Đang tải... (xem toàn văn)
Tham khảo Chuyên đề luyện thi Đại học 10: Hình học không gian dành cho các em học sinh đang chuẩn bị cho các kỳ kiểm tra, và củng cố lại được kiến thức về hình học không gian tốt hơn.
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chuyên đề 10: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN ƠN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP - 10 Hệ thức lượng tam giác vuông: Cho ∆ABC vuông A ta có : a) Định lý Pitago : BC = AB + AC A b) BA2 = BH BC ; CA2 = CH CB c) AB AC = BC AH b c 1 = + d) AH AB AC H M C B e) BC = 2AM a b c b c f) sin B = , cosB = , tan B = , cot B = a a c b b b = g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = , sin B cos C b = c tanB = c.cot C 2.Hệ thức lượng tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c = = = 2R * Định lý hàm số Sin: sin A sin B sin C Các cơng thức tính diện tích: a/ Cơng thức tính diện tích tam giác: a.b.c a+b+c = p.r = p.( p − a )( p − b)( p − c) với p = S = a.ha = a.b sin C = 4R 2 Đặc biệt : ∆ABC vuông A : S = AB AC b/ Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn) d/ Diện tích hình thang : S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình trịn : S = π R 84 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Các hệ thức quan trọng tam giác đều: ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 A.QUAN HỆ SONG SONG §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: a Đường thẳng mặt phẳng gọi song song a/ /(P) ⇔ a ∩ (P) = ∅ với chúng (P) khơng có điểm chung II.Các định lý: ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm mp(P) song song với đường thẳng a nằm mp(P) đường thẳng d song song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) cắt theo giao tuyến song song với a ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng d d ⊄ (P ) d / / a ⇒ d / /(P ) a ⊂ (P ) a / /(P) ⇒ d / /a a ⊂ (Q) (P) ∩ (Q) = d a (P) (Q) a d (P) (P) ∩ (Q) = d ⇒ d / /a (P) / /a (Q) / /a 85 d a Q P Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn §2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song với chúng điểm chung II.Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) (Q) song song với ĐL2: Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song (P)/ /(Q) ⇔(P) ∩(Q) =∅ P Q a,b ⊂ (P) ⇒ (P) / /(Q) a ∩ b = I a / /(Q),b / /(Q) (P) / /(Q) ⇒ a / /(Q) a ⊂ (P) P a b I Q a P Q R (P) / /(Q) (R) ∩ (P) = a ⇒ a / / b (R) ∩ (Q) = b P Q a b B.QUAN HỆ VNG GĨC §1.ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa: Một đường thẳng a ⊥ mp(P) ⇔ a ⊥ b,∀b ⊂ (P) a gọi vng góc với Hệ quả: mặt phẳng vng a ⊥ mp(P) góc với đường thẳng ⇒a⊥b c P b ⊂ mp(P) nằm mặt phẳng II Các định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mp(P) đường thẳng d vng góc với mp(P) d ⊥ a ,d ⊥ b a , b ⊂ mp(P) ⇒ d ⊥ mp(P) a, b caét 86 d b P a Chuyên đề LTĐH ĐL2: (Ba đường vng góc) Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp(P) đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn a ⊥ mp(P), b ⊂ mp(P) a b ⊥ a ⇔ b ⊥ a' P b a' §2.HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC I.Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900 II Các định lý: ĐL1:Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với a ⊥ mp(P) ⇒ mp(Q) ⊥ mp(P) mặt phẳng khác hai a ⊂ mp(Q) mặt phẳng vng góc với ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với (P) ⊥ (Q) đường thẳng a nằm (P) ∩ (Q) = d ⇒ a ⊥ (Q) (P), vng góc với giao a ⊂ (P),a ⊥ d tuyến (P) (Q) vng góc với mặt phẳng (Q) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với (P) ⊥ (Q) A điểm A ∈ (P) (P) đường ⇒ a ⊂ (P) thẳng a qua điểm A ∈ A a vng góc với (Q) a ⊥ (Q) nằm (P) ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt vuông (P) ∩ (Q) = a góc với mặt phẳng thứ ⇒ a ⊥ (R) ba giao tuyến (P) ⊥ (R) chúng vng góc với (Q) ⊥ (R) mặt phẳng thứ ba 87 Q a P P a Q d P a A Q P R Q a Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn §3.KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M