Trong quaù trình daïy toaùn vaø boài döôõng HS gioûi toaùn toâi thaáy raèng vieäc tìm toøi môû roäng caùc baøi toaùn quen thuoäc thaønh caùc baøi toaùn môùi, tìm caùc caùch giaûi khaùc n[r]
(1)PHO PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH CHƯƠNG TRƯỜNG THCS TÔN QUANG PHIỆT
=====***=====
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài
HƯỚNG DẪN HỌC SINH
KHÁ, GIỎI SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN MỚI TỪ BÀI TOÁN GỐC
Nàm hoüc 2007 Nàm hoüc 2007 Nàm hoüc 2007
Nàm hoüc 2007 2008 2008 2008 2008
(2)Năm học: 2007 - 2008 Người viết: Lê Thanh Hoà
Giáo viên tốn trường THCS Tơn Quang Phiệt PHỊNG GIÁO DỤC THANH CHƯƠNG Trường THCS Tôn Quang Phiệt
HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI TOÁN HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI TOÁN HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI TOÁN HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI TOÁN SÁNG TẠO CÁC BÀI TỐN MỚI TỪ BÀI SÁNG TẠO CÁC BÀI TỐN MỚI TỪ BÀI SÁNG TẠO CÁC BÀI TỐN MỚI TỪ BÀI SÁNG TẠO CÁC BÀI TỐN MỚI TỪ BÀI TOÁN GỐC
(3)2.Mục đích nghiên cứu
Đây đề tài rộng ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể rõ vẻ đẹp mơn hình học, đặc biệt giúp phát triển khả tư sáng tạo học sinh, vấn đề quan tâm thường xun dạy học thầy giáo chắn đề tài kinh nghiệm bổ ích việc đào tạo bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi tốn Vì thực tế dạy học toán nhiều toán mà giải ta tìm nhiều ý tưởng hay độc từ sáng tạo nên chuỗi tập liên quan với nhau, tổng qt hố tốn
nhưng khn khổ viết xin phép đưa toán mẫu để minh hoạ cho ý tưởng dạy học toán ""Dạy toán dạy cho học sinh biết cách sáng tạo toán""
3.Đối tượng phạm vi áp dung:
Đề tài viết trình dạy học tơi trường THCS Tơn Quang Phiệt trường trọng điểm huyện nên có nhiều học sinh có khả tiếp thu học tập mơn tốn, học sinh ham học tìm tòi Việc thể đề tài thuận lợi
I ĐẶT VẤN ĐỀ: 1.Lý chọn đề tài
Ở trường THCS dạy toán dạy hoạt động tốn học cho học sinh, giải tốn đặc trưng chủ yếu hoạt động toán học HS Để rèn luyện kỹ giải toán cho HS việc trang bị tốt kiến thức cho HS giáo viên cần hướng dẫn cho HS biết cách khai thác, mở rộng kết toán để HS suy nghĩ tìm tịi kết sau toán
Nhưng thật tiếc thực tế chưa làm điều cách thường xuyên Phần lớn GV chưa có thói quen khai thác tốn thành chuỗi toán liên quan, giải toán dừng lại việc tìm kết tốn Điều làm cho HS khó tìm mối liên hệ kiến thức học Cho nên bắt đầu giải toán HS phải đâu? cần vận dụng kiến thức nào? tốn có liên quan đến tốn gặp?
Hình học khơng đơn ""Chỉ vẽ hình ra"".Nó địi hỏi cần phải có suy luận, phân tích, tưởng tượng đức tính cần có người làm tốn Các bạn tự hỏi, nhiều người tự sáng tạo nhiều tốn lĩnh vực đại số, giải tích, số học, hình học lại q hay chưa? Nếu xem xét cách nghiêm túc hình học khơng phải khó tìm sáng tạo mà vấn đề dành cho hình học quan tâm mức
Trong q trình dạy tốn bồi dưỡng HS giỏi tốn tơi thấy việc tìm tịi mở rộng tốn quen thuộc thành tốn mới, tìm cách giải khác cho toán để từ khác sâu kiến thức cho HS phương pháp khoa học hiệu quả.Qúa trình toán đơn giản đến tập khó là bước phù hợp để rèn luyện lực tư cho HS
