Chuyên đề 26 tích phân đáp án

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 TÍCH PHÂN- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Chuyên đề 26 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng Tích phân có điều kiện 1.Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  liên tục K ; a, b hai phần tử thuộc K , F  x  nguyên hàm f  x  K Hiệu số F  b   F  a  gọi tích phân của f  x  từ a b  f  x  dx  F  x  đến b kí hiệu: b a  F b  F  a  a Các tính chất tích phân: a   b f  x  dx  a a  a b b  f  x  dx   f  x  dx b b  a b a c a b  f  x dx   f  x dx   f  x  dx a a c b b   k f  x  dx  k  f  x  dx a b    f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx  Nếu f  x   g  x  x   a; b  a b  f  x  dx   g  x  dx a a Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp x  dx  x  1  1  1 C  x dx  ln x  C x dx    C x  ax  b    ax  b  dx  a    C 1  ax  b dx  a ln ax  b  C 1   ax  b 2 dx   a ax  b  C   sin x.dx   cos x  C  sin  ax  b .dx   a cos  ax  b   C  cosx.dx  sin x  C  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C  sin x 1 dx   cot x  C  sin  ax  b .dx   a cot  ax  b   C dx  tan x  C  cos  ax  b .dx  a tan  ax  b   C  cos x x  e dx  e x  a dx  x C ax C ln a 1 dx  eax b  C a dx xa  x  a  2a ln x  a  C e ax  b  Nhận xét Khi thay x  ax  b  lấy nguyên hàm nhân kết thêm a Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho F  x  nguyên hàm f  x   Biết x2 F  1  Tính F   kết A ln  C 2ln  Lời giải B ln  D ln Chọn D Ta có:  f ( x)dx  F    F  1  1  x   ln x  2 1  ln  ln1  ln 1  F    F  1  ln  F    ln (do F  1  ) Câu (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f  x  Biết f    f '  x   2sin x  1, x   ,   f  x  dx A   16  16 B 2 4 16 C   15 16 D   16  16 16 Lời giải Chọn A Ta có f  x     sin x  1 dx     cos x  dx  x  sin x  C Vì f     C  Hay f  x   x  sin x   Suy     f  x  dx    x  sin x   dx  0  2   16   x  cos x  x     16 16 Câu (Mã 104 - 2019) Cho hàm số f  x  Biết f  0  f   x   2sin x  , x  R ,   f  x  dx A 2 2 B   8  8 C   8  D 3  2  Lời giải Chọn C x  3 dx   1  cos x  3 dx     cos x  dx  x  sin x  C Ta có f  0  nên 4.0  sin  C   C  Nên f  x   x  sin x   f   x  dx   2sin Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   Câu   1   8      f  x  dx    x  sin x   dx   x  cos x  x     0 0 (Mã 102 - 2019) Cho hàm số f ( x) Biết f (0)  f ( x)  2cos2 x  3, x  ,   f ( x)dx bằng? A   8  8 B   8  C   6  8 D 2 2 Lời giải Chọn B , Ta có f ( x)   f ( x)dx   (2cos2 x  3)dx   (2  cos x  3)dx   (cos x  4) dx = sin x  x  C f (0)   C   Vậy f ( x )  sin x  x  nên   f ( x) dx   ( sin x  x  4) dx    8   ( cos x  x  x)  Câu Biết hàm số f  x   mx  n thỏa mãn  f  x  dx  ,  f  x  dx  Khẳng định đúng? A m  n  Ta có: B m  n  4 C m  n  Lời giải D m  n  2 m x  nx  C m 1 f  x  dx    x  nx    m  n  1 2 0  f  x  dx    mx  n  dx = Lại có:  m  f  x  dx    x 2  nx    2m  2n    0 1 m   mn 3 Từ 1   ta có hệ phương trình:   n  2m  2n   mn  Câu Biết hàm số f  x   ax  bx  c thỏa mãn  A  Ta có:  B  f  x  dx   , Lời giải a b f  x  dx    ax  bx  c  dx = x3  x  cx  C C  f  x  dx  2 D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lại có: a  f  x  dx     x a  f  x  dx  2   x   f  x  dx   1 b 1 x  cx     a  b  c   1 2 2 