đường thẳng a ( mp(P)) O O a H P d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a mp(P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mp(P) d(a;(P)) = OH Khoảng cách hai mặt phẳng song song: khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d((P);(Q)) = OH 4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng d(a;b) = AB a) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng cịn lại b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng a O H P O P Q a H A b B 88 H Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn §4.GĨC Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm phương với a b Góc đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a’ mp(P) Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mp(P) 900 Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Hoặc góc đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến điểm a a' b' b a a' P b a b Q P Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác (H) mp(P) S’ diện tích hình chiếu (H’) (H) mp(P’) a Q P S S' = Scos ϕ A ϕ góc hai mặt phẳng (P),(P’) C ϕ B C CÁC HÌNH ĐA DIỆN §1 Hình chóp Hình chóp: Cho đa giác A1A2 An điểm S nằm ngồi mặt phẳng chứa đa giác Nối S với đỉnh A1, A2, ,An đề n tam giác: SA1A2, SA2A3, ,SAnA1 Hình gồm n tam giác đa giác A1A2 An gọi hình chóp ký hiệu S.A1A2 An 89 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Hình chóp đều: • Một hình chóp gọi hình chóp đáy đa giác cạnh bên • Một hình chóp gọi hình chóp đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Hình chóp tứ giác + Trong hình chóp - Các cạnh bên tạo với đáy góc - Các mặt bên tạo với đáy góc Hình chóp tam giác §2 Hình lăng trụ Hình lăng trụ: Hình hợp hình bình hành A1A2A'2A'1, A2A3A'3A'2, ,AnA1A'1A'2 hai đa giác A1A2 An, A'1A'2 A'n gọi hình lăng trụ lăng trụ, ký hiệu A1A2 An.A'1A'2 A'n + Trong hình lăng trụ - Các cạnh bên nhau; - Các mặt bên hình bình hành; - Hai đáy hai đa giác Hình hộp: hình lăng trụ có đáy hình bình hành + Trong hình hộp - Các mặt bên hình bình hành; - Các đường chéo hình hộp cắt trung điểm đường 90 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Hình lăng trụ đứng: hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy + Trong hình lăng trụ đứng - Độ dài cạnh bên chiều cao; - Các mặt bên hình chữ nhật Hình lăng trụ đều: hình lăng trụ đứng có đáy đa giác + Trong hình lăng trụ - Độ dài cạnh bên chiều cao; - Các mặt bên hình chữ nhật Hình hộp đứng: hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành Hình hộp chữ nhật: hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật 91 Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Hình lập phương: hình hộp chữ nhật có tất cạnh 92 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN Thể tích khối đa diện hiểu theo nghĩa thơng thường số đo độ lớn phần không gian mà có chiếm chổ Từ xa xưa người tìm cách đo thể tích khối vật chất tự nhiên Đối với vật thể lỏng, khối nước bể chứa, người ta dùng thùng có kích thước nhỏ để đong Đối với vật rắn có kích thước nhỏ người ta thả chúng vào thùng đổ đầy nước đo lượng nước trào Tuy nhiên thực tế có nhiều vật thể khơng thể đo cách Chẳng hạn để đo thể tích kim tự tháp Ai Cập ta khơng thể nhúng vào nước hay chia nhỏ Vì người ta tìm cách thiết lập cơng thức tính thể tích số khối đa diện đơn giản biết kích thước chúng, từ tìm cách tính thể tích khối đa diện phức tạp A TÓM TẮT GIÁO KHOA I Thể tích khối chóp 1) Cơng thức tính thể tích khối chóp: • Định lý: Thể tích khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h là: V = B.h • Một số vấn đề có liên quan đến thể tích khối chóp Định lí 1: Thể tích khối chóp khơng thay đổi đỉnh di chuyển đường thẳng song song với mặt phẳng chứa đáy 93 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Định lý 2: Cho khối chóp tam giác S ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A ', B ', C ' khác với S Gọi V V ' thể tích khối chóp S ABC S A ' B ' C ' Ta ln có: VS