Đang tải... (xem toàn văn)
- Dựa vào BBT xác định điểm cực tiểu của hàm số là điểm mà tại đó hàm số xác định và qua đó đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương.. - Giá trị cực tiểu của hàm số là giá trị tại điểm cực tiểu [r]
(1)Trang 1/6 - Mã đề thi 111 Họ tên thí sinh:………
Số báo danh: ………
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 3 5
2 4 6
x y z
d
Vectơ nào vectơ phương ?d
A u1; 3; 5 B u1; 2;3 C u2;4;6 D u 1;2;3 Câu 2: Diện tích hình phẳng thuộc góc phần tư thứ hai, giới hạn parabol
2
y x , đường thẳng y x trục Oy
A 7
6 B
5
6 C
11
6 D
9 2
Câu 3: Cho số thực dương , ,a b x khác , thỏa mãn logax ; 3 logbx Giá trị
2
logx a b A 3
B 3
C 1
D
9 Câu 4: Cho mặt cầu có bán kính 3
2
r Diện tích mặt cầu cho
A 3 B 3 C 3 3 D 3
2 Câu 5: Tập nghiệm bất phương trình
2
log x x 1
A [ 1;0) (1;2] B ; 1 2;
C [ 1; 2] D (0;1)
Câu 6: Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh huyền 2a Diện tích xung quanh hình nón
A 2a2 B 2 2a2 C 2a2 D a2
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S :x12y22z32 16 Tọa độ tâm S
A 1; 2;3 B 1; 2; 3 C 1;2; 3 D 1; 2;3
Câu 8: Cho hai số thực x, y thoả mãn 2yi x 5i, i đơn vị ảo Giá trị x y
A x2, y 5 B x2, y 5i C x 5, y2 D x 5i, y2
Câu 9: Cho cấp số cộng un với u12 công sai d 3 Giá trị u4 bằng
A 11 B 54 C 14 D 162
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Đề thi gồm trang
KÌ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2021 – LẦN BÀI THI MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
(2)Trang 2/6 - Mã đề thi 111 Câu 10: Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB3;AC5;AA'8 Thể tích khối hộp cho
A 120 B 32 C 96 D 60
Câu 11: Tập xác định hàm số ylog5 x
A ; B ; 00; C ;00; D 0 ;
Câu 12: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị đường cong hình bên
Số nghiệm thực phương trình f x 2
A 1 B 0 C 2 D
Câu 13: Nghiệm phương trình 2020 4x 2
A x1013 B x2023 C x1007 D x2017 Câu 14: Tiệm cận đứng đồ thị hàm số 2 1
2 1 x y
x
A y1 B x1 C 1
2
x D 1
2 y Câu 15: Cho hàm số f x có bảng biến thiên sau:
Giá trị cực tiểu hàm số cho
A 8 B 5 C 3 D 1
Câu 16: Cho hàm số f x có bảng biến thiên sau:
Hàm số cho đồng biến khoảng đây?
A 2; 2 B 0;2 C 2;0 D 2;
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x2y z 7 0 điểm (1;1; 2)
(3)Trang 3/6 - Mã đề thi 111
A 3 B C 2 D
Câu 18: Số phức liên hợp số phức z 3 4i là
A z 3 4i B z 3 4i C z 3 4i D z 3 4i
Câu 19: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, biết M2;1 điểm biểu diễn số phức z Phần thực số phức 3 i z
A 8 B 7 C 1 D 4
Câu 20: Biết
1
d 2
f x x
Giá trị
1
+2 d f x x x
A 1 B 5 C 4 D 1
Câu 21: Cho hình nón có đường kính đáy 2, đường cao Diện tích xung quanh hình nón cho
A 3 B 10 1 C 10 D 6 Câu 22: Tìm hệ số số hạng chứa
x khai triển 3x28
A 1944C83. B 864C83. C 864C83. D 1944C83. Câu 23: Nghiệm phương trình log (3 x 1) 2
A x10 B x9 C x8. D x11.
