Bất đẳng thức là một dạng toán khó thường xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng như thi tuyển sinh đầu cấp học trung học phổ thông, thi đại học, thi học sinh giỏi các cấp trung học cơ sở, trung học phổ thông,... Bài viết Các bài toán lý thú về sự liên hệ giữa đẳng thức và bất đẳng thức giới thiệu về một số đẳng thức và ứng dụng vào giải quyết các bài toán bất đẳng thức. Mời các bạn cùng tham khảo.
CÁC BÀI TOÁN LÝ THÚ VỀ SỰ LIÊN HỆ GIỮA ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC Nguyễn Duy Liên -Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc Thế giới sống tiềm ẩn quy luật tự nhiên xã hội, khách quan chủ quan Việc nắm bắt, vận dụng quy luật trở thành chìa khóa giải nhiều vấn đề quan trọng khoa học nói riêng sống nói chung Bất đẳng thức dạng tốn khó thường xuất kỳ thi quan trọng thi tuyển sinh đầu cấp học trung học phổ thông, thi đại học, thi học sinh giỏi cấp trung học sở, trung học phổ thông thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế…Có người tạo tốn bất đẳng thức ngẫu nhiên từ việc giải tốn người khác Có người lại tạo toán bất đẳng thức từ đẳng thức quen thuộc với đa số người…Bài viết nhỏ giới thiệu số đẳng thức ứng dụng vào giải toán bất đẳng thức Để viết ngắn gọn, xin không chứng minh lại số kiến thức I CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA 2 2 Đẳng thức ( a + b ) ( c + d ) = ( ac + bd ) + ( ad − bc ) , với a, b, c, d ∈ ¡ 2 Sau số toán áp dụng đẳng thức Ví dụ 1:(Wolfgang Berndt) Chứng minh với số thực a, b, c ta có ( + abc ) + ( + a ) ( + b ) ( + c ) ≥ ( + a ) ( + b ) ( + c ) Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có 2 2 ( + a ) ( + b ) ( + c ) = ( a + b ) + ( ab − 1) ( c + 1) + ( − c ) ≥ ( a + b ) ( c + 1) + ( ab − 1) ( − c ) , suy VT ≥ ( + abc ) + ( a + b ) ( c + 1) + ( ab − 1) ( − c ) = ( + a ) ( + b ) ( + c ) = VP (đpcm) Ví dụ 2:(Titu Andresscu,Gabriel Dospinescu) Giả sử a, b, c, d số thực thỏa 2 2 mãn điều kiện ( + a ) ( + b ) ( + c ) ( + d ) = 16 , chứng minh bất đẳng thức sau −3 ≤ ab + bc + ca + da + ac + bd − abcd ≤ Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có 2 2 16 = ( + a ) ( + b ) ( + c ) ( + d ) = ( − ab ) + ( a + b ) ( cd − 1) + ( c + d ) ≥ ( − ab ) ( cd − 1) + ( a + b ) ( c + d ) = [ ab + bc + cd + da + ac + bd − abcd − 1] 2 ⇒ −4 ≤ ab + bc + cd + da + ac + bd − abcd − ≤ từ có điều phải chứng minh Ví dụ 3:(KTĐT CVP).Giả sử a, b, c, d số thực,chứng minh bất đẳng thức sau ∑ (1+ a ) (1+ b ) (1+ c ) 2 ( a ,b , c , d ) ≥ ( ab + bc + cd + da + ac + bd − ) Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có ( + a ) ( + b ) ( + c ) = ( a + b ) + ( ab − 1) 2 2 c + 12 ≥ ( a + b ) c + ( ab − 1) Hồn tồn tương tự ta có ( + b ) ( + c ) ( + d ) ≥ ( b + c ) d + ( bc − 1) , 2 ( + c ) ( + d ) ( + a ) ≥ ( c + d ) a + ( cd − 1) , 2 ( + d ) ( + a ) ( + b ) ≥ ( d + a ) b + ( da − 1) Từ suy 2 ∑ (1+ a ) (1+ b ) (1+ c ) 2 ( a ,b , c , d ) ≥ ( ab + bc + cd + da + ac + bd − ) , Đẳng thức xẩy a = b = c = d = toán chứng minh Đẳng thức 1 + + = , với a, b, c ∈ ¡ , abc = + a + ab + b + bc + c + ca Sau số toán áp dụng đẳng thức Ví dụ 4: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh 1 1 + + ≤ 2 2 ( a + 1) + b + ( b + 1) + c + ( c + 1) + a + 2 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 1 = ≤ tương tự ta 2 ( a + 1) + b + + 2a + a + b ( + a + ab ) 1 1 ≤ ; ≤ từ ta có 2 ( b + 1) + c + ( + b + bc ) ( c + 1) + a + ( + c + ca ) 1 1 ≤ + + ÷= 2 + a + ab + b + bc + c + ca ( a ,b ,c ) ( a + 1) + b + ∑ Đẳng thức xẩy a = b = c = toán chứng minh Ví dụ 5: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh 2a + b3 + + 2b3 + c + + 2c + a + ≤1 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có ∑ ( a ,b , c ) 1 ≤ + + ÷ 3 3 3 3 2a + b + 2b + c + 2c + a + 2a + b + theo bất đẳng thức AM-GM ta có 2a + b3 + = ( a + b3 + 1) + ( a + + 1) + ≥ ( + a + ab ) Từ suy ∑ ( a ,b , c ) 1 ≤ + + ÷ = + a + ab + b + bc + c + ca ( ) ( ) ( ) 2a + b + Đẳng thức xẩy a = b = c = toán chứng minh Đẳng thức + + ( a − b) ( b − c) ( b − c) ( c − a ) ( c − a ) ( a − b) =0 với a, b, c ∈ ¡ , a ≠ b ≠ c ≠ a Sau số toán áp dụng đẳng thức Ví dụ 6:(Việt Nam MO 2008) Cho a, b, c số thực không âm đôi khác 1 + + ≥ Chứng minh : ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) ab + bc + ca Chứng minh Giả sử c = ( a, b, c ) Áp dụng đẳng thức ta có 1 1 = + + ∑ = ∑ + ∑ ÷ Ta có ( a ,b , c ) ( a − b ) ( a ,b , c ) ( a − b ) ( a ,b , c ) ( a − b ) ( b − c ) a −b b−c c −a 2 a−b ( a − b) = + = + + ∑ 2 ÷ ( a ,b , c ) a − b ÷ a − b ( a − c) ( b − c) a − b ( a − c) ( b − c) ( a − c) ( b − c) Từ theo bất đẳng thức AM-GM 2 ( a − b) ≥2 = 2 + ÷× ( a∑ ÷ a − b a − b a − c b − c a − c b − c , b , c ) ( ) ( ) ( ) ( ) a − c b − c ( ) ( ) 2 Mà ta có ( a − c ) ( b − c ) ≤ ab ≤ ab + bc + ca Vậy 1 + + ≥ ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) ab + bc + ca Đẳng thức xẩy a 3± = , c = hốn vị nó, tốn CM b Ví dụ 6:(Đào Hải Long) Cho a, b, c số thực đôi khác Chứng minh : (a 1 + b2 + c ) + + ≥ a − b b − c c − a ) ( ) ( ) ( Chứng minh Ta có 2 2 2 a + b + c) + ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) a − b) + ( b − c) + ( c − a ) ( ( 2 a +b +c = ≥ 3 Bài toán quy chứng minh 1 27 ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) + + ( *) 2 ≥ ( a − b) b − c c − a ( ) ( ) Khơng tính tổng qt , giả sử a > b > c Khi đặt x = a − b , y = b − c thi c − a = − ( x + y ) x, y > Bất đẳng thức ( *) trở thành 27 x + y + ( x + y ) 12 + 12 + ≥ x y ( x + y ) 1 1 27 ⇔ ( x + xy + y ) + + ( **) ≥ y ( x + y ) x 1 3 2 ( x + y ) + ( x − y ) ≥ ( x + y ) , x + y ≥ xy ≥ ( x + y ) 4 1 1 27 2 ( x + y) × Từ suy ⇔ ( x + xy + y ) + + ≥ = y ( x + y ) ( x + y) x Ta có: x + xy + y = Bài toán giải hồn tồn Qua ví dụ , ta thấy việc sử dụng đẳng thức cách hợp lí giải nhiều toán giúp tạo bất đẳng thức đẹp mắt , bạn vận dụng thêm số đẳng thức khác để chứng minh bất đẳng thức phù hợp, tạo bất đẳng thức Đẳng thức a b b c c a × + × + × = −1 b −c c −a c −a a −b a −b b −c với a, b, c ∈ ¡ , a ≠ b ≠ c ≠ a Đẳng thức a+b b+c b+c c+a c+a a+b × + × + × = −1 a −b b −c b −c c −a c −a a −b với a, b, c ∈ ¡ , a ≠ b ≠ c ≠ a Đẳng thức + ab + bc + bc + ca + ca + ab × + × + × = b−c c−a c−a a −b a −b b−c với a, b, c ∈ ¡ , a ≠ b ≠ c ≠ a Đẳng thức − ab − bc − bc − ca − ca − ab × + × + × = b−c c −a c −a a −b a −b b−c với a, b, c ∈ ¡ , a ≠ b ≠ c ≠ a a − b c − d c − d ad + bc ad + bc a − b Đẳng thức ÷ ÷+ ÷ ÷+ ÷ ÷= a + b c + d c + d ac − bd ac − bd a + b với a, b, c, d ∈ ¡ , ( a + b ) ( c + d ) ( ac − bd ) ≠ Để kết thúc viết xin giới thiệu số tập để bạn đọc rèn luyện II.BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài Cho a, b, c, d ∈ ¡ thỏa mãn abc + bcd + cda + dab = a + b + c + d + 2014 2 2 Chứng minh ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( d + 1) ≥ 2014 Bài Cho a, b, c, d ∈ ¡ thỏa mãn ad − bc = Chứng minh rằng: a + b + c + d + ac + bd ≥ Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh a − a + 3ab + + b − b + 3bc + + c − c + 3ca + ≤ Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh a + b + ab + + b5 + c + bc + + c + a + ca + ≤1 Bài Cho a, b, c số thực dương đôi khác Chứng minh : (a 1 11 + 5 + b2 + c ) + + ≥ ( b − c ) ( c − a ) ( a − b ) Bài Cho a, b, c số thực đôi khác Chứng minh a b c + + ≥2 b−c c −a a −b Bài Cho a, b, c số thực đôi khác Chứng minh a+b b+c c+a + + ≥2 a −b b−c c −a Bài Cho bốn số a, b, c, d số thực Chứng minh : a − b c − d ad + bc + + ≥ a + b c + d ac − bd Bài Cho bốn số a, b, c, d số thực không âm thỏ mãn a + b + c + d = 2 2 Chứng minh : ( a + ) ( b + ) ( c + ) ( d + ) ≥ 81 Hết ... y = Bài tốn giải hồn tồn Qua ví dụ , ta thấy việc sử dụng đẳng thức cách hợp lí giải nhiều toán giúp tạo bất đẳng thức đẹp mắt , bạn vận dụng thêm số đẳng thức khác để chứng minh bất đẳng thức. .. cd + da + ac + bd − ) , Đẳng thức xẩy a = b = c = d = toán chứng minh Đẳng thức 1 + + = , với a, b, c ∈ ¡ , abc = + a + ab + b + bc + c + ca Sau số toán áp dụng đẳng thức Ví dụ 4: Cho số thực... chứng minh bất đẳng thức phù hợp, tạo bất đẳng thức Đẳng thức a b b c c a × + × + × = −1 b −c c −a c −a a −b a −b b −c với a, b, c ∈ ¡ , a ≠ b ≠ c ≠ a Đẳng thức a+b b+c b+c c+a c+a a+b × + × +