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ƠN TẬP TNTHPT 2020  Câu 25 Tính tích phân  I   A I   ln x 1 d x   x B I    C I  ln   D I   ln   Lời giải  Chọn D + Ta có  I   x 1 1  d x      d x   x  ln x x x     ln    ln   Câu 26 Biết rằng tích phân    x  e x dx  a  b.e  với  a, b    Khi đó, tính  a  b  bằng B 1 A 15 C 20 Lời giải  D Chọn D 1 Ta có:    x  e x dx   x  e x    e   e  suy ra  a  0; b    0 Khi đó  a  b   Câu 27 Giá trị của tích phân  I   cos2 xdx  bằng A B Lời giải C D Chọn B    16 I   cos2 xdx   cos2 xd  x   sin x 06  20 Câu 28  1   Cho     dx  a ln  b ln  với  a, b  là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?  x1 x  0 A a  b  2   B a  2b    C a  b    D a  2b  Lời giải Chọn B 1  1  0  x   x   dx  ln x   ln x  0  ln  ln ; do đó  a  2; b  1    Câu 29  Cho   f  x  dx   Tính  I    f  x   2sin x  dx   A I    B I    C I    D I      Lời giải Chọn A Ta có    2  I    f  x   2sin x  dx=  f  x  dx +2 sinx dx   0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489    I   f  x  dx  2cosx     1    0 e Câu 30 x 1 dx  bằng:  A  e  e    B e  e   C e5  e2   D  e  e    Lời giải 2 1 Ta có:   e3 x 1dx  e3 x 1   e5  e    3 m Câu 31   Cho   x  x  dx   Giá trị của tham số  m  thuộc khoảng nào sau đây? A  1;  B   ;0  C  0;  D  3;1 Lời giải  Chọn C m    Ta có:   3x  x  dx  x  x  x  m  m3  m  m   m   3x  x  1 dx   m3  m2  m    m    0;    Vậy  m    0;  Câu 32 Giả sử   dx a  ln ,  với  a, b là các số tự nhiên có ước chung lớn nhất bằng 1. Khẳng định nào sau  x3 b đây đúng?  A a  b  B a  b  41 C a  2b  14 Lời giải D 3a  b  12   Chọn D a b 2 d  x  3 dx   ln  x  3  ln   x3 x3 Ta có:  ln   a   3a  b  15   11  12   b  Suy ra:   Câu 33 2 x a x  x Cho số thực  a  và hàm số  f  x    A a  B  x   2a  x  C  Tính   f  x  dx   1 a  D 2a    Lời giải  Chọn A Ta có   f  x  dx  1   1 1 f  x  dx   f  x  dx   x dx   a  x  x  dx  x 1 0 1  x x3   a     a 1 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  ln Câu 34  e Tính tích phân  I  4x  1 dx .  A I  15  ln B I   ln C I  17  ln D I  15  ln 2 Lời giải Chọn A ln I ln  e 4x  1 dx   ln e x dx   ln 1  15 ln 1 dx  e x  x   e 4ln  e0   ln   ln   4  4 MỨC ĐỘ VẬN DỤNG  Câu 35 Cho hàm số  f  x   Biết  f     và  f '  x   2sin x  1,  x   , khi đó   f  x  dx  bằng A   15 16 B   16  16 16 C   16  16 D 2 4 16 Lời giải Chọn C Ta có  f  x     sin x  1 dx     cos x   dx  x  sin x  C   Vì  f     C    Hay  f  x   x  sin x      4   Suy ra   f  x  dx    x  sin x   dx    0  2   16   x  cos x  x     16 16  Câu 36 Cho hàm số  f ( x) Biết  f (0)   và  f ( x)  2cos2 x  3, x  , khi đó   f ( x) dx  bằng?  