Câu 24: (2x5)9dx A 1 2 510
10 x C B
8 18(2x5) C C 9(2x5)8C D 1 2 510
20 x C
Câu 25: Cho khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a Thể tích khối lăng trụ cho
A
2 3 a
B
3 4 a
C
3 4 a
D a3 Câu 26: Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ sau
A yx33x2 B y x4 2x2 C y x3 3x2 D yx42x2 Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu vng góc điểm (5;7;11)A trục Oz có tọa độ
A (0;7;11) B (5;7;0) C (5;0;0) D (0;0;11) Câu 28: Số nghiệm nguyên bất phương trình 2
2x 16 x 5x4 0
(4)Trang 4/6 - Mã đề thi 111 Câu 29: Cho khối trụ có bán kính đáy r3 độ dài đường sinh l5 Thể tích khối trụ cho
A 45 B 30 C 15 D 90
Câu 30: Biết f x hàm số liên tục 0;3 có
0
3 3
f x dx
Giá trị
0
f x dx
A 9 B 1 C 3 D 1
3
Câu 31: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng, SASBSCABBC2a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A
8 2
3 a
B
2 8
3 a
C
3
32 3
3 a
D 8a2
Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;1;1 , B 3; 1;1 Mặt cầu đường kính AB có phương trình
A x22 y2z12 4. B x22 y2z12 2. C x22y2z12 2. D x22y2z12 4. Câu 33: Cho hàm số f x liên tục có bảng xét dấu f ' x sau:
Số điểm cực trị hàm số cho
A 3 B 4 C 1 D 2
Câu 34: Giá trị nhỏ hàm số f x cos 2x5cosx
A 4 B 33
8
C 5 D 6
Câu 35: Cho hai số phức z 4 3i w 1 i Mô đun số phức z w bằng:
A 5 B 4 C 5 D
Câu 36: Cho hình lăng trụ ABC A B C. có tam giác ABCvuông A,
, 3, 2
ABa ACa AA a Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng A B C trùng với trung điểm H đoạn B C (tham khảo hình vẽ đây) Khoảng cách hai đường thẳng AA BC
A 5 5 a
B 5
3 a
C 15
3 a
D 15
5 a
Câu 37: Một người gửi tiết kiệm 200 triệu đồng với lãi suất 5% năm lãi hàng năm nhập vào vốn Sau năm người nhận số tiền nhiều 300 triệu đồng?
(5)Trang 5/6 - Mã đề thi 111 Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;1;1, B0; 2;1 C1; 1; 2 Mặt phẳng qua Avà vng góc với BCcó phương trình
A 1 1 1
1 3 1
x y z
B x3y z 1 0 C x3y z 1 0 D
1 1 1
1 3 1
x y z
Câu 39: Cho hàm số f x x3 có đồ thị (C1) hàm số g x 3x2k có đồ thị (C2) Có bao nhiêu giá trị k để (C1) (C2) có hai điểm chung?
A 2 B C D 4
Câu 40: Gọi S tập hợp giá trị x để ba số log (4 ); log8 x 4x; log2xtheo thứ tự lập thành cấp số nhân Số phần tử S
A 2 B 3 C 1 D 0
Câu 41: Gọi S tập hợp giá trị nguyên không âm m để hàm số ln 10 ln
x y
x m
đồng biến trên khoảng
(1;e ) Số phần tử S
A 7 B 6 C 8 D 9
Câu 42: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm BC Mặt phẳng P vng góc với cạnh bên cắt cạnh bên hình lăng trụ D, E, F Biết mặt phẳng (ABB’A’) vng góc với mặt phẳng (ACC’A’) chu vi tam giác DEF 4, thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
A 12 10 B 4 10 C 6 10 D 12 10 Câu 43: Cho hàm số bậc bốn trùng phương f x có bảng biến thiên sau:
Số điểm cực trị hàm số y 14. f x 1 x
là
A 6 B 7 C 5 D 4
Câu 44: Cho hình chóp S ABC có SA12cm, AB5cm, AC9cm, SB13cm, SC15cm và BC10cm Tan góc hai mặt phẳng SBC ABC
A 14
10 B
10 14
14 C
4
3 D
12 5
Câu 45: Cho hàm số
, , ,
(6)Trang 6/6 - Mã đề thi 111 Có số dương số , , ,a b c d?
A 0 B 1 C 2 D
Câu 46: Cho F x nguyên hàm hàm số
1
2 3
f x
x x
khoảng 0; thỏa mãn F 1 ln 3 Giá trị eF2021eF2020 thuộc khoảng nào?
A 0; 1 10
B
1 1 ; 10 5
C
1 1 ; 5 3
D
1 1 ; 3 2
Câu 47: Một nhóm 10 học sinh gồm học sinh nam có An học sinh nữ có Bình xếp ngồi vào 10 ghế hàng ngang Hỏi có cách xếp nam nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An khơng ngồi cạnh Bình?
