Chuyên đề 36 cực trị số phức đáp án

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 CỰC TRỊ SỐ PHỨC Chuyên đề 36 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Một số tính chất cần nhớ Môđun số phức:   Số phức z  a  bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ OM gọi mơđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b  Tính chất   z  a  b  zz  OM  z  0, z   , z   z  z z   ,  z '  0  z  z '  z  z '  z  z ' z' z'  z z '  z z '  kz  k z , k   2  Chú ý: z  a  b  2abi  (a  b )  4a 2b  a  b  z  z  z.z Lưu ý:  z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2  z1  z  z  z z  z  2 2  z   2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y ax  by  c  (1) z  a  bi  z  c  di (2)  x  a   y  b Quỹ tích điểm M (1)Đường thẳng :ax  by  c  (2) Đường trung trực đoạn AB với  A  a, b  , B  c, d    R Đường tròn tâm I  a; b  , bán kính R  R Hình trịn tâm I  a; b  , bán kính R z  a  bi  R  x  a   y  b z  a  bi  R 2 r   x  a    y  b   R r  z  a  bi  R  y  ax  bx  c  c  0   x  ay  by  c  x  a 2  y  c   11 b d z  a1  b1i  z  a2  b2i  2a  x  a b 2   y  c d2 Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồn tâm I  a; b  , bán kính r , R Parabol 1 Elip 2 Elip 2a  AB , A  a1 , b1  , B  a2 , b2  Đoạn AB 2a  AB Hypebol 1 Một số dạng đặc biệt cần lưu ý: Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  z , tìm z Min Khi ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A  a; b  1   z Min  z0  a  b   z  a  b i  2 TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di Tìm z Ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A  a; b  , B  c; d   z Min  d  O, AB   a  b2  c  d 2  a  c   b  d  Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1:  Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di Khi ta biến đổi z  a  bi  z  c  di  z  a  bi  z  c  di  Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  z  c  di Khi ta biến đổi a  bi c  di  z  z  b   z  d  ci i i Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn iz  a  bi  iz  c  di  z  TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R   z  z0  R  Tìm z Max , z Min Ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z đường tròn tâm I  a; b  bán kính R z  OI  R  a  b  R  z0  R  Max   2  z Min  OI  R  a  b  R  z0  R  Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng a  bi R Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  R  z   (Chia hai vế cho i ) i i  z  b   R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R  z  a  bi  R (Lấy liên hợp vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện a  bi R R    c  di  z  a  bi  R  z  c  di c  di c2  d Hay viết gọn z0 z  z1  R  z  z1 R  (Chia hai vế cho z0 ) z0 z0 Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip TQ1: (Elip tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  c  z  c  2a ,  a  c  Khi ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z Elip: x2 y2  1 a2 a2  c2 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  z Max  a   2  z Min  a  c TQ2: (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  z1  z  z2  2a Thỏa mãn 2a  z1  z2 Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc Ta có Khi đề cho Elip dạng khơng tắc z  z1  z  z2  2a ,  z1  z2  2a  z1 , z2   c,  ci ) Tìm Max, Min P  z  z0  z1  z2  2c Đặt  2 b  a  c Nếu z0  z1  z2 0  PMax  a (dạng tắc)   PMin  b  z1  z2 a  z0  Nếu  z  z  k  z  z    z1  z2  PMax  z0   a    P  z  z1  