NBV TỔNG ôn tập TÍCH PHÂN (vấn đề 14)

TÀI LIỆU TỔNG ƠN TẬP TNTHPT 2020 TÍCH PHÂN Vấn đề 14 A ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN b b với F  x  nguyên hàm f  x   a; b  f  x  dx  F  x  a  F  b   F  a  a) Định nghĩa: a b) Tính chất: a b  f  x  dx   b a a  f  x  dx    f  x  dx a a b kf  x  dx  k  f  x  dx (k số)  a c b c a a b b a  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx Nếu f  x   0, x   a; b b b b  f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx a a b b b a a a  f  x  dx   f  t  dt   f  u  du b  f  x  dx  a Nếu f  x   g  x  , x  a; b b b a a  f  x  dx   g  x  dx  Đặc biệt: Nếu hàm y  f  x  hàm số lẻ  a; a  a a Nếu hàm y  f  x  hàm số chẵn  a; a Câu Nếu Nếu  f  x  dx   f  x  dx Cho B  f  x  dx  D C D 0 B 12   g  x  dx    f  x   g  x  dx A 3 Biết C 1 f  x  dx  A Biết tích phân  g  x  dx  ,   f  x   g  x  dx 1 B 8  f  x  dx  A 7 D C 8 Câu a f  x  dx   f  x  dx B  Câu a a A 16 Câu   f  x  dx  2  f  x  dx   f  x  dx A 3 Câu f  x  dx  D 4 C 1  g  x  dx  4 Khi   f  x   g  x  dx B C 1 D Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm đoạn 1; 2 , f 1  f    Tính I   f   x  dx A I  B I  1 C I  D I  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu Cho f  x  dx  2 Tích phân   f  x   3x  dx  0 A 133 B 120 Câu Cho 0 B A 12 Biết  C D y  6 f  x dx  , tính I    f  x   1dx A I  Câu 10 D 140  f  x  dx  3,  g  x  dx  2 Tính giá trị biểu thức I    f  x   3g  x  dx Câu C 130 B I  D I  C I  Cho hàm số f  x  liên tục  2   f  x   3x  dx  10 Tính  f ( x)dx A 18 Câu 11 Cho f  x dx   A 3 Câu 12 Cho  f  x dx C B D f  x dx  1 Tích phân  D 1  f ( x)dx   g ( x)dx  1 ,   x  f ( x)  3g ( x) dx 1 1 A 1 B C 17 D Câu 13 C 18 B 2 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn  11 10 f  x  dx  7,  f  x  dx  3,  f  x  dx  10 Tính giá trị  f  x  dx B 10 A C D e Câu 14 Cho hàm số f  x   cos  ln x  Tính tích phân I   f   x  dx A I  2 Câu 15 D I  2 Cho  h( x)dx   h( x)dx  10 ,  h( x)dx A C B Câu 16 C I  2 B I  Cho hai tích phân  f  x  dx  2 A I  13 D  g  x  dx  3 Tính I    f  x   g  x   1dx 2 2 B I  27 C I  11 D I  Câu 17 Cho f  x  hàm số liên tục  2;5  2 P f  x  dx  8,  f  x  dx  3 Tính  f  x  dx   f  x  dx 2 A P  B P  11 C P  11 D P  5 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Cho hàm số f  x  liên tục, có đạo hàm đoạn  1;  , biết tích phân Câu 18  f   x  dx  9 1 f  1  Tính f   A f    1 B f    Cho Câu 19  f  x  dx  , 2  2 B I  C I  3 D I  5  f  x  dx   g  x  dx  1 Tính I    x  f  x   g  x  dx Cho 1 A I  1 11 1 B I  f  x, g  x Cho Câu 21 D f    16 f  t dt  4 Tính I   f  y  dy A I  Câu 20 C f    17 liên C I  hàm số tục mãn   f  x   3g  x   dx  10 1;3   D I  thỏa  2 f  x   g  x  dx  Tính I    f  x   g  x  dx 1 A I  B I  C I  D I  B TÍCH PHÂN CƠ BẢN(THÔNG QUA BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM) Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C số tùy ý)   0dx  C   k dx  kx  C     x dx  ln x  C  x  x n 1 C n 1 (ax  b)n 1 C a n 1     ax  b dx  a ln ax  b  C   (ax  b)  sin x dx   cos x  C   sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C   cosx dx  sin x  C   cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C   sin       cos (ax  b)  a tan(ax  b)  C   e dx  e  x  a dx  x n dx  1 dx   x C x dx   cot x  C dx  tan x  C cos2 x x x C ax C ln a (ax  b)n dx  1 1 dx    C a ax  b 1 dx   cot(ax  b)  C a sin (ax  b) dx dx  eax b  C a a x  C   a x  dx   ln a  e ax b ♦ Nhận xét Khi thay x (ax  b) lấy nguyên hàm nhân kết thêm  a Một số nguyên tắc tính PP  khai triễn  Tích đa thức lũy thừa  PP   khai triển theo công thức mũ  Tích hàm mũ  1 1  Bậc chẵn sin cosin  Hạ bậc: sin2 a   cos 2a, cos2 a   cos 2a 2 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 PP  Chứa tích thức x   chuyển lũy thừa MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu 22 dx  2x  A ln B Câu 