Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó duy nhất (nâng cao) (thường thì PT có 1 nghiệm duy nhất) tìm một nghiệm đặc biệt và dùng các tính chất của hàm số mũ để chứng minh nghiệm đó[r]
(1)Chương 2: HÀM SỒ MŨ VÀ LOGARIT
I.
D
ạng toán 1: biến đổi biểu thức luỹ thừa - lôgarit
Các công thức
1. Công thức lũy thừa :
Với a>0, b>0; m, nR ta có:
anam =an+m; n m
m n
a a
a
;( n
a
1
=am ; a0=1; a1=
a
1
); (an)m =anm ; (ab)n=anbn;
m n n
b a b a
;
n m n m
a a . 2. Công thức logarit : logab=cac=b (0<a1; b>0)
Với 0<a1, 0<b1; x, x1, x2>0; R ta có:
loga(x1x2)=logax1+logax2 ; loga
1
x x
= logax1logax2;
x
alogax ; logax=logax; x
x a
a log
1 log
;
(log
aa
x=x)
; logax=a x b b
log log
; (logab= a b
log
) logba.logax=logbx; alogbx=xlogba.
BÀI TẬP ÁP DỤNG : Tính giá trị biểu thức
3
9 9 1
3 3
36 1
6
1
) log 15 log 18 log 10
) 2log 6
log 400 3log
45
2
1
) log 2
log 3
) log log 4.log 3
2
a
b
c
d
Tính:
5 8
9
125
7
5
4
1
log log 3log log log 3log
1 1log 4 1log 3log 5
log log log
4 2
1log log 6
log
)
81
27
3
)
16
8
5
)
81
25
.49
)
16
42
)
72 49
5
a A
b B
c C
d D
e E
Biết log 25 a log 35 b Tính lo6garit sau theo a b
1) log 275 2) log 155 3) log 125 4) log 305
a) Biết log 612 a; log 712 b Tính log 72 theo a b
b) Biết log 142 a Tính log 3249 theo a
So sánh số sau: (khơng dùng máy tính, sử dụng tính chất)
a) a = 3600 b = 5400 b)
3 1
14a
2
3 1
b
(2)c)
1
3
a
3
3
b
d)
2
2
a
3
5
b
Tính: a log10100 b log28 c log 327
d
27
log e
9811
log f 3 3
27
log
g
1 16
log h
5
25
log i
3
243
log
j 2
128
log k
3
3 243
log
Tính: a 3log35 b 3log94 c
3
2
1
log
d 5log5 53 e
3 log34 f3
2
1
log
II.Dạng tốn 2: Tìm tập xác định hàm số
Tập xác định:
a) hàm số mũ y ax (0 a 1)
có tập xác định D = R.
b) hàm số lôgarit yloga x ,(0a1) có tập xác định D = (0;+∞)
c) hàm số luỹ thừa y x ,
có tập xác định tuỳ thuộc vào . Với nguyên dương, tập xác định R.
Với nguyên âm 0, tập xác định \{0}
Với không nguyên, tập xác định (0;+∞)
Chú ý: nhắc lại:
o Hàm số yA x( ), (với A(x) đa thức theo biến), hàm số xác định với x thuộc R.
o Hàm số yn A x( ),( với A(x) đa thức theo biến x), đk xác định hs tuỳ thuộc vào
n:
Với n *, n chẵn, hàm số xác định A(x) ≥ 0
Với n *, n lẻ, hàm số xác định với x.
