Đang tải... (xem toàn văn)
Góc ngoài của một tứ giác bằng góc trong đối diện với góc kề của nó.... CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN.[r]
(1)ƠN TẬP TỐN – TÀI LIỆU THAM KHẢO (Chương trình ơn tập tài liệu chưa thực đổi SGK) A ĐẠI SỐ
CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
1 Nêu tính chất lũy thừa bậc hai ? Chứng minh : a > b a2 > b2 ( a, b > ) 3.a Định nghĩa bậc hai số học số a
b Phát biểu tồn CBHSH số a trường hợp a > 0, a = 0, a < c Áp dụng : 0,64 ; 0,01; ; 49
25
4 Phát biểu quy tắc khai phương tích, nhân thức bậc hai Áp dụng : Tính : a 25 ; 80
36 b
CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT
1 Phát biểu định nghĩa nêu tính chất hàm số bậc ?
Áp dụng : Trong hàm số sau hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến ? Vì ? a y = 5x – b y = - 2x
2 Cho hai đường thẳng d d’ có phương trình sau : a y = ax + b b y = a’x + b’
Khi hai đường thẳng d d’ : - Cắt nhau; - Song song; - Trùng
CHƯƠNG III HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
CHƯƠNG IV HÀM SỐ y = ax2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1 Nêu định nghĩa phương trình bậc hai ẩn viết cơng thức tính nghiệm tổng qt phương trình
bậc hai
Áp dụng : Tính nghiệm phương trình : x2 - 5x + =0 Nêu tính chất HSBH ẩn : y = ax2
3 Khi phương trình bậc hai : ax2 - bx + c =0 có : - Hai nghiệm phân biệt
- Nghiêm kép - Vô nghiệm
4 Phát biểu viết công thức hệ thức Viét
Áp dụng : Tính nhẩm nghiệm phương trình sau:
a x2 - 7x + 10 = 0 ; b 2x2 + 3x - = 0 ; c 3x2 - 8x + = 0 Phát biểu viết hệ thức Viét
B HÌNH HỌC
CHƯƠNG I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRỊN
1 Nêu cách xác định đường trịn ?
2 Vị trí điểm với đường trịn, đường thẳng với đường tròn, đường tròn với đường tròn
(2)1 Cm định lý : “ Nếu hai tiếp tuyến ”
2 Phát biểu định lý góc nội tiếp đường trịn
Chứng minh định lý trường hợp tâm O nằm cạnh góc Cm Định lý : “góc tạo tia tiếp tuyến ”
( CM định lý trường hợp tâm O nằm bên ngồi góc) CM định lý : “Góc có đỉnh bên đường tròn”
5 CM định lý : “Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn” 6.a CM định lý : “Trong tứ giác ”
b Phát biểu Định lý đảo định lý
CHƯƠNG IV HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN – HÌNH CẦU
1.a Phát biểu định lý hai mặt phẳng song song
b Áp dụng : Cho hình hộp chữ nhật : ABCD.A’B’C’D’ CMR : (ABCD) // (A’B’C’D’) a Phát biểu định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng
b CM định lý : “ Nếu a (P) mà a song song với đường thẳng nằm (P) a//(P)” a Viết cơng thức tính Sxq ;S Vtp; hình lăng trụ đứng
b Áp dụng : Tính Stp hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' tam giác ABC vng
A :
AB = 12 cm; AC =9 cm; AA’ = 10 cm
ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN
Cho đường trịn (O;R); Số đo góc tâm n0 - Viết cơng thức tính C
- Viết cơng thức tính
- Viết cơng thức tính S - Viết cơng thức tính Shq
BÀI TẬP (CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP)
1 Rút gọn biểu thức – Các bước thực - Tìm tập xác định
- Quy đồng mẫu thức ( có)
- Đưa bớt thừa số dấu ( đưa dạng (a b)2 hay (a b)2
)
- Trục thức mẫu số ( có )
- Thực phép tính: lũy thừa; thức … - Cộng, trừ số hạng đồng dạng
2 Tính tốn – Các bước thực a Tính A ( rút gọn A)
b Tính giá trị biểu thức A(x), biết x = a - Rút gọn A(x)
- Thay x = a vào A
3 Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức – Các bước thực Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : y = f(x) Dựa vào lũy thừa bậc chẵn
- Biến đổi biểu thức : y = f(x) cho: + Nếu y = M - g x( )2n (n Z )
Ta có : y = M - g(x)2nM với x R Do :ymax M g(x) 0 x ? + Nếu y = m + h x( )2n (n Z )
(3)Do :ymin m h(x) 0 x ?
* Các kiến thức thường dùng:
1 Cho y = A + B max max max
min min
y A B
y A B
2 Cho y A
với A > max min max
y A
y A
3 Cho A0 A2max Amax
4 Với a,b0 a + b = k ( số) abmax a = b Với a,b0 a.b = k ( số) (a+b)min a = b
4 CM đẳng thức, bất đẳng thức
a Dựa vào định nghĩa : A = B A – B =
Lập hiệu : A – B
Rút gọn A- B chứng tỏ A- B = Kết luận A = B
b Biến đổi trực tiếp
A = A1 = A2 = … = An B = B1 = B2 = … = Bn Nếu : An = Bn A = B c Biến đổi
A = A1 = A2 = … = B A = B
5 Những tốn liên quan đến phương trình bậc hai Hệ thức Viét.
Cho phương trình : ax2 bx c 0
(1) Trong a, b,c phụ thuộc vào m
5.1 Biện luận theo m có nghiệm (1) - – Các bước thực * Xác định hệ số a, b,c
- Xét hệ số a
+ a = → m = ? (Nếu a chứa m ) Lúc : ax2 bx c 0
trở thành bx + c =
b ≠ 0; c ≠ → x c
b
b = 0; c = → phương trình có vơ số nghiệm b = 0; c ≠ → phương trình vơ nghiệm
+ a ≠ : Lập biệt thức b2 4ac
( ' b '2 ac)
Nếu 0 m ? phương trình có hai nghiệm phân biệt.- (giải Δ.> 0)
Nếu 0 m ? phương trình có nghiệm kép.- (giải Δ.= 0)
Nếu 0 m ? phương trình vô nghiệm – (giải Δ.< 0) ( Ghi kết luận theo m → …….)
ÁP DỤNG: Biện luận theo m có nghiệm phương trình a x2 – 4x + m = 0
b (m-1)x2 + 2mx + = 0 c x2 + 2mx – = 0
5.2 Tìm điều kiện tham số m để phương trình có nghiệm
Có hai khả để (1) có nghiệm a./ a hay b x c
b
b./ Hoặc a 0
Kết luận theo m …
(4)b 2x2 - 5mx + 50 = 0
5.3 Tìm điều kiện m để (1) có nghiệm phân biệt, nghiệm kép, vô nghiệm
a a 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
b a 0
phương trình có nghiệm kép
c a 0
Phương trình vơ nghiệm
d a b c
Phương trình vơ nghiệm
5.4 / Tìm điều kiện m để (1) có nghiệm
a a x c
b b
b a 0
phương trình ln có nghiệm
5.5 Tìm điều kiện m để (1) có :
a Hai nghiệm dấu:
Phương trình (1) có hai nghiệm dấu : Δ P> Cách giải : - Xác định hệ số a, b, c
- Lập biệt thức Δ Giải Δ0 → m - Lập S = c/a > → m
- Chọn m b Hai nghiệm trái dấu :
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu : a c trái dấu hay S < c Hai nghiệm dương
Phương trình (1) có hai nghiệm dương : Δ P < 0; S > d Hai nghiệm âm
Phương trình (1) có hai nghiệm dương : Δ P > 0; S <
** BẢNG DẤU CỦA CÁC NGHIỆM SỐ
P= x1 +x2= - b/a S= x1 x2 = c/a KÕt qu¶
- Hai nghiƯm kh¸c dÊu
+ + + Hai nghiƯm dơng
+ - + Hai nghiệm âm
0 + Nghiệm kép dơng
0 - Nghiệm kép âm
Áp dụng :
1 Tìm điều kiện m để phương trình : x2 – (m - 1)x + m - = có hai nghiệm dương. Giải : a = 1; b = - ( m – 1); c = m -2
Ta có : a + b + c = - m + + m – = Nên x1 = ; x2 = c m m
a
(5)Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi: P < c m m
a
5.6 Tìm điều kiện m để (1) có nghiệm x = x1 Tìm nghiệm kia. - Xác định hệ số a, b, c
- Thay x = x1 vào (1)
- Giải phương trình tìm m
- Thay m vào phương trình (1) phương trình :
a'x b ' x c ' 0
Nghiệm lại : 2
1
c' b '
x hay x x
x a ' a '
Áp dụng : Tìm điều kiện m để pt :
a
(m-1)x -2(m+1)x 2m 0 có nghiệm x = -2 Tìm nghiệm
b
(m-1)x -7x m 0 có nghiệm x = Tìm nghiệm
c
(m-4)x -13x-m+41 0 có nghiệm x = Tìm nghiệm
5.7 Tìm m n để phương trình có hai nghiệm x1 x2 - Thay x = x1 vào phương trình (1) → pt (2)
- Thay x = x2 vào phương trình (1) → pt (3) - Giải hệ phương trình (2) (3) tìm n m
Áp dụng : Tìm m n để phương trình sau có hai nghiệm x1 x2 ……
5.8 Chứng minh phương trình (1) ln ln có hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép vô nghiệm
- Xác định hệ số a, b, c - Lập biệt thức Δ ( Δ’) - Rút gọn Δ ( Δ’)
+ Nếu Δ ( Δ’) > : pt ln có hai nghiệm phân biệt + Nếu Δ ( Δ’) = : pt ln có nghiệm
+ Nếu Δ ( Δ’) > : pt ln vơ nghiệm
5.9 Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa : ax1 + bx2 = k, PP giải: …
Áp dụng :
1 Cho pt : x2 – 2(m+1)x + m2 + = 0 a Tìm m để phương trình có nghiệm
b Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa : x1 + x2 =
2 Xác định giá trị m để phương trình : x2 – (m+5)x - m + = có hai nghiệm x1 x2 thỏa : a Nghiệm nghiệm đơn vị
b 2x1 + 3x2 = 13
* Ba biểu thức đối xứng thường gặp: 12 22 2 2
b c
x x k (x x ) 2x x S 2P k
a a
2
1 2
1
k
x x k x x
x x
2 2
1 2
b c
x x h (x x ) 2x x h S 2P h h
a a
2
1 2
x x
1 b a b
k k
x x x x a c c
3 13 32
b
x x x x 0
a
(6)3
3 3
1 2 2
b c b
x x t (x x ) 3x x (x x ) t S 3PS t t
a a a
* PP giải : - Xác định hệ số a, b, c - Lập biệt thức Δ ( Δ’)
- Biến đổi phương trình cho dạng : x1 + x2 ; x12x22; x1 x2 - Thay
b x x
a
c x x
a
( Theo Viet) - Giải phương trình vừa thay ta tìm m = ?
- Thay m vào Δ ( Δ’) Giá trị làm cho Δ ( Δ’) > giá trị cần tìm
Áp dụng :
1 Cho phương trình : x2 – 2(m-1)x + m2 – 3m + = 0 a Tìm m để phương trình có nghiệm
b Tìm m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại c Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa : x12x22 20 Cho phương trình : x2 – 2(m+1)x + m2 + 2m - = 0
a Chứng tỏ phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt b Tìm m để phương trình có nghiệm - Tìm nghiệm cịn lại c Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa : 2
1
x x 20
3 Cho phương trình : x2 – 2(m+1)x + 2m + 10 = Tìm m để phương trình : a x x1 2 2(x1x )2 5
b
2
x x
2 x x
4 Cho phương trình : x2 – 2x - m2 - = 0
a Chứng tỏ phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt b Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = -2 Tính x2 ? c Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa : 2
1
x x 20
6 Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên: PP giải : - Rút gọn A, đưa dạng phân thức A(x)
B(x) - Đưa A(x)
B(x) dạng
n m
C(x)
( m, n Z ) - A nhận giá trị nguyên n
C(x) số nguyên C(x) = Ư(n) → x = ?
Áp dụng : Cho A = x
x
Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên
Giải : A = x 1
x x
A nhận giá trị nguyên : 4 x 3
x 3 1; 2;
x x x 16
x
x x
x
x x
x x x 25
x
x 1(!!)
x x x 49
(7)7 Giải loại phương trình : 7.1 Phương trình chứa thức:
7.2 Phương trình dạng : A B AB
PP giải : - Bình phương hai vế, ta có :
2 2 A B A B
A B A B
A B A B
Áp dụng : Giải phương trình : 2x 1 x
x =1 2x x
1 2x (x 2) x
3
7.3 Phương trình dạng : A B(x) (ĐK: B(x) 0 ) A B
A B
( Chọn nghiệm thỏa điều kiện)
Áp dụng : giải phương trình : 2x+3 4x
2x+3 4x 1 Đk: x
x 2x 4x
2
2x (4x 1) x (!)
3
Vậy : x =
8 Đồ thị vấn đề liên quan đến đồ thị
8.1 Đồ thị : chương trình tốn THCS gồm loại :
- Đồ thị đường thẳng: y = ax (d) ( đường thẳng qua gốc tọa độ)
x = → y = x = → y = a Vẽ đồ thị
- Đồ thị đường thẳng: y = ax + b (d) ( đường thẳng ln qua điểm có tung độ b)
Giao điểm với trục Oy: x = → y = b Giao điểm với trục Ox: y = → x = - b/a Vẽ đồ thị
- Đồ thị Parabol : y = ax2 (P) ( đường cong qua gốc tọa độ có hai nhánh đối xứng với qua trục tung)
Hàm số y = ax2 có TXĐ D = R Lập bảng giá trị :
x -2 -1
y = ax2 4a a 0 a 4a
Vẽ đồ thị
8.2 Các vấn đề liên quan đến đồ thị
a Điểm thuộc đồ thị - Đồ thị qua điểm
Cho (C) đồ thị hàm số y = f(x) điểm A(xa; ya) Hỏi (C) có qua A khơng ? PP giải: - Tính f(xA) cách thay x = xA vào f(x)
- Nếu f(xA) = yA (C) có qua A Nếu f(xA) yA (C) khơng qua A
Áp dụng :
1 Cho (P): y = ax2 qua A (-2;8) a Tìm a
(8)Giải : a Vì (P) : y = ax2 qua A (-2;8) Thay x = -2; y = vào (P) Ta có : = a (-2)2 → a = 2 Vậy (P) : y = 2x2
b Thay xA = -2 vào (d) , ta có : f(xA) = 2.(-2) + 12 = = yA Vậy đường thẳng (d) : y = 2x + 12 qua A (-2;8)
2 Xác định hệ số a hàm số (P) : y = ax2 biết (P) qua A(1;2)
3 Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm A(-2;2) đường thẳng (d) : y = -2(x + 1) a Giải thích A nằm (d)
b Tìm a hàm số (P): y = ax2 có đồ thị qua A.
b Sự tương quan đồ thị:
Bài toán : Cho (C ) (L) theo thứ tự đồ thị hàm số: y = f(x)
y = g(x)
Khảo sát tương giao hai đồ thị Cách giải:
Toạ độ giao điểm (C ) (L) nghiệm hệ phương trình ( )
( ) y f x y g x
(I)
Phương trình hồnh độ giao điểm (C ) (L) là: f(x) = g(x) (1)
- Nếu (1) vô nghiệm (I) vô nghiệm (C) (L) khơng có điểm chung
- Nếu (1) có nghiệm kép (I) có nghiệm kép (C) (L) tiếp xúc
- Nếu (1) có nghiệm nghiệm (I) có nghiệm (C) (L) có
hoặc hai điểm chung ( cắt nhau)
Áp dụng:
1 Tìm a (P) : y = ax2 ; biết (P) tiếp xúc với đường thẳng (d) : y = x + 1. Giải : Tọa độ giao điểm (P) (d) nghiệm hệ phương trình :
2
y ax P
y x d
Hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình : ax2 = x + 1
ax2 - x – = 0
Δ = b2 - 4ac = (-1)2 - 4a(-1) = + 4a (P) (d) tiếp xúc : Δ = Hay : + 4a = a = -1/4
2 Trong hệ trục tọa độ, cho (P) : y = x2 đường thẳng (D) : 2x + m Tìm m để (P) (D) tiếp xúc với
c Tìm tọa độ giao điểm (P) (D) phương pháp đại số phương pháp đồ thị
Cho (P) : y = ax2 (D) : y = bx + c
PP giải :
* Bằng phương pháp đại số :
- Tọa độ giao điểm (P) (D) nghiệm hệ phương trình
2
y ax P
y bx c d
- Hoành độ giao điểm (P) (D) nghiệm phương trình ax2 = bx + c
(9)- Giải phương trình (*) tìm x1 x2
- Thay x1 x2 vào (P) (D) → y1 y2
- Vậy tọa độ giao điểm (P) (D) (x1 ;y1 )và (x2 ; y2) * Bằng phương pháp đồ thị :
- Vẽ đồ thị hàm số (D) : y = bx + c Cho x = → y = c
y = → x = - c/b - Vẽ đồ thị hàm số (P) : y = ax2
TXĐ : D = R Lập bảng giá trị :
x -2 -1
y = ax2 4a a 0 a 4a
- Vẽ đồ thị (P) (D) mặt phẳng tọa độ - Nhận xét
Áp dụng :
Tìm tọa độ giao điểm (P): y = -2x2 (D): y = -x – phương pháp đại số đồ thị
Giải :
* Bằng phương pháp đại số :
Tọa độ giao điểm (P) (D) nghiệm hệ phương trình
2
y 2x P
y x d
Hoành độ giao điểm (P) (D) nghiệm phương trình -2x2 = -x - c
-2x2 + x + = 2x2 - x - =
Tao có : a + b + c = – – = x1 = x2 = c
a
Thay x1 = vào (P) : y = -2x2 → y1 = -2 Thay x2 =
2
vào (P) : y = -2x2 → y2 =
- Vậy tọa độ giao điểm (P) (D) (1; -2) (
2
;
2
) * Bằng phương pháp đồ thị : Hs tự làm
d CMR
Bài toán : Cho (P) : y = ax2 đường thẳng (D) : y = bx + c. CMR : a (P) (D) cắt hai điểm
b Tiếp xúc Tìm tọa độ tiếp điểm
PP giải :
- Tọa độ giao điểm (P) (D) nghiệm hệ phương trình
2
y ax P
y bx c d
- Hoành độ giao điểm (P) (D) nghiệm phương trình ax2 = bx + c
ax2 - bx – c = (*) - Lập Δ ( Δ’) Rút gọn Δ ( Δ’)
- Nếu Δ ( Δ’) > → phương trình có hai nghiệm phân biệt Do đó, (P) (D) cắt hai điểm
(10)Tọa độ tiếp điểm :
2
b b
;a 2a 2a
Áp dụng :
1 CMR :(P) : y = x2 đường thẳng (D) : y = 2mx + cắt hai điểm với mọi m
Giải :
- Tọa độ giao điểm (P) (D) nghiệm hệ phương trình
2
y x P
y 2mx d
- Hoành độ giao điểm (P) (D) nghiệm phương trình x2 = 2mx + 1
x2 – 2mx – =
Δ’ = b’2 – ac = (-1m)2 – (-1) = m2 + > với m Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
Do đó, (P) (D) ln cắt hai điểm
2 CMR :(P) : y = x2 đường thẳng (D) : y = 2x - ln tiếp xúc nhau, tìm tọa độ tiếp điểm
Giải :
- Tọa độ giao điểm (P) (D) nghiệm hệ phương trình
2
y x P
y 2x d
- Hoành độ giao điểm (P) (D) nghiệm phương trình x2 = 2x - 1
x2 – 2x + =
Δ’ = b’2 – ac = (-1)2 – (1) = - = 0 Nên phương trình có nghiệm kép Do đó, (P) (D) ln tiếp xúc với Tọa độ tiếp điểm : x = -b/a = → y = : A(1;1)
d Các loại phương trình đường thẳng :
Viết phương trình đường thẳng (D), biết qua qua A(xA; yA) B(xB; yB).
PP giải :
- Phương trình đường thẳng (D) có dạng : y = ax + b Vì (D) qua điểm A(xA; yA) nên : yA = axA + b (1) Vì (D) qua điểm B(xB; yB) nên : yB = axB + b (2)
- Giải hệ phương trình :
A A
B B
y ax b y ax b
→ Tìm a, b
- Thay a, b vào (D) → dạng (D)
Vậy phương trình đường thẳng (D) có dạng…
Áp dụng : Viết phương trình đường thẳng (D), biết qua qua : a A(-1;2) B(2;-1)
b C(1;2) D(2;3)
2 Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) qua A(xA; yA) tiếp xúc với (P) : y = ax2 PP giải : - Phương trình đường thẳng (D) có dạng : y = bx + c
(11)
2
y ax P
y bx c d
- Hoành độ giao điểm (P) (D) nghiệm phương trình ax2 = bx + c
ax2 - bx – c = (*) - Lập Δ ( Δ’)
- (P) (D) tiếp xúc phương trình (*) có nghiệm kép Hay : Δ = (1)
- Vì (D) qua điểm A(xA; yA) nên : yA = bxA + c (2) - Từ (1) (2) ta có hệ phương trình
A A
0
y bx c
- Giải hệ phương trình tìm a,b - Thay a, b vào (D) : y = bx + c → …
Áp dụng : Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) qua A(-2;-2) tiếp xúc với (P) : y =
2
x2
Giải :
- Phương trình đường thẳng (D) có dạng : y = bx + c
- Tọa độ giao điểm (P) (D) nghiệm hệ phương trình
2
y x P
2
y bx c d
- Hoành độ giao điểm (P) (D) nghiệm phương trình
2
x2 = bx + c
2
x2 - bx – c =
x2 + 2bx + 2c = Δ = b2 – 2c
- (P) (D) tiếp xúc phương trình (*) có nghiệm kép Δ = hay b2 – 2c = (1)
- Vì (D) qua điểm A(-2; -2) nên : yA = bxA + c
b = 2a – (2) - Từ (1) (2) ta có hệ phương trình
2
b – 2c b 2a –
- Giải hệ phương trình : a = Thay a = vào (2) → b =
Vậy phương trình đường thẳng (D) : y = 2x +
3 Lập phương trình đường thẳng (D) qua A(xA; yA) có hệ số góc k
PP giải: - Phương trình đường thẳng (D) có dạng : y = ax + b (1) - Xác định a : + Ta có a = k
- Xác định b : + Ta có (D) qua A(xA; yA)
** Chú ý : Viết phương trình tiếp tuyến (P): y = ax2 A(x A; yA)
Ta làm giống trên( hay qua A)
(12)Thay x = xA ; y = yA ; a = k
Ta có : yA = kxA + b → b = yA + kxA - Thay a, b vào y = ax + b
- Vậy (D) : ……
Áp dụng :
1 Lập phương trình đường thẳng (D’) qua A(-1; 3) song song với đường thẳng (D) : y = x Lập phương trình đường thẳng (D) qua A(-1; 3) có hệ số góc -1
3 Lập phương trình đường thẳng (D’) biết đồ thị song song với (D) : y = x – cắt (P) : y = - x2 điểm có hồnh độ -1.
4 Tìm a, b hàm số y = ax + b biết đồ thị (D’) hàm số song song với (D): y = - x + cắt (P) : y = x2 điểm có hồnh độ -1.
Giải : - Phương trình đường thẳng (D) có dạng : y = ax + b - Xác định a : Vì (D’) // (D) : y = - x + nên a = -1
Nên (D’) : y = - x + b
- Xác định b : Vì (D’) cắt (P) : y = x2 x = -1 → y = (-1)2 = 1
Tọa độ giao điểm (D’) (P) A(-1;1)
Vì A(-1;1) thuộc (D’) nên b = yA + axA = 1- (-1).(-1) = Vậy phương trình đường thẳng (D’) : y = -x
5 Lập phương trình đường thẳng (D’) qua A(2; 0) vng góc đường thẳng (D) : y = 2x –
6 Lập phương trình đường thẳng (D’) qua A(-2; -1) vng góc đường thẳng (D) : y = -x +
4 Lập phương trình đường thẳng (D’) có hệ số góc k tiếp xúc với (P) : y = ax2
PP giải : - Phương trình đường thẳng (D) có dạng : y = ax + b (1) - Xác định a : + Ta có a = k → y = kx + b (D’)
- Xác định b : - Tọa độ giao điểm (P) (D) nghiệm hệ phương trình
2
y ax P
y kx b D '
- Hoành độ giao điểm (P) (D) nghiệm phương trình ax2 = kx + b
ax2 - kx – b = (*)
- Vì (P) (D’) tiếp xúc với nên pt (*) phải có nhiệm kép Δ = → b= ? - Thay b = ? vào y = kx + b → (D’): …
Áp dụng :
1 Cho (P): y = x2 Lập phương trình (D’) // (D) : y = 2x tiếp xúc với (P). Tìm m để (D): y = m + cắt (P) : y = -2x2 hoành độ -1.