A 16 4! 2 B 16.8! C 32 4! 2 D 32.8! Câu 48: Cho hàm số f x liên tục thỏa
mãn f3 x 3f x sin 2 x33x2x, x Tích phân
0
I f x dx thuộc khoảng nào? A 3; 2 B 2; 1 C 1;1 D 1; 2
Câu 49: Cho , ,a b c ba số thực dương đôi phân biệt Có a b c; ; thỏa mãn
2 2 2
; ;
b a c b a c
a b b c c a
A 1 B C 6 D 0
Câu 50: Xét số thực dương a b thỏa mãn log (13 ) 1 log (3 ) 2
ab b a
Giá trị nhỏ
của biểu thức
2
1 1
( )
a b
P
a a b
A 1 B 4 C 2 D
-
(7)9
BẢNG ĐÁP ÁN
1-D 2-A 3-C 4-B 5-A 6-A 7-D 8-A 9-A 10-C
11-C 12-C 13-C 14-C 15-B 16-B 17-B 18-B 19-D 20-B
21-C 22-D 23-A 24-D 25-B 26-D 27-D 28-A 29-A 30-A
31-D 32-B 33-A 34-A 35-A 36-D 37-B 38-C 39-A 40-A
41-C 42-A 43-D 44-B 45-A 46-A 47-C 48-C 49-D 50-B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu (NB)
Phương pháp:
- Đường thẳng d:x x0 y y0 z z0
a b c
có VTCP ua b c; ; - Mọi vectơ phương với u VTCP đường thẳng d
Cách giải:
Đường thẳng :
2
x y z
d
có VTCP u2; 4; 6 1; 2;3
nên u 1; 2;3 VTCP đường thẳng d
Chọn D Câu (TH) Phương pháp:
- Xác định đường giới hạn hình phẳng
- Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x y g x x a x b , , ,
b a
f x g x dx
Cách giải:
Xét phương trình hồnh độ giao điểm: 2 2 2 0
2
x
x x x x
x
Vì hình phẳng thuộc góc phần tư thứ hai nên x 0 x
Khi diện tích hình phẳng thuộc góc phần tư thứ hai, giới hạn parabol y 2 x2, đường thẳng y x
trục Oy giới hạn đường y 2 x y2, x x, 1,x0 nên
7
2
6
S x x dx
(8)10
Câu (TH) Phương pháp:
Sử dụng công thức
log n log 1,
m
a a
m
b b a b
n
1
log ,
log
a
b
b a b
a
Cách giải: Ta có:
3
2
logx a b
3
1
log log
3 xa xb
2
log log
3 xa xb
2
3logax logbx
3 1
2 3
Chọn C Câu (NB) Phương pháp:
Diện tích mặt cầu bán kính R S 4R2
Cách giải:
Diện tích mặt cầu có bán kính
r bằng:
2
2
4
2
S r
Chọn B Câu (TH) Phương pháp:
Với a0, giải bất phương trình logarit: log b a f x b f x a
(9)11
2
log x 1
2
0 x x
2
0
x x
x x
1
1
x x
x
1;0 1;
x
Chọn A Câu (TH) Phương pháp:
- Sử dụng tính chất tam giác vng cân tính độ dài đường sinh bán kính đáy hình nón - Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh l bán kính đáy r Sxq rl Cách giải:
Vì hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh huyền 2a nên độ dài đường sinh hình nón 2
2
a
l a bán kính đáy hình nón
a r a
Vậy diện tích xung quanh hình nón là: . 2 2
xq
S rl a a a Chọn A
Câu (NB) Phương pháp:
Mặt cầu S : x a 2 y b 2 z c2 R2 có tọa độ tâm I a b c ; ;
Cách giải:
Mặt cầu S : x1 2 y2 2 z 32 16 có tọa độ tâm I1; 2;3 Chọn D
Câu (NB) Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa hai số phức nhau:
1 1 2 2
1
; a a
z a b i z a b i z z
b b
(10)12
Ta có
5
x yi x i
y
Chọn A Câu (NB) Phương pháp:
Sử dụng công thức SHTQ CSC: un u1 n1 d
Cách giải:
Ta có u4 u1 3d 2 3.3 11.
Chọn A Câu 10 (TH) Phương pháp:
- Sử dụng định lí Pytago tính BC
- Thể tích khối hộp chữ nhật có kích thước , ,a b c V abc Cách giải:
Xét tam giác vng ABC ta có BC AC2AB2 5232 4.