Một điều chắn việc tìm tịi mở rộng tốn kích thích hứng thú học tập óc sáng tạo HS
Từ giúp HS có sở khoa học phân tích , định hướng tìm lời giải cho ác tốn khác Hơn củng cố cho HS lòng tin vào khả giải tốn
Chỉ thơi, nhen nhóm lên em tình u tốn học, mơn học coi q khơ khan
(4)Hình
Gọi K trực tâm AEN NK = NB(do AK // ON; O trung điểm AB) => EK // BF (vì vng góc với AC) Từ ta dễ chứng minh: EKN = FBN (g.c.g) => NE = NF
Hình 2
Hình 1
Lời giải :
a.Gọi N' giao điểm AD BC, N'N vng góc AB ta chứng minh M thuộc N'N Lấy M' trung điểm N'N ta dễ chứng minh M'D vng góc DO M'C vng góc CO => M' giao điểm tiếp tuyến kẻ từ D,C => M' trùng M => MN vng góc AB
b CÁCH 1.(hình 1)
Gọi B' điểm đối xứng b qua N B'A // NO => B'A vng góc NE => B'E vng góc AN => B'E // BF Từ dễ chứng minh B'NE = BNF (g.c.g) => NE = NF
CÁCH 2.(hình 2)
Kẻ OH vuông góc AD ; OI vuông góc BC
Từ đồng dạng tam giác: DAN CBN Lại có tứ giác ONHE ; ONFI nội tiếp ta suy ra:
goùcNHO = goùcNEO = goùcNIO = goùcNFO => EOF cân O => NE = NF
Nhận xét:
Sau giải tốn tơi thấy tốn xây dựng thành tốn khác mức độ khó
Sau tơi xin nêu số suy nghĩ đó:
HƯỚNG KHAI THÁC THỨ NHẤT (sáng tạo bài tốn với giả thiết rộng hơn)
1.TÌNH HUỐNG1:Trước đưa toán GV cần đưa câu hỏi gợi mở để HS suy nghĩ phát vấn đề, ví dụ như: ? Hãy xác định xem GT toán giả thiết HẸP, thay GT RỘNG nào?
? với GT kết toán nào? Bài 1.1:
Cho đường tròn (O) đường kính AB Các dây cung AC,BD cắt N Qua N vẽ đường thẳng vng góc NO, đường úthẳng cắt đường thẳng AD,BC E, F Chứng minh NE = NF
Lời giải: (Hình 3)
BÀI TỐN XUẤT PHÁT 1:( đề thi HSG lớp tỉnh nghệ an năm 2008)
Cho đường trịn O đường kính AB dây cung CD( C,D không trùng với A,B) Gọi M giao điểm tiếp tuyến đường tròn C,D ; N giao điểm dây cung AC BD Đường thẳng qua N vng góc NO cắt AD,BC E,F Chứng minh:
a MN vng góc với AB b NE = NF
E
F B'
N
K N'
F E
N
A
I H
F
E
N
N'
B
M
N'
B
M
O
O
O
B
D
C
A
D
C
A
(5)Lời giải: (hình 6)
Kẻ OP vng góc AC ; OQ vng góc BD tứ giác OQNE; OPNF
nội tiếp nên ta có: gócNOF = gócNPF (1) goùcNOE = goùcNQE (2)
NCA đồng dạng NDB (g.g) lại có P; Q trung điểm AC; BD nên => NPC đồng dạng NQD => gócNQD = gócNPC
gócNQE = gócNPF (3) từ (1);(2);(3) => gócNOE = gócNOF
kết hợp với NO vng góc EF ta suy EOF cân O => NE = NF
Hình Bài 1.4:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).Các đường thẳng AD, BC cắt N (O) Đường thẳng qua N vng góc NO cắt đường thẳng AC, BD E,F
Chứng minh: NE = NF Hình
Hình Lời giải:(Hình 4)
Lấy B' đối xứng với B qua N Khi B'A // NO => B'A ⊥ NF
vì B'N vng góc AF => N trực tâm B'AF => AN vng góc B'F => BE // B'F
(vì vng góc với AN)
Từ dễ dàng chứng minh được: B'NF = BNE (g.c.g) nên => NE = NF
3.TÌNH HUỐNG 3:
Cần ý tốn gốc AB đường kính đường trịn xem GT HẸP, GT RỘNG xét AB dây cung ta có tốn sau tổng quát toán 1.1 1.2
Baøi 1.3:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O).Các đường chéo AC, BD cắtnhau N Qua N vẽ đường thẳng vng góc NO , đường thẳng cắt đường thẳng AD, BC E, F
Chứng minh NE = NF Lời giải: (Hình 5)
kẻ OQ vuông góc AD OR vuông góc BC => Q,R trung điểm cuûa AD, BC
Chú ý rằng: DNA đồng dạng CNB nên suy DNQ đồng dạng CNR => gócDQN = gócCRN