A  2   B   8  8   C   8    D   6  8   Lời giải  Chọn C , Ta có  f ( x)   f ( x)dx   (2cos2 x  3)dx   (2  cos x  3)dx     (cos x  4) dx = sin x  x  C  do f (0)   C      Vậy  f ( x)  1 sin x  x   nên   f ( x) dx   ( sin x  x  4) dx   2 0    8     ( cos x  x  x)    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   Cho hàm số  f  x   Biết  f  0   và  f   x   2sin x  ,  x  R , khi đó   f  x  dx  bằng  Câu 37 A  2   B   8  8   C   8    D 3  2  Lời giải Chọn C x  3  dx   1  cos x  3  dx     cos x   dx  x  sin x  C   Ta có  f  0   nên  4.0  sin  C   C    Nên  f  x   x  sin x     f   x  dx   2sin   4   1   8      f  x  dx    x  sin x   dx   x  cos x  x       0 0  Câu 38 Cho hàm số  f  x   Biết  f    và  f   x   cos2 x  1, x  ,  khi đó   f  x dx  bằng  A  4 16   B   14 16   C   16  16   D   16  16 16   Lời giải Chọn C  Ta có  f  x    f   x  dx    cos x  1 dx     cos x  dx  sin x  x  C   Vì  f     C   f  x   sin x  x       1      16  Vậy   f  x dx    sin x  x  dx    cos2x  x  x     16   0 0 C TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỶ Công thức thường áp dụng 1 1 dx    C   dx  ln ax  b  C   a ax  b ax  b a (ax  b ) 4 a  ln a  ln b  ln(ab)  ln a  ln b  ln  b  ln a n  n ln a  ln  Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân hàm số hữu tỷ I   P(x ) dx Q(x ) PP  Nếu bậc tử số P(x )  bậc mẫu số Q(x )   Chia đa thức PP  phân tích mẫu Q(x ) thành tích số, sử dụng  Nếu bậc tử số P(x )  bậc mẫu số Q(x )  phương pháp che để đưa công thức nguyên hàm số 01 PP  Nếu mẫu khơng phân tích thành tích số   thêm bớt để đổi biến lượng giác hóa cách đặt X  a tan t, mẫu đưa dạng X  a Câu 39 Biết  I   dx  a ln  b ln  c ln 5,  với  a , b, c  là các số nguyên. Tính  S  a  b  c   x x Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  A I  10   B I  10   C I    Lời giải  D I  6 .  Chọn D Do  f ( x )  là hàm lẻ nên  f ( x )   f ( x )  với  x   4; 4    x  2  t   Xét  A=  f ( x) dx  Đặt  t   x  dt  dx  Đổi cận:      x   t  2 2 Khi đó  A   f t  dt   f t  dt   f  x dx   2  Xét  B   f 2 x dx   f 2 x dx  Đặt  u  x  du  2dx   1  x   u  Đổi cận:      x   u  4 Khi đó  B   4 1 f u  du    f  x dx   f  x dx  2B  2.4  8    2 2 4 Vậy  I   f  x dx   f  x dx   f  x dx    6   0 Câu 94 Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     thảo  mãn  xf  x   f 1  x    x10  x  x, x     Khi  đó   f  x dx ?  1 A 17   20 B 13   17   Lời giải  C D 1   Chọn B Ta có  xf  x   f 1  x    x10  x  x  x f  x3   xf 1  x    x11  x  x   Lấy tích phân hai vế cận từ   đến  1 ta được:  1 11  x f  x  dx   x f 1  x  dx     x  x  x dx 0 1  1 f  x3  d  x    f 1  x  d 1  x     30 20  1 f  t  dt   f  t  dt    30 21 1   1   f  t  dt   f  t  dt   30 20 5   f  t  dt   60   f  t  dt   Suy ra   f  x  dx     Lấy tích phân hai vế cận từ  1  đến   ta được:  Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  0  x f  x  dx   x f 1  x  dx  1 1  x 11  x  x  dx 1  1 17 f  x  d  x3    f 1  x  d 1  x     1 