z2  a  Min  z1  z2 a  z0  Nếu  z  z  k  z  z   Nếu z0  z1  z0  z2 Câu PMax  z0  z1  z2 a PMin  z0  z1  z2 b (Đề Tham Khảo 2018) Xét số phức z  a  bi  a, b   thỏa mãn z   3i  Tính P  a  b z   3i  z   i đạt giá trị lớn A P  B P  10 C P  Lời giải D P  Chọn B Goi M  a; b  điểm biểu diễn số phức z 2 Theo giả thiết ta có: z   3i    a     b  3   Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I  4;3 bán kính R  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  A  1;3 Gọi:   Q  z   3i  z   i  MA  MB  B 1; 1 Gọi E trung điểm AB, kéo dài EI cắt đường tròn D Ta có: Q  MA  MB  MA.MB   Q  MA2  MB  MA2  MB  MA2  MB  Vì ME trung tuyến MA2  MB AB AB   MA2  MB  ME  MAB  ME  2  AB  2  Q   2ME    4ME  AB Mặt khác ME  DE  EI  ID         Q2   20  200  MA  MB  Q  10  Qmax  10   M  D   4  2( xD  4)  xD   EI  ID     M  6;   P  a  b  10 2  2( yD  3)  yD  2 Cách 2:Đặt z  a  bi Theo giả thiết ta có:  a     b    a   sin t Đặt  Khi đó: b   cos t Q  z   3i  z   i      a  1   b  3 sin t   5cos t    a 1   b  1    sin t   cos t   2  30  10 sin t  30   3sin t  cos t  Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:     Q  60   sin t  cos t   60  5  200  10  Q  10  Qmax  10  sin t  Dấu xảy  cos t   Câu 2 a    P  a  b  10 b  (Đề Tham Khảo 2017) Xét số phức z thỏa mãn z   i  z   7i  Gọi m , M giá trị nhỏ giá trị lớn z   i Tính P  m  M A P   73 B P   73 C P   73 D P  13  73 Lời giải Chọn A Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 D A H E N Gọi A điểm biểu diễn số phức z , E  2;1 , F  4;7  N 1; 1 Từ AE  A F  z   i  z   7i  EF  nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF Gọi  73 3 H hình chiếu N lên EF , ta có H   ;  Suy P  NH  NF   2 Câu (KTNL Gia Bình 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau z   34, z   mi  z  m  2i (trong m số thực) cho z1  z2 lớn Khi giá trị z1  z2 A B 10 C Lời giải D 130 Chọn C Gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1 , z2 Gọi z  x  iy,  x, y    Ta có z   34  M , N thuộc đường trịn  C  có tâm I 1;0 , bán kính R  34 Mà z   mi  z  m  2i  x  yi   mi  x  yi  m  2i   x  1   y  m    x  m   y  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   m  1 x   m   y   Suy M , N thuộc đường thẳng d :  m  1 x   m   y   Do M , N giao điểm đường thẳng d đường tròn  C  Ta có z1  z2  MN nên z1  z2 lớn MN lớn  MN đường kính  C  Khi z1  z2  2OI  Câu (THPT Cẩm Giàng 2019) Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Số phức z  i có mơđun nhỏ là: A 52  B C  Lời giải D 52 Cách 1: Đặt w  z  i  z  w  i Gọi M  x; y  điểm biểu diễn hình học số phức w Từ giả thiết z   2i  ta được: 2 w  i   2i   w   i    x     y  1 i    x     y  1  Suy tập hợp điểm M  x; y  biểu diễn cho số phức w đường trịn  C  có tâm I  2;1 bán kính R  Giả sử OI cắt đường tròn  C  hai điểm A, B với A nằm đoạn thẳng OI Ta có w  OM Mà OM  MI  OI  OM  MI  OA  AI  OM  OA Nên w nhỏ OA  OI  IA   M  A Cách 2: 2 Từ z   2i    a     b    với z  a  bi  a, b    a   sin x; b   cos x  a   sin x, b   cos x Khi đó: z  i   sin x    cos x  i  i   6 4  22  sin x  cos x     Nên z  i nhỏ   sin x   1  cos x    1    4sin x  cos x   1  sin x    cos x  2sin x      4sin x  cos x  2 cos x    Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  5  5 Ta z        i     Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức z1  z2  z1  z  z1  z2 z  i   z   2i     i   z   2i   i   Câu (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ 2z  i M P  với z số phức khác thỏa mãn z  Tính tỉ số z m M M D  2 m m Lời giải 2z  i 2z  i 2z  i 2z  i 1 Ta có P    P  2  P  2   P  z z z z z z 2 A M  m Vậy Câu B M  m C M  m Cho số phức z thoả mãn z   3i  Tìm giá trị lớn z   i A 13  B 13  C 13  Lời giải D 13  Chọn C Ta có  z   3i   z   3i   z   3i    z   3i  z   3i     z   3i  z   3i   z   3i  1` z   i   2i  1(*) +Đặt w  z   i ,  w   2i  Tập hợp điểm biểu diễn số phức w  z   i đường tròn  I ;1 w khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm đường trịn Do giá trị lớn w đoạn OQ  w max   32  2   13 Câu Xét tất số phức z thỏa mãn z  3i   Giá trị nhỏ z   24i nằm khoảng nào? A  0;1009  B 1009;2018 C  2018; 4036  D  4036;   Lời giải Ta có  z  3i   z  3i   z   1  z     z  Đặt z0   3i  z0  5, z0   24i Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  2 Ta có A  z   24i  z  zo   z  zo  z  zo   Mà  z  zo  z  zo   z.zo  zo z   z  zo 4  Suy A  z  zo   z  zo 2   z.z o  z   zo  z.zo  zo z   z.zo 2  z  z  1201 Hàm số y  2t  2t  1201 đồng biến  4;6 nên A  2.44  2.42  1201  1681  z  Dấu xảy   z   3i  Do z   24i nằm khoảng 1009;2018  Câu (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ P  z   2i Đặt A  M  m Mệnh đề sau đúng? A A   34;6   B A 6; 42    C A 7; 33  D A 4;3 Lời giải Giả sử: z  x  yi,  x, y     N  x; y  : điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy Ta có: • z  z  z  z   x  y   N thuộc cạnh hình vng BCDF (hình vẽ) y I B E F C O -2 x D -2 • P  z   2i  P   x     y  2  P  d  I ; N  với I  2;  Từ hình ta có: E 1;1 M  Pmax  ID   22  m  Pmin  IE  Vậy, A  M  m    Câu    1    1   34;6 (Chuyên Hạ Long 2019) Cho số phức z thỏa mãn z   z   20 Gọi M , n môđun lớn nhỏ z Tính M  n A M  n  B M  n  C M  n  D M  n  14 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Gọi z  x  yi ,  x, y    Theo giả thiết, ta có z   z   20  x   yi  x   yi  20   x  6  y2   x  6  y  20  Gọi M  x; y  , F1  6;0  F2  6;0  Khi    MF1  MF2  20  F1 F2  12 nên tập hợp điểm E đường elip  E  có hai tiêu điểm F1 F2 Và độ dài trục lớn 20 Ta có c  ; 2a  20  a  10 b2  a  c2  64  b  x2 y2   100 64 Suy max z  OA  OA'  10 z  10 z  OB  OB '  z  8i Do đó, phương trình tắc  E  Vậy M  n  Câu 10 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho số phức z thỏa mãn z   4i  w  z   i Khi w có giá trị lớn A  74 B  130 C  130 Lời giải D 16  74 Theo bất đẳng thức tam giác ta có w  z   i   z   8i     9i   z   8i   9i   130 Vậy giá trị lớn w  130 Câu 11 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M M  Số phức z   3i  số phức liên hợp có điểm biểu diễn N N Biết M , M  , N , N bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ z  4i  A 34 B C D 13 Lời giải Gọi z  x  yi , x, y   Khi z  x  yi , M  x; y  , M   x;  y  Ta đặt w  z   3i    x  yi   3i    x  y    3x  y  i  N  x  y;3x  y  Khi w  z   3i    x  y    x  y  i  N   x  y ;  x  y  Ta có M M  ; N N cặp đối xứng qua trục Ox Do đó, để chúng tạo thành hình chữ nhật yM  yN yM  yN Suy y  x  y y  3 x  y Vậy tập hợp điểm M hai đường thẳng: d1 : x  y  d2 :3x  y  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Đặt P  z  4i    x  5   y   Ta có P  MA với A  5; 4  , d  A; d2   , 34 Pmin  MAmin  MA  d  A; d1  MA  d  A; d  Mà d  A; d1   Pmin  d  A; d1   Câu 12 Biết số phức z thỏa mãn iz   z   i z có giá trị nhỏ Phần thực số phức z bằng: A B C  Lời giải D  Đặt z  x  yi ( x , y  ) Khi iz   z   i  x    y  3   x  2   y  1  x  y    x  2 y  1 2 