Hướng dẫn giúp học sinh lớp 7 phát triển, nâng cao và vận dụng các bài tập về toán tỉ lệ thức và tín...

Hướng dẫn giúp học sinh lớp 7 phát triển, nâng cao và vận dụng các bài tập về toán tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỌ XUÂN S[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN GIÚP HỌC SINH LỚP PHÁT TRIỂN, NÂNG CAO VÀ VẬN DỤNG CÁC BÀI TẬP VỀ TOÁN TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Người thực hiện: Đỗ Thị Dung Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường TH THCS Xuân Thành SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HỐ NĂM 2018 SangKienKinhNghiem.net Mục lục TT Nội dung Trang Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Cơ sở thực tiễn 2.3 Nội dung vấn đề 2.3.1 Lý thuyết 2.3.2 Các giải pháp thực 2.3.3 Các dạng toán 2.3.3.1 5-6 2.3.3.2 Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ tỷ lệ thức cho trước Dạng Tính giá trị biểu thức 2.3.3.3 Dạng :Tìm số chưa biết dãy tỉ số 6-11 2.3.3.4 Dạng 4: Vận dụng giải toán thực tế 11-13 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, thân đồng nghiệp nhà trường 13-14 Kết luận kiến nghị 14 3.1 Kết luận 14 3.2 Kiến nghị 15 2-3 3-4 SangKienKinhNghiem.net Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Toán học ngày giữ vai trị quan trọng cách mạng 4.0 Nó ngày thu hút quan tâm nhiều người việc học tốn trường phổ thơng kích thích ham muốn học sinh lứa tuổi Luật Giáo dục 2005 (điều 5) quy định: “ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng cho người học lực tự học, khả thực hành, lòng say mê học tập ý chí vươn lên”[1] Với mục tiêu giáo dục phổ thơng “ giúp học sinh phát triển tồn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ kỹ bản, phát triển lực cá nhân, tính động sáng tạo, hình thành nhân cách người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên vào sống lao động , tham gia xây dựng bảo vệ Tổ quốc” Chương trình giáo dục phổ thơng ban hành kèm theo định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/5/2006 Bộ trưởng Bộ giáo dục Đào tạo nêu: “Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh; điều kiện lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác; rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập cho học sinh”[2] Muốn cho học sinh học sinh Trung học sở có tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo có lực tự học, khả thực hành, lòng say mê học tập ý chí vươn lên địi hỏi người giáo viên phải có phương pháp dạy học đạt hiệu cao dạy Tôi giáo viên dạy mơn Tốn phân cơng giảng dạy mơn toán dạy đến phần giải toán tỷ lệ thức tính chất dãy tỉ số phần tập sách giáo khoa phần lớn tập trung vào số tập mở rộng nâng cao dạng tập học sinh ban đầu thường lúng túng tìm phương pháp giải thay đổi điều kiện tốn ban đầu khó khăn tìm cách giải vấn đề từ khơng tháo gỡ tạo tâm lí ngại “sợ” loại tốn Chính từ kinh nghiệm mà thân đúc kết giúp học trò tự tin hứng thú học dạng toán nên nghiên cứu viết sáng kiến với đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp mở rộng, phát triển vận dụng tập tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhau” SangKienKinhNghiem.net 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong q trình dạy học sinh tiếp cận đến phần giải toán tỷ lệ thức tính chất dãy tỉ số học trò sai lầm lời giải, gặp dạng toán phức tạp chút em lại sợ làm không được, có em lại thụ động việc giải Tốn cần thay đổi chút đề khó tìm hướng giải Để em dễ tiếp cận dạng toán chứng minh đẳng thức từ tỷ lệ thức cho trước, chia số thành phần tỉ lệ với số cho trước tìm hai số biết tích tỉ số chúng từ có hứng thú, chủ động tìm tịi sáng tạo với đơn vị kiến thức mơn Tốn học nói chung, tơi nghiên cứu SKKN: “Hướng dẫn học sinh lớp mở rộng, phát triển vận dụng tập tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhau” Giúp học sinh nắm kiến thức giải toán tỷ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhau, áp dụng làm tốt dạng toán từ đơn giản đến phức tạp Bên cạnh đó, học sinh vận dụng kiến thức giải toán tỷ lệ thức tính chất dãy tỉ số để vận dụng giải dạng toán khác (thay tỉ số số hữu tỉ tỉ số số nguyên, tìm số hạng chưa biết tỷ lệ thức , tìm số hạng chưa biết cho dãy tỉ số tổng hiệu số hạng đó, chứng minh đẳng thức,…) Thơng qua việc giải tập tập hình thành cho học sinh kĩ phân tích, kĩ quan sát, phán đốn, rèn tính cẩn thận, linh hoạt Khảo sát, kiểm tra lại chất lượng mơn Tốn lớp dạy năm học trước, theo dõi kết học tập em đầu năm học mới, học kì I, kết học kì I 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Kiến thức tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số - Các dạng toán nâng cao vận dụng tính chất tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết - Phương pháp điều tra, khảo sát, thu thập thông tin - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp chuyên gia - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1.Cơ sở lý luận Định hướng đổi phương pháp dạy học xác định nghị Trung ương khoá VII (01-1993), Nghị trung ương khoá VIII (12-1996), thể chế hoá Luật Giáo dục (2005), cụ thể hoá SangKienKinhNghiem.net thị Bộ giáo dục đào tạo, đặc biệt thị số 14(4-1999) Luật giáo dục, điều 28.2, ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả làm việc theo nhó, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”[3] Vì vậy, ngồi việc nắm vững lý thuyết lớp học sinh phải vận dụng lý thuyết cách hợp lý, khoa học để giải tập Bài tập Tốn nhằm hình thành cho học sinh giới quan vật biện chứng, hứng thú học tập, có niềm tin, phẩm chất đạo đức người lao động Bài tập toán nhằm phát triển lực tư học sinh đặc biệt rèn luyện thao tác tư duy, hình thành phẩm chất tư sáng tạo Bài tập Toán nhằm đánh giá mức độ kết dạy học, đánh giá khả độc lập trình độ phát triển học sinh Dạy Toán, học Toán trình tư liên tục, việc nghiên cứu tìm tịi, đúc kết kinh nghiệm người dạy Tốn học Tốn khơng thể thiếu Trong đó, việc chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt điều trăn trở nhiều giáo viên Việc truyền thụ kiến thức trở nên hấp dẫn học sinh giáo viên hiểu ý đồ sách giáo khoa, giúp học sinh nắm kiến thức cách hệ thống, dẫn dắt học sinh từ điều biết đến điều chưa biết Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức giúp học sinh say mê học Toán, phát huy khả tư sáng tạo Trên bục giảng, tiết dạy, để tạo hứng thú cho học sinh, người giáo viên phải ln tạo tình có vấn đề để học sinh so sánh, chọn lọc Từ rút kiến thức cần nhớ Cơ sở kiến thức: a Định nghĩa tỷ lệ thức: “ Tỷ lệ thức đẳng thức hai tỉ số a c  b d Ta viết: a : b = c : d a d ngoại