0 b 2 x  cx   2  a  2b  2c  2   0 13 13  a b  13  9a  b  3c    x  x  cx    3 2 2 3 0 1  3 a  b  c   a    8 Từ 1 ,    3 ta có hệ phương trình:  a  2b  2c  2  b  3  16 13  c    9a  b  3c    16   P  a  b  c  1        3 Câu (Chun Lê Q Đơn Điện Biên 2019) Có hai giá trị số thực a a1 , a2 (  a1  a2 ) thỏa a mãn a1   x  3 dx  Hãy tính T  B T  12 A T  26 a   3a2  log    a1  C T  13 Lời giải D T  28 Chọn C a Ta có:   x  3 dx   x a  x   a  3a  1 a Vì   x  3 dx  nên a a   3a   , suy  a  Lại có  a1  a2 nên a1  ; a2  a  2 Như T  3a1  3a2  log    31  32  log    13 1  a1  m Câu (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho   3x  x  1 dx  Giá trị tham số m thuộc khoảng sau đây? A  1;  B   ;0  C  0;  D  3;1 Lời giải Chọn C m Ta có:   3x m  x  1 dx   x  x  x   m3  m  m 0 m   3x  x  1 dx   m3  m2  m    m    0;  Vậy m    0;  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Cho I    x  m  dx Có giá trị nguyên m để I   ? A B C Lời giải D Chọn D 1 Theo định nghĩa tích phân ta có I    x  m  d x   x  m x   2 m  0 Khi I    2m2     m2    2  m  Mà m số nguyên nên m  1;0;1 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu Câu 10 (Sở GD Kon Tum - 2019) Có giá trị nguyên dương a để A B C Lời giải a   x   dx  ? D Chọn C Ta có: a   x   dx   x Khi đó: a  x   a  3a a   x   dx   a  3a   1  a  Mà a   * nên a  1;2;3; 4 Vậy có giá trị a thỏa đề Câu 11 (THPT Lương Thế Vinh - HN 2018).Có số thực b thuộc khoảng   ;3  cho b  cos xdx  ?  A B C Lời giải D   b   k  12 Ta có:  cos xdx   sin x b   sin 2b       b  k  12 Do đó, có số thực b thỏa mãn yêu cầu toán b Câu 12 (Cần Thơ - 2018) Cho hàm số f  x  xác định  \ 2; 2 thỏa mãn f   x   , x 4 f  3  f  3  f  1  f 1  Giá trị biểu thức f  4   f    f   A B C D Lời giải Ta có:  x   dx      dx  ln x   ln x   C 4  x2 x2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  x2 ln x   C1 x  2   2 x f  x   ln  C2   x  Do đó: x    x2 ln x   C3 x   1 f  3  ln  C1 ; f  3  ln  C3 ; f    C2 ; f  1  ln  C2 ; f 1  ln  C2 ; C1  C3  f  3  f  3  f  1  f 1   C1  C3  2C2    C2  1 Vậy f  4   f    f    ln  C1  C2  ln  C3  C1  C2  C3  Câu 13 (Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai - 2018) Biết  số nguyên Tính T  a  b  c A T  3 B T  Ta có  4x C T  4 Lời giải D T  5 x  ex  1   x  nên 2x xe 2 x e  4 1 x  ex  x  1 x xe2 x dx  1  x  e x  dx  x  e Vậy a  , b  1 , c  4 Suy T  4 Câu 14 x  ex  dx  a  eb  ec với a , b , c 4x xe2 x     e1  e4 (Sở Bạc Liêu - 2018) Cho hàm số f  x  xác định  \ 0 thỏa mãn f   x   3 f    ln  Giá trị biểu thức f  1  f   2 ln  ln  ln  ln  A B C D 4 4 Lời giải f  2   Có f  x    f   x  dx    ln x  x  C1  f  x    ln x   C  x Do f  2   x 1 dx  ln x   C x x x  x  3  ln   C1   C1   ln 2 2 Do f    ln  3  ln   C2  ln   C2  ln  2 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ x 1 , x2 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  ln x  x   ln Như vậy, f  x     ln x   ln   x x  x    ln  Vậy f  1  f      ln    ln   ln  1  4   Câu 15 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f (0)  f ( x ) có π f ( x)  cos x  1, x   Khi  f ( x) dx A   16  16 16 B 2 4 16 C   14 16 D   16  16 Lời giải Chọn D Ta có  1  cos x   f ( x)   (2 cos x  1)dx   2   1dx   cos x  2dx     sin x  x  C