=> gócNQO = gócNEO (1) tứ giác EQON, FRNO nội tiếp nên:
gócNQO = gócNEO gócNRO = gócNFO (2) Từ (1) (2) => gócNEO = gócNFO => EOF cân F => NE = NF
2.TÌNH HUỐNG 2: Với thay đổi nhỏ GT ta có tốn 1.1 tốn mạnh Bây ta để ý đến vị trí điểm N giao điểm dây cung AC ; BD Để sáng tạo toán mới, ta thay GT N giao điểm AC; BD thành GT N giao điểm AD vàØ BC Với GT ta có tốn sau:
Bài1.2:
Cho đường trịn tâm (O) đường kính AB dây cung AD , BC cắt điểm N (O) Qua N kẻ đường vng góc với NO, đường thẳng cắt đường thẳng BD, AC E, F Chứng minh : NE = NF
Q P
F E
N
R Q
F E
N B'
F E
C D
A
O B
N
O
O
A
D
C
B
A D
(6)HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 2:( Sáng tạo bài toán hệ tốn gốc)
Hình 8b
Lời giải:(Hình 8b)
Từ kết tốn 1.6 ta có:
IE = IF IA = IB => AE = FB AF = BE (1) Tứ giác AMBP nội tiếp nên EM.EP = EA.EB (2) Tứ giác ANQB nội tiếp nên: FN.FQ = FB.FA (3) Từ (1) => EA.EB = FA.FB (4)
Từ (2) ; (3) ;(4) => EM.EP = FN.FQ
Bài 1.7: Cho đường tròn tâm (O) Dây cung AB I trung điểm AB, qua I vẽ dây MN,PQ cho MP cắt AB E, NQ cắt AB F
Chứng minh: EM EP = FN.FQ
Lời giải:(Hình 8)
Kẻ OL vng góc PM; OK vng góc QN ta có tứ giác OIEL; OIFK nội tiếp
=> gócOLI = gócOEI gócOKI = goùcOFI (1)
Từ đồng dạng IMP đồng dạng IQN L;K trung điểm PM; QN nên => ILM đồng dạng IKQ => gócILM = gócIKQ => gócOLI = gócOKI (2)
Từ (1) (2) => gócOEI gócOFI => EOF cân tai O (3) I trung điểm AB nên OI vuông góc EF (4)
Từ (3) (4) => IE = IF NHẬN XÉT:
Bằng thay đổi GT toán gốc ta sáng tạo thêm toán cung bậc cao hơn, tổng quát Đưa nhận xét muốn nêu lên khẳng định toán bắt nguồn từ bản, biển phải bắt nguồn từ dịng sơng
Lời giải:(Hình 7)
Kẻ OP vng góc AB; OQ vng góc CD ta có: tứ giác OPEN; OQNF nội tiếp
cho nên: gócNOF = gócNQF (1) gócNOE = gócNPE (2) Tứ giác ABCD nội tiếp nên:
NCD đồng dạng NBA ( Góc N chung; gócNBA = gócNDC)
Do P; Q trung điểm AB, CD nên: NQC đồng dạng NPA ( c.g.c)
=> gócNQC = gócNPA gócNQF = gócNPE (3) Từ (1) ; (2) ; (3) => gócNOF = gócNOE
=> EOF cân tai O, kết hợp với ON vng góc EF => NE = NF
Hình Hình
Bài 1.6:
Cho đường tròn tâm (O) Dây cung AB I trung điểm AB, qua I vẽ dây MN,PQ cho MP cắt AB E, NQ cắt AB F
Chứng minh : IE = IF Bài 1.5:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) Các đường thẳng AD, BC cắt tai N Đường thẳng qua N vng góc với NO cắt đường thẳng AB, CD E, F
Chứng minh : NE = NF
F E
Q M
I P
Q
K L
F E
Q M
I E
F N
O
O
O A
D
C
B
A B
P
N
A B
N
(7)x
HƯỚNG KHAI THÁC THỨ (Sáng tạo tốn khó , trong cách giải cần sử dung kết toán gốc)
Lời giải: (Hinh 10)
Vẽ OT vuông góc BD OK vuông góc BC => TK // CD => gócBKT = gócBCD (1)
Ta có gócOTN = gócOEN ( tứ giác OTEN nội tiếp) (2)
gócN'Kx = gócOF'N' (vì tứ giác OF'N'K nội tiếp) (3)
Vì gócBCD = gócNN'D (2) (Do tứ giác NCN'D nội tiếp)
Từ (1) (2) => gócBKT = gócNN'D = gócNN'T => Tứ giác KNN'T nội tiếp
=>gócNKN' = gócNTN' (4)
Lại có: gócNKN'+ gócN'Kx = 900 (5) gócNTN' + góc OTN = 900 (6) Từ (4) ; (5) ; (6) => gócN'Kx = gócOTN (7) Từ (2); (3) ;(7) =>gócOEN = gócOF'N' (8) Sử dụng kết tốn 1.1 1.2 ta có
OEF vaø OE'F'
là tam giác cân O kết hợp với (8) ta có gócEOFù = gócE'OF' => gócFOF' = gócEOE' (9) Do OE = OF; OE' = OF' nên với (9) suy ra: OEE' = OFF' (c.g.c) => EE' = FF'