Lại có z  x  y  2 Thay 1 vào   ta được: 2  z  x  y   2 y 1  y  y  y 1  5 y     5 5  2 2 2 5 Dấu đẳng thức xảy y    y   Thay y   vào 1 suy x   5 Vậy phần thực số phức z  Câu 13 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương -2019) Xét số phức z thỏa mãn z   3i  Số phức z mà z  nhỏ A z   5i B z   i C z   3i Lời giải D z   i Gọi z  x  yi , x, y   Khi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z 2 Theo ta có z   3i    x  1   y    Suy tập hợp điểm M đường tròn tâm I 1; 3 bán kính R  Khi z    x  1  y  I M với I  1;  Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Hoặc đánh giá chọn đáp án sau: Gọi N   x ;  y   NM1   x1  x2    y1  y2   z1  z2 Và N đối xứng với M qua gốc tọa độ O , N  đường tròn (C1 ) : x  y  x  y  24  (C1 ) có tâm I1   3;   , bán kính R1  , (C1 ) đối xứng với  C  qua gốc tọa độ O Có I1 I  10  I1I  R  R1  Nhận xét: với điểm M   C  , N   C1  M1 N  I1I  R  R1 Loại đáp án B,C,D  z1  z  M N đạt giá trị lớn 56 Câu 66 Cho số phức z w thỏa mãn   i  z  A B z   i Tìm giá trị lớn T  w  i w 1 C D Lời giải Chọn B Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 z z z 1 i   z   1  z  i   3  i  z  w 1 w 1 w 1  z  1  1  z  Đặt t  z ; t  (vì z  khơng thỏa phương trình trên) (1) trở thành:  w 1  t  w 1  3t  1 t  1  t   w   10t  8t  1   ; t  2   10   2  2  t t2 t  Ta ln có: w  i  w    i    wi  2  t  z     z  i Dấu = xảy   w   k 1  i     w   i   wi  2  Vậy: Giá trị lớn T  2 Câu 67 Cho số phức z thỏa mãn z   z   Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  z   i  z  3  2i  z  3i B A 12 C Lời giải D 10 Chọn A    Gọi M  x; y  , F1  2; , F2  2,  2; , điểm biểu diễn cho số phức z  x  yi , Có z   z    MF1  MF2  , có  F1F2  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 47 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Suy M  x; y  chạy  E  có tiêu cự 2c  2 , độ dài trục lớn 2a  , độ dài trục nhỏ x2 y2   2b  phương trình tắc  E    x  Có M  x; y    E     1  y  Có P  z   i  z  3  2i  z  3i     2 2 2 2  x     y  1   x  3    y  2  x   y  3  x     y  1  3  x    y     y  3  3  x    y    y  1 (Bất đẳng thức tam giác) x2 2 2  y  12 y  84   y Đặt f  y   y  y  21   y , với 1  y  Có f   y   2y  y  3y  21 1 f   y    y  3y  21  y  1 ,  y   nhận  Có 1  y   1  3y  y  12     y  4  loại Có f  1   19 , f 1  12 Suy Min f  y   12  P  12 y 1;1  x  0, y   Đẳng thức 1 xảy  x  y   x  0, y   0  3  x y  Thử lại: Khi x  0, y  có P  12 Vậy MinP  12 x  0, y  Câu 68 Cho số phức z  x  yi , x , y  thỏa mãn z  y  16 Biểu thức P  z  i  z  đạt giá trị lớn  x0 ; y0  với x0  0, y0  Khi đó: x02  y02 A 20  20  B 20  Lời giải C D 20  Chọn D Ta có: z  y  16  x2  y  16 P  x   y  1   x  2  x   x   y 1  y  2  y2  x   y  1  2  x   y   Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Pmax x   y  x   y     x  y  1 x  y      2   y   y  16   x   x   x 2  x    y 1  y   y  1   y    x   x     5   2  x  y  16  x  y  16  y  1   y    x   x   x   y   y   y   x0    1 20  y   2     x0  y0  x  1  y0    Nhận xét: Bài ta dùng bất đẳng thức véc tơ sau     Cho a  a1 ; a2 , b   b1 ; b2   a  b   a1  b1 ; a2  b2  , ta có:     2 a  b  a  b   a1  b1    a2  b2   a12  a22  b12  b22   a1b2  a2b1    Dấu “ = ” xãy  a , b ngược hướng  a1b1  a b   2 Câu 69 Cho số phức z  a  bi  a, b   thỏa mãn z   z   10 z  lớn Tính S  a  b A S  11 B S  5 C S  3 Lời giải D S  Chọn B Trong mp tọa độ Oxy , Ta gọi điểm biểu diễn số phức: z  x  yi M  x ; y  ; z  4  0i F1  4;0  ; z   0i F2  4;0  Ta có: z   z   10  MF1  MF2  10 (1)  MF12   x  2  y 8x (2)  MF12  MF2  16 x  MF1  MF2   2  MF2   x    y 4x Từ (1) (2), suy MF1   4x  x2 y2 2  Mặt khác MF12   x    y       x    y     25  Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn z   z   10 Elip có phương trình E: x2 y   25 Theo đề, ta cần tìm điểm thuộc  E  sau cho z  lớn Ta gọi điểm biểu diễn số phức: z   0i A  6;0 ; z  a  bi M  a ; b    E  ; z  5  0i C  5;0  Do đó, z  lớn MA lớn Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 49 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dựa, vào hình vẽ ta thấy để MA lớn M  C  5;0   a  5; b   S  5 Câu 70 Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa z   z   10 z  lớn Tính S  a  b ? A S  3 B S  C S  5 D S  11 Lời giải Chọn C Gọi M  a; b  điểm biểu diễn số phức z  a  bi  a, b    z   z   10   a    bi   a    bi  10  a  4  b2   a  4  b  10 * Xét F1  4;0  F2  4;0  Khi *  MF1  MF2  10 c   b  a2  c2  Suy M thuộc Elip có  a  10  a   Ta có: z    a  6  b  IM , I  6;  , suy max z   IA hay điểm M  A  5;0   z  5  0i  S  5 Câu 71 Cho số phức z thỏa mãn z  , M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A   z   z Giá trị biểu thức M  m A  B C  D Lời giải Chọn A Gọi z  x  yi với x , y  z   x  y   x  y   A  1 z  1 z   x  1 2  y  1  x   y   x  2  x Xét hàm số f  x    x  2  x với x   1;1 Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Hàm số f  x  liên tục đoạn  1;1 1 x  1 x    2x  2x 1  x  f  x  f   x     x   x   x     1;1  3 Khi f  1  ; f     ; f 1   5  3 Do M  max f  x   f     ; m  f  x   f 1  Suy M  m    1;1  1;1  5 Câu 72 Xét tập hợp S số phức z  x  yi  x, y    thỏa mãn điều kiện z  z  1  i   2i  Biểu thức Q  z  z   x  đạt giá trị lớn M đạt z0  x0  y0 i ( z thay đổi tập S ) Tính giá trị T  M x0 y 02 A T   B T  C T  D T   Lời giải Chọn D Ta có: z  z  1  i   2i   x  16 y  16  x  y   y   x Do đó, Q  z  z   x   y   x    x   x   f  x  ,  2  x   f  x  2x2  2x  ,  2  x    x2  x  1 f  x     x  1  x    2 ;  Mặt khác, f  2   0, f    0, f  1  3 Suy M  3 x0  1, y02  Vậy T  Câu 73 9 (THPT Hậu Lộc 2019) Cho z1 , z2 hai số phức thỏa mãn z   3i  z1  z2  Giá trị lớn z1  z2 A B D  C Lời giải Chọn A Gọi M , N điểm biểu diễn hai số phức z1, z2  M , N   C  :  x  3  y   z1   3i  z2   3i  Do  nên   z1  z2   MN   2.2    22 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 51 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   Như MN đường kính đường tròn  C  với tâm I 3;  , bán kính R  , I trung điểm MN , OI  12 Ta có z1  z2  OM  ON  1  1  OM  ON    MN   2OI      Dấu "  " xảy OM  ON  MN đường kính  C  vng góc với OI Câu 74 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1   i  z1   7i  iz2   2i  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  z1  z2 A 2  B 1 C 2  Lời giải D  Chọn C Trên mặt phẳng Oxy , gọi M  a; b  điểm biểu diễn cho số phức z1 ; A  2;1 , B  4;7  điểm biểu cho số phức 2  i  7i  AB  Từ ta MA  MB   AB nên tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z1 đoạn thẳng AB nằm đường thẳng d : x  y   Đặt z3   z2 , iz2   2i   iz3   2i   z3   i  Gọi N  c; d  điểm biểu diễn cho z3 ; I  2;1 điểm biểu diễn cho số phức  i , IN  nên tập hợp điểm biểu diễn cho số 2 phức z3 đường tròn  C  :  x     y  1  z1  z2  z1  z3  MN Dễ thấy hình chiếu vng góc điểm I  2;1 đường thẳng  d  điểm K  0;3 thuộc đoạn AB suy MN  KH với H giao điểm IK với  C  thuộc đoạn IK Do MN  