1 24  1 17 f  t  dt   f  t  dt    1 20 24  1 17 f  t  dt   f  t  dt    1 20 24  17 f  t  dt     f  t  dt  1 24  17 17 13 f  x  dx    f  x  dx     1 24 24 12   1   13   f  x  dx  1 Cho hàm số y  f ( x)  liên tục trên đoạn e ; e    Câu 95 e2 Biết  x f ( x )  ln x  xf ( x )  ln x  0, x   e; e   và  f (e)   Tính tích phân  I   f ( x)dx   e e A I    B I    C I    D I  ln   2  2 Lời giải  Chọn B Ta có:  x f  ( x )  ln x  xf ( x )  ln x  0, x   e; e    f  ( x)  ln x  f ( x) 1  f ( x )  x          2 ln x x x  ln x  f ( x)   C  theo đề bài ta có  f (e)   C    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:  e ln x x e2 e2 ln x ln x suy ra  f ( x )   I   f ( x )dx  I   dx    x x e e Câu 96 Cho hàm số  f  x   có đạo hàm trên   4; 2 , thỏa mãn   xf '  x   dx   và  f      Tính  I   f  x  dx 2 A I  10 B I  5 C I  Lời giải D I  10   Chọn A du  dx u  x   Đặt     dv  f '  x   dx v  f  x    Suy ra:  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  3 3 1   xf '  x   dx  xf  x     f  x   dx  f     f  x   dx 20 20 0     f  x   dx  10 Đặt  2t  x   dt  dx   Đổi cận:  x   t  2 ,  x   t    Suy ra:  10   f  x   dx   f  2t  dt  2  f  x  dx   2 Câu 97 Cho hàm số  f ( x)  liên tục trên    và có   f ( x)dx   và   f ( x)dx   Tính   f ( x  1)dx A B 11 C 1 D Lời giải Chọn C Ta có:   f ( x  1)dx  1  1 f (4 x  1)dx   f (4 x  1)dx   4 Tính:  A   f (4 x  1)dx  Đặt  t  4 x    dt  dx   1 1  A    f (t )dt   f (t )dt    45 40 Tính:  B   f (4 x  1)dx  Đặt  t  x   dt  dx   B f (t )dt    0 Vậy   f ( x  1)dx  A  B    1 Câu 98 Cho hàm số  f  x   liên tục trên   1;1  và  f   x   2019 f  x   e x ,  x   1;1  Tính   f  x  dx 1 A e 1 e B e 1 2020e C D e 1 2019e Lời giải  Chọn B Cách 1: Tìm hàm  f  x    Theo giả thiết:  f   x   2019 f  x   e x   1   Đặt  x  t  thì  1  trở thành:  f  t   2019 f  t   et  hay  f  x   2019 f   x   e x    2    f   x   2019 f  x   e x Từ  1  và   2  ta được hệ phương trình:     x 2019 f   x   f  x   e 2019e x  e  x Giải hệ, ta được:  f  x     20192  Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  1  2019e x  e  x  2019e x  e x   f  x  dx   d x      20192   2019   1 1 1  1 2018  e   1 1 2019e  e  2019e  e      e   e     20192  2018.2020 2020e e 1 Vậy   f  x  dx    2020e 1 Cách 2: Tính tích phân trực tiếp   f  x  dx   Đặt  I  1 Theo giả thiết:  f   x   2019 f  x   e x  Lấy tích phân hai vế từ  1  đến  1, ta được:   1 f   x  dx  2019  f  x  dx   e x dx   *   1 1 1 1 Ta có:   f   x  dx    f   x  d   x   1 1  1 f  x  dx  I ,   e x dx   e x  1  e    1 e 1 e2  e2  I Thay vào phương trình  * , ta được:  I  2019 I  e   2020 I    e e 2020e e2  Vậy   f  x  dx    2020e 1   Câu 99 Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên   0;1   thỏa  mãn  f 1  x   x f x3  bằng  A   B 1.  