sin x Lại có f (0)   C   f ( x )   x    cos xdx   2dx  π  π π π π 4  sin x  f ( x)dx    x  4 dx   sin xd(2 x)   xdx   4dx   0 0 π π  cos x π  16π    ( x  x)  16 0 Câu 16 (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho hàm số f  x  có f    f '  x   sin x, x   Tích phân   f  x  dx A 2 6 18 B  3 32 3  16 64 Lời giải C D 3  112 Chọn C Ta có: 1  cos x    cos x  sin x     1  cos x  cos x   1  cos x   2       cos x  cos x  3 1 Suy f  x    f '  x  dx    cos x  cos x  3 dx  sin x  sin x  x  C 32 1 Vì f    nên C  hay f  x   sin x  sin x  x 32 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Do   2    2   f  x  dx    sin x  sin x  x  dx    cos x  cos x  x  32  16   128 0  1 3   1  3  16         64  128 64   128  Dạng Tích phân hàm số hữu tỷ P  x dx ? với P  x  Q  x  đa thức không chứa Q  x a b Tính I   PP  chia đa thức Nếu bậc tử P  x   bậc mẫu Q  x   PP Nếu bậc tử P  x   bậc mẫu Q  x  mà mẫu số phân tích thành tích số   đồng thức để đưa thành tổng phân số Một số trường hợp đồng thức thường gặp: +   ax  m  bx  n   a b     1 an  bm  ax  m bx  n  +  A  B  x   Ab  Ba    A  B  m mx  n A B      x  a  x  b  x  a x  b  x  a  x  b   Ab  Ba  n + A Bx  C   với   b  4ac  2  x  m   ax  bx  c  x  m  ax  bx  c  + 2   x  a   x  b Nếu bậc tử P  x  A B C D    x  a  x  a x  b  x  b 2  bậc mẫu Q  x  mà mẫu khơng phân tích thành tích số, ta xét số trường hợp thường gặp sau: dx PP  x  a.tan t ,  n  N *  + I1   2 n x  a  + I2   + I3   I3  b  dx dx x   tan t Ta đặt  ,    0   2a 4a ax  bx  c  b     a  x        2a   4a    px  q dx với   b  4ac  Ta phân tích: ax  bx  c p  2ax  b  dx  b p  dx q  giải A cách đặt t  mẫu số   2  2a  ax  bx  c  2a   ax  bx c I2 A Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Biết dx   x  1 x  1  a ln  b ln  c ln Khi giá trị a  b  c A 3 B C Lời giải D Ta có: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 2 1 dx    1  x  1 x  1 1  x   x   dx  21 x  dx  1 x  dx 2 2  ln x   ln x   ln  x  1  ln  x  1  ln  ln   ln  ln  1 1  ln  2ln  ln Do đó: a  1, b  2, c  Vậy a  b  c    2    Câu (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Biết I  a  4b A 50 B 60 3x  x  1 x  dx  a ln  b,  a, b    Khi giá trị C 59 Lời giải D 40 Chọn C 0 3x  x  21   3 0 1 x  dx  1  3x  11  x   dx   x  11x  21.ln x   1 19 19  21.ln  Suy a  21, b  Vậy a  4b  59 2 Ta có I  Câu x2  1 0 x  dx  m  n ln , với m, n số nguyên Tính m  n A S  B S  C S  5 Lời giải Chọn A Biết D S  1  1 dx x2  ( x  1)2 1 dx   ( x  1)dx     ln | x  1|10   ln 0 x 1 x 1 2  m  2, n  1  m  n  1 Câu (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Tích phân I   số nguyên Tính giá trị biểu thức a  b A B C 1 Lời giải Ta có I    x  1 1  x  1 x2  dx  a  ln b a , b D 1 2x  1  2 d x   d x  d x  d x   x  ln x    ln       0  x   0 0 x  0 x2  a    a b  b  Câu (Chun Trần Phú Hải Phịng 2019) Biết Tính S  a  2b A S  B S  2 x2  x  b 3 x  dx  a  ln với a , b số nguyên C S  Lời giải D S  10 5 a   x2  x2  x  1   d x  x  d x  3 x  3  x     ln x     ln  b   S  a  2b  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho    x  P  a  b? A P  B P  x  10 a  dx   ln với a, b Tính x 1 b b C P  Lời giải D P  x     x 11  Ta có   x   dx    x   dx    x    dx x 1 x 1  x 1 1 1 1  x3  10 