Dạng 1. Bài tập chứng minh tỉ lệ thức.

Dạng Bài tập chứng minh tỉ lệ thức 1.1 Phương pháp chung: +) Thường dạng tập này, cho sẵn số điều kiện yêu cầu chứng minh tỉ lệ thức +) Để làm xuất tỉ lệ thức cần chứng minh biến đổi từ tỉ lệ thức cho từ điều kiện cho Với tính chất phép tốn tính chất tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số biến đổi linh hoạt điều cho thành điều cần có +) Có nhiều đường để đến đích, lựa chọn phương pháp phù hợp, hợp lí chứng minh +) Lưu ý: Trong trình biến đổi chứng minh nên ln nhìn biểu thức cần chứng minh để tránh tình trạng biến đổi dài, vơ ích 1.2 Một số ví dụ: Ví dụ Cho a b  c d Chứng minh rằng:  Với a, b, c, d  a ab  c cd Đây khơng phải tốn khó đa số học sinh, em lúng túng lựa chọn cách làm tốn Có nhiều cách để làm toán này; nhiên, Tơi xin trình bày số cách mà học sinh thường nghĩ tới sử dụng trình chứng minh Lời giải: Cách a b Có: a c  c d  b d Hay  a c  ab cd a ab   b d  a c c cd   a b cd (Đpcm) Cách Có: a b  c d  a.d  b c  ac  ad  ac  bc a c  d   c a  b a ab  c cd Cách Có: a b Khi đó: Do đó:  c d  m  a  mb ; c  md a ab  mb mb  b  mb b  m  1 c cd  md md  d  md d  m  1 a ab  c cd   m m 1 m m 1 (Đpcm) Cách Có: a a b  c cd  a  c  d   c  a  b ac  ad a.d  ac  b.c  bc (Đpcm) a b  c d đẳng thức a a b nên c cd  dẳng thức thức Cách Có: a b a b a c d    d c  1 b a  1 d c  cd d a a b Suy ra: b a  c (Đpcm) cd  Cách Có: a b  c d  ad  bc Do đó: a ab  ad d a  b Vậy: a ab  c d   ad ad  bd  c cd (Đpcm) b a d c bc bc  bd  bc bc  d  Cách Có: a b Khi đó:  ab a  a a   b a   d c  cd c  c cd a ab Suy ra: (Đpcm) a b Cho Ví dụ 5a  3b 5c  3d c cd  c Chứng minh rằng: d  5a  3b 5c  3d  Học sinh quan sát kĩ đầu phát cách làm; Có thể sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau, phải biến đổi chút đã: Lời giải: Có: a b c d  a c  5a  3b 5c  3d Vậy: 5a 5c  5a  3b 5c  3d  Cho Ví dụ b d  a b   3b 3d  5a  3b 5c  3d 5a  3b 5c  3d  (Đpcm) c a  b2 Chứng minh: d c  d2  ab cd Bài có khó chút Học sinh khơng biết làm để xuất a2 b2; Nhưng bù lại em biết tạo ab từ tỉ lệ thức cd cho Chỉ cần gợi ý chút xíu em làm thơi! Em so sánh: a a c c b b d d ; ab ? cd Bây em biết phải làm rồi! Lời giải: Có: a b  c d  a c  b d  a2 c2  b2 d2  ab cd  a2  b2 c2  d a  b2 c2  d Vậy: ab cd  (Đpcm) Với cách tư trên, dễ dàng nghĩ đường cho tập khơng dễ sau: a b Ví dụ Cho a) a  b c  d  c d    c  ab cd  Chứng minh rằng:  ab   cd  b)  a  b3 c3  d Đã có tập ví dụ học sinh khơng khó khăn làm xuất điều phải chứng minh Lời giải: a) Có: a b Suy ra: a b c d   b d  a b cd  b d  a b a b cd cd  a  b c  d   a b Có:  a3 c3  b3 d3 (Đpcm) c d a b Suy ra:      c c Do đó: a c ab Hay: cd b) c d   a c ab    cd   a3  b3 c3  d ab cd ab    cd  Vậy:  ab   cd   a  b3 c3  d (Đpcm) Ngược lại với cách làm tập trên, từ đẳng thức phức tạp phải chứng minh đẳng thức đơn giản em tỏ bối rối làm Ví dụ Cho a+5 b+6 a = Chứng minh rằng: = a-5 b-6 b Khơng khó khăn để đơn giản biểu thức cho Nhìn điều phải chứng minh đưa a lên tử, đưa b xuống mẫu làm “biến mất” khơng cần thiết nháy mắt Lời giải: Có: a+5 b+6 = suy ra: a-5 b-6 a+5 a-5 (a+5)-(a-5) = = b+6 b-6 (b+6)-(b-6) = (a+5)+(a-5) (b+6)+(b-6) Hay: a = (Đpcm) b Ví dụ Cho 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) Chứng minh rằng: x-y y-z = Hãy làm xuất dãy tỉ số trước Từ 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) đưa dãy tỉ số nào? Lời giải: Có: 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) 2(x-y) 5(y+z) 3(x+z) = = 30 30 30 Suy ra: x+y y+z x+z = = 15 10  +) y+z x+z (x+z)-(y+z) x-y = = = 10 10-6 (1) +) x+y x+z (x+y)-(x+z) y-z = = = 15 10 15-10 (2) Từ (1) (2) ta có Ví dụ Cho Chứng minh rằng: x-y y-z = (Đpcm) ab a  b2 = 2 cd c d với a, b, c, d ≠ c ≠  d a c = b d a d = b c Đầu khó thật, em phát tốn ngược ví dụ Làm theo quy trình ngược lại ư? Điều khơng đưa em đến với điều phải chứng minh Vậy phải biến đổi nào? Lúc giáo viên vào gợi ý nhỏ: biến đổi điều cho đẳng thức không? Lời giải: 2 2 ab 2ab a +b -2ab a +b +2ab a  b2 = = = 2 = 2 2 cd 2cd c +d -2cd c +d +2cd c d 2  a  b   a  b 2 c  d  c  d   a+b a-b ( ) = ( ) c+d c-d Suy ra: a+b a-b = c+d c-d +) Nếu a+b a-b a+b a-b = = = c+d c-d c+d c-d a+b a-b = c+d c-d (a+b)+(a-b) (a+b)-(a-b) = (c+d)+(c-d) (c+d)-(c-d) a b = c d  a c = (1) b d +) Nếu a+b a-b = c+d c-d b a = c d  a d = b c Từ (1) (2) ta có: a+b a-b (a+b)+(b-a) (a+b)-(b-a) = = = c+d c-d (c+d)+(c-d) (c+d)-(c-d) (2) a c = b d a d = b c 1.3 Tiểu kết: Với dạng tập này, em phải biết sử dụng linh hoạt kiến thức để tạo dãy tỉ số hợp lí, kết hợp với mối quan hệ khác mà cho để đến điều phải chứng minh Lưu ý học sinh sử dụng tính chất dãy tỉ số phải nhớ đặt dấu ngoặc, tránh nhầm dấu Có nhiều cách để chứng minh tỉ lệ thức cần lựa chọn cách phù hợp với khả mức độ nhận thức người học cho đơn giản mà lại dễ hiểu, dễ làm, dễ trình bày Mặt khác, q trình chứng minh phải ln hướng điều phải chứng minh nhằm tránh “lạc đường”, dài dịng khơng cần thiết, có lại khơng tới đích cần đến Cịn lúc em tự tin làm tập tương tự 1.4 Bài tập tương tự: Bài Cho b2 = ac Chứng minh: a  b2 a  b2  c2 c Bài Cho b2 = ac ; c2 = bd với b, c, d ≠ 0; b+c ≠ 0; b3+c3 ≠  d3 Chứng minh rằng: a) Bài Cho a  b3  c  a  b  c    b3  c  d  b  c  d  a  b3  c3 a  b3  c  d d b) a+b c+a = với a, b, c ≠ Chứng minh từ ba số a, b, c a-b c-a (có số sử dụng lần) lập thành tỉ lệ thức Bài Cho a) c) a c = với a, b, c, d > Chứng minh rằng: b d 2a  3b 2c  3d  2a  3b 2c  3d b) 7a  3ab 7c  3cd  11a  8b 11c  8d Bài (Mở rộng) Cho d) ab  a  b   cd  c  d  3a  10b  17 ab 3c  10d  cd  7a  b  5ab 7c  d  5cd a c = Chứng minh: b d a) ma+nc pa+qc = mb+nd pb+qd b) ma+nb pa+qb = mc+nd pc+qd c) ma+nc mb+nd = pa+qc pb+qd d) ma+nb mc+nd = pa+qb pc+qd ma2+nb2+kab pa2+qb2+rab e) = mc2+nd2+kcd pc2+qd2+rcd f) ma3+nb3+ka2b mc3+nd3+kc2d = pa3+qb3+ra2b pc +qd3+rc2d Bài Cho a b c = = Chứng minh rằng: b c d a+b+c a a) ( )= b+c+d d Bài Cho a  b3  c3 a  b3  c  d d b) bz-cy cx-az ay-bx x y z = = Chứng minh: = = a b c a b c Bài Cho a(y+z) = b(z+x) = c(x+y) với a ≠ b ≠ c a, b, c ≠ Chứng minh rằng: y-z z-x x-y = = a(b-c) b(c-a) c(a-b) Bài Chứng minh rằng: Nếu a+c = 2b & 2bd = c(b+d) a c = với b, d b d ≠ Bài 10 Chứng minh rằng: Nếu a2 = bc a+b c+a = a-b c-a Điều đảo lại có khơng? Bài 11 Cho bốn số khác là: a1, a2, a3, a4 thoả mãn a22 = a1.a3 a32 = a2.a4 Chứng minh rằng: a13  a2  a33 a1  a2  a33  a4 a4 Bài 12 Chứng minh rằng: Nếu a c an  bn a n  bn = n n  n n với n  N b d c d c d Bài 13 Chứng minh rằng: Nếu a c a2 k  b2k a k  b2k  2k = 2k 2k 2k b d c d c d a n  bn a n a c Bài 14 Từ ( ) = c n  d n với n  N suy ra: = n số tự nhiên lẻ c b d & a c =  n số tự nhiên chẵn b d Bài 15 Chứng minh rằng: a1 =(a1+a2+…+a2008 )2008 biết a1 = a2 = a3 = … = a2009 a2+a3+…+a2009 a2 a3 a4 a2008 a2009 Bài 16 Chứng minh rằng: Nếu ab a c a  b2 = = 2 cd b d c d Bài 17 Cho k, m, n  N* Chứng minh rằng: Nếu k2 = m.n k+m = k-m n+k n-k Bài 18 Cho a) a c = Hãy chứng minh: b d a c 3a+2c = = b d 3b+2d b) (a+2c).(b+d) = (a+c).(b+2d) c) ( a-b a  b ) = 4 c-d c d a b = biết (a+b+c+d).(a-b-c+d) = (a-b+cc d Bài 19 Chứng minh: d).(a+b-c-d) b a Bài 20 Chứng minh: = (Đây cách rút gọn hỗn số) b b a a 1 a+ a b b a b HD: = = = b 1 b+ b a a a ... trình chứng minh phải hướng điều phải chứng minh nhằm tránh “lạc đường”, dài dịng khơng cần thiết, có lại khơng tới đích cần đến Cịn lúc em tự tin làm tập tương tự 1.4 Bài tập tương tự: Bài Cho... c(x+y) với a ≠ b ≠ c a, b, c ≠ Chứng minh rằng: y-z z-x x-y = = a(b-c) b(c-a) c(a-b) Bài Chứng minh rằng: Nếu a+c = 2b & 2bd = c(b+d) a c = với b, d b d ≠ Bài 10 Chứng minh rằng: Nếu a2 = bc a+b... pc +qd3+rc2d Bài Cho a b c = = Chứng minh rằng: b c d a+b+c a a) ( )= b+c+d d Bài Cho a  b3  c3 a  b3  c  d d b) bz-cy cx-az ay-bx x y z = = Chứng minh: = = a b c a b c Bài Cho a(y+z)