tỉ(số hạng ngoài); b c trung tỉ (số hạng trong) [2] b Tính chất tỷ lệ thức : Tính chất 1: Nếu a c  b d a c  a.d = b.c b d Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ ta có tỷ lệ thức : a c a b d c d b  ;  ;  ;  b d c d b a c a a c Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức  suy tỷ lệ thức : b d SangKienKinhNghiem.net a b d c  ,  , c d b a d b  c a [4] c Tính chất dãy tỉ số nhau: a c a c ac ac  suy    , (b ≠ ± d) b d b d bd bd a c i Tính chất 2: từ dãy tỉ số   ta suy ra: b d j a c i aci aci     , (giả thiết tỉ số có nghĩa) b d j bd  j bd  j Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức Tính chất 3: có n tỉ số nhau(n  2): a a1 a2 a3     n b1 b2 b3 bn a a  a  a   an a1  a2  a3   an a1 a2 a3     n   b1 b2 b3 bn b1  b2  b3   bn b1  b2  b3   bn (giả thiết tỉ số có nghĩa) Lưu ý: Nếu đặt dấu “ - ” trước số hạng tỉ số đặt dấu “- ” trước số hạng tỉ số Tính chất dãy tỉ số cho ta khả rộng rãi để từ số tỉ số cho trước, ta lập tỉ số tỉ số cho, số hạng số hạng có dạng thuận lợi nhằm sử dụng kiện tốn Khi nói số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức ta có: x y z   Ta viết: a b c x : y : z = a : b : c [5] Một số kiến thức cần ý: +) a na  b nb +) a c a c      b d b d  (n  0) n n [6] 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thơng qua việc giải tốn phát triển tư độc lập, sáng tạo học sinh, rèn ý chí vượt qua khó khăn Đứng trước tốn, học sinh phải có vốn kiến thức bản, vững mặt lý thuyết Có thủ pháp thuộc dạng tốn đó, từ tìm cho đường giải tốn nhanh Để học sinh có điều trước hết phải xuất phát từ người thầy, người thầy phải đầu tư soạn theo chuyên đề dạng toán cách bản, sâu rộng, giúp học sinh nhìn nhận từ tốn cụ thể thấy toán khái quát Từ phương pháp giải khái quát thấy SangKienKinhNghiem.net cách giải tốn cụ thể Nhìn thấy liên quan toán với Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết vào giải tốn Qua q trình giảng dạy nhận thấy học sinh ban đầu gặp khó khăn giải dạng tốn tơi làm số khảo sát có kết sau: TSHS Giỏi SL % Khá SL % Trung bình SL % Yếu Kém SL % SL % Đầu 16,6 13, 11,1 16,6% 36 6 15 41,6% % 9% % năm Với lao động nghiêm túc xin trình bày phần nhỏ kinh nghiệm soạn nhằm giúp học sinh rèn kỹ giải dạng tốn vận dụng tính chất tỷ lệ thức dãy tỉ số đại số 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Qua q trình giảng dạy tơi nhận thấy nhiều em cịn lúng túng tìm phương pháp giải tập vận dụng nhằm giúp em nâng cao tư khả vận dụng đưa số cách phát triển toán vận dụng sau: Chứng minh đẳng thức từ tỷ lệ thức cho trước Tính giá trị biểu thức Tìm số chưa biết dãy tỉ số Vận dụng giải toán thực tế 2.3.1 Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ tỷ lệ thức, đẳng thức cho trước Phương pháp: Từ tỉ lệ thức a c  đặt tỉ số cho trước b d số k Hoặc để chứng tỏ hai tỉ số A C  ta chứng tỏ A D = B.C chứng tỏ B D A C có giá trị hay sử dụng tính chất tỉ lệ thức B D Bài 1.1[7]: Cho a c a c  chứng minh  b d a b c d Giải: Phân tích tìm tịi lời giải: Đối với tốn ta đặt a c  k b d biến đổi tỷ lệ thức cho trước để chúng trở thành đẳng thức cần chứng minh Cách 1: a c b d b d a b c d a c     1  1    (đpcm)  b d a c a c a c a b c d SangKienKinhNghiem.net Cách 2: a c a b a b a c       (đpcm) b d c d cd a b c d Cách 3: ( cách áp dụng vào nhiều toán dạng này) đặt a c   k suy a  bk ; c  dk b d Ta có: a bk bk k    (1) a  b bk  b b(k  1) k  c dk dk k    (2) c  d dk  d d (k  1) k  a c  Từ (1) (2) suy a b c d Bài 1.2[8] Chứng minh : Nếu a c   b d ab cd  với a, b, c, d ≠ a b c d 5a  3b 5c  3d  b) 5a  3b 5c  3d a) Giải: Hướng dẫn: chứng minh tương tự theo Cách : a) Với a, b, c, d ≠ ta có: a c a c ab cd   1  1   b d b d b d ab b  (1) cd d a c a b c d a b b      (2) b d b d cd d a b a b ab cd    Từ (1) (2) => (đpcm) cd cd a b c d a c Cách 2: Đặt   k suy a  bk ; c  dk b d a  b bk  b b.(k  1) k     Ta có (1) a  b bk  b b.(k  1) k  c  d dk  d d (k  1) k     Và (2) c  d dk  d d (k  1) k  ab cd  Từ (1) (2) suy a b c d  b) GV: Làm để xuất 5a, 5c, 3b, 3d? Từ a c a b 5a 3b 5a 5c 5a  3b 5c  3d          b d c d 5c 3d 3b 3d 5a  3b 5c  3d (áp dụng kết ) SangKienKinhNghiem.net  Bài tốn khái qt sau: a c  Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa  yb  zc  td  b d Bài 1.3 : Cho Chứng minh rằng: xa  yb xc  yd  za  tb zc  td (Cách gợi ý cho giải 3? Sử dụng cách có làm khơng?)  Ta mở rộng tốn theo hướng khác Bài 1.4: Nếu a c  thì: b d a  b ab  c  d cd ab a  b  cd c  d Giải: Từ a c a b a b2 a  b2       (1) b d c d c d c  d2 a c a b a a b a a ab        (2) b d c d c c d c c cd từ a  b ab từ (1) (2) suy 2  (đpcm) c d cd Bài tập dạng: Cho tỉ lệ thức: a c  b d Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau: (với giả thiết tỉ số có nghĩa) 2) ab a  b   cd c  d 2 2005a  2006b 2005c  2006d  2006c  2007 d 2006a  2007b ab a2  b2 1)    2 cd  c d 3) 2a  5b 2c  5d  3a  4b 3c  4d 4) 5) a c  ab cd 6) a  5ac 7b  5bd  a  5ac 7b  5bd 7) 2008a  2009b 2008c  2009d  2009c  2010d 2009a  2010b 8) a  5ac 7b  5bd  a  5ac 7b  5bd 7a  3ab 7c  3cd  9) 11a  8b 11c  8d SangKienKinhNghiem.net  Nếu giả thiết mở rộng từ tỉ lệ thức thành dãy tỉ số lại vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải: a b c abc a Bài 1.5: Cho   Chứng minh rằng:    b c d d bcd  Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có a b c abc    b c d bcd abc  a b c a Từ suy     bcd  b c d d  Có thể khái quát cho dãy n tỉ số với phương pháp tương tự Bài 1.6: Cho dãy tỉ số nhau: a1  a  a   a 2008 a2 CMR: Ta có đẳng thức: a1 a 2009 a3 a4 a 2009  a  a  a   a 2008     a  a  a   a 2009  2008  Giả thiết thay tỉ lệ thức đẳng thức Với dạng tùy vào đẳng thức cho ta có cách biến đổi khác Bài 1.7: Chứng minh rằng: Nếu a  bc ab ca  điều đảo lại có hay a b c a khơng? Giải: + Ta có: a  bc  a b a b a b a b ab ca        c a c a ca ca a b c a + Điều đảo lại đúng, thật vậy: Ta có: ab ca  a b c a  a  b c  a   a  b c  a  hay ac  a  bc  ab  ac  a  bc  ab  2bc  2a SangKienKinhNghiem.net  a  bc Bài 1.8: Chứng minh rằng: Nếu a  c  2b (1) 2bd  c(b  d ) (2) điều kiện: b ≠ d ≠ a c  b d Giải: Ta có: a  c  2b  a  c d  2bd 3 Từ (3) (2)  c b  d   a  c d  cb  cd  ad  cd  cb  ad a c  (đpcm) b d a  b2 ab  Bài 1.9: Cho tỉ lệ thức : Chứng minh rằng: a  c c d cd b d  Giải Ta có :  a2  b2 ab 2ab a  2ab  b a  b 2 ab a  b a  b   a.b ;  =     2 2 cd 2cd c  2cd  d c d c  d  cd c  d c  d  c.d ca  b  bc  d  ca  cb bc  bd ca  bd a c       ca  cb  ac  ad  cb  ad   ac  d  d a  b  ac  ad da  db ca  bd b d Bài 1.10: Cho a, b, c, d số khác thỏa mãn: b  ac ; c  bd b  c  d  Chứng minh rằng: a3  b3  c3 a  b3  c3  