C     Khi  đó  3x  1  f  x  dx   D   Lời giải Chọn A   Ta có  f 1  x   x f x3  1 6    f 1  x   x f  x3      3x  3x  1   f 1  x  dx   x f  x  dx    0 dx   *   3x  1 u 1 x Ta có   f 1  x  dx    f 1  x  d 1  x     f  u  du   f  x  dx   0 1 u  x3 1 Và   x f  x3  dx  2 f  x3  d  x   2 f  u  du  2 f  x  dx   0 1 Ta có  *   f  x  dx   f  x  dx    0 1 1 dx   f  x  dx   dx    3x  3x  0 Vậy   f  x  dx    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Câu 100 Cho  hàm  số  f  x    xác  định  và  liên  tục  trên   \ 0 thỏa  mãn  x f  x    x  1 f  x   xf '  x   ,  với mọi  x   \ 0 đồng thời thỏa  f 1  2  Tính   f  x dx   ln    A  B  ln    C  ln    Lời giải D  ln    2 Chọn D ' Ta có  x f  x   xf  x    xf '  x   f  x    xf  x   1   xf  x   1    xf  x   1 Do đó   xf  x   1 '  xf  x   1 1   xf  x   1 ' dx   1dx   1    x  c    xf  x     xc xf  x   1 1  c   xf  x      f  x       1 c x x x 2 1 1     Vậy   f  x dx      dx    ln x   |12   ln    x x x    1 Mặt khác  f 1  2  nên  2    Câu 101 Cho  hàm  số  y  f  x    có  đạo  hàm  trên   0; 4   và  thỏa  đẳng  thức  sau  đây  2019 f  x   2020 f   x   6059  A Chọn B x  Tính tích phân   f   x  dx   B C D Ta có   f   x  dx  f  x   f    f     0 2019 f    2020 f    6059  f    Với  x   và  x   ta có hệ phương trình      2020 f    2019 f    6058  f    Do đó   f   x  dx  f    f        Câu 102 Cho  hàm  số  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên   ,  f    0, f       và  thỏa  mãn  hệ  thức f  x  f   x   18 x   x  x  f   x    x  1 f  x  , x     Biết   x  1 e f  x  dx  a.e  b , với  a ; b    Giá trị của  a  b  bằng A B C D   Lời giải Chọn A Ta có  f  x  f   x   18 x   x  x  f   x    x  1 f  x       f  x  f   x   18 x dx    3x  x  f   x    x  1 f  x  dx   1      f  x   x  dx    x  x  f  x   dx   2   f  x   x3   3x  x  f  x   C , với  C  là hằng số.  Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  Mặt khác: theo giả thiết  f     nên  C    Khi đó  1  f  x   x   3x  x  f  x 1 , x      f  x  2x   f  x   12 x   x  x  f  x    f  x   x   f  x   x      f  x   x Trường hợp 1: Với  f  x   x , x   , ta có  f      (loại).  Trường hợp 2: Với  f  x   x, x   , ta có :  1 2x   x  1 e2 x  e dx    x  1 e dx      dx  e    2 4 0     x  1 e f  x 2x   a    a  b    b    Câu 103 Cho  hàm  f  x   số  liên  tục    trên  thỏa  mãn  3 1 f  x    x  1 f  x3  x    x5  x3  x2  x  6, x    Tích phân   f  x  dx  bằng  2 4 1 19 A .  B .  