Vậy VABCD A B C D ' ' ' 'AB BC AA ' 3.4.8 96.
Chọn C Câu 11 (NB) Phương pháp:
Hàm số yloga f x xác định f x xác định f x 0
Cách giải:
Hàm số ylog5 x xác định x 0 x
Vậy TXĐ hàm số cho ;0 0;
Chọn C Câu 12 (NB) Phương pháp:
Số nghiệm phương trình f x m số giao điểm đồ thị hàm số y f x đường thẳng y m
(11)13
Số nghiệm phương trình f x 2 số giao điểm đồ thị hàm số y f x đường thẳng y2 song song với trục hoành
Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y2 cắt đồ thị hàm số y f x điểm phân biệt Vậy phương trình f x 2 có nghiệm thực
Chọn C Câu 13 (TH) Phương pháp: - Đưa số
- Giải phương trình mũ af x ag x f x g x Cách giải:
Ta có:
3 2020 2020
4x 2 2 x 2 2x 2020 x 1007
Chọn C Câu 14 (NB) Phương pháp:
Đồ thị hàm số y ax b cx d
có TCĐ
d x
c
Cách giải:
Đồ thị hàm số
2
x y
x
có TCĐ
1
x
Chọn C Câu 15 (NB) Phương pháp:
- Dựa vào BBT xác định điểm cực tiểu hàm số điểm mà hàm số xác định qua đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương
- Giá trị cực tiểu hàm số giá trị điểm cực tiểu hàm số Cách giải:
Hàm số đạt cực tiểu x3 giá trị cực tiểu xCT y 3 5
(12)14
Phương pháp:
Dựa vào BBT xác định khoảng đồng biến khoảng mà hàm số liên tục có đạo hàm dương Cách giải:
Hàm số cho đồng biến ; 2 0;
Chọn B Câu 17 (TH) Phương pháp:
- Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với P
- Tìm H P - Tìm , ,a b c tính tổng Cách giải:
Gọi đường thẳng qua A vng góc với P , phương trình đường thẳng là:
1 2
2
x t
y t
z t
Vì H hình chiếu vng góc A P nên H P Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình
1 2
1 2
2
2 4
x t x t
y t y t
z t z t
x y z t t t
1
1
1;3;
2
9
x t t
y t z
H
z t y
t z
1, 3,
a b c
Vậy a b c 1 1 Chọn B
Câu 18 (NB) Phương pháp:
(13)15
Cách giải:
Số phức liên hợp số phức z 3 4i z 3 i
Chọn B Câu 19 (TH) Phương pháp:
- Điểm M a b ; điểm biểu diễn số phức z a bi Từ tìm số phức z
- Thực phép nhân tìm số phức 3 2 i z
Cách giải:
Vì M2;1 điểm biểu diễn số phức z nên z 2 i
3 2i z 3 2i i 7i
Vậy số phức 3 2 i z có phần thực 4.
Chọn D Câu 20 (TH) Phương pháp:
Sử dụng tính chất tích phân:
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
Cách giải: Ta có
2 2
1 1
2
f x x dx f x dx xdx
2
2
1
x
Chọn B Câu 21 (TH) Phương pháp:
- Tính độ dài đường sinh l r2h2.
- Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh l bán kính đáy r Sxq rl Cách giải:
(14)16
Vậy diện tích xung quanh hình nón Sxq rl.1 10 10 Chọn C
Câu 22 (TH) Phương pháp:
- Khai triển nhị thức Niu-tơn:
0
n
n k k n k
n k
a b C a b
- Tìm k tương ứng với hệ số số hạng chứa x5, giải phương trình tìm k
- Suy hệ số x5.
Cách giải:
Ta có 8 8
8
0
3 k k k k k k
k k
x C x C x
Hệ số số hạng chứa x5 ứng với 8 k 5 k 3.