10 10 a    x  ln x     ln  ln   ln   ln 3 b b  1 Suy a  2; b  Vậy a  b  Câu (Chuyên Sơn La 2019) Cho x x3 dx  a ln  b ln  c ln , với a, b, c số nguyên  3x  Giá trị a  b  c A B C D Lời giải 3 3 x3 x3 1 x2  3x  dx  1  x  1 x   dx  1 x  1dx  1 x  2dx   2ln x   ln x    2ln  ln  ln Suy a  , b  , c  1 Nên a  b  c     Câu (Sở Phú Thọ 2019) Cho x trị A 12 a  3b  c 5x  dx  a ln  b ln  c ln , với a, b, c số hữu tỉ Giá  3x  B C Lời giải D 64 Chọn D Ta có: I   3  x     x  1 5x  5x    dx   dx   dx      dx x  3x  x  1 x   x 1 x    x  1 x    3   3ln x   ln x   4 4  3ln  ln  3ln  3ln  ln  0.ln a   Suy b  1  2a 3b  c  26  64 c   Câu Biết x2  x  b 3 x  dx  a  ln với a , b số nguyên Tính S  a  2b A S  B S  2 C S  Lời giải D S  10 Chọn A Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy ra: a  ; b  ; c  Khi đó: S  a  b  c  Dạng Tích phân phần b b b Nếu u, v có đạo hàm liên tục  a; b  I   u.dv  u.v a   v.du a a Vi phân u   du  dx Chọn  Nguyên hàm  v  dv  dx  Nhận dạng: tích hai hàm khác loại nhân (ví dụ: mũ nhân lượng giác,…) Thứ tự ưu tiên chọn u là: "log – đa – lượng – mũ" dv phần cịn lại Nghĩa có ln hay log a x chọn u  ln hay u  log a x  ln x dv  lại Nếu ln a khơng có ln; log chọn u  đa thức dv  lại,… CHÚ Ý: ∫ (hàm mũ) (lượng giác) dx  tích phân phần luân hồi Nghĩa sau đặt u, dv để tính tích phân phần tiếp tục tính ∫ udv xuất lại tích phân ban đầu Giả sử tích phân tính ban đầu I lập lại, ta không giải tiếp mà xem ả phương trình bậc ẩn I I Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Xét x2  xe dx , đặt u  x u C  eu du 20 u A  e du B  e du 0 x  xe dx D  eu du 20 Lời giải Chọn D du Khi x   u  , x   u  Đặt u  x  du  xdx  xdx  Do x  xe dx  u e du 0 e Câu (Đề Minh Họa 2017) Tính tích phân I   x ln xdx : A I  e 1 B I  C I  e2  2 D I  e2  Lời giải Chọn D  du  x dx u  ln x  I   x ln xdx Đặt  dv  xdx v  x  e e I  e e e x2 x2 e2 e2 x e2 e e  ln x   dx    xdx       x 2 20 4 4 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 45 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 e Câu (Mã 103 2018) Cho  1  x ln x dx  ae  be  c với a , b , c số hữu tỷ Mệnh đề đúng? A a  b  c B a  b  c C a  b  c Lời giải D a  b  c Chọn C e Ta có e e e  1  x ln x dx  1.dx   x ln xdx  e    x ln xdx 1 1  u  ln x  du  x dx Đặt  dv  x.dx  v  x  e  x ln xdx  Khi e e x2 e2 ln x   x dx   x 2 21 e Suy e  1  x ln x dx  e    e  e2 e2 e2     4 4  e 3  e  nên a  , b  , c   4 4 Vậy a  b  c e Câu (Mã 104 2018) Cho    x ln x dx  ae  be  c với a , b, c số hữu tỉ Mệnh đề sau đúng? A a  b  c B a  b  c C a  b  c Lời giải D a  b  c Chọn B e Ta có e e e e    x ln x dx   2dx   x ln xdx  x  I  2e   I với I   x ln xdx 1 1  d u  dx  u  ln x  x Đặt   dv  xdx v  x  e e e x2 e e2 x x x2 e2     e  1  I ln x   dx  ln x  12 4 2 e     x ln x dx  2e   e2  1  e  2e  4  a    b   a  b  c  c    Câu (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Biết  x ln  x  1dx  a ln  phân số tối giản) Tính P  13a  10b  84c A 193 B 191 C 190 Lời giải b b (với a , b, c  * c c D 189 Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn B 2x  du  x  dx u  ln  x  1 Đặt:   dv  xdx v  x   2 1  x2   Khi đó:  x ln  x  1dx    ln  x  1   xdx  ln    0  a  1, b  1, c  Vậy P  13a  10b  84c  191 a Câu (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho a số thực dương Tính I   sin 2016 x.cos  2018 x  dx bằng: A I  cos 2017 a.sin 2017a 2016 B I  sin 2017 a.cos 2017a 2017 C I  sin 2017 a.cos 2017 a 2016 D I  cos 2017 a.cos 2017 a 2017 Lời giải Chọn B a a Ta có I   sin 2016 x.cos  2017 x  x  dx   sin 2016 x cos  2017 x  cos x  sin  2017 x  sin x  dx 0 a a   sin 2016 x cos  2017 x  cos xdx   sin 2017 x sin  2017 x  dx 0 a Xét J   sin 2016 x cos  2017 x  cos xdx du  2017 sin  2017 x  dx u  cos  2017 x   Đặt    2016 sin 2017 x x.cos xdx v  du  sin 2017  a Khi J  cos  2017 x  a Suy I  cos  2017 x  a sin 2017 x   sin 2017 x.sin  2017 x dx 2017 0 a a sin 2017 x   sin 2017 x.sin  2017 x dx   sin 2017 x.sin  2017 x dx 2017 0 a 1  cos  2017 x  sin 2017 x  sin 2017 a.cos  2017 a  2017 2017 Câu (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Cho hàm số f  x  có f  0  1và f   x   x   12 x  e x  , x   Khi  f  x dx A 3e 1 B 3e C  3e 1 Lời giải D 3e 1 Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 47 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   Ta có: f   x   x  12 x  e x , x   nên f  x  nguyên hàm f   x   f   x  dx   x   12 x  e  dx    x  12 x  dx   xe x Mà   6x  12x  dx  3x Xét  xe  xe x x 2 x dx  x3  C u  x du  dx  dx : Đặt  x x dv  e dx v  e dx   xe x   e xdx   xe x  e x  C    x  1 e x  C Suy f  x   3x  x3   x  1 e x  C, x  Mà f  0  1  C  nên f  x   3x  x3   x  1 e x , x  Ta có 1  f  x dx    3x  x   x  1 e dx   x x Xét x x   x  1 e dx : Đặt 1     x  1 e x dx     x  1 e x dx u  x  du  dx    x x dv  e dx v  e 1 1 x x x 1 x 1 1 1   x  1 e dx    x  1 e   e dx  2e   e  2e   e    3e 0 Vậy  f  x  dx  3e 1 Câu (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Biết I   x ln  x  dx  a ln  b ln  c a , b , c số thực Tính giá trị biểu thức T  a  b  c A T  B T  11 C T  Lời giải Chọn C Cách 2x  d u  dx 2  u  ln  x    x 9 Đặt  , ta có   dv  xdx  v  x 9  Do D T  10 4 x2  x2  x x2  I ln  x     dx  ln  x     xdx 2 x  0 0 4 25  x2  x2   ln  x       ln 25  ln   25ln  9ln   a ln  b ln  c 2  0 Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a  25  Suy b  9  a  b  c  c  8  Cách Ta có I   x ln  x  dx dt Đổi cận: x   t  , x   t  25 Đặt t  x   dt  xdx  xdx  Suy I   x ln  x  dx  u  ln t Đặt  , ta có  dv  d t 25 ln tdt 9  du  dt t   v  t 25 25 25  1 1  1 25 25 25 25 t ln t d t  t ln t  t d t  t ln t  dt   t.ln t t       9 29 2 t  2 9  25  ln 25  ln   25ln  9ln   a ln  b ln  c 2  I  a  25  Suy b  9  a  b  c  c  8  Câu (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Xét hàm số f ( x)  e x   xf ( x)dx Giá trị f (ln(5620)) A 5622 B 5620 C 5618 Lờigiải D 5621 ChọnA Từ f ( x)  e x   xf ( x)dx (1) Lấy đạo hàm hai vế, suyra f '( x)  e x Khi đó, f ( x)   f '( x)dx   e x dx  e x  C (2) 1 1 Từ (1) (2) suyra: C   xf ( x) dx  C   x(e x  C)dx  C   xe x dx   Cx dx Cx  C  1  C  1 0 0 C  C  2 Vậy f ( x)  e x   f (ln(5620))  eln(5620)   5620   5622 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 49 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 10 Tích phân   x  2 e 2x dx 5  3e A  3e2 B  3e2 C Lời giải  3e2 D du  dx u  x    Đặt   2x 2x v  e d v  e d x   Suy 1 2x   x   e dx   x   1 2x e   e2 x dx 2 0 1 1 1 5  3e   e   e2 x   e   e2    e   4 4 4 Câu 11 (THPT Cẩm Giàng 2019) Biết tích phân x   x +1 e dx = a + b.e , tích a.b B 1 A 15 C Lời giải D 20 Chọn C Điều kiện: a , b   u  x  du  2dx  Đặt   x x dv  e dx v  e x    x +1 e dx =  x +1 e x 1   e x dx =  x  1 e x = 1+ e = a + b.e 0 a =  Vậy tích a.b = b = Câu 12 ln x b dx   a ln với a số x c (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho tích phân I   thực, b c số dương, đồng thời P  2a  3b  c A P  B P  b phân số tối giản Tính giá trị biểu thức c C P   D P  Lời giải dx  du   u  ln x   ln x     ln x 1  ln x Đặt    I   dx       dx   x 1x x 1 2  x dv  x  v  1 x   b  1, c  2, a  1  P  2a  3b  c  Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Câu 13 (THPT Lê Xoay Vĩnh Phúc 2019) Cho tích phân I    x  1 sin xdx Tìm đẳng thức đúng?  B I    x  1 cos2 x A I    x  1 cos2 x   cos2 xdx   C I    x  1 cos2 x    4  cos2 xdx 0 D I    x  1 cos2 x 4   cos2 xdx 0    cos2 xdx Lời giải u   x  1 Đặt  , ta có dv  sin xdx  du  dx  Do đó:  v   cos x  I    x  1 sin xdx   Câu 14    x  1 cos x  14 cos xdx o (Chuyên KHTN 2019) Biết tồn số nguyên a, b, c cho   x   ln xdx  a  b ln  c ln Giá trị a  b  c A 19 B 19 C Lời giải D   ln x  u  dx  du x Đặt   x   dx  dv  x  x  v  Khi   x   ln xdx  ln x  x  x  3    x  1 dx  24 ln  12 ln   7  12 ln  24 ln 2 Vậy a  7; b  12; c  24  a  b  c  ln 1  x  dx  a ln  b ln , với a, b số hữu tỉ Tính x2 Câu 15 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho P  a  4b A P   B P  C P  Lời giải D P 3 2 ln 1  x  1 1  1   ln  x  dx d x  ln  x d x       1 x 1  x 1 x 1 x  x  2 2 1 1 1  ln  ln   dx   dx  ln  ln  ln 1  x   ln x x x 1 1 1 3 3  ln  ln  ln  ln  ln  3ln  a  3, b  2 Vậy a  4b   21000 Câu 16 Tính tích phân I  ln x   x  1 dx , ta Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 51 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A I   C I  ln 21000  1001ln 1000 1  21000 B I   ln 21000  1001ln 1000 1  21000 D I  1000 ln 21000  ln  21000  21000 1000 ln 21000  ln  21000  21000 Lời giải Chọn A dx  u  ln x du     x dx   Đặt  dv    x  1 v   x   21000 21000 ln x I  x 1   1 dx ln 21000   1000  x 1 x 1 21000  21000  1000 ln x 1  ln    dx   1000 1 x 1  x x 1 1000  1000 ln 2 1000 ln 21001 ln 21000 =  ln  ln    ln   1001ln 1000 1000 1000 1000 1000 1 1 2 1 1 1  21000 Câu 17 Biết  x ln  x  1 dx  a.lnb , với a, b  * , b số nguyên tố Tính 6a  7b A 6a  7b  33 B 6a  7b  25 C 6a  7b  42 Lời giải D 6a  7b  39 Xét I   x ln  x  1 dx  dx u  ln  x  1 du  Đặt   x 1 dv  xdx v  x   2  x2  x2 1 Ta có I   x  1 ln  x  1 |   dx  3ln    x  1 dx  3ln    x   3ln x 1  0 0 Vậy a  3, b   6a  7b  39 2 a Câu 18 (Chuyên Hưng Yên 2019) Biết  ln xdx   2a,  a  1 Khẳng định khẳng định đúng? A a  18;21 B a  1;  C a  11;14  D a   6;9  Lời giải Đặt u  ln x  du  dx x dv  dx  v  x a a Ta có  ln xdx  a.ln a   dx  a ln a  a    2a 1  a ln a  3a  ln a   a  e3 Vậy a  18; 21 Câu 19 (KTNL GV Bắc Giang 2019) Cho tích phân x  ( x  2)e dx  a  be , với Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a; b   Tổng a  b TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A B 3 C D 1 Chọn A 1 u  x   du  dx x x   ( x  2) e d x  ( x  2) e  e x dx=  e   e x   2e = a  be Đặt     x x 0  dv  e dx v  e 0 với a; b    a  