KH  d  I , AB   R  2  Vậy z1  z2  2  Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 75 (Trường Thpt Hàm Rồng 2019) Cho số phức z, z1 , z2 thỏa mãn z1   5i  z2   z  4i  z   4i Tính z1  z2 A P  z  z1  z  z2 đạt giá trị nhỏ B 41 C D Lời giải Chọn D Gọi A điểm biểu diễn số phức z1 Suy A thuộc đường tròn  C1  tâm I1  4;5  , R  Gọi B điểm biểu diễn số phức z2 Suy B thuộc đường tròn  C2  tâm I 1;  , R  Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi Theo giả thiết z  4i  z   4i  x  y  Suy M thuộc đường thẳng  d  x  y   Gọi  C2 ' có tâm I '  4; 3 , R  đường tròn đối xứng với đường tròn  C2  tâm I 1;0  , R2  qua đường thẳng d Gọi B ' điểm đối xứng với đối xứng với B qua đường thẳng d Ta có P  z  z1  z  z2  MA  MB  MA  MB '  AB '  I1 I ' R1  R2    Dấu = xảy A, B ', I1 , I ', M thẳng hàng Khi I1 A  I1I ' suy A  4;    I B '  I ' I1 suy B '  4; 2   B  2;0  AB  Vậy z1  z2  Câu 76 (Chuyên ĐH Vinh- 2019) Cho số phức z  thỏa mãn   i  z  z    i Tìm giá trị lớn T     i A B C 2 D Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 53 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2  i z  z   z  1 i  z     i  z   i   z  1   z  1 i  f t   z    z  1   z  1 z   2 z 2 z 2 t2 2t  4t t   f ' t   f 't    t   t     2 5t  2t  t  t    Bảng biến thiên Ta có T     i  z   i   2 Câu 77 Cho số phức z gọi z1 , z hai nghiệm phức phương trình z  8i  ( z1 có phần thực dương) Giá trị nhỏ biểu thức P  z  z1  z2  z  z  z1  z2 viết dạng m n  p q (trong n, p   ; m , q số nguyên tố) Tổng m  n  p  q A B C Lời giải D Chọn A z  8i   z1   2i z2  2  2i P  z  z1  z2  z  z  z1  z2 z  z  z1  z  z2  z  z1   MA  MB  MC 2 Trong M , A  2; 2  , B  2;  , C  3; 3  điểm biểu diễn cho số phức z , z1 , z ,   2 z1  z2  3  3i Gọi H hình chiếu vng góc M OC Ta có MA  MB  HA  HB  MA  MB  MC  HA  HB  HC Do Pmin   MA  MB  MC min  HA  HB  HC  M  H  M  OC : y  x Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gỉa sử M  x; x   x   3;0    P  MA  MB  MC   x  3  2  x    P   2 x  P   x   x 4 Vậy Pmin   3;0             2        3        Suy m  , n  , p  , q   m  n  p  q  Câu 78 Trong số phức z thỏa mãn z   z gọi z1 z số phức có mơđun nhỏ 2 lớn Giá trị biểu thức z1  z A B 2 C Lời giải D Chọn A Đặt z  a  bi ; a , b   z   a  b   2abi  a 2  b  1  4a 2b ; z  a  b Ta có z   z   a  b  1  4a b   a  b  2   a  b   4a 2b   a  b     a  b     a  b   2a  6b     a  b    a  b    4 a Vì 4a  0, a   nên  a  b    a  b      2  a  b   2 Suy m     a  b2      m  M   M   a  a  M  1   2  a  b   2 b     a  a  m  1     a  b   2 b   Câu 79    1 (Sở Nam Định - 2019) Xét số phức w , z thỏa mãn w  i  5w    i  z   Tìm giá trị lớn biểu thức P  z  2i  z   2i A B 53 C 58 D 13 Lời giải Chọn C Cách Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 55 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có: 5w    i  z    5w  5i    i  z    5i  w  5i    i  z    5i  w  i  1  2i  z    2i   z   2i  z   2i  z   2i  Ta có:   2 z  z1  z  z1  z  z1 z  z1 z z    ; z, z (1) 2 ; z , z1 (2) Ta có: P  z  2i  z   2i  z   2i   z   2i  Áp dụng (1) (2), ta có:   z   2i   z   2i   z   2i  z   2i   z   2i  Vậy, ta có:  z  2i  z   2i    z   2i   z   2i    2  z  2i  z   2i      2      z   2i  4i   nên P   z   2i  4i   9  P      232  P  58 Cách Ta có: 5w    i  z   thay w  i  5  z   2i  2 Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn  C  :  x     y    Gọi M   C  Ta có: P  z  2i  z   2i  AM  BM ; A  0;2  , B  6;2     