o Hàm số ( )
( ) A x y
B x
,(với A(x),B(x) đa thức biến x) hàm số xác đinh B(x) ≠ 0
o Hàm số ( )
( ) A x y
B x
,(với A(x),B(x) đ thức biến x) hàm số xác đinh B(x)>0
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tìm tập xác định hàm số sau:
1
2 2
5
2 2
2 3
) (2 ) ; ) ( 2) ; ) (4 ) ; ) ( 2)
3 ) log ( 10); ) log (3 4) ; ) 16 log ( 6); ) log
4
a y x b y x x c y x d y x x
x
e x x f y x g y x x x h y
x
(3)III Dạng toán 3: Tính đạo hàm hàm số mũ – lôgarit
Sử dụng công thức đạo hàm sau:Hàm sơ cấp Hàm hợp (u = u(x))
1 / ( ) ' 1 ( ) ' x x x x x x / ( ) ' ' ' ' ( ) '
u u u
u u u u u u ( ) '
( ) ' ln
x x x x
e e a a a
( ) ' ' ( ) ' ln '
u u u u
e e u a a a u
1 (ln | |) '
1 (log | |) '
.ln a x x x x a ' (ln | |) '
' (log | |) '
.ln a u u u u u u a BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tính đạo hàm hàm số sau:
2
2
3
2 2
3
2
2
2 ) 3cos ; ) sin(2 1) ; )
5
) (2 )(6 ); ) ln 5cos ; ) log ( 4)
3
) (3 2) tan(2 1) ; ) ; ) (4 ).5 cos( 2)
) log (3 1) ; )
x x
x
x x
x
x x x
x x x
x x
a y x e x b y x x c y
d y x x e y x x x f y x x
x
g y x e x h y i y x x
x j k
log (23 3) ; ) 3 2 ln(2 3) 3sin(5 2)
2
x x
y l y x x x x x
x
IV Dạng tốn 4: Giải phương trình mũ:
cách
Cách Sử dụng định nghĩa
a a
log
x x x
a = b <=> x=log (a = b <=>a = ab ab <=> x=log )b
Cách Sử dụng pp đưa số af (x) ag(x) f (x) g(x)
0 a
Cách Sử dụng pp đưa số đặt ẩn phụ
.a2f (x) +.af (x) + = ; Đặt : t = af (x) Ñk t > 0 . b f (x)
a +.ab f (x) + = ; Đặt : t = af (x) Đk t > 0 .af (x)+.bf (x)+ = vaø a.b = 1; Đặt: t = af (x);1
t= f (x) b .a2f (x)+.
a.b f (x)+ .b2f (x) = ; Đặt t =f (x) a b
Cách Sử dụng pp logarit hoá vế :
Cách Đoán nghiệm chứng minh nghiệm nhất(nâng cao) (thường PT có nghiệm nhất) tìm nghiệm đặc biệt dùng tính chất hàm số mũ để chứng minh nghiệm nhất.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
giải phương trình sau: (dùng cách 1)
(4)2 3 1
2
1
4) 2
3 ;
)
2 ;
) 2
5 ;
) 2
16
2
x x
x x x
a
b
c
d
giải phương trình sau: (dùng cách 2)
2
2 8 1 3 2 1 5 6
2
3 7 17
1
7
) 2
4
) 2
16 2
) 4
8
) 3
1
3
7
)
) 32
0, 25.128
) 10 3
10 3
7
3
x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
x x
a
b
c
d
e
f
g
giải phương trình:
(5)a.
4x 2x3
4.3
27
0
b.
2x x2
2
17
0
c.
x x(2
3)
(2
3)
4
0
d.
x x2.16
15.4
8
0
e.
2
2x3.2
x232 0
f.
x x(7
4 3)
3(2
3)
2
0
g.
x x x3.16
2.8
5.36
h.
2.4
1x
6
1x
9
1xi.
2x 3x 3x8
2
12
0
j
x x x x x x5
5
5
3
3
3
(6) giải phương trình:
1
2 2 2
) 8
1000
)5 8
500
)8
36.3
)10.5
10
x x
x x x x x x x x
a
b
c
d
giải phương trình sau: (nâng cao)
a.
x x x3
4
5
b.
3
x
x
4
0
c
x
2
(3 )x
x
2(1 )
x
0
d
3
x5
2
x
e.
7
x
3
x
2
V Dạng tốn 5: Giải phương trình logarit :
6 cách
Cách Sử dụng định nghĩa a
f(x) log f(x)=b<=>
f(x)=ab
a
Cách Sử dụng pp đưa số
a a
f (x) (hay g(x) 0)
0 a
f (x) g(x)
log f(x) log g(x)
Cách Sử dụng pp đưa số đặt ẩn phụ Cách Sử dụng pp mũ hoá vế :
Cách Sử dụng tính đơn điệu hàm số logarit (nâng cao) (thường PT có nghiệm nhất)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
giải phương trình sau: (cách 1)
1
2
2
2
2
3 27 2
) log
3
4 ;
) log
2 ;
) log
3 ;
) log 2
4
) log (
2 )
3;
) log (
4
4)
4;
) log
log
log
1 ;
) log (3
) log (1
)
3
a
x
b
x
c
x
d
x
e
x
x
f
x
x
g
x
x
x
h
x
x
giải phương trình sau (cách 2)
2 2 5
2
) log (
3) log (
1) log 5
) log
log (
6) log (
2)
)log
log(
9) 1
) ln
ln(3
2) 0
) ln(
1) ln(
3) ln(
7)
) log
log
log
11
a
x
x
b
x
x
x
c
x
x
d
x
x
e
x
x
x
f
x
x
x
(7)2
2 2
2
2
2
2
1
3
2
)log
3log
log( ) 4
) log
log
4 0
5
)log
3log
log
2
) log log
2
5
) log log 0
)log
log 3
2
1
2
)
1
)log 16 log 64 3
4 ln
2 ln
x
x x x
x x
a
x
x
x
b
x
x
c
x
x
x
d
x
e
f
x
g
h
x
x
VI Dạng toán 6: Giải bất phương trình mũ logarit
Về phương trình mũ logarit có cách giải bất phương trình mũ logarit có cách giải đó
Tuy nhiên,ta cần ý dạng sau:
Bất phương trình mũ dạng:
u(x)f (x) u(x)g(x)f (x) g(x)
TH1 : < u(x) <1 ; u(x) u(x) f (x) g(x)
f (x) g(x)
TH1 : u(x) > ; u(x) u(x) f (x) g(x) < u(
f (x) g(x)
TQuat : u(x) u(x)
x)
[ u(x) -1][f (x) g(x)]
Bất phương trình logarit dạng:
log f(x) log g(x)a au(x) u(x)
u(x) u(x)
u(x)
TH1 : < u(x) <1 ; f (x) g(x) TH1 : u(x) > ; f (x) g(x) TQuat :
log f(x) log g(x)
log f(x) log g(x)
log f(
u(x)
0 < u(x) f(x) g(x)
[ u(x) -1][f (x) g(x)]
x) log g(x)
L
ưu ý
:
*) trường hợp có ẩn số nên sử dụng cơng thức sau để toán trở nên dễ dàng hơn.
af (x)> ag(x) (a1)(f(x) g(x)) > 0.
loga f(x) > loga g(x) (a1)(f(x) g(x)) > 0.
*) Khi giải tốn bất phương trình mũ logarit phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm số trên.
(8)*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao hai hay nhiều tập hợp số.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
giải bất phương trình sau:
1.32x5
2.
3
x2x9
3.2x23x
2
2
7
9
x x
5
2 5 4
1
4
2
x x
6
1
4
1
1
2
2
x
7
2 2 3
2 x x
2
x
3
x giải bất phương trình sau:
1.
9
x
5.3
x
6 0
2.4
x2.25
x10
x
3.16x 4x 04
4
x2
x180
5 2
5 2
11x x
x
2
x
2
3x
9
7
5.4
x2.25 7.10
x x0
5
2x3
2.5
x2
3
9.4
1x
5.6
1x
4.9
1x giải bất phương trình sau :
1
log
53 1x
1
15 1log
x0
3
5 6
0,5
log
x x
1
4
3
log
0
x x
4 11
8
0,5
2
log
xlog
x x
6 1 1 32 3
log
xlog
x
giải bất phương trình sau:
1
log
2x3
log
2x2
1
2.log3
x 3
log3
x 5
14
2 6 8
5 10
1
2
log
xlog
x x
5 2 23
log
xlog
x
3
log
0,2x
2
log
0,2x
6 0
log
0,52x3
log
0,53x1 giải bất phương trình sau:
1 3
3
log
x
log
x
log
x
6
25 5
log (
x
2) log (
x
2) log (4
x
1)
3 2
log (
x
3
x
2)
1
4 21 12
log
x
log
x
2 0
5
2
2
log
log
1
x
x
4
lg
x
13lg
x
36 0
7 22 2
log (
x
1)
log (
x
1) 5
8*2 3