Hinh 10 Bài 1.9: Cho đường trịn (o) đường kính AB, dây cung CD; dây AD cắt BC N, AC cắt BD N' Đường thẳng qua N vng góc với NO cắt BD, AC E, F
đường thẳng qua N' vng góc với N'O cắt đường thẳng AD, BC E', F', Chứng minh EE' = FF'
Hình Lời giải:
Gọi A' giao điểm AI (O) AM phân giác gócA nên:
MB AB =
MC AC =
MA + MB AB + AC =
BC AB + AC =
1 (1) BI tia phân giác ABM => IM
IA= MB AB (2) Từ (1) (2) => IM = AI
2 (3)
Chú ý AB'I cân B' B'N phân giác gócAB'I nên => NI = NA = AI
2 (4) Từ (3) (4) => IM = IN Bài 1.8:
Cho tam giác ABC có AB + AC = 2BC nội tiếp đường tròn (O) Gọi I tâm đường trịn nội tiếp tam giác, B', C' điểm cung AB không chứa C cung AC không chứa B (O) B'C' cắt AI N, đường thẳng AI cắt BC M
Chứng minh: IM = IN
K T
F
E
F'
E'
N
N' B
A' M N
I
B'
C'
O A
C B
A O
(8)HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 4: sáng tạo toán chứng minh đường thẳng đồng qui, chứng minh đường thẳng song song nhờ vận dung kết tốn gốc
Hình 11
Lời giải: cách 1: Gọi K giao điểm EE' FF' Ta chứng minh K; O; B thẳng hàng
Từ kết toán 1.9: OEE' = OFF' => gócOE'E = gócOF'F => Tứ giác OKF'E' nội tiếp ý N trực tâm N'AB nên NN' vng góc AB => gócON'N + gócN'OB = 900 (1)
Trong tứ giác OKF'N' có:
goùcON'F' + goùcN'OK +goùcOKF' +goùcKF'N' = 3600
=> gócN'OK +gócOKF'+gócKF'N'=2700 (vì gócON'F'= 900 ) => gócN'OK + gócOKF' + gócKF'O + gócOF'N' = 2700 =>(gócOF'K +gócN'OK) + gócOKF' + gócOF'N' =2700 (2) gócOKF' + gócOF'N' = gócOKF' + gócOE'F' = 1800 (3) Từ (2) ; (3) => gócOF'K +gócN'OK = 900 (4) Chú ý OEF đồng dạng OE'F' (g.g) nên: OF
OF' = ON
ON' (5) gócNOF = gócN'OF' (6) => gócN'ON = gócF'OF (7) Từ (5) (7) => ONN' đồng dạng FOF' (c.g.c)
=> goùcON'N = goùcOF'F = goùcOF'K (8)
Từ (1); (4); => gócON'N + gócN'OB = gócOF'K +gócN'OK (9)
Từ (8) ; (9) => gócN'OK = gócN'OB chứng tỏ K thuộc đường thăng OB EE'; FF' AB đồng qui
Bài 1.10: Cho đường trịn (o) đường kính AB, dây cung CD AC cắt BD N, AD cắt BC N' Đường thẳng qua N vng góc với NO cắt AD, BC E, F
đường thẳng qua N' vng góc với N'O cắt đường thẳng BD, AC E', F', Chứng minh đường thẳng AB, EE', FF' đồng qui điểm
I K
F'
E'
F
E N
N'
A O B
D
(9)CÁCH (Tương tự cách giải toán 10) a Chứng minh EE'; FF'; AB đồng qui gọi K giao điểm FF' AB
Theo định lý Menelauyt cho ABC điểm E' ; E; K thẳng hàng ta có : FB FC
F'C F'A
KA
KB = (22) Tiếp tục sử dụng định lý Menelauyt cho tam giác:
* CAN' điểm F; N; E ta có: FC FN'
EN' EA
NA
NC = (23) *Với DBN' F; N; E ta có: ED
EN' FN'
FB NB
ND = (24) Với AND điểm F'; E'; N' ta có:N'D
N'A E'N E'D
F'A
F'N= (25) *Với BNC điểm F'; E'; N' ta có: N'C
N'B F'N F'C
E'B
E'N = (26) nhân vế (22);(23);(24);(25);(26) ta có:
FB FC F'C F'A KA KB FC FN' EN' EA NA NC ED EN' FN' FB NB ND N'D N'A E'N E'D F'A F'N N'C N'B F'N F'C E'B E'N =1 =>(NA NC NB ND N'D N'A N'C N'B).( ED EA E'B E'D KA
KB) = (27) *Với AND điểm N'; B; C ta có: BN
BD N'D N'A
AC
NC = (28) *Với BNC điểm D; A; N' ta có: AN
AC N'C N'B
DB
DN = (29) Nhân vế (28) (29) ta có: BN
BD N'D N'A AC DN NA AC N'C N'B DB
DN = => NB ND N'D N'A NA NC N'C
N'B = (30)
TừØ (27) (30) ta có: ED EA
E'B E'D
KA