Vậy hệ số số hạng chứa x5 khai triển 8
3x2 5 3 83 1944
C C
Chọn D Câu 23 (NB) Phương pháp:
Giải phương trình logarit: log b
ax b x a
Cách giải:
3
log x 1 x x 10
Chọn A Câu 24 (TH) Phương pháp:
- Sử dụng phương pháp đưa biến vào vi phân
- Sử dụng cơng thức tính ngun hàm
n
n u
u du C n
n
Cách giải:
9 9
2 5
2
x dx x d x
10
10
2
1
2 10 20
x
C x C
(15)17
Chọn D Câu 25 (TH) Phương pháp:
- Diện tích tam giác cạnh a
2 3
a S
- Thể tích khối lăng trụ diện tích đáy nhân chiều cao Cách giải:
Diện tích đáy lăng trụ
2 3
a S
Thể tích lăng trụ
2 3 3
4
a a
V a
Chọn B Câu 26 (NB) Phương pháp:
Dựa vào hình dáng đồ thị suy dạng đồ thị hàm số Cách giải:
Đồ thị cho đồ thị hàm bậc bốn trùng phương y ax 4bx2c có hệ số a0 nên có đáp án D
thỏa mãn Chọn D Câu 27 (NB) Phương pháp:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu vng góc điểm A a b c ; ; trục Oz có tọa độ
0;0; c Cách giải:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu vng góc điểm A5;7;11 trục Oz có tọa độ
0;0;11 Chọn D Câu 28 (TH) Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ bất phương trình
- Giải phương trình tích 0
A A B
B
(16)18
- Kết hợp ĐKXĐ suy tập nghiệm đếm số nghiệm nguyên bất phương trình Cách giải:
ĐKXĐ 2 16 0 4 .
2
x x x
x
Ta có:
2 2
2x 16 x 5x4 0
2
2
2 16
5
x
x x
2 4 2
1
1
x x
x x
Kết hợp ĐKXĐ ta có x 2; 2
Vậy số nghiệm nguyên bất phương trình cho Chọn A
Câu 29 (NB) Phương pháp:
Thể tích khối trụ có bán kính đáy r đường sinh l V r l2 .
Cách giải:
Thể tích khối nón V r l2 .3 45 2
Chọn A Câu 30 (TH) Phương pháp:
Đổi biến số, đặt t3 x
Cách giải:
Đặt t3xdt3 dx
Đổi cận: 0
1
x t
x t
1 3
0 0
1
3 3
3
f x dx f t dt f x dx
(17)19
Phương pháp:
- Sử dụng cơng thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp có cạnh bên
2
2
canh ben R
h
với h chiều cao hình chóp
- Diện tích mặt cầu bán kính R S4R2.
Cách giải:
Gọi O trung điểm AC
Vì tam giác ABC vng cân B nên O tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Chóp S ABC có SA SB SC nên SOABC
Tam giác ABC vng cân B có AB BC 2aAC2a 2OA a
Áp dụng định lí Pytago tam giác vuông SOA SO: SA2OA2 4a22a2 a 2.
Suy bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp
2
2 2
2
2 2
a SA
R a
SO a
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp S4R2 8a2.
Chọn D Câu 32 (TH) Phương pháp:
- Mặt cầu đường kính AB có tâm trung điểm AB bán kính
AB R
- Mặt cầu tâm I a b c ; ; bán kính R có phương trình x a 2 y b 2 z c2 R2.
Cách giải:
(18)20
Mặt cầu đường kính AB có tâm I2;0;1 bán kính 2
AB
R
Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là: x22y2 z 12 2.
Chọn B Câu 33 (TH) Phương pháp:
Xác định số điểm cực trị số điểm mà hàm số liên tục qua đạo hàm đổi dấu Cách giải:
Vì hàm số liên tục nên hàm số liên tục x, f x' đổi dấu qua điểm
3, 2,
x x x Vậy hàm số cho có điểm cực trị Chọn A
Chú ý giải: Hàm số đạt cực trị x 2, không thiết f ' 2 0
Câu 34 (VD) Phương pháp:
- Sử dụng công thức nhân đôi cos 2x2 cos2x1
- Đặt ẩn phụ tcos ,x t 1;1 , đưa tốn tìm GTNN hàm số y f t nên 1;1
- Tính f t' , xác định nghiệm ti 1;1
- Tính giá trị f 1 ,f , f ti
- KL:
1;1 f t f ,f , f ti
Cách giải:
Ta có f x cos 2x5cosx2cos2x5cosx1.