3, b  2  a  b  Câu 20 (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh -2019) Tính tích phân I   xe x dx 2 A I  e D I  3e  2e C I  e Lời giải B I   e Chọn A u  x du  dx  Đặt   x x dv  e dx v  e 2 I   xe x dx  xe x   e x dx  2e2  e  e x  2e  e   e  e   e Câu 21 (THPT Yên Phong Số Bắc Ninh 2019) Biết  x ln x dx  m ln  n ln  p m, n, p   Tính m  n  p A B C D  Lời giải Chọn C  du  x dx u  ln x Đặt   dv  xdx v  x  3   x ln x dx  3 x2 x2 x2 ln x   x dx  ln x  22 2  ln  ln  Suy m  n  p  Câu 22 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Biết  x ln 1  x  dx  a.ln b , với a, b  * , b số nguyên tố Tính 3a  4b A 42 B 21 C 12 Lời giải D 32  u  ln 1  x  dx  du   Xét I   x ln 1  x  dx Đặt  1 x  dv  xdx  v  x  2 2  x2  x2 1 Ta có: I   x  1 ln  x  1   dx  3ln    x  1 dx  3ln    x   3ln x 1  0 0 Vậy a  , b   3a  4b  21 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 53 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 23 ln x b dx   a ln với a số thực, b c x c (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho tích phân I   số nguyên dương, đồng thời P  2a  3b  c A P  b phân số tối giản Tính giá trị biểu thức c B P  6 C P  Lời giải D P   du  dx u  ln x    x Đặt   dv  x dx v    x 2 1 1 1  1    ln  b  1, c  2, a   Khi Ta có I   ln x    dx  ln  x1 2  x 1 x  1  P     3.1    2  x dx    ln b Khi đó, giá trị a  b cos x a Câu 24 Biết I   A 11 B C 13 Lời giải D u  x du  dx  Đặt   dv  cos x dx v  tan x     3  sin xdx  3 d(cos x) I  x tan x 03   tan xdx      cos x cos x 0    ln cos x    3  ln   ln1   ln  a  3; b  Vậy a  b  11 3  F  x   x  ln  x  1  Câu 25 Cho  ln  x  x  dx  F  x  , F    ln  Khi I    dx x   A 3ln  B 3ln  C 3ln  D 3ln  Lời giải u  ln  x  x  u   x  Đặt   x2  x v    v  x Suy F  x    ln  x  x  dx  x ln  x  x    2x  dx x ln  x  x   x  ln x   C x 1 F    2ln   C  suy F  x   x ln  x  x   x  ln x  3  F  x   x  ln  x  1  d x Khi đó: I     ln  x  x  dx  F  3  F    3ln    x  2 Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Câu 26 x dx    ln b , với a, b số cos x a (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Biết I   nguyên dương Tính giá trị biểu thức T  a  b A T  B T  13 C T  Lời giải  Xét I   D T  11  x d x  x dx  cos x cos x u  x  du  dx  Đặt   v  tan x d v  d x   cos x      3 I  x.tan x   tan xdx  x.tan x   d  cos x    x tan x  ln  cos x      ln cos x 0 0 a  Suy   T  a  b  11 b   Câu 27  (Thpt Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Cho  ln 1  x  x dx  a ln  b ln  c ln , với a , b , c số nguyên Giá trị a   b  c  là: A B C Lời giải D Áp dụng phương pháp tích phân phần:  dx u  ln 1  x  du  2x 1   Đặt:    x    d v  d x  chän v     x2   x x 2 ln 1  x    x  1  d x   ln  x  dx    x x x 1      ln  3ln   ln x   5  ln  3ln  ln  a  5 , b  , c  Vậy a   b  c   ln 1  x  dx  a ln  b ln , với a , b số hữu tỉ Tính P  ab x Câu 28 Cho  A P  B P  C P  9 D P  3 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 55 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 ln 1  x  dx  a ln  b ln x2 Ta có I    dx u  ln(1  x ) du    1 x Đặt    dv  x dx v    x 2 1 1  Khi I   ln (1  x)   dx   ln  ln     dx 1 x x (1  x )  x 1 x  x     ln  ln   ln    ln  ln  ln  ln  3ln  ln 2  x 1 9 Suy a  , b   Vậy P  ab  2 Câu 29 (KTNL GV Bắc Giang 2019) Cho tích phân a; b   Tổng a  b x  ( x  2)e dx  a  be , với A B 3 D  C Lời giải Chọn A 1 1 u  x  du  dx x x   ( x  2) e d x  ( x  2) e  e x dx=  e   e x   2e = a  be Đặt     x x 0 dv  e dx v  e 0 với a; b    a  3, b  2  a  b  π Câu 30 (Sở Phú Thọ 2019) Cho  ln  sin x  cos x  cos x Giá trị abc 15 A B dx  a ln  b ln  cπ với a , b , c số hữu tỉ Lời giải C D 17 Chọn A cos x  2sin x  u  ln  sin x  cos x   du  sin x  cos x dx Đặt  dv  dx  v  tan x   cos x π  ln  sin x  cos x  cos x π π cos x  2sin x dx cos x dx   tan x   ln  sin x  cos x    π π 3   x  ln cos x   tan x d x  3ln   ln  3ln  ln         π π  3ln  ln   ln  3ln  ln   a  , b   , c   2 4 Vậy abc  18 Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 12 Câu 31  x a c  (Chuyên Thái Bình 2019) Biết    x  e x dx  e d a, b, c, d số nguyên x b  12 dương phân số A 12 a c , tối giản Tính bc  ad b d B C 24 Lời giải 12 Ta có: I    x  1x   1  x   x   1 e dx  12 12  12 D 64 12 x  x  1x  x    e dx   e x dx x   12 u  x du  dx    Đặt:  x     x x dv    x  e dx v  e x    12 Khi đó: I   12 12  12 12 1 x x  x  x    e x dx   e x dx  x.e x x   12 12  12 12 12 e 12 x 12 x 12 dx   e x x dx 12 145 12 143 e  e 12 12 Vậy: a  143; b  12; c  145; d  12 Dó đó: bc  ad  12.145  143.12  24  12e  Câu 32 (THPT Yên Khánh A 2018) Cho x  ln  x  1   x  2 dx  a c ac  ln (với a, c  ; b, d  * ; b d bd phân số tối giản) Tính P   a  b  c  d  A B 7 x  ln  x  1   x  2 Ta có 2 dx   C Lời giải D 3 ln  x  1 dx   dx   dx 2 x2  x  2  x  2 2 2 2   0 x  dx  0  x  2 dx   ln x   x    ln  I  ln  x  1  x  2 dx  u  ln  x  1 du  dx  x 1    Đặt  1 x 1 d v  d x  v  1  x     x2  x  2  2   x  1 ln( x  1)  Suy I    dx  ln  ln     x  2  0  x  2  Do x  ln  x  1   x  2 dx    ln  P   1      Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 57 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 33 (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y  f  x  có f 1  x  1 Biết b  f  x  dx  a ln c  d x f   x   với 2  x  1 với a, b, c, d số nguyên dương, b  Khi a  b  c  d A B C Lời giải b tối giản c D 10 Chọn D Ta có x   x  1 Do f 1   1  dx      dx  ln  x  1   C , với C số tùy ý  x   x  12  x    1  ln   C   C   ln 2 Khi đó, ta có  2 2 dx   f  x  dx   ln  x  1   ln  dx   ln  x  1 dx    ln  dx x 1 x 1   1 dx  u  ln  x  1 du  Xét I   ln  x  1 dx Đặt   x  , ta có dv  dx v  x 2 I  x.ln  x  1   2 2 xdx xdx dx dx  ln  ln    ln  ln   dx    ln  ln    x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 Khi đó,  f  x  dx  ln  ln    dx  ln  dx  ln  ln   ln  ln  ln  ln  x 1 a  b   Suy   a  b  c  d  10 c  d  BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TỐN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 59 ... Ý: ∫ (hàm mũ) (lượng giác) dx  tích phân phần luân hồi Nghĩa sau đặt u, dv để tính tích phân phần tiếp tục tính ∫ udv xuất lại tích phân ban đầu Giả sử tích phân tính ban đầu I lập lại, ta không... 3  17  x  3  26   x  4 26  x  3  x  4  17 26     3     3  15   3  17 26     3     3  15   3  17 26    3  4 3   17 26    3  4...  11 Dạng Tích phân đổi biến b  Tích phân đổi biến: b   f  x  u '  x  dx  F u  x  a  F u  b   F u  a  a Có sẵn Tách từ hàm Nhân Các bước tính tích phân đổi biến