KB = (31)
Hệ thức (31) với định lý đảo Menelauyt => điểm E'; E; K thẳng hàng từ suy đường thẳng EE';FF' AB đồng qui K
b.Chứng minh E'F; EF'; CD đồng qui: Chứng minh tương tự cách
Gọi giao điểm CD EF' I
Sử dụng định lý Menelauyt cho ADC điểm E; I ;F' thẳng hàng ta có:
ID IC
EA ED
F'C
F'A = (19) Từ (17) => ED
EA F'C F'A =
FC FB
E'B E'D (20) Từ (19) (20) ta có:
ID IC
FC FB
E'B
E'D = (21)
Hệ thức 21 với định lý đảo Menelauyt ta suy E'; I; F thẳng hàng từ suy E'F; EF', CD
đồng qui I Hinh 16
b Chứng minh EF'; E'F, CD đồng qui
(10)*Với BNC điểm F'; N'; E' ta có: N'B N'C
F'N F'C
E'B
E'N = (5) Nhân vế đẳng thức ta có:
FB FC F'C F'A KA KB FC FN' EN' EA NA NC ED EN' FN' FB NB ND N'D N'A E'N E'D F'A F'N N'B N'C F'N F'C E'B E'N = => (NA
NC NB ND N'D N'A N'C N'B).( ED EA E'B E'D KA
KB) = (6) *Với AND điểm N'; B; C ta có: BN
BD N'D N'A
CA
CN = (7) *Với BNC điểm D; A; N' ta có: AN
AC N'C N'B
DB
DN = (8) Nhân vế (7) (8) ta có: BN
BD N'D N'A CA CN AN AC N'C N'B DB DN = => NB
ND N'D N'A NA NC N'C
N'B = (9) ; Từ (6) (9) => ED EA
E'B E'D
KA
KB = (10) Hệ thức (10) với định lý đảo Menelauyt ta suy điểm K; E; E' thẳng hàng từ suy EE' ; FF' AB đồng qui K
Hình 11
Cách 2: baøi 1.10
Gọi K giao điểm AB FF' để chứng minh EE'; FF' AB đồng qui ta cân chứng minh K; E;E' thẳng hàng
Sử dụng định lý Menelauyt cho ABC với điểm K; F; F' thẳng hàng ta có:
FB FC
F'C F'A
KA
KB = (1)
*Với CAN' điểm F; N; E ta có: FC
FN' EN'
EA NA
NC = (2)
* Với DBN' điểm F; N; E ta có:
ED EN'
FN' FB
NB
ND = (3)
* Với ADN điểm F'; E'; N' ta có: N'D
N'A E'N E'D
F'A
F'N = (4)
I K F' E' F E N N'
A O B
D
(11)j
Từ kết toán 1.9 chứng minh EE' = FF' ta ý EE'; FF' cặp cạnh đối tứ giác EE'F'F nên đưa tốn sau:
Bài 1.11:Cho đường trịn (o) đường kính AB, dây cung CD AC cắt BD N, AD cắt BC N' Đường thẳng qua N vng góc với NO cắt AD, BC E, F
đường thẳng qua N' vng góc với N'O cắt đường thẳng BD, AC E', F'.gọi K giao điểm EE' FF' Chứng minh NN'// với tia phân giác góc E'KF'
Hình 12 Lời giải:(Hình 12)
Sử dụng kết toán 1; 2; ta có: NE = NF; N'E' = N'F' EE' = FF',
gọi P; Q trung điểm E'F EF' ta có: NP // EE' NP =
2EE'; N'Q // EE' vaø N'Q = 2EE' NQ // FF' vaø NQ =
2FF'; N'P // FF' vaø N'P = 2FF'
từ suy : Tứ giác NQN'P hình thoi => NN' phân giác gócPNQ
Do gócPNQ = gócE'KF' (góc có canh tương ứng song song) => NN' // Kj tia phân giác gócE'KF'
Q P
K
F'
E'
F E
N
N'
A O B
(12)Bài 1.13: Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD AC cắt BD N, AD cắt BC N' Đường thẳng qua N vng góc với NO cắt AD, BC E, F
đường thẳng qua N' vng góc với N'O cắt đường thẳng BD, AC E', F
Gọi P;Q;R;S trung điểm E'F; EF';EE'; FF'
Chứng minh: PQ; RS; NN' đòng qui
Lời giải: (Hình 14)
Ta dễ chứng minh tứ giác NPN'Q PRQS hình bình hành
nên suy NN'; PQ; RS cắt trung điểm đường => NN'; PQ; RS đồng qui
Hình 14
Lời giải: ( Hình 12 )
Sử dụng kết 1.10 ta có EE'; FF'; AB đồng qui K Theo định lý Mene'lauyt cho tam giác ABC với điểm E'; E; K thẳng hàng ta có:
KA KB
E'B E'D
ED
EA=1 (1)
Theo định lý Mene'lauyt cho tam giác ABC với điểm F'; F; K thẳng hàng ta có:
KA KB
FB FC
F'C
F'A=1 (2) Từ (1) (2) ta có:
E'B E'D
ED EA =
FB FC
F'C F'A (3) =>E'B.FC
