Đề thi chọn đội tuyển HSG cấp Quốc gia môn Toán 12 năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Phú Thọ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN PHÚ THỌ DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN Ngày thi thứ nhất: 24/09/2020 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm có 01 trang Bài (5,0 điểm) 3 x  z  y  (a  b)  Cho a, b   , a  b Giải hệ phương trình: 3 x  xz  y  2(a  b) y  ab  x  x z  y (a  b)  yab  Bài (5,0 điểm) Cho dãy số thực dương  an n1 thỏa mãn điều kiện: a1  a2  an  an 1  an   4an 1 , n  * Chứng minh a1  a2  an  an 1 , n  * Bài (5,0 điểm) Giả sử O, I tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC với bán kính R, r tương ứng Gọi P điểm  , QP đường kính  O  , D giao điểm PI BC, F giao điểm đường trịn cung BAC ngoại tiếp tam giác AID với đường thẳng PA Lấy E tia DP cho DE  DQ   900 a) Chứng minh IDF   2r AEF   APE , chứng minh sin BAC b) Giả sử  R Bài (5,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho S tập hợp điểm ( x; y ) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: i) x, y   ii)  y  x  2020 a) Tính số phần tử S b) Hỏi có tập A gồm 2020 phần tử S cho A không chứa hai điểm  x1 ; y1  ;  x2 ; y2  thỏa mãn:  x1  x2  y1  y2   ? TOANMATH.com