C   D    3 2 Mặt khác :  (*)   f  x  dx   2 f  x  dx  1   f  x  dx  1   2 1  Lời giải 3 1 x  f  x3  x   dx   x5  x3  x  x  6  dx   2 4    3 1 3 1 f  x3  x   d  x  x      2 4 2 4 1 f  x  dx    f  x  dx    Câu 104 Cho  hàm  số  f  x    xác  định  và  có  đạo  hàm  f   x    liên  tục  trên  đoạn  1;3 ,  f  x     với  mọi  2 x  1;3 , đồng thời  f   x  1  f  x     f  x    x  1   và  f 1  1     Biết rằng   f  x  dx  a ln  b , a, b , tính tổng  S  a  b A S  B S  1 C S  D S    Lời giải Chọn B  Ta có:  f   x  1  f  x   2   f  x    x  1     f   x  1  f  x   f  x 2   x  1   Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   f   x  1  f  x   f  x 1  f  x   f  x  f   x  dx  2 dx    x  1 dx   f  x   x  1 dx     x  1 1    2  C   d  f  x     f  x f  x f  x     f  x  f  x  1 f  x  f  x f  x Mà  f 1  1  nên   Suy ra:    x  1  C   f  x   x  1 1   C  C    3 3 f x f  x  x  1  3 1 f  x  f  x  x  1       3 f  x 3   1    x  1  1   1  x   f  x        f x x    Vậy:   f  x  d x    dx   ln x x 1 Câu 105 Cho  hàm  số  3  f   x C  1 f  x  f  x 1  f  x    3   ln  Suy ra  a  1; b   hay  a  b  1.  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên  đoạn  0;1   thỏa  mãn  f 1  1  và    x  1 f  x   40 x  44 x  32 x  4, x   0;1  Tích phân   f  x dx  bằng? 23 A 15 13 B 15 17 C  15 Lời giải D  15 Chọn B  f   x   x  1 f  x   40 x6  44 x  32 x           f   x   dx   x  f  x  dx   40 x  44 x  32 x  dx.   1   0 1 Xét  I    x  1 f  x  dx    24 x   f  x  dx   0 u  f  x   du  f   x  dx Đặt        dv   24 x   dx v  x  x 1  I   x  x  f  x     x3  x  f   x  dx  = 4    x  x  f   x  dx   0 Do đó:  1    f   x   1  dx    x  x  f   x  dx    x  x  dx    56 x  60 x  36 x   dx    0    f   x   x  x  dx   f   x   x  x  f  x   x  x  c   Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  Mà  f 1   c  1     f  x   x  x    1 Do đó   f  x  dx    x  x  1 dx  0 13   15 f ( x)   có  đạo  hàm  liên  tục  trên     và  thỏa  mãn  Câu 106 Cho  hàm  số  f (0)  và  f ( x)  f (2  x)  x  x  2, x    Tích phân   xf ( x )dx  bằng 4 A B Lời giải C  10   D Chọn D Cách 2 Áp dụng cơng thức tích phân từng phần, ta có:   xf ( x)dx  xf ( x )   f ( x )dx 0 Từ  f ( x)  f (2  x)  x  x  2, x   1     Thay  x   vào  1  ta được  f (0)  f (2)   f (2)   f (0)    1.  Xét  I   f ( x)dx   x   t  Đặt  x   t  dx  dt , đổi cận:     x   t  0 2 Khi đó  I    f (2  t )dt   f (2  t )dt  I   f (2  x )dx   2 0 2 Do đó ta có    f ( x)  f (2  x )  dx    x  x   dx  2 f ( x)dx  0 2 Vậy   xf ( x)dx  xf ( x)   f ( x )dx  2.(1)  0 10  3   f ( x)dx    3   Cách  f ( x)  f (2  x)  x  x  1 Từ     f (0)   Thay  x  0; x   vào  1  ta được  f (2)  1; f (1)     c3  c3   1   Xét hàm số  f ( x)  ax  bx  c  từ giả thiết trên ta có   a  b  c    a    2   4a  2b  c  1 b  3 2 10   Vậy  f ( x)  x  3x   f ( x)  x   suy ra   xf ( x )dx   x  x  3 dx     0 Câu 107 Cho  hàm  số  y  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên  x f  x    f   x    x3 , x   2; 4 , f    A 40  B 20   2;4   và  f   x   0, x   2; 4   Biết   Giá trị của  f    bằng 20  40  C D .  Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Chọn D  Ta  có:  f   x   0, x   2; 4   nên  hàm  số  y  f  x    đồng  biến  trên   2;4    f  x   f     mà   Do đó:  f  x   0, x   2; 4   f  2  3 Từ giả thiết ta có:  x3 f  x    f   x    x3  x3  f  x   1   f   x      x f  x    f   x   Suy ra:   f  2  f  x f  x 1 f  x f  x 1 dx   xdx   x   33 x2 d  f  x   1 x   f x     C     C     f  x 1     C  C     2 4    x  1   40     f  4    4 Vậy:  f  x   Câu 108 Cho  hàm   f  x f  x   số  có  đạo  hàm  liên  tục  trên  0; 2   và  f 1  ,  thỏa   f  x   x  32 x  28  với mọi  x  thuộc   0; 2  Giá trị của   f  x  dx  bằng  A    B   C    D  14   Lời giải Chọn B Đặt  I   f  x  dx   u  f  x  du  f   x  dx Dùng tích phân từng phần, ta có:      dv  2dx v  x  I   2x  4 f  x  2    x   f   x  dx    x   f   x  dx   1 2 2   Ta có   f   x    f  x   x  32 x  28    f   x   dx  2 f  x  dx   x  32 x  28 dx   2 2 2 2    f   x   dx  2  x   f   x  dx    x   dx    x  32 x  28  dx    x   dx 1 1    f   x    x    dx   f   x   x   f  x   x  x  C ,  C     1   Mà  f 1   C   f  x   x  x    f  x  dx   x  x  dx  0   x2  x  ,  x   0;1  Tính   f  x  dx x 1 3 C  ln D  ln   Lời giải Câu 109 Cho hàm số  f  x   liên tục trên   0;1  và  f  x   f 1  x   A  ln B  ln Chọn C  Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  x2  x  Theo  giả  thiết,  ta  có:  f  x   f 1  x   ,  x   0;1   và  f  x    liên  tục  trên   0;1   nên  x 1 1  x  1  x2  2x   f x d x  f  x d x   f x  f  x  d x  d x          0 0 0 x  dx  (1)  0  0 x  Đặt   x  t  thì  dx  dt , với  x   t  , với  x   t    1 1 1 1 Do đó:  f 1  x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx   f  x  dx   f 1  x  dx   f  x  dx  (2).  1 Lại có    x  1 0 0 2  x2    dx    x   d x    x  ln x     ln  (3)   x 1 x 1  0 0 1 Từ (1), (2) và (3) suy ra  2 f  x  dx  3  ln   f  x  dx   ln   Câu 110 Cho  hàm  số  y  f ( x )   liên  tục  trên    thỏa  mãn  f  x   f   x    x  1 e x  x 1    Tính  tích  phân  I   f  x  dx  ta được kết quả: A I  e  C I  Lời giải B I  D I  e    Chọn C 2 Theo giả thuyết ta có   3 f  x   f   x   dx     x  1 e x  2  x 1   dx *    Ta tính   f   x  dx    f   x  d   x    f  x  dx   0 Vì vậy   3 f  x   f   x   dx   f  x  dx   0 2 Hơn nữa    x  1 e x  x 1 dx   e x  x 1 d  x  x  1  e x2  x 1 2   và   4dx    Suy ra  4 f  x  dx    f  x  dx    0 Câu 111 Cho  hàm  số f ( x ) có  đạo  hàm  liên  tục  trên   0;2 và  thỏa  mãn:   ( x  4)  xf ( x )   f ( x ) 2 và  f (0)  A  Khi đó  f ( x)dx bằng  20 203   30 B 163   30 C 11   30 D 157   30 Lời giải Chọn A Từ giả thiết   ( x  4)  xf ( x )   f ( x )    Ta có:  2 3   ( x  4)  xf ( x ) d x  0  0  f ( x) dx     262   f ( x )d(x  4)    f ( x )  dx  (1)  15 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Đặt  I   f ( x )d(x  4)    du  f ( x )dx     dv  d(x  4) v  x  u  f ( x ) Đặt   Khi đó  2 0 I   x2  4 f ( x)    x2  4 f ( x)dx       x   f ( x )dx  (2)  Thay (2) vào (1) có:  1   262      x   f ( x )d x   15 5     f ( x )  d x   2 2   f ( x) dx    x   f ( x)dx    x    2 2 2   f ( x)  dx    x   f ( x)dx    x   0 dx   2 262     x   dx   15 2 2 dx     f ( x )  x   dx    2 Do   f ( x)  x       f ( x)  x   dx   mà    f ( x )  x   dx   nên  0  f ( x )  x     f  ( x )   x  Vì  f (0)  x  4x  C   1 x3  C   f ( x)   4x    20 20 20 Vậy   f ( x )dx   f ( x)  203   30     Câu 112 Cho  hàm số  f  x    liên  tục  trên     thỏa  mãn  xf x5  f  x  x11  x8  x6  3x  x  3, x    Khi đó   f  x  dx  bằng  1 35 A .  B  15     24 Lời giải C  D   Chọn D     Với  x    ta có : xf x5  f  x  x11  x8  x6  3x  x       x f  x   x f 1  x   x14  x11  x  x  x  x     (*)   1   x f  x5  dx   x3 f 1  x  dx    x14  x11  x9  3x  x  3x3  dx   0  1 33 f  x5  d  x5    f 1  x  d 1  x      50 40 40 1 1 33 11   f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx    50 40 40 0     Mặt khác :  (*)   x f x5 dx   x3 f  x dx  1 1  x 14  x11  x9  3x7  x  3x3  dx   1 Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  0 1 (*)   f  x5  d  x5    f 1  x  d 1  x      1 1 24 1  11    f  x  dx   f  x  dx     f  x  dx         1 40 24 1  24   2   2 2  Câu 113 Cho  hàm  số  f  x  liên  tục  trên   ;1 và  thỏa  mãn  f  x   f    3x ,  x  ;1   Khi  đó    x      I ln x f '  x dx  bằng:  15   ln  5 35 A B   ln  35 Chọn B Cách 1: Tự Luận   2   3x ,   x   2  f   x  f  x    3,  x x x  2  1 f   x  f  x 2 dx  5 dx x x 2  2  ;1   Ta có:  f  x  f  x  2   ;1      5 Xét  I1  5   x   Đổi cận:    u    5 I1 f u du u Từ (2) suy ra,     f  x x Tính  I   dx  f  x x du   dx 5x2  du u2 dx    x  1 u   ln  5 35 (2)   3dx  2   x  dx  đặt  u   x 5x D  (1)   f  1   ln  35 Lời giải C    5 f u du u dx   5  f  x x 5 dx f  x x dx       35 ln x f '  x dx   15 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   Đặt  t  x dt 2  t 15   x   t  x   3 dx  dt dx  Đổi cận:      1 ln t f ' t dt   3  I   du  dt  u  ln t    Đặt:   t    dv  f '(t )    v  f (t ) 1 f (t ) 2 (ln t f (t ))   dt  ln f ( ) 3 t 5 I   35  2   2  3x ,  x  ;1    x    Tính  f  x   f   vào (1) ta có hệ phương trình sau:   2   f (1)   f 1  f     5      2  3     2  f      f    f 1   5  5   3 Suy ra,  I   ln     ln  5 35 35 Cho  x  1; x Câu 114 Cho hàm số  f  x   liên tục trên   và thỏa mãn  f  x   xf  x   x  x  x   với  x    Tính  tích phân   xf   x dx   A .  B     Lời giải D    C Chọn B 1  Áp dụng cơng thức tích phân từng phần, ta có:   xf  x dx  xf  x    f  x dx * 0 Từ  f  x   xf  x   2x  x  x  1   Thay  x   vào  1  ta được  f 1  f 1   f 1      1     Mặt khác từ  1 ta có   f  x  dx   xf x dx   x  3x3  x  dx   1 1 1   f  x  dx   f  x  d  x      f  x  d x     f  x  d x       2 0 0 Thay    ,  3  vào  *  ta được   xf   x dx      4 Câu 115 Cho hàm số  f  x   liên tục trên   thỏa mãn    Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/   TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020   2x    x  x  4x  x f 1  x   f  , x  0, x   Khi đó   f  x  dx có giá trị là   x  x  1   A B C D .  2 Lời giải Chọn A  x    x  x3  x  f  x  Từ giả thiết suy ra    f  x  x  x3   2  x  x3  x   2x   dx Ta có:   f 1  x  dx   f   dx   x3  x  x 1   2 4  2x    2x       f 1  x  d 1  x    f  d      x     dx x x   x   x  1 1   1 2  x     f  t  dt   f  t  dt     x    x x 1  0    1 f  t  dt   f  t  dt    1  f t  dt  1   Vậy   f  x  dx    1 Cách trắc nghiệm   2x    x  x  4x   , x  0, x    Ta có:  x f 1  x   f   x  x  4x   2x   x  x  x f 1  x   f    , x  0, x     x x x    2x    2x    x f 1  x   f    x 1  x     , x  0, x     x   x  1 1 1 Chọn  f  x   x   f  x .dx   x.dx    Câu 116 Xét hàm số  f  x  liên tục trên đoạn   0;1  và thỏa mãn điều kiện  f  x   f 1  x   x  x  Tính  tích phân  I   f  x  dx A 15 B  15 Lời giải C  D Chọn B 1 Do  f  x   f 1  x   x  x   f  x  dx   f 1  x  dx   x  xdx 0     I1 1 I2 + Xét  I1  3 f 1  x  dx : Đặt  t   x  dx  dt  Khi  x   t  1; x   t  Khi đó  I1  3 f  t  dt  3I Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  + Xét  I   x  xdx  Đặt  t   x  x   t  dx  2tdt Với  x   t  1; x   t  0  2t 2t   Khi đó  I   1  t  t  2t  dt      15  4 Thay vào  1 : I  3I   I   15 15 Câu 117 Cho  hàm  f  x   số  liên  tục  trên    thỏa  mãn  3 1 f  x    x  1 f  x3  x    x5  x3  x2  x  6, x    Tích phân   f  x  dx  bằng  2 4 1 19 A .  B .  C   D    3 Lời giải Chọn C 3 1 Với  x    ta có : f  x   x  f  x3  x    x5  x3  5x  x  6  (*)   2 4   1 1 1 3 1   f  x  dx    x  1 f  x  x   dx    x  x  x  x  6   dx   2 4 2 2 2  1   2 1   2  1 3 1 3 35 1 f  x3  x   d  x3  x        2  4 2 4 2 1 1 35 f  x  dx   f  x  dx     f  x  dx  5   2 2 f  x  dx  2 3 1 Mặt khác :  (*)   f  x  dx    x  1 f  x3  x   dx    x  x3  x  x  6   dx   2 4 1 2 3 1 3 3 1 3   f  x  dx   f  x  x   d  x  x      4 2 4 2 2 1 1 f  x  dx    f  x  dx    5      3 3 2 Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/  ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!   f  x  dx  Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân hàm số hữu tỷ I   P(x ) dx Q(x ) PP  Nếu bậc tử số P(x )  bậc mẫu số Q(x )   Chia đa thức PP  phân tích mẫu Q(x ) thành tích số, sử dụng  Nếu bậc... 0946798489  b  Lưu ý: Tùy vào toán mà ta cần chọn u dv cho  v du đơn giản Cần nhớ bậc a đa thức bậc lnx tương ứng với số phần lấy tích phân phần Tính chất nguyên hàm tích phân  Nếu F (x ) nguyên hàm...  ln   ln   2x  2 Câu 23 Tích? ?phân? ?  dx  bằng  x3 16 A   225 B log   C ln   Lời giải Chọn C dx 0 x   ln x   ln   Câu 24 dx   1 2x B I  ln   Tính? ?tích? ?phân? ? I   A I   ln   C I