d d (Hướng dẫn: Từ giả thiết b  ac ; c  bd biến đổi thành dãy tỉ số a b c   từ biến đổi đến đẳng thức cần chứng minh) b c d Bài 1.11: Cho a b c   2003 2004 2005 Chứng minh rằng: 4(a  b)(b  c)  (c  a) Giải: Từ Do ( a b c ba c a c b     suy 2003 2004 2005 ca )  (b  a )(c  b) Hay 4(a  b)(b  c)  (c  a) Bài 1.12: CMR a( y  z )  b( z  x)  c( x  y ) (1) a, b,c khác khác : yz zx x y   a (b  c) b(c  a ) c(a  b) SangKienKinhNghiem.net Giải : Lần lượt chia vế (1) cho abc ta được: yz zx x y   bc ac ab Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có y  z z  x x  y ( x  y )  ( z  x) ( y  z )  ( x  y ) ( z  x)  ( y  z )      bc ac ab ab  ac bc  ab ac  bc yz zx x y   a (b  c) b(c  a ) c(a  b) Suy a b' b c' Bài 1.13: Cho biết : '   1; '   CMR: abc + a’b’c’ = a b b c Giải : a b' Từ '    ab+ a’b’= a’b a b Nhân hai vế với c ta abc+ a’b’c= a’bc (2) b c'    bc+ b’c’= b’c b' c Nhân hai vế với a ta abc+ ab’c’= ab’c (3) Cộng vế với vế hai đẳng thức (2) (3) ta có điều cần chứng minh Bài 1.12: Cho dãy tỉ số : bz  cy  cx  az  ay  bx ; CMR: x  y  z a b c a b c Giải: Lần lượt nhân tỉ số với a, b, c bz  cy cx  az ay  bx abz  acy bcx  abz acy  bcx      a b c a2 b2 c2 abz  acy  bcx  abz  acy  bcx  0 a  b2  c2 Suy bz – cy = cx- az = ay – bx = Do x  y  z a b c 2.3.2 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Ở dạng tốn cần có linh hoạt biến đổi Bài 2.1: Cho tỉ lệ thức 3x  y x  Tính giá trị tỉ số x y y 10 SangKienKinhNghiem.net Giải: Cách 1: Từ: 3x  y   4(3x-y) = 3(x+y) x y x Biến đổi 9x = 7y y  3x 1 3x  y 3 y    x Cách : x  y 1 y 3a  x Đặt y = a ta có a   x y z   Giải ta a = Bài 2.2: Cho Tính giá trị biểu thức P = yzx x yz Giải: Cách 1: Đặt x y z   = k suy x =2k, y = 3k, z= 4k Thay vào rút gọn P = Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số x y z yzx yzx x yz x yz       3 4 23 yzx x yz   yzx   x yz Bài 2.3 : Cho dãy tỉ số : a b c d    bcd acd abd bca Tính giá trị biểu thức M = Giải: a Từ: ab bc cd d a    cd ad ab bc b c d   bcd acd abd bca a b c d  1  1  1  1 bcd acd abd bca abcd bacd cabd d bca     bcd acd abd b  c  a (*)  11 SangKienKinhNghiem.net +) Xét a+b+c+d = suy M = - +) Xét a+b+c+d ≠ suy b+c+d = a+c+d = a+b+d= b+c+a Suy a = b=c=d nên tính M = Bài 2.4 : Cho a,b,c đôi khác thõa mãn a b c Tính giá trị biểu thức P = (1  b )(1  c )(1  a ) ab bc ca   c a b Giải: Từ ab bc ca   c a b ab bc ca  1  1  1 c a b Bước làm tương tự tâp 2.3 Bài 2.5[8] : Cho số a,b,c khác thõa mãn ab bc ca   ab bc ca ab  bc  ca a  b3  c ab bc ca   ab bc ca ab bc ca    ab bc ca 1 1 1       b a c b a c 1    a b c Tính giá trị biểu thức P = Giải: Với a,b,c ≠0 ta có Suy a = b= c từ tính P = Bài 2.6: Cho P  a b c ax  bx  c Chứng minh   giá trị a1 b1 c1 a1 x  b1 x  c1 P không phụ thuộc vào x Hướng dẫn : Đặt a b c   k a1 b1 c1 Dạng : Tìm số chưa biết dãy tỉ số 1.Tìm số hạng chưa biết Phương pháp giải: Áp dụng tính chất tỉ lệ thức x 90  10 x x 90 Giải: Từ   x  900  x  30  x  30 10 x 3x  3x  3.2: tìm x biết :  5x  5x  Bài 3.1 Tìm x biết Bài Giải: 12 SangKienKinhNghiem.net Cách 1: Từ 3x   3x   (3x  2)(5x  4)  (3x  1)(5x  7) 5x  5x   15x  22x   15x  16x   6x  15  x  2, Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số 3x  3x  (3x  2)  (3x  1)    1 5x  5x  (5x  7)  (5x  4) Suy 3x +2 = 5x +7 2x = -5 x = 2,5 2.Tìm nhiều số hạng chưa biết Bài 3.3: Tìm x y biết x   x +y = 22 7y Giải: cách 1: áp dụng tính chất tỉ lệ thức Từ x    7(x  4)  4(7  y)  7x  4y 7y x y xy 22     2 47 11  x  8; y  14 Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số Từ x4  7y x4 7y x 47 y x  y  11 22  11      3 47 11 11  x   12  x  y   21  y  14 Bài 3.4[9]: Tìm ba số x, y, z, biết rằng: x y y z  ;  x + y – z = 10 Giải: Hướng dẫn: toán chưa cho ta dãy tỉ số Vậy để xuất dãy tỉ số ta làm thề nào? Ta thấy tỉ số y y có hai số hạng giống nhau, làm để hai tỉ số có số hạng ( ta tìm tỉ số trung gian để xuất dãy tỉ số nhau), ta quy đồng hai tỉ số mẫu chung, muốn ta tìm BCNN(3;4)=12 từ mẫu chung 12 BCNN(3;4)=12 nên ta biến đổi sau: x y x y    ( nhân hai vế với ) (1) 12 y z y z    ( nhân hai vế với ) (2) 12 15 x y z Từ (1) (2)   Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 12 15 13 SangKienKinhNghiem.net x y z x  y  x 10     2 12 15  12  15 Vậy x = 8.2 = 16 y = 12.2 = 24 z = 15.2 =30 x y z   x  y  z  186 15 20 28 GV : Bài cho x  y  z  186 Bài 3.5[10] Tìm x, y, z biết: Làm để dãy tỉ số xuất biểu thức x  y  z  186 ? Giải: Từ x y z 2x 3y z     hay 15 20 28 30 60 28 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 2x 3y z x  y  z 186      30 60 28 30  60  28 62 Suy 2x = 3.30 = 90  x = 90:2 = 45 3y = 3.60 = 180  y =180:3=60 z = 3.28 = 84 Bài 3.6 Tìm x, y, z biết: x 1 y  z    1 2x + 3y –z = 50 2x 3y 4z   2  x + y +z = 49 b a Giải: a Ta biến đổi (1) sau : hay x  1  y   z    2.( x  1) 3.( y  2) z    2.2 3.3 áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : x  1  y   z  x   y   z  2 x  y  z   2   50       5 494 9 x 1   x  11 y2   y  17 z 3   z  23 b Hướng dẫn: toán giả thiết cho x + y +z = 49 sống hạng dãy tỉ số lại 2x ; 3y ; 4z, làm để số hạng x ; y ; z ta tìm BCNN (2;3;4) = 12 khử tử để số hạng x ; y ; z 14 SangKienKinhNghiem.net Giải: Chia vế (2) cho BCNN (2;3;4) = 12 2x 3y 4z 2x 3y 4z x y z        hay 3.12 4.12 5.12 18 16 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x yz 49     1 18 16 15 18  16  15 49 => x = 18; y = 16; z = 15 Bài 3.7 Tìm số a1, a2, …a9 biết: a 9 a1  a     a1  a   a  90 Giải : Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a  a1  a   a   1     90  45 a1  a       1 9    45 Từ dễ dàng suy : a1  a2  a3   a9  10 Bài 3.8: Tìm ba số x,y, z biết x  y  z x  y  z  405 Giải: Cách 1: Đặt x  y  z  k  x  2k ; y  3k ; z  4k Thay vào x  y  z  405ta 2.4k  3.9k  5.16k  405  k  Suy k = k = -3 Lần lượt thay k = k = -3 vào tìm (x;y;z) = (6;9;12) (x;y;z) = (-6;-9;-12) x y z x2 y z 2 x2 y 5z Cách 2: Từ      16   27  90 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z 2 x  y  z 405     1 27 90  27  90 405 x2 y2 z2   9;  9;  9 16 Giải ta : (x;y;z) = (6;9;12) (x;y;z) = (-6;-9;-12)  Dạng vận dụng Bài 3.9: Tìm số x, y , z biết: x y3 z3   a) x2 + y2 + z2 = 14 64 216 2x  3y  2x  3y  b)   6x y  z  z  x  x  y 3 c)    x y z x yz Hướng dẫn: a) Từ x y3 z3   biến đổi để đưa dãy tỉ số nhau: 64 216 15 SangKienKinhNghiem.net x y z   sau áp dụng tương tự 3.7 b) c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số 3.Tìm hai số biết tích tỉ số chúng x a  y b p x a Đặt   k , ta có x=k.a, y=k.b đó: x.y=(k.a).(k.b)=p  k  ab y b Phương pháp giải: giả sử phải tìm hai số x, y, biết x.y=p Từ tìm k tính x y Chú ý: cần tránh sai lầm áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số x y xy   (sai) a b ab nhau: Bài 3.10: Tìm hai số x y, biết x y  xy=10 Giải: x y   k , ta có x=2k, y=5k Vì xy=10 nên 2k.5k=10  10k  10  k   k  k  1 Đặt + với k = x = 2.1 = ; y = 5.1 = + với k = -1 x = 2.(-1) = -2; y = 5.(-1)= -5 Vậy x = 2; y = 5; x = - 2; y = - x Bài 3.11: Tìm x, y biết rằng:  y xy = 54 Giải: Hướng dẫn: Bài làm tương tự 3.9 nhiên ta làm theo cách khác sau : x y x x y x x xy 54       9 Từ 2 6 2 suy x  4.9  2.3  6   6   x  x  6 54 9 54 với x  6  y   9 6 x Bài 3.12: Tìm x y, biết  x.y=40 y với x   y  Hướng dẫn: tương tự 3.10 biến đổi x y x  làm  thành y tương tự 3.10 Đáp số: x = 4; y = 10; x = - 4; y = -10 Bài 3.13: Tìm x, y z biết a) x y z   xyz  20 12 16 SangKienKinhNghiem.net b) x y z   xyz  810 Giải : ( Bài tương tự với tìm x,y) x y z    k , ta có x  12k ; y = 9k; z = 5k 12 a) Đặt Vì xyz  20 nên 12k  9k  5k   20  540k  20  k  3 Suy x  12  ; y   ; z   20 1  k  540 27 5 Vậy x  4; y=3; z= x y z    k , ta có x=2k ; y=3k ; z=5k Vì xyz  810 nên (2k).(3k).(5k) = 810  30k  810  k  810 : 30  27  k  b) Tương tự câu a: đặt Vậy x = 6; y = 9; z =15 Nhận xét: Qua tập Dạng ta đưa tốn tổng quát sau: Tìm số x, y, z thõa mãn: x y z   a b c ( 1) x+y+z = d( 2) (trong a, b, c, a+b+c ≠ a,b,c,d số cho trước) *) Cách giải: x y z Cách 1: Đặt a  b  c  k  x  ka; y  kb; z  kc Rồi thay vào (2) ka +kb + kc = d  k(a+b+c) = d  x= a.d abc k = y= d abc b.d abc z= c.d abc Cách 2: áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có; x y z x yz d     a b c abc abc a.d  x= abc b.d y= abc 17 SangKienKinhNghiem.net z= c.d abc *) Hướng khai thác toán sau : +) Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi điều kiện (2) : - m1x+m2y+m3z = e - n1x2+n2y2+n3z2 = f - x.y.z = g +) Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi điều kiện (1) : - x y y z  ;  a1 a2 a3 a4 - a2x = a1y ; a4y = a3z - b1x = b2y = b3z - b1 x  b3 z b2 y  b1 x b3 z  b2 y   a b c - x  b1 y  b2 z  b3   a1 a2 a3 +) Thay đổi hai điều kiện Bài tập dạng : Tìm x, y z biết a) x y z x  y  z  28   10 21 b) 3x  y , y  z x  y  z  32 c) x  y  z x  y  z  95 x  y  z  124 , d) x  y y  z 2x 3y 4z e) x  y  z  49   f) x : y : z = : : 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; x y z h)   xyz = 648 1 y 1 y  y g) 18  24  x x y z    x yz i) y  z 1 z  x 1 x  y  Dạng 4: Vận dụng giải toán thực tế Bài 4.1 Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất 153 học sinh Số học sinh lớp 7B học sinh lớp 7A, số học sinh lớp 7C số 17 số học sinh lớp 7B Tính số học 16 sinh lớp 18 SangKienKinhNghiem.net ...  Dạng 4: Vận dụng giải toán thực tế Bài 4.1 Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất 153 học sinh Số học sinh lớp 7B học sinh lớp 7A, số học sinh lớp 7C số 17 số học sinh lớp 7B Tính số học 16 sinh lớp 18 SangKienKinhNghiem.net... mơn Tốn học nói chung, tơi nghiên cứu SKKN: ? ?Hướng dẫn học sinh lớp mở rộng, phát triển vận dụng tập tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhau” Giúp học sinh nắm kiến thức giải toán tỷ lệ thức tính... giải tập vận dụng nhằm giúp em nâng cao tư khả vận dụng đưa số cách phát triển toán vận dụng sau: Chứng minh đẳng thức từ tỷ lệ thức cho trước Tính giá trị biểu thức Tìm số chưa biết dãy tỉ số Vận