Đặt tcos ,x t 1;1 , tốn trở thành tìm GTNN hàm số y f t 2t2 5 1t 1;1
Ta có: ' 5 1;1
f t t t
Lại có f 1 6,f 1 4
Vậy
1;1 f t
(19)21
Sử dụng công thức z z1 2 z z1 2 z z Cách giải:
Ta có:
.w w w
z z z
2
2 2
4 1
Chọn A Câu 36 (VD) Phương pháp:
- Chứng minh d AA BC '; 'd A BCC B ; ' ' , sử dụng định lí khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song chứa đường thẳng
- Trong ABC kẻ AK BC K BC , AHK kẻ AI HK I HK, chứng minh AI BCC B' '
- Sử dụng định lí Pytago hệ thức lượng tam giác vng tính khoảng cách Cách giải:
Ta có AA'/ /BB'AA'/ /BCC B' 'BC'd AA BC '; 'd AA BCC B '; ' 'd A BCC B ; ' '
Trong ABC kẻ AK BC K BC , AHK kẻ AI HK I HK ta có:
BC AK
BC AHK BC AI
BC AH
' '
AI HK
AI BCC B
AI BC
; ' ' '; '
d A BCC B AI d AA BC
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ABC ta có
2 2
3
AB AC a a a
AK
AB AC a a
Tam giác ' ' 'A B C có ' ' ' '2 ' '2 2 ' ' ' .
2
(20)22
2 2
' '
AH AA A H a a a
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng AHK ta có:
2 2
2
3
2 15
3
4
a a
AH AK a
AI
AH AK a
a
Vậy '; ' 15
a
d AA BC
Chọn D Câu 37 (TH) Phương pháp:
- Giả sử sau n năm người nhận số tiền nhiều 300 triệu đồng, tính số tiền có sau n năm
1 n
n
A A r với A số tiền ban đầu, r lãi suất kì hạn, n số kì hạn gửi - Giải bất phương trình An 300, tìm n số nguyên dương nhỏ thỏa mãn Cách giải:
Giả sử sau n năm người nhận số tiền nhiều 300 triệu đồng Số tiền có sau n năm An A1rn 200 0,05 n
Ta có: An 300200 0,05 n 300 n 8,31
Vậy sau năm người nhận số tiền nhiều 300 triệu đồng Chọn B
Câu 38 (TH) Phương pháp:
- Mặt phẳng qua A vng góc với BC nhận BC VTPT
- Phương trình mặt phẳng qua A x y z 0; ;0 0 có VTPT n a b c ; ; có phương trình là:
0 0 0
a x x b y y c z z Cách giải:
Ta có BC1; 3;1 VTPT mặt phẳng cần tìm
Phương trình mặt phẳng cần tìm: 1x 1 3 y 1 1 z 1 x 3y z 1 Chọn C
(21)23
- Xét phương trình hồnh độ giao điểm
- Cơ lập ,m đưa phương trình dạng k h x *
- Sử dụng tương giao đồ thị hàm số tìm điều kiện k để (*) có nghiệm phân biệt Cách giải:
Xét phương trình hồnh độ giao điểm x3 3x2 k k x33x2 h x *
Ta có ' 3 6 0
2
x
h x x x
x
BBT:
Để C1 C2 có hai điểm chung phương trình * phải có nghiệm phân biệt
k k
Vậy có giá trị k thỏa mãn Chọn A
Câu 40 (VD) Phương pháp:
- Điều kiện để số , ,a b c theo thứ tự lập thành CSN ac b 2.
- Đưa số 2, sử dụng công thức loganb 1logab0 a 1,b log a xy loga x loga y
n
0 a 1, ,x y0
- Đưa phương trình bậc hai hàm số logarit, giải phương trình tìm x
Cách giải:
Để ba số log ,1 log ,log8 x 4 x 2 x theo thứ tự lập thành cấp số nhân
2
8
log logx x 1 log x
2 2
1
log log log
3 x x x
(22)24
2 2 2
1
log log log log log
3 x x x x
2
2 2
2 1
log log log log
3 x x x x
2
2
1
log log
12 x x
6
2
2
2
log 1
2 ;
log
4 x x S x x
Vậy tập hợp S có phần tử Chọn A
Câu 41 (VD) Phương pháp:
- Đặt tln ,x tìm khoảng giá trị t xét tính tăng giảm , x t
- Đưa tốn dạng tìm m để hàm số y at b ct d
đồng biến khoảng
' ;
;
y
m n d
m n c
- Đối chiếu điều kiện đề tìm m
Cách giải:
Đặt tln ,x với x 1;e3 t 0;3 , ,x t tính tăng giảm
Bài tốn trở thành tìm m để hàm số y t 10 t m
đồng biến khoảng 0;3
Ta có TXĐ D\ m
2
10
' m
y
t m
Để hàm số y t 10 t m
đồng biến khoảng 0;3
10
' 10
0;3 0 m y m m m m m
Mà m số nguyên không âm nên S0;3; 4;5;6;7;8;9
Vậy tập hợp S có phần tử Chọn C
(23)25
- Sưu tầm FB Nguyễn Duy Tân –
Gọi M N, trung điểm BC B C, ' ' Gọi K MNEF
Ta có ' ' '
'
BC AM
BC AMNA BC AA BC BB
BC A M
Do DEFBB' nên EF BB'
Trong BCC B' ' có ' / / , '
EF BB
BC EF
BC BB
suy K trung điểm EF
Lại có BCAMNA'BCDKEFDK Suy DEF cân D
Vì ABB A' ' ACC A' ' EDF 900 DEF vuông cân D
Theo ta có: CDEF 4 DE DF EF 4
4 4
2
EF EF
EF EF BC EF
Vì ABC nên 3
BC
AM
Kẻ MH AA' ta có 2
MH DK EF
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng 'A MA ta có:
2 2
1 1
'
(24)26
2 2
1 1
'
4 12 A M
2
2
1
'
' 6 2 1 A M
A M
Vậy ' ' ' ' ' 12 10
2
ABC A B C ABC
V A M S A M AM BC
Chọn A Câu 43 (VDC) Phương pháp:
- Tính ',y sử dụng quy tắc tính đạo hàm tích
- Sử dụng tương giao, phương pháp lấy nguyên hàm hai vế xác định số nghiệm bội lẻ phương trình ' 0y
và suy số điểm cực trị hàm số Cách giải:
ĐKXĐ: x0 Ta có
4
1
1
y f x
x
5
4
' '
y f x f x f x
x x
5
4
' 1 '
y f x f x x f x
x
1 '
'
f x y
x f x f x
Dựa vào BBT ta thấy phương trình 1 có nghiệm phân biệt x0 nghiệm bội chẵn Xét phương trình 2 : 'x f x f x 1
2
' '
f x x f x x
x x
2
1 '
f x
x x
Lấy nguyên hàm hai vế ta có f x 12 dx C
(25)27
Dựa vào BBT ta thấy f 1 1 nên 1 2,
1 C C
f x 1 * x
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy (*) có nghiệm phân biệt x0 khơng thỏa mãn Tóm lại, phương trình ' 0y có nghiệm bội lẻ phân biệt
Vậy hàm số cho có điểm cực trị Chọn D
Câu 44 (VD) Phương pháp:
- Chứng minh SAB SAC, vuông A Suy SAABC
- Xác định góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vnggóc với giao tuyến
- Tính SABC nhờ cơng thức Hê-rong, từ tính AH 2S ABC
BC
(26)28
Áp dụng định lí Pytago đảo ta chứng minh SAB SAC, vng A
SA AB
SA ABC
SA AC
Trong ABC dựng AH BC ta có: BC AH BC SAH BC SH
BC SA
, ; ;
,
SBC ABC BC
SH SBC SH BC SBC ABC SH AH SHA
AH ABC AH BC
Ta có: SABC p p AB p BC p AC 6 14 với p nửa chu vi tam giác ABC p, 12
2 2.6 14 14
10
ABC S AH
BC
2 2.6 114 114
10
SBC S SH
BC
Xét tam giác vng SAH ta có tan 12 10 14 14 14
5
SA SHA
AH
Vậy tan ; 10 14 14
SBC ABC
Chọn B Câu 45 (VD) Phương pháp: - Dựa vào lim
xy tìm dấu hệ số a
- Dựa vào giao điểm đồ thị với trục tung suy dấu hệ số d
(27)29
Cách giải:
Ta có lim
xy a
Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ âm d Ta có y' 3 ax22bx c .
Vì hàm số có điểm cực trị âm nên phương trình ' 0y có nghiệm âm phân biệt
2
0
b a c
a
Mà a0 nên b0,c0
Vậy số , , ,a b c d khơng có số dương Chọn A
Câu 46 (VDC) Phương pháp:
Đặt
2
t x x x
Cách giải:
Đặt
2
t x x x
2
1
2
x
dt dx
x x
2 3
2
x x x
dt dx
x x
3
3
3
x x x
dt dx
x x
3
t
dt dx
x x
3
dx dt
t x x
(28)30
1 1
ln
2
2
dt
F x dx t C
t x x
1ln 3
2
F x x x x C
Lại có F 1 ln
1
ln ln
2 C
1
ln ln
2 C
ln ln 2C ln
1
2 ln ln
2
C C
1ln 3 1ln
2 2
F x x x x
12lnx 32 x x 3 12ln
F x
e e
3 2 1
ln
ln
2 . 2
x x x
e e
3
2
2
x x x
2x x x
2021
2020
2.2021 2021 2021
2.2020 2020 2020
F
F e e
Vậy eF2021eF2020 0,022.