ABC V SA SB SC = = V ' VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' 2) Các toán luyện tập đơn giản: Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: 3) Các toán luyện tập nâng cao: Bài 1: (A-2013) Bài 2: (B-2013) 94 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 3: (D-2013) Bài 4: (D-2012) Bài 5: (B-2012) Bài 6: (A-2012) Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: 95 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 14: II Thể tích khối lăng trụ 1) Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ: • Định lý: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h là: V = B.h 1) Các toán luyện tập đơn giản: Bài Bài Bài Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên a, đáy ABC tam giác đều, hình chiếu A (A’B’C’) trùng với trọng tâm G ∆ A’B’C’ Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với (A’B’C’) góc 600 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a Bài Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’,có AA’ >AB A’B = 2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) a 15 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a 96 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 2) Các toán luyện tập nâng cao: Bài Bài Bài Bài Bài Bài 97 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn MẶT CẦU Trong đời sống ngày thường thấy hình ảnh mặt cầu thơng qua hình ảnh bề mặt bóng bàn, viên bi, mơ hình địa cầu, bóng chuyền A TĨM TẮT GIÁO KHOA I Mặt cầu khái niệm liên qua đến mặt cầu Mặt cầu • Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng không đổi R (R>0) gọi mặt cầu tâm O bán kính R Ký hiệu: S ( O; R) ) S ( O; R) ) = {M | OM = R} • • • Nếu hai điểm C, D nằm mặt cầu S ( O; R) ) đoạn thẳng CD gọi dây cung mặt cầu Dây cung AB qua tâm O gọi đường kính mặt cầu Khi độ dài đường kính 2R Một mặt cầu xác định biết tâm bán kính biết đường kính mặt cầu Điểm nằm nằm ngồi mặt cầu Cho mặt cầu tâm O bán kính R A điểm khơng gian • Nếu OA = R ta nói điểm A nằm mặt cầu S ( O; R) ) • Nếu OA < R ta nói điểm A nằm mặt cầu S ( O; R) ) • Nếu OA > R ta nói điểm A nằm ngồi mặt cầu S ( O; R) ) 98 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Khối cầu: Tập hợp điểm thuộc mặt cầu S ( O; R) ) với điểm nằm mặt cầu gọi khối cầu hình cầu tâm O bán kính R Cơng thức tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu • Mặt cầu có bán kính R có diện tích là: S = 4πR • Khối cầu bán kính R có bán kính là: V = πR Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Định nghĩa: Mặt cầu qua đỉnh hình đa diện gọi mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện hình đa diện gọi nội tiếp mặt cầu Một số kiến thức có liên quan AB AMB = 900 I la trung diem AB ⇒ MI = M: điểm nhìn đoạn AB góc vng 99 Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn M ∈ ∆ ⇔ MA = MB ∆ : đường thẳng trung trực đoạn thẳng AB M ∈ α ⇔ MA = MB α : mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB M ∈ ∆ ⇔ MA = MB = MC ∆ : trục tam giác ABC Đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đa giác tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác gọi trục đa giác 100 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác ? Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác ? II Các tốn luyện tập Bài Bài Bài Bài Bài Bài Hết 101 ... ,An đề n tam giác: SA1A2, SA2A3, ,SAnA1 Hình gồm n tam giác đa giác A1A2 An gọi hình chóp ký hiệu S.A1A2 An 89 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Hình chóp đều: • Một hình chóp gọi hình. .. bên hình bình hành; - Hai đáy hai đa giác Hình hộp: hình lăng trụ có đáy hình bình hành + Trong hình hộp - Các mặt bên hình bình hành; - Các đường chéo hình hộp cắt trung điểm đường 90 Chuyên đề. .. bình hành Hình hộp chữ nhật: hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật 91 Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Hình lập phương: hình hộp chữ nhật có tất cạnh 92 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn