Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Phòng GD&ĐT Thanh Sơn
( thi có 01 trang) Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Cp TnhNm hc 2008 - 2009
Môn: Toán
(Thêi gian lµm bµi 150 phót)
Câu 1(1điểm)
Chng minh rng: Khụng th cú số nguyên lẻ a1;a2; …;a2009 thoả mãn đẳng
thøc a1
+a22+a32+ +a20082 = a20092 C©u 2 (3®iĨm)
a) Cho a + b + c = (1) vµ a2 + b2 + c2 = 12 (2) Tính giá trị biểu thức
A= a4 + b4 + c4
b) Giải phơng trình:
x+52 x2
+25x
2 Câu (3điểm)
a)Tìm số dơng cho số bình phơng tổng số lại
b)Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= 2x2 + 9y2 – 6xy -6x – 12y + 2008
C©u 4( 3®iĨm)
Cho đờng trịn (O) có đờng kính AB cố định, C chuyển động nửa đờng
trịn Gọi H hình chiếu C AB Gọi O1; O2 lần lợt tâm đờng trũn ni
tiếp tam giác ACH BCH Gọi I giao điểm AO1 BO2
a) Chøng minh CI vu«ng gãc O1O2
b) Gọi r,r1,r2 lần lợt bán kính đờng trịn nội tiếp tam giác ABC; ACH;
BCH chøng minh r2 = r
12 + r22
c) Chứng minh CI qua điểm cố định
-Hết -Họ tên:.Số báo danh:
Hớng dẫn chấm thi toán 9
Câu 1( 1điểm) Chứng minh rằng: Không thể có số nguyên lẻ: a1;a2; …;a2009 tho¶
mãn đẳng thức a12+a22+a23+ +a20082 = a20092
(2)®iĨm Víi mäi a sè nguyên lẻ a2 chia d Thật vậy
Đặt a= 2k +1 a2 = (2k+1)2 = 4k2+4k+1( k Z) ⇒ a 1(mod 4)
Vì a1, a2,a2008 số nguyên lẻ nªn
VT = a12+a22 +…+a20082 1+1+…1( cã 2008 sè1) 2008 0(mod4)
(1)
Mµ a20092 1(mod 4)(2)
Tõ (1) vµ (2) ⇒ VT ≠ VP số nguyên lẻ a1;a2; ;a2009
thoả mãn đề
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 2 (3điểm)
a) Cho a + b + c = (1) vµ a2 + b2 + c2 = 12 (2) Tính giá trị biểu thøc
A= a4 + b4 + c4
b) Giải phơng trình:
x+52 x2+25x
2
Đáp án Thang
®iĨm
a) 1,5
Tõ (2) ⇒ (a2 + b2 + c2)2= 122
⇔ a4 +b4+ c4 +2(a2b2+ b2c2+c2a2) =144 0,25
⇔ a4 +b4+ c4= 144 – 2(a2b2+ b2c2+c2a2) 0,25
Mặt khác: Từ (1) ( a+b+c)2 = 0
⇒ a2 + b2+ c2 + 2ab+2bc+2ac =0
⇒ 12+ 2( ab+bc+ac) =
0,25 ⇒ ab+ bc+ac = -6
⇒ (ab+bc+ac)2 = 36
0,25 ⇒ a2b2+ b2c2+ a2c2 + 2abc( a+b+c) = 36
⇒ a2b2 + b2c2+ c2a2 = 36
0,25
Khi A = 144- 2.36 = 72 0,25
(3)Ta cã
x+5¿2 ¿ ¿11
¿ x+5¿2
¿ ¿11−2x 5x
x+5
¿ ¿ x2
+25
¿
§Ỉt x2
x+5 = y
0,25
PT trë thµnh: y2 + 10y – 11 = 0, suy ra: y = 1; y = -11. 0,25
+ NÕu y = th× x2
x+5 =1 , suy ra: x
2- x – = Giải đợc: 0,25
x1=1+√21 ; x2=
1−√21
2 0,25
+ NÕu y = -11 th× x
2
x+5 = -11, suy x
2 + 11x + 55 = PT vô nghiệm.
0,25
Tóm lại: Tập nghiệm phơng trình S = {1+21
2 ;
1−√21
2 } 0,25
C©u 3(3điểm)
a)Tìm số dơng cho số bình phơng tổng số lại
b)Tìm giá trị nhỏ biểu thøc: A= 2x2 + 9y2 – 6xy -6x – 12y + 2008
Đáp án Thang
điểm a.(1,5 điểm)Gọi số phải tìm x, y, z, t Ta cã
x= ( y+ z+t)2 (1)
y = ( x+z+t)2 (2)
z= ( x+y+t)2 (3)
t= ( x+y+z)2 ( 4)
0,25
Tõ (1) ; (2) ⇒ x-y = ( y+z+t)2 – (x+z+t)2
⇔ (x-y) = (y-x)(x+y+2x+2t) ⇔ (x-y)(x+y+2z+2t+1)=0
(4)⇔ x-y = ( V× x+y+2z+2t+1 > 0) ⇔ x=y
0,25
Chøng minh t¬ng tù x= z; x=t ⇒ x=y=z=t
Tõ (1) x= (3x)2 ⇔ x= 9x2 ⇔ x(9x-1) =0 ⇔ 9x-1=0 (v× x>0)
0,25
⇒ x=y=z=t=
9
0,25
b.(1,5 ®iĨm)
Ta cã A = ( x2 – 6xy + 9y2) + 4( x-3y) +4 + (x2-10x+25)+1979
0,25
= (x-3y)2 +4(x-3y) +4 + (x-5)2 +1979 0,25
= (x-3y+2)2 +(x-5)2 +1979 1979 0,25
DÊu ‘=’ x¶y ⇔
¿ x −3y+2=0
x −5=0
⇔ ¿x=5
y=7 ¿{
¿
0,5
Vậy: giá trị nhỏ A 1979 đạt đợc (x; y) = (5;
3 )
0,25
Câu 4( 3điểm) Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB cố định, C chuyển động nửa
đờng trịn Gọi H hình chiếu C AB Gọi O1; O2 lần lợt tâm đờng trịn
néi tiÕp c¸c tam giác ACH BCH Gọi I giao điểm AO1 BO2
a) Chứng minh CI vuông góc O1O2
b) Gọi r,r1,r2 lần lợt bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC; ACH;
BCH chøng minh r2 = r
12 + r22
c) Chứng minh CI qua điểm cố định
(5)
I
O
B O
O A
C
H
F E
J
a) ∠ACB = 900( Góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn đờng kính AB)
Ta cã ∠ACH = ∠ H ( cïng phơ víi BCH)
0,25
Vì CO1 BO2 lần lợt phân giác gãc ACH vµ CBH
Suy ∠ ACO1 = ∠ HCO1= ∠ HBO2 = ∠ CBO2
0,25
Gäi E CO1 BI ; F AI CO2
Ta cã ∠ HBO2 + ∠ CBO2 + ∠ BCH = 900
⇒ ∠ HCO1 + ∠ CBO2 + ∠ BCH = 900 suy ∠ CEB
= 900
0,25
Suy BE CO1 suy O2E đờng cao tam giác CO1O2
Chứng minh tơng tự :O1F đờng cao tam giác CO1O2
Suy I trực tâm tam giác CO1O2 Suy CI O1O2
0,25
b) Ta có Δ ABC đồng dạng Δ ACH (g.g) ⇒r1
r = CH
BC (1)
0,25
Δ ABC đồng dạng Δ CBH ( g.g) r2
r = CH
AC (2)
0,25
Tõ (1) vµ (2) suy r1
2
+r22 r2 =
CH2 BC2 +
CH2 AC2=(
1 BC2+
1
AC2)=CH
CH2=1
0,5
c,Vì AI BI phân giác CAB CBA Suy CI phân
giỏc ca ACB Suy ra: cung AJ = cung BJ, CI qua diểm
giữa cung AB ( điểm J) ( C J thuộc nửa mặt phẳng đối bờ AB)