E'D.FB = F'C.EA F'A.ED (4)
Gọi I giao điểm E'F CD áp dung định lý Menelauyt cho tam giác BCD với điểm E'; I; F thẳng hàng ta có:
ID IC
E'B E'D
FC
FB=1 (5) Từ (4) (5) => ID
IC F'C F'A
EA
ED = (6)
Từ (6) định lý đảo Menelauyt đảo ta suy E; I; F' thẳng hàng
Vậy đường thẳng E'F; CD; EF' đòng qui I
Hình 13
Bài 1.12: Cho đường trịn (o) đường kính AB, dây cung CD AC cắt BD N, AD cắt BC N' Đường thẳng qua N vng góc với NO cắt AD, BC E, F
đường thẳng qua N' vng góc với N'O cắt đường thẳng BD, AC E', F', gọi K giao điểm EE' FF'
Chứng minh CD, EF', E'F đồng qui
S R
Q P
F E
F' E'
N
N' A
I
K
F E
F'
E'
N N'
A
O B
O B
D C
D
(13)XÂY DỰNG BÀI TỐN TỔNG QT
Hình 16
BÀI 1.15 (tổng quát 1.10 1.12):(hình 16) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường chéo AC; BD cắt N; đường thẳng AD; BC cắt N'
Đường thẳng qua N vng góc với NO cắt đường thẳng AD; BC E; F Đường thẳng qua N' vng góc với N'O cắt đường thẳng BD; AC E'; F' Chứng minh rằng: a Các đường thẳng EE'; FF'; AB đồng qui b Các đường thẳng E'F; EF'; CD đồng qui
Hình 15 Lời giải: (Hình 15)
Sử dụng kết tốn 1.9 ta có: EE'O = FF'O => gócEOE' = gócFOF' ; gócEE'O = gócFF'O (1)
Ta coù : goùcOEK = goùcEE'O + goùcEOE' (2) goùcOFK = goùcFF'O + goùcFOF' (3)
Từ (1) => gócEE'O + gócEOE' = gócFF'O + gócFOF' (4) Từ (2); (3); (4) => gócOEK = gócOFK (5)
Từ (5) ý E;F phía so với KO nên tứ giác OKEF nội tiếp
Cũng từ kết EE'O = FF'O tam giác EOF E'OF' tam giác cân O ta có kết sau: gócEOE' = gócNON' = gócFOF' (6)
Tứ giác ONN'T có : gócONT = gócON'T = 90° => ONN'T tứ giác nội tiếp => gócNON' = gócNTN' (7) Từ (6) vàØ (7) => gócFOF' = gócNTN' = gócFTF' (8)
từ (8) ý O, T phía so với FF' nên tứ giác OTF'F nội tiếp
Bài 1.14: Cho đường trịn (o) đường kính AB, dây cung CD AC cắt BD N, AD cắt BC N' Đường thẳng qua N vng góc với NO cắt AD, BC E, F
đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt đường thẳng BD, AC E', F', gọi K giao điểm EE' FF' Gọi T giao điểm đường thẳng EF E'F'
Chứng minh tứ giác OKEF; OTF'F tứ giác nội tiếp
HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 4: sáng tạo toán tứ giác nội tiếp
K I
F E
F' E'
N N' K
T F'
E'
F
E
N N'
A
O
B
O C
D
A
D C
(14)Hinh 16
Lời giải:CÁCH (Hình 16)
a.Chứng minh EE'; FF' AB đồng qui
Gọi K giao điểm FF' AB, ta chứng minh K, E; E' thẳng hàng Sử dụng định lý Menelauyt cho tam giác ABC;
ADB; F'NE'; AN'C
*Với ABC điểm K; F; F' thẳng hàng ta có: KB KA
F'A F'C
FC
FB=1 (1) *Với E'NF' điểm B ; C; N' thẳng hàng ta có: N'F'
N'E' BE' BN
CN
CF'=1 (2) Sử dụng kết tốn thì: N'E' = N'F' nên từ (2) => BE'
BN CN
CF' = => BN CN
CF'
BE'= (3) *Với EN'F điểm B; N; D thẳng hàng ta có: DE
DN' NF NE
BN'
BF = (4) Sử dụng kết tốn thì: NE = NF nên từ
(4) => DE DN'
BN'
BF = (5) *Với AN'C điểm B; N; D thẳng hàng ta có: DA
DN' BN'
BC NC
NA = (6) Từ đồng dạng tam giác AND BNC ta suy ra: NA
NB = ND NC =
AD BC =>
AD BC
NB
NA =1 (7) Từ (7) => AD
BC NB NA
NC
NC = (8) Từ (6) (8) => N'B
N'D = NB NC (9) Từ (3);(5) (9) suy ra: DE
BF = CF' BE' (10) TỪ (10) => (BF
DE)
2 = (BE'
CF')
2 (11)
Từ kết tốn 7b ta có:
ED.EA = FC.FB (12) F'C.F'A = E'D.E'B (13) Từ (12) => FB
DE = EA
FC (14) Từ (13) => E'B
F'C = F'A