Chọn A Câu 47 (VDC) Cách giải:
- Sưu tầm FB –
(29)31
Xếp học sinh nam có 5! cách, xếp học sinh nữ vào vị trí cịn lại có 5! cách Đổi chỗ nam nữ có cách
Có 5! 2 cách xếp 10 học sinh có nam nữ ngồi xen kẽ * Xếp học sinh khơng có An Bình trước:
TH1:
+ Học sinh nam đứng đầu hàng, có 4!2 cách
+ Xếp An Bình vào vị trí gồm vị trí học sinh liền kề vị trí biên Ứng với vị trí có cách xếp An Bình cho thỏa mãn yêu cầu, có cách xếp
Có 4! 2 cách TH2:
+ Học sinh nữ đứng đầu hàng, tương tự TH1 có 4! 2 cách
Số cách xếp 10 học sinh xen kẽ mà An ln cạnh Bình 2.9 4! 2 cách
Vậy số cách xếp nam nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An không ngồi cạnh Bình là:
2 2 2 2 2
2 5! 2.9 4! 2.5.5 4! 18 4! 32 4! cách Chọn C
Câu 48 (VDC) Phương pháp:
- Từ giả thiết f3 x 3f x sin 2 x33x2 x thay x 1x chứng minh f x f 1x.
- Chứng minh
1
0
1 ,
f x dx f x dx
từ tính I
Cách giải:
- Sưu tầm FB Lưu Thêm -
Theo ta có:
3 2
3 1 3 1 sin 1 3 1 1
f x f x x x x
3 1 3 1 sin 6 6 2 3 6 3 1
f x f x x x x x x x
3 1 3 1 sin 2 3
f x f x x x x
3 1 3 1 sin 2 3
f x f x x x x
3 1 3 1 3
f x f x f x f x
(30)32
3 1 3 1 3 0
f x f x f x f x
1 21 1 2 3 1 0
f x f x f x f x f x f x f x f x
1 21 1 2 3 0
f x f x f x f x f x f x
1
f x f x
Suy
1
0
1
f x dx f x dx
Ta lại có
1 1
0
1 1
f x dx f x d x f x dx f x dx
Do
1 1
0 0
0
I f x dx f x dx f x dx
Vậy I1;1
Chọn C Câu 49 (VDC) Cách giải:
- Sư tầm FB Trần Minh Quang –
Với số a b c; ; thỏa mãn a b c 1 ta có:
b c a c a b
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
2
2 2
2
2 2
b c a
c a b
a b c abc ab bc ca
a b c abc ab bc ca
Cộng vế theo vế BĐT 1 2 ta có ab2.bc2.cb2.ac2.ba2.cb2 2abc 2 ab bc ca *
Mà ba2 ab2,cb2 bc2,ca2 ac2 nên từ * ta có 2 2 2 22
2 abc ab bc ca ab bc ca
2
2 b c a
abc ab bc ca a b c
1
2 ab bc ca ab.bc.ca b a c b a c
2 ab bc ca ab bc ca a b c
2 ab bc ca ab bc ca
2
2
ab bc ca ab bc ca
(31)33 1 2
ab bc ca
(vô lý)
Vậy khơng có số a b c; ; thỏa mãn yêu cầu toán Chọn D
Câu 50 (VDC) Cách giải:
ĐKXĐ:
, b a a b Ta có: 3
log log
2
ab b a
3
1
log log
2
ab b a
1 log ab b a ab b a
1 ab b a
1
3 b
b
a a
Áp dụng BĐT Cơ-si ta có b b
a a nên 2 3
b b b b
a a a a
3 3 b
a b b
a a b Loai a
Ta có:
2 2 2 2 2
1 a b 1 a b a b
P
a a b a a b
Áp dụng BĐT Cô-si ta có 1a b2 2 a b2 2ab nên 1a2b2a b2 2a2b2 2aba b 2
2
2 2
1
1
a b
a b a b a b b
P
a a b a a b a a
(32)34
Vậy min
1
1
3 1
3
4 3
, 0,
, 0,
b
a a
a a
b
P b a
a
a b b a b
a b b a
Chọn B
HẾT