23 Tích phân dx ln 35 C ln D ln D 15  x3 A 16 225 B log C ln 5 Câu 24 dx 1 2x B I  ln Tính tích phân I   A I   ln Câu 25 Tính tích phân I   A I   ln C I   ln D I  ln C I  ln D I   ln x 1 dx x B I  Câu 26 Biết tích phân   x  e dx  a  b.e với a, b   Khi đó, tính a  b x B 1 A 15 C 20 D  Câu 27 Giá trị tích phân I   cos2 xdx A B C D Câu 28  1   Cho    dx  a ln  b ln với a , b số nguyên Mệnh đề đúng? x  x    A a  b  2 B a  2b  C a  b  D a  2b   Câu 29 Cho   f  x  dx  Tính I    f  x   2sin x  dx 0 B I   A I   C I  D I    C e5  e2 D Câu 30 e x 1 dx bằng: A e  e  B e e e  e  m Câu 31 Cho   3x  x  1 dx  Giá trị tham số m thuộc khoảng sau đây? A  1;  Câu 32 Giả sử B   ;0  dx a  x   ln b , C  0;  D  3;1 với a, b số tự nhiên có ước chung lớn Khẳng định sau đúng? Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 B a  b  41 A a  b  Câu 33 C a  2b  14 2 x a x  x Cho số thực a hàm số f  x    A a  B  2a  D 3a  b  12 x   x  C  f  x  dx Tính 1 a  D 2a  ln Câu 34 Tính tích phân I   e 4x  1 dx A I  15  ln 17  ln MỨC ĐỘ VẬN DỤNG B I   ln C I  D I  15  ln 2  Câu 35 Cho hàm số f  x  Biết f    f '  x   2sin x  1, x   ,  f  x  dx A   15 16 B   16  16 16 C   16  16 D 2 4 16  Câu 36 Cho hàm số f ( x) Biết f (0)  f ( x)  2cos2 x  3, x  ,  f ( x)dx bằng? A  2 B   8  8 C   8  D   6  8  Câu 37 Cho hàm số f  x  Biết f  0  f   x   2sin x  , x  R ,  f  x  dx A  2 B   8  8 C   8  3  2  D  Câu 38 Cho hàm số f  x  Biết f    f   x   cos2 x  1, x  ,  f  x dx A  4 16 B Công thức thường áp dụng 1   dx  ln ax  b  C  ax  b a   14 C   16  16 16 C TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỶ  (ax  b) D   16  16 16 1 dx    C a ax  b a  ln a  ln b  ln(ab)  ln a  ln b  ln  b n  ln a  n ln a  ln1  Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân hàm số hữu tỷ I   P(x ) dx Q(x ) PP  Chia đa thức  Nếu bậc tử số P(x )  bậc mẫu số Q(x )  PP  Nếu bậc tử số P(x )  bậc mẫu số Q(x )   phân tích mẫu Q(x ) thành tích số, sử dụng phương pháp che để đưa công thức nguyên hàm số 01 PP  Nếu mẫu khơng phân tích thành tích số   thêm bớt để đổi biến lượng giác hóa cách đặt X  a tan t, mẫu đưa dạng X  a Câu 39 Biết I   dx  a ln  b ln  c ln 5, với a , b, c số nguyên Tính S  a  b  c x x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 40 A S  B S  C S  2 D S  xdx  a  b ln  c ln với a , b , c số hữu tỷ Giá trị 3a  b  c Cho   x  2 A 2 B 1 C D x  x  7x  a a Biết  dx   c ln với a, b, c số nguyên dương phân số tối x  x3 b b Câu 41 Câu 42 Câu 43 Câu 44 Câu 45 Câu 46 Câu 47 giản Tính giá trị P  a  b  c A 5 B 3 C D 4 dx  a ln  b ln , với a, b số hữu tỉ Tính a  4b Cho  x  2x A a  4b  B a  4b  1 C a  4b  D a  4b  3 2 x  2x Biết I   dx   lnb  lnc  a,b,c    Tính giá trị biểu thức S  a  b  c x 1 a A S  B S  C S  3 D S  x3 Cho  dx  a ln  b ln  c ln với a, b, c số nguyên Giá trị a + b + c x  3x  A B C D   16  f  x   dx Cho  f  x  dx  Tính I        x  1 A I  12 B I  C I  20 D I  dx Cho   a ln  b ln  c ln với a , b , c số hữu tỉ Giá trị a  b  c x  x     A B C D 2 x  5x  dx  a  b ln  c ln ,  a, b, c    Giá trị abc Biết  x  4x  A 8 B 10 C 12 D 16 D PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Đổi biến số với số hàm thường gặp   b  PP f (ax  b)n x dx   t  ax  b  PP f (x )f (x )dx   t  n f (x ) n a b  b  t  ln x  f (ln x ) x dx   PP a   f (e b  t  sin x  f (sin x )cos x dx  PP  a  a  t  cos x  f (cos x )sin x dx   PP a b  PP )e x dx   t  ex a b  x f (tan x ) b PP dx   t  tan x  cos x  f(sinx cosx).