E'D (15) Từ (11);(14);(15) sy ra:
FB DE
EA FC =
E'B F'C
F'A
E'D (16) Từ (16) => EA
ED E'D E'B =
F'A F'C
FC FB (17) Nhân vế (17) với KB
KA từ (1) ta có: KB
KA EA ED
E'D E'B =
KB KA
F'A F'C
FC
FB = (18)
Hệ thức (18) với định lý đảo Menelauyt ta suy điểm K; E; E' thẳng hàng từ suy đưừng thẳng EE'; FF' AB đồng qui K
(15)y x t d y x d y x' d
HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 3:
Lật ngược vấn đề tốn gốc ta có toán chứng minh đường thẳng qua điểm cố định sau:
Bài 2.3:
Cho góc xOy Đường thẳng d thay đổi cắt tia Ox, Oy M, N Biết giá trị biểu thức OM +
1
ON có giá trị khơng đổi d thay đổi Chứng minh d qua điểm cố định
Hình 19 HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 2: Thay đổi vị trí I cách lấy
I điểm nằm ngồi góc xOy
Bài 2.2: Cho đường thẳng xx' yy' cắt O
điểm I cố định nằm ngồi góc xOy Đường thẳng d thay đổi ln qua I cắt tia Ox, Oy M, N Qua I vẽ đường thẳng song song với xx' yy' chúng cắt xx', yy' D, E Chứng minh biểu thức: OD
OM - OE
ON có giá trị khơng đổi
Lời giải: (Hình 19) Ta có: OD
OM - OE ON =
IE OM -
ID ON =
IN NM -
IM NM = -1 => OD
OM - OE ON = -1
Hình 18 Từ cách giả tốn ta có hướng mở rơng tốn
như sau:
HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 1: Thay đổi vị trí điểm I cách lấy I điểm nằm góc xOy ta có tốn sau:
Bài tốn 2.1:
Cho góc xOy điểm I cố định nằm miền góc xOy Đường thẳng d thay đổi qua I cắt Ox , Oy M, N
Qua I vẽ đường thẳng song song với Ox , Oy, chúng cắt Ox, Oy D, E
Chứng minh biểu thức: OD OM+
OE
ON có giá trị khơng đổi LỜI GIẢI: (Hình 18)
Bạn đọc giải toán cách giải toán Kết là: OD
OM+ OE
ON = => (ñpcm)
Hình 17 Lời giải: ( Hình 17)
Qua I vẽ đường thẳng song song với Ox , Oy đường thẳng cắt Ox, Oy D, E Khi điểm D, E cố định OEID hình thoi Ta đặt OD = a khơng đổi
Ta coù: EI OM +
ID ON =
NI NM+
MI NM =
NI +MI NM = => a
OM+ a
ON = => OM +
1 ON =
1 a= const
BÀI TỐN XUẤT PHÁT 2: Cho góc xOy điểm I cố định tia phân giác Ot Đường thẳng d thay đổi qua I, cắt các
tia Ox, Oy M, N Chứng minh giá trị biểu thức : OM +
1
ON có giá trị khơng thay đổi d thay đổi qua I
(16)x
y d
d
Hình 21 HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 4: Thay giả thiết góc xOy tam giác ABC điểm cố
định I nằm tam giác ABC ta có tốn sau: Bài 2.5
Cho tam giác ABC I giao điểm đường phân giác trong, đường thẳng d thay đổi qua I cắt cạnh AB, AC tia CB M, N, P Chứng minh giá trị biểu thức: AB
AM.BM + AC AN.CN -
BC
BP.CP có giá trị khơng đổi d thay đổi ln qua I
Lời giải: (Hình 21)
Qua I vẽ đường thẳng song song với cạnh tam giác ABC chúng cắt AB,BC,CA G, F, E, S, R, K Khi ta có AGIK, BEIF, CRIS hình thoi Ta có: gócBMP = gócFMI > gócMBI = gócIBE = gócBIF > gócFIM = gócBPM Suy ra: BP > BM
Đặt AG = a; BE = b; CR = c
áp dụng kết bàitoán gốc 2.2 2.3 ta có:
AM + AN =
1 a;
1 CN +
1 CP =
1 b;
1 BM -
1 BP =
1 c Cộng vế đẳng thức ta có:
1 AM +
1 AN +
1 CN +
1 CP +
1 BM -
1 BP =
1 a+ b+ c => (
AM+ BM)+( AN+ CN)+( CP -1 BP) =
1 a+ b+ c => AB
AM.BM+ AC AN.CN
-BC BP.CP =
1 a+
1 b+
1 c = Const
Lời giải: (Hình 20)
Tương tự cách giải 2.3 ta đặt OM +
k ON =
1
a (1) (a > cho trước)