z   2i    z  2i  z   2i   z   2i    P  z   2i  Do z   2i  Suy P  AM  BM Gọi H trung điểm cạnh AB  AB  2 Ta có: P   AM  BM    2MH    4MH  AB   Vậy, P  z  2i  z   2i đạt giá trị lớn MH đạt giá trị lớn Dựa vào hình vẽ sau Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy ra, MH đạt giá trị lớn M  M '  P2  232  P  58 Câu 80 Cho hai số phức z1 ; z2 khác 1 cho z144  z 258  Tìm giá trị nhỏ T  z1  z2 gần với giá trị sau A 11 100 B 205 200 Lời giải C D 200 Chọn D z144  z258   z1  z2  Gọi  acgumen z1  ' acgumen z với  ;  '   0;2  z1  cos   i sin  ; z2  cos  ' i sin  ' z144  z258 cos 44    cos   i sin  44  cos 44  i sin 44  sin 44  1      58   cos  ' i sin  '  cos 58 ' i sin 58 '  cos 58 '  sin 58 '  cos 44  k  sin     22 ;   k     k; t   z2 1 cos 58 '    '  t ; '  t sin  '  29  z1 1 k   k  ;   k    22  1  k  43;     0; 2    k  22 t t      ;   t  29  1  t  57       0; 2  t  29 T  z1  z2  cos   i sin   cos  ' i sin  '   cos   cos  '   sin   sin  ' Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 57 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  k t     cos  cos  ' sin  sin  '   2cos    '   2cos     22 29  Tmin  z1  z2 1  k  43; k  22   k t   cos     1  t  57; k  29  22 29  max  29k  22t  Lấy k  3; t  29k  22t  ; số nguyên dương nhỏ  3 4   Vậy z1  z2   2cos    0.00492  22 29  Câu 81 Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  Tính giá trị lớn biểu thức 2 P  z1  z2  z2  z3  z3  z1 A P  B P  10 C P  Lời giải D P  12 Chọn A Gọi A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  ; C  x3 ; y3  điểm biễu diễn số phức z1 ; z2 ; z3 z1  z2  z3  suy A ; B ; C thuộc đường trịn tâm O bán kính Ta có z1  z2  AB ; z2  z3  BC z3  z1  AC Suy       2 2 P  z1  z2  z2  z3  z3  z1  AB  BC  AC  AO  OB  BO  OC  AO  OC             OA.OB  OB.OC  OA.OC   OA  OB  OC   3OG   OG  ( với G             trọng tâm tam giác ABC ) Dấu “ = “ xảy G  O , hay ABC Câu 82 Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  12 Gọi M , m giá trị lớn nhất, nhỏ z   3i Giá trị M m bằng: B 24 A 28 C 26 D 20 Lời giải Chọn B Gọi z  x  yi ; x; y   Xét z  z  z  z  12  x  y  Ta có: P  z   3i   x     y  3 (1)  2 Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Tập hợp điểm biểu diễn z  x  yi ; x; y   thỏa mãn (1) miền (tính biên) hình thoi ABCD với A  0;3 ; B  2;0  ; C  0; 3 ; D  2;0  tạo đường thẳng x  y  Điểm biểu diễn z thỏa mãn (2) đường tròn tâm I  4; 3 bán kính R  P  P đạt min, max bán kính đường trịn đạt min, max xét tương giao với miền hình thoi ABCD Ta có đường trịn giao với miền hình thoi điểm gần tâm đường tròn tiếp xúc cạnh CD: x  y   tương ứng có m  3.4  2.3  2 2  12 Điểm giao xa đỉnh A  0;3 13 hình thoi Do M    13  M m  24 BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 59 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Trang 60 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... 8i   9i   130 Vậy giá trị lớn w  130 Câu 11 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M M  Số phức z   3i  số phức liên hợp có điểm biểu... biểu diễn số phức z đường tròn tâm số phức I  0;1 bán kính R  Do m  , M  Vậy M  m2  Câu 30 (Chuyên Quang Trung - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  2i  z  4i z   3i  Giá trị lớn biểu...    a  a  Câu 29 (Chuyên Hạ Long - 2018) Cho số phức z1  2  i , z2   i số phức z thay đổi thỏa 2 mãn z  z1  z  z2  16 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức M  m2