9 Tập xác định hàm số
a y = ax + b ; y = ax2 +bx + c ;
5 y
x
;
2
y x 1 ; y 27
x
;
5 x y
2
: TXĐ với
x R
b
2
2
1
y x 0; y x x 2;
x x
5 2x
y x x 0; y x x x 5;
x
1
y x x 2; y x
x x
(13)HÌNH HỌC
1 Tam giác đặc biệt
- Tam giác vuông cân: a
h
;
2 a S
2
- Tam giác a h
2
;
2 a S
4
- Tam giác vuông: 2
a b +c c2 ac ' ; S 1bc
2 2
1 1
h b c
2
b ab '; S 1ha
2
2
h b 'c '
2 Tam giác bất kỳ
- Tổng góc : A B C 1800
- Đường cao tương ứng với cạnh a : a
a
h p(p a)(p b)(p c)
p a b c
2
- Trung tuyến ứng với cạnh a : a 2
m 2b 2c a
2
3 Tứ giác
c
a h
b
c’ b’
a
(14)a Hình bình hành: d +d =2(a +b )12 22 2 ; S ah a b Hình thang : S a b.h
2
c Hình chữ nhật: d a2 b2
; S = ab d Hình thoi: d +d =4a12 22 2;
1 S d d
2
e Hình vng : d a 2 ; S = a2
f Tứ giác nội tiếp: A B C D ; d1d2 = ac + bd
g Tứ giác ngoại tiếp: a + c = b + d ( cộng hai cạnh đối diện )
S = pr ( p: chu vi tứ giác; r : bán kính đường trịn nội tiếp ) h Tứ giác bất kỳ:
- Tổng góc :
A B C D 2 360
- Diện tích :
S d d sin
2
( góc tạo hai đường chéo )
4 Đa giác đều
* Đa giác n cạnh a
- Góc tâm :
0 360
n
- Góc đỉnh ( trong) :
0 (n 2).180 A
n
- Trung đoạn : d a cot g
2
- Diện tích :
2 na
S cot g
4
* Đa giác n cạnh a nội tiếp đường trịn bán kính R
- Cạnh a :
0 180 a 2R sin
n
- Trung đoạn :
0 180 d R cos
n
- Diện tích :
2
nR 360
S sin
2 n
* Đa giác n cạnh a ngoại tiếp đường tròn bán kính R
- Cạnh a :
0 180 a 2R tg
n
- Trung đoạn : d 2R - Diện tích :
0 180 S nR tg
n
5 Hình trịn phần hình trịn
- Hình trịn bán kính R : C R ; SR2
- Hình vành khăn : S (R2 r )2
; S(2r+d)d
- Hình quạt : l Rn 180
; Shq lr
2
(15)* Hình hộp chữ nhật: xq
S 2(a b)c 2
d a b c
V = abc xq
S S 2Sđ
* Hình lập phương xq
S 4a
V = a3
d a 3
S 6a
* Hình lăng trụ xq
S Pl
V = Bh
S Pl 2 Sđ
* Hình trụ xq
S 2 Rh
V = R h2
tp xq
S S 2Sđ
7 Hình chóp – Hình nón
* Hình chóp đều: xq S Pd V Bh Stp =
* Hình chóp cụt đều: xq
1
S (P P ')d
1
V (B B' BB')h
Stp =
* Hình nón: Sxq Rl V R h2
3
Stp = Rl+R2
* Hình nón cụt: xq
S (R r)l 2
V h(R r Rr)
3
Stp =
8 Hình cầu
* Hình cầu
Diện tích mặt cầu : S R2
Thể tích : V R3
3
* Hình quạt cầu
Diện tích : SR (r 2h) Thể tích : V R h2
3
MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP
I CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU
1 Hai góc góc thứ ba
A B A C B C
2 Hai góc với hai góc khác
A B
C D A C
Mà : B D
3 Hai góc tổng hiệu hai góc theo thứ tự đôi khác
A B C B N
Mà A M
M N P C P
4 Hai góc bù ( phụ ) với góc thứ ba
0 A C 180
A B B C 180
(16)
Ox / /O ' x '
xOy x 'Oy ' Oy / /O ' y'
Ox O' x '
xOy x 'Oy ' Oy O' y '
6 Hai góc sole trong, sole ngồi, đồng vị, đối đỉnh
7 Hai góc đáy tam giác cân, tam giác đều, hình thang cân
8 Hai góc tương ứng hai tam giác hai tam giác đồng dạng Hai góc nội tiếp chắn cung, hai góc chắn hai cung 10 Tia phân giác góc
11 Hai góc đối hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vng
II CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU
1 Hai đoạn thẳng đoạn thẳng thứ ba
2 Một điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc Hai đường thẳng song song chắn hai đường thẳng song song
4 Hai cạnh bên tam giác cân, tam giác đều, hình thang cân Hai cạnh tương ứng hai tam giác
6 Một điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai đầu mút đoạn thẳng
7 Hai cạnh đối hình bình hành, hình chữ nhật, hình vng, hình thoi Hai đường chéo hình hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân Hai dây trương hai cung
10 Hai dây cách tâm
11 Hai đoạn thẳng đối diện với hai góc
III CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
1 Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba
3 Hai đường thẳng tạo với cát tuyến hai góc vị trí : sole trong, sole ngồi, đồng vị; phía bù
4 Hai dây chắn hai cung đường tròn
5 Là hai cạnh đối hình bình hành, hình chữ nhật, hình vng, hình thoi Hai cạnh đáy hình thang
7 Sử dụng Định lý Talet đảo AB' AC '
B'C'/ /BC AB AC
IV CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
1 Hai đường thẳng song song với hai đường thẳng vng góc khác
2 Dựa vào định lý: Hai đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ vng góc đường thẳng thứ hai
3 Hai đường thẳng đường cao cạnh đối diện tam giác Đường kính qua trung điểm dây
5 Đường phân giác, đường trung tuyến tam giác cân đường cao Hai đường phân giác hai góc kề bù vng góc với
7 Hai đường chéo hình vng, hình thoi
8 Hai đường thẳng tạo thành góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
V CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
1 Chúng minh chúng đường cao, phân giác, trung tuyến, trung trực tam giác Một phân giác phân giác ngồi hai góc tam giác
3 Đường thẳng thứ ba qua giao điểm hai đường Vận dụng định lý đảo định lý Talet
Trong ΔABC có:
AB DB
(17)→ AD phân giác BAC Do đó: AB, AC, AD đồng quy A
VI CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU
1 Tam giác thường: (ba trường hợp) - Ba cạnh đơi
- góc xen hai cạnh đôi - Một cạnh kề với hai góc đôi Tam giác vuông
- Cạnh huyền góc nhọn - Cạnh huyền cạnh góc vng - Hai cạnh góc vng
VII CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
1 Tam giác thường:
- Có hai góc đơi
- Một góc xen hai cạnh tỉ lệ - cạnh tương ứng tỉ lệ
2 Tam giác vng:
- Có góc nhọn - Hai cạnh góc vng tương ứng tỉ lệ
VIII CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC
1 AB + BC = AC ( B nằm A C ) MA.MB = MC.MD
MA MD
MAD
MC MB ~ΔMCB
MA MC
MAC
MDMB ~ΔMDB
* Nếu điểm M, A, B, C, D nằm đường thẳng chứng minh tích một tích thứ 3.
Nghĩa : MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF → MA.MB = MC.MD
* Trường hợp đặc biệt : MT2 = MA.MB → MT.MT = MA.MB
Thì chứng minh : ΔMTA ~ΔMBT so sánh với tích thứ ba * Cần ý đến hệ thức lượng tam giác vuông:
2 2
a b +c ; 2
1 1
h b c ; S bc
2
; S 1ha
2
c ac ' ; b2 ab '; h2 b 'c '
IX CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP
1 Theo định nghĩa : điểm cách điểm cố định
2 CM hai góc đối diện bù hình thang cân, hình chữ nhật, hình vng Hai đỉnh liên tiếp nhìn cạnh góc
+ Hai tam giác có chung đáy góc đỉnh * Trường hợp đặc biệt :
Tứ giác ABCD có :
ABD 1V ACD 1V
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
AD I;
2
(18)X CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
1 CM : OT MT T thuộc (O;R)
2 CM khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng MT = R: OT = R Dùng góc nội tiếp : BAT BTM ????
4 Nếu M nằm cạnh kéo dài AB mà MT2 = MA.MB MT tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ΔTAB T
XI CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG
1 Hai góc kề bù có tổng 1800
2 Hai đường thẳng xuất phát từ điểm song song với đường thẳng thứ ba
3 Từ điểm vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng cho
4 Hai góc có cạnh chung hai cạnh thẳng hàng cịn lại nằm phía cạnh chung hai cạnh trùng
5 Sử dụng số tính chất đường tam giác, tứ giác
BÀI TẬP
1 Cho :
a b b a
A :
ab a b
a Tìm điều kiện a, b để A có nghĩa b Rút gọn A
2 Rút gọn B
2
(2 a ) ( a 3) B
1 a
3 Cho :
2
( x y) xy x y y x
B
x y xy
a Tìm điều kiện để B có nghĩa b Rút gọn B
c Tìm B x = 3; y =
4 Cho : D x y y x :
x y xy
a Rút gọn D
b Tính D x = 2; y =
5 Cho :
10 Cho :
2
2
4x (2x+1)(x 1) C
9x
a Rút gọn biểu thức
b Tìm giá trị x để biểu thức C > 11 Cho :
2
(2x 3)(x 1) 4(2x 3) D
(x 1) (x 3)
a Rút gọn biểu thức
b Tính giá trị D x = 3 2 c Tìm giá trị x để D >
12 Cho :
2
3
E a
1 a a
Rút gọn E
13 Chứng minh đẳng thức sau : a x (x 1)2 x
2x x
b
(19)x y y x
E :
xy x y
Tính giá trị E x = 2; y = 4 Cho :
x x x x
F 1
x x
Tính giá trị F x = 3
7 Cho :
2
2
(x 1) A
(2x 1) (x 2)
a Rút gon A b Tìm x để A = Cho :
2
2
(a 1) A
(2a 1) (a 2)
a Rút gon A b Tìm x để A = -2 Cho :
2
x (4x 2)(x 3) B
x 6x
a Rút gọn biểu thức
b Tìm giá trị x để biểu thức B =
c a b a b ab
a b a b
d
2
(2 a ) ( a 1)
1 a
e
14 15
:
1
f a b b a : a b
ab a b
g x x x x x
x x
h x y y x xy
x y
g x x y y xy ( x y)2
x y
i a a b b ab ( a b)2
a b
k x x y y : x y
x xy y x y
14 Cho hàm số (P) : x y
2
a Vẽ đôt thị hàm số
b Với giá trị m đường thẳng (d) : y = -x + m cắt (P) hai điểm A B c Xác định tọa độ A B m = 3/2
15 Cho hàm số : (P) : y = ax2
a Xác định hệ số a biết (P) qua A(3;3) Vẽ đồ thị hàm số trường hợp b Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc m (m ≠0) qua điểm B( 1;2)
c Với giá trị m đường thẳng tiếp xúc với (P) : y = x2/3 Vẽ đồ thị trường hợp đó tính tọa độ tiếp điểm
16 Cho phương trình : x2 - 10x – m2 = ( -2x2 - 14x +m2 = )
a CMR phương trình ln có hai nghiệm trái dấu với giá trị m ≠
b Với giá trị m phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện : 6x1 + x2 = (3x1 - x2 = -29) 16 Cho hàm số : (P) : y = 2x2 (d) : y = m
a Vẽ đồ thị hai hàm số
b Với giá trị m đường thẳng (d) cắt (P) ? cắt điểm ? Cắt hai điểm phân biệt ? 17 Cho hàm số : (P) : y = x2 (d) : y = 2x – 1
a Vẽ đồ thị hai hàm số xác định tọa độ giao điểm (P) (d) b CMR (P) (d) cắt điểm
18 a Vẽ đồ thị hàm số (P) : y = x2/4 (d) : y = x + m
b Với giá m (d) (P) không cắt ? Cắt ? Tiếp xúc ? 19 Cho hàm số y = mx2 có đồ thị (P).
(20)b Viết phương trình đường thẳng qua A(4;-8) có hệ số góc -1 c Vẽ (P) (d) mặt phẳng tọa độ
d Tìm tọa độ giao điểm (P) (d) pp đại số 20 Cho hàm số : (P) : y = ax2 (d) : y = -x – 1
a Xác định a để (P) qua A(-1;-2)
b Tìm tọa độ giao điểm (P) (d) pp đại số c Vẽ (P) (d) mặt phẳng tọa độ 21 Cho phương trình : x2 - 2( m + 1)x + m2 +2m – =
a Chứng tỏ phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt b Tìm m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại THÊM : Cho phương trình bậc hai : x2 – 2(m+1)x + m – = 0
a Giải phương trình m =
b CMR phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Cho hàm số : y = ax2 có đồ thị (P) mặt phẳng Oxy.
a Tìm hệ số a, biết (P) qua A( -1;1) Vẽ (P) với a vừa tìm
b Viết phương trình đường thẳng (d) qua A có hệ số góc c Tìm giao điểm B (≠ A) (P) (d)
3 Cho phương trình : mx2 – (m - 2)x + = 0
a Định m để phương trình trở thành phương trình bậc giải phương trình bậc b Định m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại
4 Cho phương trình bậc hai : x2 – (m - 1)x - m = 0
a Định m để phương trình có nghiệm kép? Tính nghiệm kép ? b Định m để phương trình có hai nghiệm dương
5 Cho phương trình bậc hai : x2 – (2m - 5)x – 3n = 0
Hãy xác định m, n cho phương trình có hai nghiệm -2 Cho phương trình : 3x2 – 2x + m = 0
Với giá trị m phương trình có hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép, vô nghiệm
MỘT SỐ BÀI TỐN LẬP PHƯƠNG TRÌNH
1 Một đội xe cần chuyên chở 120 hàng Hôm làm việc có xe điều nơi khác nên xe lại phải chở thêm 16 Hỏi đội xe có xe ?
2 Một đội xe cần chở 20 hàng Hơm làm việc có hai xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm Hỏi dự định lúc đầu đội xe có ?
3 Một phịng họp có 360 ghế ngồi xếp thành dãy số ghế dãy Nếu số dãy tăng thêm số ghế dãy tăng thêm phịng họp có 400 ghế Hỏi phịng họp có dãy dãy có ghế?
4 Trong phịng họp có 70 (40) người xếp ngồi dãy ghế Nếu bớt hai (một) dãy ghế mỗi dãy ghế cịn lại phải thêm (hai) người đủ chỗ ngồi Hỏi lúc đầu có dãy ghế dãy ghế xếp người ?
5 Một lớp học có 48 học sinh, số chỗ ngồi chia ghế dài Vì có việc cần, nên nhà trường phải điều hai ghế dài nên ghế dài lại phải ngồi thêm học sinh ghế cuối lớp có ba học sinh Hỏi ban đầu lớp học có ghế dài ?
6 Một thuyền khởi hành từ bến sông A Sau 5h20’ canô đuổi theo gặp thuyền cách bến A 20km Hỏi vận tốc thuyền , biết vận tốc canô vận tốc thuyền 12 km/h
7 Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B Ơ tơ thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 12 km/h nên đến B sớm ô tô thứ hai 42 phút Tính vận tốc xe ? Biết quãng đường AB dài 270 km
8 Một canô xuôi dòng 90 km ngược dòng 36 km Biết thời gian xi dịng nhiều thời gian ngược dịng 2h vận tốc xi dịng vận tốc ngược dịng 6km/h Hỏi vận tốc canơ lúc xi dịng, lúc ngược dòng ?
(21)10 Một canô sông dài 30 km Thời gian canơ xi dịng thời gian canơ ngược dịng 1h30’ Tìm vận tốc thật canơ, biết sức nước chảy 1h km
11 Hai ô tô khởi hành lúc từ hai địa điểm A B cách 48 km hướng C Chúng chiều đuổi kịp sau 4h Tìm vận tốc tơ; biết vận tốc ô tô từ A tăng thêm 18 km/h vận tốc gấp đôi vận tốc ô tô từ B
12 Một ô tô từ A đến B cách 300 km Đi nửa đường xe phải giảm tốc độ nên chậm đoạn đường đầu 10 km.Do xe đến B chậm dự tính 30’ Tính vận tốc ban đầu xe
13 Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B chậm 2h Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B sớm 1h Tính quãng đường AB thời gian dự định lúc đầu ?
14 Hai canô khởi hành từ hai tỉnh A, B cách 85 km ngược chiều Sau 1h10’ hai canơ gặp Tính vận tốc riêng canơ, biết vận tốc canơ xi dịng vận tốc canơ ngược dịng km/h vận tốc nước km/h
15 Hai ô tô khởi hành từ hai tỉnh A, B cách 120 ( 115) km ngược chiều Sau 1h30’ ( 1h15’) hai tơ gặp Tính vận tốc riêng tơ, biết vận tốc ô tô từ A lớn vận tốc ô tô từ B (12 km/h) km/h
16 Một tàu thủy chạy bến sông dài 80 km, lẫn 8h20’ Tính vận tốc tàu thủy nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước km/h
17 Hai canô khởi hành lúc chạy từ bến A đến bến B Canô thứ chạy với vận tốc 20 km/h, canô thứ hai chạy với vận tốc 24 km/h Trên đường canô thứ hai dừng lại 40 phút, sau tiếp tục chạy với vận tốc cũ Tính chiều dài quãng đường AB biết hai canô đến B lúc
18 Đường sông từ thành phố A đến thành phố B dài đường 10 km Để từ A → B canô hết 3h20’, ô tô hết 2h Tính vận tốc canơ ? Biết vận tốc canơ vận tốc ô tô 17 km/h
19 Một người xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách 50 km Sau 1h30’, người xe máy từ A đến B sớm 1h Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy vận tốc xe đạp 2,5 lần
20 Một người xe máy từ A → B với vận tốc trung bình 30 km/h Khi đến B người nghỉ 20’ quay trở A với vận tốc trung bình 25 km/h Tính qng đường AB; biết thời gian lẫn 5h50’
21 Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40 km/h Lúc đầu tơ với vận tốc đó, cịn 60km nửa qng đường AB, người lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h qng đường cịn lại Do đó, tơ đến B sớm h so với dự định Tính quãng đường AB
22 Một đội máy kéo dự định ngày cày 40 Khi thực hiện, ngày đội máy kéo cày 52 Vì vậy, đội cày xong trước thời hạn ngày mà cịn cày thêm Tính ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch
23 Hai đội cơng nhân làm chung 12 h hồn thành cơng việc định Họ làm chung h tổ điều lam công việc khác, tổ hai làm nốt phần công việc lại 10 h Hỏi tổ làm sau hồn thành cơng việc
24 Một đội cơng nhân hồn thành cơng việc với 420 ngày cơng thợ Hãy tính số công nhâmn đội, biết đội tăng thêm người số ngày hồn thành cơng việc giảm ngày
25 Hai vòi nước chảy vào bể sau 44
5 h đầy bể Mỗi vời chảy lượng 1
2 lượng nước chảy vòi Hỏi vịi chảy riêng đầy bể
26 Hai người thợ làm cơng việc 15 h xong Nếu người thứ làm 3h người thứ hai làm 6h hai người hồn thành 25% cơng việc Hỏi làm người làm để hồn thành cơng việc
(22)28 Nếu hai vòi nước chảy vào bể sau 1h20’ đầy bể Nếu để vịi chảy 10’ vịi chảy 12’ đầy
15 bể Hỏi vòi chảy đầy bể
29 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 ( 240; 140) m Người ta làm lối xung quanh vườn rộng 2m Diện tích cịn lại để trồng trọt 4256 ( 3036; 875) m2 Tính kích thước vườn.
30 Cạnh huyền tam giác vng 10m Hai cạnh góc vng 2m Tìm cạnh góc vng tam giác vng
31 Tỉ số cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng 13
12 Cạnh cịn lại 15 Tính cạnh huyền
32 Một tam giác vng có cạnh huyền 26m, diện tích 120m2 Tính chu vi tam giác ấy. 33 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 32m Nếu giảm chiều rộng 3m tăng thêm chiều dài 2m diện tích giảm 24m2 Tìm kích thước khu vườn.
34 Hai vịi nước cung chảy vào bể khơng có nước chảy đầy bể 1h48’ Nếu chảy riêng vịi chảy đầy bể nhanh vịi 1h30’ Hỏi chảy riêng vịi chảy
35 Hai đội niên làm chung hồn thành cơng việc ngày Nếu làm riêng đội hồn thành cơng việc nhanh đội hai ngày Hỏi làm riêng đội hồn thành cơng việc ngày ?
HÌNH HỌC
1 Cho đường trịn (O) đường kính AB tiếp tuyến Bx Trên Bx lấy điểm M, AM cắt đường tròn S Gọi N trung điểm cung nhỏ AS Nối ON cắt AS I CMR :
a ABM ASB
b BN đường phân giác ABS ON // BS c Tứ giác MIOB nội tiếp
2 Cho ΔABC vuông A Gọi O,M, O’ trung điểm cạnh AB, BC, CA
a Tứ giác AOMO’ hình ? Có nội tiếp đường trịn khơng? Hãy chứng minh điều nhận xét b Hạ đường cao AH ΔABC Chứng minh H giao điểm đường trịn đường kính AB đường trịn đường kính AC
c Từ A kẻ cát tuyến cắt đường trịn có đường kính AB D cắt đường trịn có đường kính AC E So sánh : BAD ACE
3 Cho ΔABC nội tiếp đường tròn tâm O ( AC>AB) Đường cao AN BK cắt H a Chứng minh tứ giác ABNK KHNC nội tiếp
b Kéo dài AN cắt đường tròn O I Nối A với O kéo dài cắt đường tròn D Chứng minh tứ giác BCDI hình thang cân
c BAI CAD
d Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành
(23)hai tiếp tuyến MA, MB ( A, B hai tiếp điểm) BO cắt đường tròn C a Chứng minh AC // MO
b Từ O kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt CA D Chứng minh MD = OC
5 Cho ΔABC cân A có đáy BC = 6cm đường cao AH = 4cm nội tiếp đường trịn (O) a Tính số đo cạnh AB, AC đường kính AA’ đường trịn ngoại tiếp tam giác
b Gọi B’ điểm đối xứng B qua O Ta kẻ AM CB’ Tứ giác AHCM hình gì? c Ta kẻ AK BB’ Chứng minh AK = CM
d Chứng minh tứ giác BHKA hình thang cân
6 Cho đường trịn (O) đường kính AB Lấy điểm C nằm A B Vẽ đường kính BC tâm O’ Đường trung trực đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O) D E Đường thẳng DB cắt đường tròn (O’) F Chứng minh :
a BAD EDB
b Tứ giác ADCE hình thoi c Ba điểm E, C, F thẳng hàng
7 Cho đường tròn (O) A điểm ngồi đường trịn Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn ( B, C tiếp điểm) Ta kẻ BH AC cắt OA I Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng OA, IA Chứng minh :
a Ba điểm A, B, C nằm đường trịn có tâm M tứ giác ABOC nội tiếp b BI = BO
c NH // MC
d Tứ giác BICO hình thoi
e BC cắt OA K Chứng minh tứ giác BKHA, KIHC nội tiếp
8 Cho ΔABC nội tiếp đường tròn Kẻ đường cao BD CE Gọi H trực tâm tam giác M trung điểm BC Từ M kẻ đoạn thẳng MQAC MPAB MQ cắt CE F MP cắt BD K Tia AM cắt đường tròn O N
a Chứng minh tứ giác MFHK hình bình hành
b ΔABC phải thỏa mãn điều kiện để tứ giác MFHK hình chữ nhật c Chứng minh P trung điểm BE Q trung điểm CD d CM : ΔABM ~ ΔCNM Suy : AM.NM = BM.CM
9 Cho ΔABC có đường cao BD, CF
a Chứng minh bốn điểm B, C, E, F nằm mọt đường tròn Xác định tâm đường trịn b Chứng minh : Δ ABC ~ Δ AEF
10 Cho dây AB đường tròn (O) Các tiếp tuyến AB cắt C Nối O với điểm P dây AB kẻ từ P đường vuông góc với OP, đường cắt tia CA E tia CP D Chứng minh :
a Các tứ giác OBDP OPAE nội tiếp b Δ ODE cân PD = PE
c Bốn điểm O, E, C, D nằm đường tròn d AE = BD
11 Chho Δ ABC vuông đỉnh A Kẻ đường cao AH Tia phân giác góc AHB cắt AB M tia phân giác góc AHC cắt AC N Gọi O1; O2 tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAHB ΔANC.Chứng minh :
a Tứ giác AMHN nội tiếp b ΔABC ~ Δ HMN
c ΔAMN tam giác vng cân
12 Trên đường trịn (O) cho điểm C Gọi AB dây cung vng góc với OC Kẻ đường kính AOD kẻ dây cung CE vng góc với AD; CD CE cắt AB theo thứ tự F G
a Chứng minh : Δ AGC cân b Suy : GA = GC = GF
13 Cho đường tròn (O;R) đường thẳng xy tiếp xúc với (O) A Từ điểm B nằm đường tròn (O) dựng đoạn thẳng BH xy Chứng minh :
(24)b Phân giác OBH qua điểm cố định B di động.
14 Cho tam giác ABC vuông A Bên ngồi tam giác vẽ hai nửa đường trịn đường kính AB AC Qua A vẽ đường thẳng xy cắt nửa đường trịn đường kính AB D cắt nửa đường trịn đường kính AC E Nối B với D, C với E
a Tính góc ADB AEC .
b Chứng minh tứ giác BDEC hình thang vng
c Gọi P trung điểm AB, Q trung điểm AC, M trung điểm BC Nối M với P, M với Q Chứng minh tứ giác MPAQ hình hình chữ nhật
d Gọi N trung điểm DE CM năm điểm M,Q, A, N, Q nằm đường tròn
15 Cho ΔABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AE kéo dài cắt đường tròn F AD đường kính
a Chứng minh : BCFD hình thang cân b AB.AC = AD.AE
c Gọi H trực tâm tam giác ABC
Chứng tỏ BC đường trung trực HF; DH qua trung điểm I BC d Gọi H trọng tâm ΔABC Chứng tỏ ba điểm O, G, H thẳng hàng
16 Cho hai đường tròn tâm O O’ cắt M N Qua n vẽ hai đường kính NOA NO’B, vẽ cát tuyến cắt (O) D cắt (O’) C Chứng minh :
a Ba điểm A, M , B thẳng hàng b OO’//AB
c Tứ giác ABCD hình thang
17 Cho ΔABC, M tung điểm BC với BAM = BCA . a Chứng minh : ΔABM ~ ΔCBA
b Chứng minh : BC2 = 2AB2 So sánh BC với đường chéo hình vng cạnh AB. c Chứng tỏ BA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ΔAMC
18 Cho đường trịn (O;R) có hai đường kính cố định vng góc với AB CD a Chứng minh tứ giác ACBD hình vng