Lấy D Ox cho OD = a OD < OM Qua D kẻ song song với Oy cát MN I Lấy E Oy cho OE = ID OEID hình bình hành
áp dụng kết 2.1 ta có: OD OM+
OE ON = =>
1 OM +
OE OD.ON =
1 OD =
1 a (2) Từ (1) (2) =>
OM + k ON =
1 OM +
OE
OD.ON => k = OE
OD => OE = K.OD (3)
Hệ thức (3) chứng tỏ E cố định Hình bình hanh OEID có E, O, D cố định nên I điểm cố định
Sâu chút từ 2.3 ta đưa tốn tơng qt sau:
Bài 2.4
Cho góc xOy đường thẳng d thay đổi cắt Ox, Oy M, N
Gỉa sử tồn số thực k cho OM +
k
ON có giá trị không đổi Chứng minh d qua điểm cố định
Hình 20 Lời giải:(Hình 20)
Gỉa sử: OM +
1 ON =
1
a (1) (a > cho trước)
Lấy D Ox cho OD = a OD < OM Qua D kẻ song song với Oy cát MN I Lấy E Oy cho OE = ID OEID hình bình hành
áp dụng kết 2.1 ta coù: OD OM+
OE ON = =>
1 OM +
OE OD.ON =
1 OD =
1 a (2) Từ (1) (2) =>
OM + ON =
1 OM +
OE OD.ON =>
OE
OD = => OE = OD (3)
Hệ thức (3) với ý D cố định ta suy E cố định => I cố định ( OEID hình bình hành) đường thẳng d qua điểm cố định I
(17)d
Hình 22
Bài 2.7
Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng d thay đổi cắt đường thẳng AB, AD, AC tai M, N, P Chứng minh rằng: AB
AM + AD AN =
AC AP
HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 5: Đặc biệt hoá 2.5 cách cho tam giác ABC tam giác có cạnh a ta có tốn sau
Bài 2.6
Cho tam giác ABC cạnh I giao điểm đường phân giác, đường thẳng d thay đổi qua I cắt AB, AC, tia CB M, N, P
a.Chứng minh: AM.BM+
1 AN.CN
-1 BP.CP = b.Chứng minh:
IM2 +
1 IN2 +
1 IP2 =
* Bạn đọc tự giải theo cách giải 2.5
F G
M
P N
A B
(18)KẾT LUẬN :
Qua phần nội dung trình bày ta thấy việc khai thác tập học sinh : -Được củng cố hệ thống kiến thức nâng cao
-Được phát triển tư duy, kỹ sáng tạo -cảm thấy hứng thú trình học tập
-Tự tin phải đối mặt với tốn khó, tốn lạ
-Khơng xem thường tốn tốn đơn giản bắt đầu sáng tạo -Có thái độ tích cực học tập tốn, say sưa tìm tịi khám phá góc khuất tốn để sáng tạo nên tập
-Kiến thức toán nâng cao BAØI HỌC RÚT RA:
*Đổi dạy học trình, song giáo viên cần có ý thức tìm tịi phương pháp dạy học phù hợp với loại tập đôi tượng HS theo phương pháp dạy học lấy HS làm trung tâm, tích cực hố hoạt động HS trình học tập
*Học sinh THCS độ tuổi thiếu niên, khả tư duy, khái qt cịn hạn chế Do đứng trước tốn khó việc tìm lời giải khó chưa nói đến việc sáng tạo Vì người giáo viên cần có đầu tư để có phương pháp dạy thích hợp để HS tự tin học tập sáng tạo
*Chuyên đề""Rèn luyện lực tư khả sáng tạo thông qua việc khai thác kết toán gốc để sáng tạo tốn mới"" ví dụ nhỏ minh hoạ cho ý tương không nhỏ theo nghĩa đó.Qua chun đề tơi mong muốn gửi đến đồng nghiệp chút kinh nghiệm
nhỏ mà thực với HS giỏi toán trường THCS Tôn Quang Phiệt năm học 2007 -2008
*Cuối xin tóm lại điều quan trọnh nhất: ""Trong sống dạy học tốn khơng có tầm thường khơng có tốn tầm thường cả, trước toán dành thời gian nắm bắt yếu tố vàø định hướng suy nghĩ, đừng cảm nhận nhiều""
Thiết nghĩ kinh nghiệm dạy học mơn toán./
(19)B ĐỀ NGHỊ:
Thay mặt hội đồng xét SKKN A ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI
(20)PHẦN ĐÁNH GIÁ NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG XÉT SKKN CẤP HUYỆN A ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI
B ĐỀ NGHỊ: