Các dạng tương đương toán học của hàm truyền có thể dẫn đến các phương trình sai phân I/O khác nhau và các sơ đồ khối khác nhau cùng thuật toán xử lý mẫu tương ứng. Ví dụ: Với hàm t[r]
(1)Xử lý số tín hiệu
(2)1 Các dạng mô tả tương đương bộ lọc số
Hàm truyền H(z)
Phương trình chập vào/ra Đáp ứng
xung h(n)
Phương trình sai phân I/O
Sơ đồ cực/zero
Đáp ứng tần số H(ω)
Thực sơ đồ khối
Xử lý khối
Xử lý mẫu PP thiết kế
bộ lọc Các tiêu
(3)Ví dụ: xét hàm truyền sau:
Từ H(z) suy được:
1 Đáp ứng xung h(n)
2 Phương trình sai phân I/O thỏa h(n) Phương trình chập I/O
4 Thực sơ đồ khối Sơ đồ cực/ zero
6 Đáp ứng tần số H(ω)
2 Các hàm truyền
1
8 . 0 1
2 5
)
(
z z z
(4) Các dạng tương đương tốn học hàm truyền dẫn đến phương trình sai phân I/O khác sơ đồ khối khác thuật toán xử lý mẫu tương ứng
Ví dụ: Với hàm truyền Có thể viết dạng:
a Dạng
b Dạng
2 Các hàm truyền
1 8 . 0 1 2 5 ) ( z z z H 1 8 . 0 1 5 . 7 5 . 2 8 . 0 1 2 5 ) ( z z z z H ) ( ) 2 5 ( 8 . 0 1 2 5 )
( 1
(5)3 Đáp ứng hình sine
A. Đáp ứng trạng thái ổn định
- Tín hiệu vào: sine phức, tần số ω0, dài vơ hạn
- Ngõ xác định cách:
(1) Chập miền thời gian
(2) Phương pháp miền tần số
Phổ tín hiệu vào:
X() = 2( - 0) + (các phiên bản) n
j
e n
x( ) 0
h m x n m H e j n
n
y( ) ( ) ( ) ( )
0
(6)3 Đáp ứng hình sine
Phổ tín hiệu ra: (phiên thứ nhất)
Y() = H()X() = 2H(0)( - 0)
DTFT ngược:
Tổng quát: H() số phức
n j n
j d H e
e Y
n
y ( ) ( )
2 )
( 0
arg 0
0
H e j H
H
0 arg
0
j n j H
H n
j H e
e
(7)3 Đáp ứng hình sine
Tín hiệu vào gồm tín hiệu sine tần số 1 2 kết hợp
tuyến tính & lọc tuyến tính:
Tín hiệu vào tổng quát: phân tích Fourier thành
thành phần sine tính ngõ
2 ( arg ( ))
2
)) (
arg (
1
2
2
1
2
H n
j
H n
j H
n j n
j
e H
A
e H
A e
A e
A
(8)3 Đáp ứng hình sine
Độ trễ pha (Phase Delay):
Độ trễ nhóm (Group Delay):
=>
H H d
d arg arg .
H ω
d d
dg arg
j n d
H n
j H e
e
(9)3 Đáp ứng hình sine
Bộ lọc có pha tuyến tính: d()=D (constant)
pha tuyến tính theo
Các thành phần tần số có độ trễ D nhau:
D
H
arg
j (n D)
H n
j H e
e
(10)3 Đáp ứng hình sine
B. Đáp ứng độ
Tín hiệu vào: sine, bắt đầu t=0
với ROC:
Giả sử lọc có hàm truyền H(z):
1
0
1
1 )
( )
(
z e
z X n
u e
n
x j n Z j
1
0 e j
z
1 1
2
1 1 1
1
z p z
p z
p
z N z
H
(11)3 Đáp ứng hình sine
Ngõ ra: Y(z) = H(z).X(z)
Giả sử bậc N(z) nhỏ M+1, khai triển phân số phần:
với ROC: |z|>1
1 1
2
1
1 1 1 1
1
z p z
p z
p z
e
z N z
Y
M j
1 1
1 1
0
1 1
1
z p B z
p B z
e H z
Y
M M
j
(12)3 Đáp ứng hình sine
Biến đổi ngược:
Giả sử lọc ổn định:
, n 0
)
( 0 1 1 n
M M
n n
j B p B p
e H
n
y
j n
n H e
n
y
0
)
(
M i
pi 1, 1,
M 1, i
,
0
n
n i
(13)3 Đáp ứng hình sine
Bộ lọc ổn định nghiêm ngặt, hệ số
Cực có biên độ lớn pI hệ số tương ứng tiến
0 chậm
Ký hiệu:
Hằng số thời gian hiệu neff thời gian
với mức độ nhỏ mong muốn, ví dụ 1%
0
n
n i
p
i i p
max
neff
1 ln
1 ln ln
ln
eff
(14)3 Đáp ứng hình sine
Đáp ứng unit step: tín hiệu vào x(n) = u(n)
Trường hợp đặc biệt với 0 = (z = 1)
H(0) coi đáp ứng DC lọc
Độ lợi DC:
) (
0 u n
e j n
0 , n 0
)
(n H B1 p1n B2 p2n BM pMn
y
0
1 ( )
0
n
z h n
z H H
(15)3 Đáp ứng hình sine
Đáp ứng unit step thay đổi: tín hiệu vào x(n) = (-1)nu(n) Trường hợp đặc biệt với 0 = (z = -1)
Độ lợi AC:
) (
0 u n
e j n
, n 0
)
(n H e j n B1 p1n B2 p2n BM pMn
y
0
1 ( 1) ( )
n
n
z h n
z H H
n n H n
(16)3 Đáp ứng hình sine Ví dụ
1 Xác định đáp ứng độ đầy đủ lọc nhân
với tín hiệu vào dạng sine phức, tần số 0, cho
2 Xác định đáp ứng DC AC lọc Tính
số thời gian hiệu neff để đạt đến = 1%
1
1
8 . 0 1
2 5
z z z
(17)3 Đáp ứng hình sine
Bộ lọc ổn định dự trữ (marginally stable): có cực nằm
trên vịng trịn đơn vị
- Xét lọc H(z) có cực vòng tròn đơn vị
Bộ lọc có cực liên hợp:
- Giả sử cực khác nằm vòng tròn đơn vị
- Đáp ứng độ
1
1
j
e p
1
*
j
e
p
)
(n H 0 e j 0n B1e j 1n B1*e j 1n B2 p2n
y
j n j n j n
n H e B e B e
n
y *
1
0
)
(
(18)3 Đáp ứng hình sine
Nếu tạo cộng hưởng ngõ khơng
ổn định Ví dụ:
Biết: 1
0 e e p
j j ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( 2 1 ' 1 1 1 2 1 z p B z p B z p B z p z p z p z N z Y M ) ( ) ( ) ( 1
1 n a u n
az n Z ) 1 ( )
( 1 1' 2 2
(19)4 Thiết kế cực – zero
1. Các lọc bậc nhất
Ví dụ: Thiết kế lọc bậc có hàm truyền dạng
với 0< a,b <1
1
1
)
( )
(
az bz G
z H
-b a
ej
1
0
|H()|
|H(0)|
(20)4 Thiết kế cực – zero
Cần phương trình thiết kế để xác định a b
(21)4 Thiết kế cực – zero
Ví dụ : thiết kế lọc có H()/H(0) = 1/21 neff = 20 mẫu để đạt = 1%
8 . 0 )
01 . 0
( 1/20
/
neff
a
4 . 0 21
1 )
8 . 0 1
)( 1
(
) 8 . 0 1
)( 1
(
b b
b
1 8
0 1
1 4
0 1
z .
z . G
(22)4 Thiết kế cực – zero
2 Các cộng hưởng
Thiết kế lọc cộng hưởng bậc hai đơn giản, đáp ứng có đỉnh đơn hẹp tần số 0
1
1/2 |H()|2
(23)4 Thiết kế cực – zero
- Để tạo đỉnh = 0, đặt cực , < R < cực liên hợp
0
.e j
R p
0
.
* R e j
p
0 - 0 R
p
p*
1
2
1
1
1
) (
0
z a z
a
G
z e
R z
e R
G z
H j j
2
0
1 2Rcos , a R
(24)4 Thiết kế cực – zero
- Đáp ứng tần số:
- Chuẩn hóa lọc:
0 1
H 0 ) 2 cos( 2 1 ) 1 ( 1 . 1 .
1 0 0
R R R G e e R e e R G
H j j j j
j j j j
e e R e e R G
H
0
0
(25)4 Thiết kế cực – zero
- Độ rộng 3-dB fullwidth: độ rộng ½ cực đại đáp ứng biên độ bình phương
- Tính theo dB:
- Giải nghiệm 1 2 => = 2 - 1
2 1 2
1
0
H
H
dB
H H
3 2
1 log
10 log
20 10
0
10
(26)4 Thiết kế cực – zero
- Chứng minh được: p nằm gần
đường tròn (xem sách)
dùng xác định giá trị R dựa băng thơng cho trước
Ví dụ: thiết kế lọc cộng hưởng cực, đỉnh f0 = 500Hz độ rộng = 32kHz, tốc độ lấy mẫu fs = 10kHz
R
(27)4 Thiết kế cực – zero
- Phương pháp chung: đặt cặp zero gần cực theo hướng cực,
với
- Hàm truyền:
với . j e r
a * .
1 j e r a 1
0 r
2 1 2 1 1 1 1 1 . 1 . 1 . 1 . 1 ) ( 0 0 z a z a z b z b z e R z e R z e r z e r z
H j j
(28)4 Thiết kế cực – zero
0 -0
|H()|2
1
r<R (boost)
r>R (cut)