(sinx cosx)dx t  sinx cosx a     PP f ( a  x )x 2n dx    x  a sin t        f (  PP x  a )m x 2n dx    x  a tan t   a  x   PP  dx  f    x  a cos 2t   a  x     dx (ax  b)(cx  d )  t  ax  b  cx  d Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020   s1 ax  b ,., sk ax  b  dx  t n  ax  b     R     (a  bx  dx PP   x   n n t ) a  bx n Đổi biến số với hàm ẩn  Nhận dạng tương đối: Đề cho f (x ), yêu cầu tính f ( x ) đề cho f ( x ), yêu cầu tính f (x )  Phương pháp: Đặt t  ( x )  Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận sử dụng tính chất: “Tích phân không phụ thuộc vào biến số, b mà phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa  b f (u )du   a b f (t )dt      a  f (x )dx     a MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT THÔNG HIỂU 2  xe Câu 48 Xét x2 dx , đặt u  x  xe x2 dx A  eu du B  eu du C u e du 0 D u e du 0  Câu 49 Tính tích phân I   cos3 x.sin xdx 1 A I    B I   C I  D I   4 21 dx Câu 50 Cho   a ln  b ln  c ln , với a , b, c số hữu tỉ Mệnh đề sau đúng? x x A a  b  2c B a  b  c C a  b  c D a  b  2c Câu 51 Cho hàm số f  x  liên tục  Mệnh đề sau đúng? A  C  f  x  dx  f  x  dx 0 B f  x  dx   f 1  x  dx D Giả sử  1 16 Câu 52  f  x  dx  1  f  x  dx  2020, giá trị  x f  x f  x  dx  2 f  x  dx  dx A 20204 B 2020 C 8080 Câu 53 Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f  x  dx  Tích phân  f  x  dx bằng: Câu 54 Cho  f  x dx  Khi  C f A x B D  x dx 1 Câu 55 B A D 505 D C Cho   f  x   3g  x  dx  ,  g  x dx  Tính I   f  x dx 0 A I  6 B I  12 C I  D I  Câu 56 Cho I   x  x dx u  x  Mệnh đề sai?  u5 u3  A I      1 B I   u  u  1 du Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 C I  2 x  x  1 dx D I   u  u  1 du  21 21  Câu 57 Cho I   sin x cos2 xdx, khẳng định sau đúng? A  I  B 1 C  I  I 2 MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu 58 Cho hàm số f  x  có f    f   x   A B 197 D  I 1 x , x  Khi  f  x  dx x 1 x 1 29 181 C D  Câu 59 Cho hàm số f  x  có f    f   x   cos x cos2 x,  R Khi  f  x  dx 1042 A 225 Câu 60 Biết  ( x  1) 208 B 225 242 C 225 dx dx  a  b  c x  x x 1 D với a , b, c 149 225 số nguyên dương Tính P  abc A P  24 B P  12 C P  18 D P  46 3 dx 1 e  a  b ln Câu 61 Cho  x , với a, b số hữu tỉ Tính S  a  b e 1 A S  B S  2 C S  D S  x e  m, x  Câu 62 Cho hàm số f  x    liên tục   f  x  dx  ae  b  c , 2 x  x , x  1  a, b, c  Tổng T  a  b  3c A T  15 B T  10 C T  19 Câu 63 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa  2 A -15 B -2 Câu 64 Biết tích phân  3x  f   x   x dx  1, C -13 D T  17  f  x x2 dx  Tính  f  x  dx D dx  a ln  b ln  c ln với a, b, c số hữu tỉ Giá trị 3x   a  b  c 10 10 A  B  C D 3 3 x a Câu 65 Cho  dx   b ln  c ln , với a , b, c số nguyên Giá trị a  b  c  x 1 A B C D e ln x dx  a e  b với a, b   Tính P  a.b Câu 66 Biết  x A P  B P  8 C P  D P  4 64 dx Câu 67 Giả sử I    a ln  b với a, b số nguyên Khi giá trị a  b 3 x x A 17 B C -5 D 17 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 2   Biết  sin x  cos x dx  a  b với a, b  R Tính a  b Câu 68 A  ln Biết tích phân Câu 69  1 T  abc A T  B 4 ex ex  C 2 D dx  a  b ln  c ln với a , b , c số nguyên Tính C T  B T  D T    Biết Câu 70  sin A cos x dx  a ln  b ln với a , b, c số nguyên Tính P  a  b x  3sin x  B C D  Cho biết Câu 71  sin x tan xdx  ln a  A 12 b với a , b số nguyên Giá trị biểu thức M  3a  2b C B D ln Cho hàm số Câu 72 f  x liên tục tập hợp   f e thỏa mãn x   dx  ,   x  1 f  x  dx  3 Giá trị x3 A 10  f  x  dx B  C  D 12 e ln x  a b Câu 73 Biết  với a, b  * Giá trị a  3b  dx  x A 125 B 120 C 124 D 123 Câu 74 Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm  thỏa mãn x   f ( x )   f ( x )  , với x   Giá trị  f ( x)dx 2 7 C D 4 e  ln x a b c Câu 75 Biết  , a , b , c số nguyên dương c  10 Giá trị dx  x a  b  c A 19 B 13 C 28 D 25 Câu 76 Cho hàm số y  f  x  liên tục  0;1 thỏa mãn f  x   x f  x   Tính 3x  A B  f  x  dx A 1 B C D E PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN Định lí: Nếu u  u(x ) v  v(x ) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a ;b ] b I   a b b u(x )v (x )d x  u(x )v(x )   u (x )v(x )dx hay I  a a b  u dv  uv a b a b   v du a Phương pháp thực hành:  Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhận nhau, chẳng hạn: đa thức nhân lôga, mũ nhân lượng giác… Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vi phân b b    du        dx b u              Suy ra:  Đặt  I  u d v  uv  NH   v du a  dv      dx    v    a a    Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ dv  phần lại b  Lưu ý: Tùy vào toán mà ta cần chọn u dv cho  v du đơn giản Cần nhớ a bậc đa thức bậc lnx tương ứng với số phần lấy tích phân phần Tính chất nguyên hàm tích phân  Nếu F (x ) nguyên hàm hàm số f (x ) F (x )  f (x )  b  f (x )dx  f (x )  C   f (x )dx  f (x ) b a  f (b)  f (a ) a  Tích phân khơng phụ thuộc vào biến mà phụ thuộc vào b cận, b  f (t )dt   f (x )dx  a a e Câu 77 Tính tích phân I   x ln xdx 1 A I  B I  e2  2 C I  e2  D I  e2  e Câu 78 Cho  1  x ln x dx  ae  be  c với a, b, c số hữu tỷ Mệnh đề đúng? A a  b  c B a  b  c C a  b  c D a  b  c Câu 79 Cho  x ln(1  x)dx  a ln b với a; b   * b số nguyên tố Tính 3a  4b A 42 B 21 C 12 D 32  Câu 80 Cho f  x  nguyên hàm g  x   , thỏa mãn f    ,  xg  x  dx  2     f  x  dx  a  b , a, b số hữu tỉ Tính P  a  4b A P   B P   C P  D P  2 2x Câu 81 F  x  nguyên hàm hàm số f  x    x  1 e thỏa F    Tính F 1 A F 1  2e B F 1  e2 C F 1  e D F 1  Câu 82 Cho hàm số f  x  thỏa mãn   x  1 f   x  dx  10 f 1  f    Tính A I  12 B I  3e C I   f  x  dx D I  8  ln  sin x  cos x  bc a  dx  ln  , với a, b, c số nguyên Khi đó, 0 cos x b c a Câu 83 Biết A 6 B C D  Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  A I  10   B I  10   C I    Lời giải  D I  6 .  Chọn D Do  f ( x )  là hàm lẻ nên  f ( x )   f ( x )  với  x   4; 4    x  2  t   Xét  A=  f ( x) dx  Đặt  t   x  dt  dx  Đổi cận:      x   t  2 2 Khi đó  A   f t  dt   f t  dt   f  x dx   2  Xét  B   f 2 x dx   f 2 x dx  Đặt  u  x  du  2dx   1  x   u  Đổi cận:      x   u  4 Khi đó  B   4 1 f u  du    f  x dx   f  x dx  2B  2.4  8    2 2 4 Vậy  I   f  x dx   f  x dx   f  x dx    6   0 Câu 94 Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     thảo  mãn  xf  x   f 1  x    x10  x  x, x     Khi  đó   f  x dx ?  1 A 17   20 B 13   17   Lời giải  C D 1   Chọn B Ta có  xf  x   f 1  x    x10  x  x  x f  x3   xf 1  x    x11  x  x   Lấy tích phân hai vế cận từ   đến  1 ta được:  1 11  x f  x  dx   x f 1  x  dx     x  x  x dx 0 1  1 f  x3  d  x    f 1  x  d 1  x     30 20  1 f  t  dt   f  t  dt    30 21 1   1   f  t  dt   f  t  dt   30 20 5   f  t  dt   60   f  t  dt   Suy ra   f  x  dx     Lấy tích phân hai vế cận từ  1  đến   ta được:  Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  0  x f  x  dx   x f 1  x  dx  1 1  x 11  x  x  dx 1  1 17 f  x  d  x3    f 1  x  d 1  x     1 1 24  1 17 f  t  dt   f  t  dt    1 20 24  1 17 f  t  dt   f  t  dt    1 20 24  17 f  t  dt     f  t  dt  1 24  17 17 13 f  x  dx    f  x  dx     1 24 24 12   1   13   f  x  dx  1 Cho hàm số y  f ( x)  liên tục trên đoạn e ; e    Câu 95 e2 Biết  x f ( x )  ln x  xf ( x )  ln x  0, x   e; e   và  f (e)   Tính tích phân  I   f ( x)dx   e e A I    B I    C I    D I  ln   2  2 Lời giải  Chọn B Ta có:  x f  ( x )  ln x  xf ( x )  ln x  0, x   e; e    f  ( x)  ln x  f ( x) 1  f ( x )  x          2 ln x x x  ln x  f ( x)   C  theo đề bài ta có  f (e)   C    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:  e ln x x e2 e2 ln x ln x suy ra  f ( x )   I   f ( x )dx  I   dx    x x e e Câu 96 Cho hàm số  f  x   có đạo hàm trên   4; 2 , thỏa mãn   xf '  x   dx   và  f      Tính  I   f  x  dx 2 A I  10 B I  5 C I  Lời giải D I  10   Chọn A du  dx u  x   Đặt     dv  f '  x   dx v  f  x    Suy ra:  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  3 3 1   xf '  x   dx  xf  x     f  x   dx  f     f  x   dx 20 20 0     f  x   dx  10 Đặt  2t  x   dt  dx   Đổi cận:  x   t  2 ,  x   t    Suy ra:  10   f  x   dx   f  2t  dt  2  f  x  dx   2 Câu 97 Cho hàm số  f ( x)  liên tục trên    và có   f ( x)dx   và   f ( x)dx   Tính   f ( x  1)dx A B 11 C 1 D Lời giải Chọn C Ta có:   f ( x  1)dx  1  1 f (4 x  1)dx   f (4 x  1)dx   4 Tính:  A   f (4 x  1)dx  Đặt  t  4 x    dt  dx   1 1  A    f (t )dt   f (t )dt    45 40 Tính:  B   f (4 x  1)dx  Đặt  t  x   dt  dx   B f (t )dt    0 Vậy   f ( x  1)dx  A  B    1 Câu 98 Cho hàm số  f  x   liên tục trên   1;1  và  f   x   2019 f  x   e x ,  x   1;1  Tính   f  x  dx 1 A e 1 e B e 1 2020e C D e 1 2019e Lời giải  Chọn B Cách 1: Tìm hàm  f  x    Theo giả thiết:  f   x   2019 f  x   e x   1   Đặt  x  t  thì  1  trở thành:  f  t   2019 f  t   et  hay  f  x   2019 f   x   e x    2    f   x   2019 f  x   e x Từ  1  và   2  ta được hệ phương trình:     x 2019 f   x   f  x   e 2019e x  e  x Giải hệ, ta được:  f  x     20192  Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  1  2019e x  e  x  2019e x  e x   f  x  dx   d x      20192   2019   1 1 1  1 2018  e   1 1 2019e  e  2019e  e      e   e     20192  2018.2020 2020e e 1 Vậy   f  x  dx    2020e 1 Cách 2: Tính tích phân trực tiếp   f  x  dx   Đặt  I  1 Theo giả thiết:  f   x   2019 f  x   e x  Lấy tích phân hai vế từ  1  đến  1, ta được:   1 f   x  dx  2019  f  x  dx   e x dx   *   1 1 1 1 Ta có:   f   x  dx    f   x  d   x   1 1  1 f  x  dx  I ,   e x dx   e x  1  e    1 e 1 e2  e2  I Thay vào phương trình  * , ta được:  I  2019 I  e   2020 I    e e 2020e e2  Vậy   f  x  dx    2020e 1   Câu 99 Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên   0;1   thỏa  mãn  f 1  x   x f x3  bằng  A   B 1.  C     Khi  đó  3x  1  f  x  dx   D   Lời giải Chọn A   Ta có  f 1  x   x f x3  1 6    f 1  x   x f  x3      3x  3x  1   f 1  x  dx   x f  x  dx    0 dx   *   3x  1 u 1 x Ta có   f 1  x  dx    f 1  x  d 1  x     f  u  du   f  x  dx   0 1 u  x3 1 Và   x f  x3  dx  2 f  x3  d  x   2 f  u  du  2 f  x  dx   0 1 Ta có  *   f  x  dx   f  x  dx    0 1 1 dx   f  x  dx   dx    3x  3x  0 Vậy   f  x  dx    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Câu 100 Cho  hàm  số  f  x    xác  định  và  liên  tục  trên   \ 0 thỏa  mãn  x f  x    x  1 f  x   xf '  x   ,  với mọi  x   \ 0 đồng thời thỏa  f 1  2  Tính   f  x dx   ln    A  B  ln    C  ln    Lời giải D  ln    2 Chọn D ' Ta có  x f  x   xf  x    xf '  x   f  x    xf  x   1   xf  x   1    xf  x   1 Do đó   xf  x   1 '  xf  x   1 1   xf  x   1 ' dx   1dx   1    x  c    xf  x     xc xf  x   1 1  c   xf  x      f  x       1 c x x x 2 1 1     Vậy   f  x dx      dx    ln x   |12   ln    x x x    1 Mặt khác  f 1  2  nên  2    Câu 101 Cho  hàm  số  y  f  x    có  đạo  hàm  trên   0; 4   và  thỏa  đẳng  thức  sau  đây  2019 f  x   2020 f   x   6059  A Chọn B x  Tính tích phân   f   x  dx   B C D Ta có   f   x  dx  f  x   f    f     0 2019 f    2020 f    6059  f    Với  x   và  x   ta có hệ phương trình      2020 f    2019 f    6058  f    Do đó   f   x  dx  f    f        Câu 102 Cho  hàm  số  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên   ,  f    0, f       và  thỏa  mãn  hệ  thức f  x  f   x   18 x   x  x  f   x    x  1 f  x  , x     Biết   x  1 e f  x  dx  a.e  b , với  a ; b    Giá trị của  a  b  bằng A B C D   Lời giải Chọn A Ta có  f  x  f   x   18 x   x  x  f   x    x  1 f  x       f  x  f   x   18 x dx    3x  x  f   x    x  1 f  x  dx   1      f  x   x  dx    x  x  f  x   dx   2   f  x   x3   3x  x  f  x   C , với  C  là hằng số.  Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  Mặt khác: theo giả thiết  f     nên  C    Khi đó  1  f  x   x   3x  x  f  x 1 , x      f  x  2x   f  x   12 x   x  x  f  x    f  x   x   f  x   x      f  x   x Trường hợp 1: Với  f  x   x , x   , ta có  f      (loại).  Trường hợp 2: Với  f  x   x, x   , ta có :  1 2x   x  1 e2 x  e dx    x  1 e dx      dx  e    2 4 0     x  1 e f  x 2x   a    a  b    b    Câu 103 Cho  hàm  f  x   số  liên  tục    trên  thỏa  mãn  3 1 f  x    x  1 f  x3  x    x5  x3  x2  x  6, x    Tích phân   f  x  dx  bằng  2 4 1 19 A .  B .  C   D    3 2 Mặt khác :  (*)   f  x  dx   2 f  x  dx  1   f  x  dx  1   2 1  Lời giải 3 1 x  f  x3  x   dx   x5  x3  x  x  6  dx   2 4    3 1 3 1 f  x3  x   d  x  x      2 4 2 4 1 f  x  dx    f  x  dx    Câu 104 Cho  hàm  số  f  x    xác  định  và  có  đạo  hàm  f   x    liên  tục  trên  đoạn  1;3 ,  f  x     với  mọi  2 x  1;3 , đồng thời  f   x  1  f  x     f  x    x  1   và  f 1  1     Biết rằng   f  x  dx  a ln  b , a, b , tính tổng  S  a  b A S  B S  1 C S  D S    Lời giải Chọn B  Ta có:  f   x  1  f  x   2   f  x    x  1     f   x  1  f  x   f  x 2   x  1   Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   f   x  1  f  x   f  x 1  f  x   f  x  f   x  dx  2 dx    x  1 dx   f  x   x  1 dx     x  1 1    2  C   d  f  x     f  x f  x f  x     f  x  f  x  1 f  x  f  x f  x Mà  f 1  1  nên   Suy ra:    x  1  C   f  x   x  1 1   C  C    3 3 f x f  x  x  1  3 1 f  x  f  x  x  1       3 f  x 3   1    x  1  1   1  x   f  x        f x x    Vậy:   f  x  d x    dx   ln x x 1 Câu 105 Cho  hàm  số  3  f   x C  1 f  x  f  x 1  f  x    3   ln  Suy ra  a  1; b   hay  a  b  1.  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên  đoạn  0;1   thỏa  mãn  f 1  1  và    x  1 f  x   40 x  44 x  32 x  4, x   0;1  Tích phân   f  x dx  bằng? 23 A 15 13 B 15 17 C  15 Lời giải D  15 Chọn B  f   x   x  1 f  x   40 x6  44 x  32 x           f   x   dx   x  f  x  dx   40 x  44 x  32 x  dx.   1   0 1 Xét  I    x  1 f  x  dx    24 x   f  x  dx   0 u  f  x   du  f   x  dx Đặt        dv   24 x   dx v  x  x 1  I   x  x  f  x     x3  x  f   x  dx  = 4    x  x  f   x  dx   0 Do đó:  1    f   x   1  dx    x  x  f   x  dx    x  x  dx    56 x  60 x  36 x   dx    0    f   x   x  x  dx   f   x   x  x  f  x   x  x  c   Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  Mà  f 1   c  1     f  x   x  x    1 Do đó   f  x  dx    x  x  1 dx  0 13   15 f ( x)   có  đạo  hàm  liên  tục  trên     và  thỏa  mãn  Câu 106 Cho  hàm  số  f (0)  và  f ( x)  f (2  x)  x  x  2, x    Tích phân   xf ( x )dx  bằng 4 A B Lời giải C  10   D Chọn D Cách 2 Áp dụng cơng thức tích phân từng phần, ta có:   xf ( x)dx  xf ( x )   f ( x )dx 0 Từ  f ( x)  f (2  x)  x  x  2, x   1     Thay  x   vào  1  ta được  f (0)  f (2)   f (2)   f (0)    1.  Xét  I   f ( x)dx   x   t  Đặt  x   t  dx  dt , đổi cận:     x   t  0 2 Khi đó  I    f (2  t )dt   f (2  t )dt  I   f (2  x )dx   2 0 2 Do đó ta có    f ( x)  f (2  x )  dx    x  x   dx  2 f ( x)dx  0 2 Vậy   xf ( x)dx  xf ( x)   f ( x )dx  2.(1)  0 10  3   f ( x)dx    3   Cách  f ( x)  f (2  x)  x  x  1 Từ     f (0)   Thay  x  0; x   vào  1  ta được  f (2)  1; f (1)     c3  c3   1   Xét hàm số  f ( x)  ax  bx  c  từ giả thiết trên ta có   a  b  c    a    2   4a  2b  c  1 b  3 2 10   Vậy  f ( x)  x  3x   f ( x)  x   suy ra   xf ( x )dx   x  x  3 dx     0 Câu 107 Cho  hàm  số  y  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên  x f  x    f   x    x3 , x   2; 4 , f    A 40  B 20   2;4   và  f   x   0, x   2; 4   Biết   Giá trị của  f    bằng 20  40  C D .  Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Chọn D  Ta  có:  f   x   0, x   2; 4   nên  hàm  số  y  f  x    đồng  biến  trên   2;4    f  x   f     mà   Do đó:  f  x   0, x   2; 4   f  2  3 Từ giả thiết ta có:  x3 f  x    f   x    x3  x3  f  x   1   f   x      x f  x    f   x   Suy ra:   f  2  f  x f  x 1 f  x f  x 1 dx   xdx   x   33 x2 d  f  x   1 x   f x     C     C     f  x 1     C  C     2 4    x  1   40     f  4    4 Vậy:  f  x   Câu 108 Cho  hàm   f  x f  x   số  có  đạo  hàm  liên  tục  trên  0; 2   và  f 1  ,  thỏa   f  x   x  32 x  28  với mọi  x  thuộc   0; 2  Giá trị của   f  x  dx  bằng  A    B   C    D  14   Lời giải Chọn B Đặt  I   f  x  dx   u  f  x  du  f   x  dx Dùng tích phân từng phần, ta có:      dv  2dx v  x  I   2x  4 f  x  2    x   f   x  dx    x   f   x  dx   1 2 2   Ta có   f   x    f  x   x  32 x  28    f   x   dx  2 f  x  dx   x  32 x  28 dx   2 2 2 2    f   x   dx  2  x   f   x  dx    x   dx    x  32 x  28  dx    x   dx 1 1    f   x    x    dx   f   x   x   f  x   x  x  C ,  C     1   Mà  f 1   C   f  x   x  x    f  x  dx   x  x  dx  0   x2  x  ,  x   0;1  Tính   f  x  dx x 1 3 C  ln D  ln   Lời giải Câu 109 Cho hàm số  f  x   liên tục trên   0;1  và  f  x   f 1  x   A  ln B  ln Chọn C  Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  x2  x  Theo  giả  thiết,  ta  có:  f  x   f 1  x   ,  x   0;1   và  f  x    liên  tục  trên   0;1   nên  x 1 1  x  1  x2  2x   f x d x  f  x d x   f x  f  x  d x  d x          0 0 0 x  dx  (1)  0  0 x  Đặt   x  t  thì  dx  dt , với  x   t  , với  x   t    1 1 1 1 Do đó:  f 1  x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx   f  x  dx   f 1  x  dx   f  x  dx  (2).  1 Lại có    x  1 0 0 2  x2    dx    x   d x    x  ln x     ln  (3)   x 1 x 1  0 0 1 Từ (1), (2) và (3) suy ra  2 f  x  dx  3  ln   f  x  dx   ln   Câu 110 Cho  hàm  số  y  f ( x )   liên  tục  trên    thỏa  mãn  f  x   f   x    x  1 e x  x 1    Tính  tích  phân  I   f  x  dx  ta được kết quả: A I  e  C I  Lời giải B I  D I  e    Chọn C 2 Theo giả thuyết ta có   3 f  x   f   x   dx     x  1 e x  2  x 1   dx *    Ta tính   f   x  dx    f   x  d   x    f  x  dx   0 Vì vậy   3 f  x   f   x   dx   f  x  dx   0 2 Hơn nữa    x  1 e x  x 1 dx   e x  x 1 d  x  x  1  e x2  x 1 2   và   4dx    Suy ra  4 f  x  dx    f  x  dx    0 Câu 111 Cho  hàm  số f ( x ) có  đạo  hàm  liên  tục  trên   0;2 và  thỏa  mãn:   ( x  4)  xf ( x )   f ( x ) 2 và  f (0)  A  Khi đó  f ( x)dx bằng  20 203   30 B 163   30 C 11   30 D 157   30 Lời giải Chọn A Từ giả thiết   ( x  4)  xf ( x )   f ( x )    Ta có:  2 3   ( x  4)  xf ( x ) d x  0  0  f ( x) dx     262   f ( x )d(x  4)    f ( x )  dx  (1)  15 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Đặt  I   f ( x )d(x  4)    du  f ( x )dx     dv  d(x  4) v  x  u  f ( x ) Đặt   Khi đó  2 0 I   x2  4 f ( x)    x2  4 f ( x)dx       x   f ( x )dx  (2)  Thay (2) vào (1) có:  1   262      x   f ( x )d x   15 5     f ( x )  d x   2 2   f ( x) dx    x   f ( x)dx    x    2 2 2   f ( x)  dx    x   f ( x)dx    x   0 dx   2 262     x   dx   15 2 2 dx     f ( x )  x   dx    2 Do   f ( x)  x       f ( x)  x   dx   mà    f ( x )  x   dx   nên  0  f ( x )  x     f  ( x )   x  Vì  f (0)  x  4x  C   1 x3  C   f ( x)   4x    20 20 20 Vậy   f ( x )dx   f ( x)  203   30     Câu 112 Cho  hàm số  f  x    liên  tục  trên     thỏa  mãn  xf x5  f  x  x11  x8  x6  3x  x  3, x    Khi đó   f  x  dx  bằng  1 35 A .  B  15     24 Lời giải C  D   Chọn D     Với  x    ta có : xf x5  f  x  x11  x8  x6  3x  x       x f  x   x f 1  x   x14  x11  x  x  x  x     (*)   1   x f  x5  dx   x3 f 1  x  dx    x14  x11  x9  3x  x  3x3  dx   0  1 33 f  x5  d  x5    f 1  x  d 1  x      50 40 40 1 1 33 11   f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx    50 40 40 0     Mặt khác :  (*)   x f x5 dx   x3 f  x dx  1 1  x 14  x11  x9  3x7  x  3x3  dx   1 Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  0 1 (*)   f  x5  d  x5    f 1  x  d 1  x      1 1 24 1  11    f  x  dx   f  x  dx     f  x  dx         1 40 24 1  24   2   2 2  Câu 113 Cho  hàm  số  f  x  liên  tục  trên   ;1 và  thỏa  mãn  f  x   f    3x ,  x  ;1   Khi  đó    x      I ln x f '  x dx  bằng:  15   ln  5 35 A B   ln  35 Chọn B Cách 1: Tự Luận   2   3x ,   x   2  f   x  f  x    3,  x x x  2  1 f   x  f  x 2 dx  5 dx x x 2  2  ;1   Ta có:  f  x  f  x  2   ;1      5 Xét  I1  5   x   Đổi cận:    u    5 I1 f u du u Từ (2) suy ra,     f  x x Tính  I   dx  f  x x du   dx 5x2  du u2 dx    x  1 u   ln  5 35 (2)   3dx  2   x  dx  đặt  u   x 5x D  (1)   f  1   ln  35 Lời giải C    5 f u du u dx   5  f  x x 5 dx f  x x dx       35 ln x f '  x dx   15 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   Đặt  t  x dt 2  t 15   x   t  x   3 dx  dt dx  Đổi cận:      1 ln t f ' t dt   3  I   du  dt  u  ln t    Đặt:   t    dv  f '(t )    v  f (t ) 1 f (t ) 2 (ln t f (t ))   dt  ln f ( ) 3 t 5 I   35  2   2  3x ,  x  ;1    x    Tính  f  x   f   vào (1) ta có hệ phương trình sau:   2   f (1)   f 1  f     5      2  3     2  f      f    f 1   5  5   3 Suy ra,  I   ln     ln  5 35 35 Cho  x  1; x Câu 114 Cho hàm số  f  x   liên tục trên   và thỏa mãn  f  x   xf  x   x  x  x   với  x    Tính  tích phân   xf   x dx   A .  B     Lời giải D    C Chọn B 1  Áp dụng cơng thức tích phân từng phần, ta có:   xf  x dx  xf  x    f  x dx * 0 Từ  f  x   xf  x   2x  x  x  1   Thay  x   vào  1  ta được  f 1  f 1   f 1      1     Mặt khác từ  1 ta có   f  x  dx   xf x dx   x  3x3  x  dx   1 1 1   f  x  dx   f  x  d  x      f  x  d x     f  x  d x       2 0 0 Thay    ,  3  vào  *  ta được   xf   x dx      4 Câu 115 Cho hàm số  f  x   liên tục trên   thỏa mãn    Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/   TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020   2x    x  x  4x  x f 1  x   f  , x  0, x   Khi đó   f  x  dx có giá trị là   x  x  1   A B C D .  2 Lời giải Chọn A  x    x  x3  x  f  x  Từ giả thiết suy ra    f  x  x  x3   2  x  x3  x   2x   dx Ta có:   f 1  x  dx   f   dx   x3  x  x 1   2 4  2x    2x       f 1  x  d 1  x    f  d      x     dx x x   x   x  1 1   1 2  x     f  t  dt   f  t  dt     x    x x 1  0    1 f  t  dt   f  t  dt    1  f t  dt  1   Vậy   f  x  dx    1 Cách trắc nghiệm   2x    x  x  4x   , x  0, x    Ta có:  x f 1  x   f   x  x  4x   2x   x  x  x f 1  x   f    , x  0, x     x x x    2x    2x    x f 1  x   f    x 1  x     , x  0, x     x   x  1 1 1 Chọn  f  x   x   f  x .dx   x.dx    Câu 116 Xét hàm số  f  x  liên tục trên đoạn   0;1  và thỏa mãn điều kiện  f  x   f 1  x   x  x  Tính  tích phân  I   f  x  dx A 15 B  15 Lời giải C  D Chọn B 1 Do  f  x   f 1  x   x  x   f  x  dx   f 1  x  dx   x  xdx 0     I1 1 I2 + Xét  I1  3 f 1  x  dx : Đặt  t   x  dx  dt  Khi  x   t  1; x   t  Khi đó  I1  3 f  t  dt  3I Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  + Xét  I   x  xdx  Đặt  t   x  x   t  dx  2tdt Với  x   t  1; x   t  0  2t 2t   Khi đó  I   1  t  t  2t  dt      15  4 Thay vào  1 : I  3I   I   15 15 Câu 117 Cho  hàm  f  x   số  liên  tục  trên    thỏa  mãn  3 1 f  x    x  1 f  x3  x    x5  x3  x2  x  6, x    Tích phân   f  x  dx  bằng  2 4 1 19 A .  B .  C   D    3 Lời giải Chọn C 3 1 Với  x    ta có : f  x   x  f  x3  x    x5  x3  5x  x  6  (*)   2 4   1 1 1 3 1   f  x  dx    x  1 f  x  x   dx    x  x  x  x  6   dx   2 4 2 2 2  1   2 1   2  1 3 1 3 35 1 f  x3  x   d  x3  x        2  4 2 4 2 1 1 35 f  x  dx   f  x  dx     f  x  dx  5   2 2 f  x  dx  2 3 1 Mặt khác :  (*)   f  x  dx    x  1 f  x3  x   dx    x  x3  x  x  6   dx   2 4 1 2 3 1 3 3 1 3   f  x  dx   f  x  x   d  x  x      4 2 4 2 2 1 1 f  x  dx    f  x  dx    5      3 3 2 Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/  ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!   f  x  dx  Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 TÍCH PHÂN Vấn đề 14   A ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN a) Định nghĩa:  b b  f  x  dx  F  x  a  F ... lấy tích phân phần Tính chất nguyên hàm tích phân  Nếu F (x ) nguyên hàm hàm số f (x ) F (x )  f (x )  b  f (x )dx  f (x )  C   f (x )dx  f (x ) b a  f (b)  f (a ) a  Tích phân. .. dx 1 2x B I  ln Tính tích phân I   A I   ln Câu 25 Tính tích phân I   A I   ln C I   ln D I  ln C I  ln D I   ln x 1 dx x B I  Câu 26 Biết tích phân   x  e dx  a