DAY SO

ÖÙng duïng hình hoïc: Hsgoùc tieáp tuyeán = lim Hsgoùc daây cung ÖÙng duïng vaät lyù: Vaän toác töùc thôøi = lim Vaän toác trung bình Ñoä daøi ñöôøng cong = lim ñoä daøi ñöôøng gaáp khuù[r]

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-TOÁN ‟ HỌC KỲ 0708

BAØI 1: DÃY SỐ GIỚI HẠN DÃY SỐ (SV) „ TS NGUYỄN QUỐC LÂN (9/2007)

Giải tích hàm biến ‟ Đỗ Công Khanh

NỘI DUNG

-1- KHÁI NIỆM DÃY SOÁ

2- DÃY TĂNG, GIẢM, BỊ CHẶN, DÃY CON 3- GIỚI HẠN DÃY SỐ

4- TÍNH CHẤT GIỚI HẠN

KHÁI NIỆM GIỚI HẠN (PHỔ THÔNG ‟ ĐẠI HỌC)

-Giới hạn: Khái niệm Giải tích “Khơng có giới hạn giải tích khơng tồn Mỗi khái niệm giải tích giới hạn theo nghĩa đó”

Đạo hàm (theo định nghĩa): giới hạny / x

Ứng dụng hình học: Hsgóc tiếp tuyến = lim Hsgóc dây cung Ứng dụng vật lý: Vận tốc tức thời = lim Vận tốc trung bình Độ dài đường cong = lim độ dài đường gấp khúc nội tiếp Diện tích hình thang cong (tích phân) = lim S hình chữ nhật Giới hạn: 

 

số hàm hạn

Giới

số dãy hạn

DÃY SỐ THỰC

-Tập hợp vô hạn số đánh số từ đến : x1, x2 … xn …  Dãy số {xn}n 1 (hoặc từ đến : x0, x1 … xn …  {xn}n 0) VD: Dãy số nguyên dương:1, 2, 3, … Dãy số chẵn: 2, 4, …

Câu hỏi: Tìm số hạng cuối dãy số?

Thơng thường, dãy số xác định theo công thức tổng quát dành cho số hạng thứ n

VD: Daõy  

   

 

 

   

 

 



 

1

3 , ,

1 1 n

n n

n x

n n

   xn  1 nnn0  0, 1, 2  1 n1 n 1

CÔNG THỨC TỔNG QUÁT ‟ SỐ HẠNG THỨ n

-VD: Tìm số hạng tổng quát (số hạng thứ n) dãy {xn}n1:



, , , /

a ,

4 , ,

2 / 

b c /1,3,5,

1/ Dãy 1, … …: Hữu hạn giá trị & vô hạn phần tử 2/ Dãy số nguyên tố: 1, 2, 3, … : Cơng thức tổng qt?

Có thể xem dãy số {xn} với số hạng tổng quát: xn = f(n) hàm số từ tập số nguyên dương N*  R

VD: Dãy số phương 1, 4, 9, 16 …  xn = n2  f(x) = x2

ÑS:

n

a

2

/  

1

/



 

n n

b n c/ 2n1

DÃY TĂNG ‟ GIẢM: ĐƠN ĐIỆU

-xn TĂNG: xn  xn+1  n  Tổng quát: xn  xn+1  n  N0 VD:

n n

n x x

n x

a     :  1 

2 1

/  chứa TỔNG nên xét HIỆU

xn GIAÛM: xn  xn+1  n  Tổng quát: xn  xn+1  n  N0

n n n

x x n

n

x 1 ,

2

1    

  

   

  

  

  : dương, dạng TÍCH Xét THƯƠNG

Dãy xn LN tăng LN giảm (từ N0 đó): dãy ĐƠN ĐIỆU

:

4

3

/

  

n n x

b n   & '!

4

3

f x

x x

f tính

xét SỐ

HÀM giống

bthức

  

DAÕY BỊ CHẶN ‟ DÃY CON

-      

  k

k k

n

n x n n n

x

k , , , lim

,

, 1

1    

xn  Daõy

VD: Daõy 

   



   

5 , , ,

xn bị chặn trên: xn  M  n  Tổng quát: xn  M  n  N0

Dãy bị chặn lẫn dưới: gọi chung bị chặn m  xn  M xn bị chặn dưới: xn  m  n  Tổng quát: xn  m  n  N0

VD: Xét tính bị chặn dãy b   c   n n

a / 12 / 3n / 1 n

   

 

a/ Bị chặn Trên: 1, Dưới: b/ Dưới: c/ K0 bị chặn trên,

Chú ý: Từ dãy {xn} Hay xét dãy {x2n ‟ 1} & {x2n}

Daõy 

   



  

   

 

:

4 , &

:

3 ,

GIỚI HẠN DÃY SỐ: ĐỊNH NGHĨA “DỄ CHỊU”

-Lập bảng giá trị dãy số sau Quan sát rút kết luận

1 /

 

n n x

a n  

1

/

 



n n y

b n n

Nhận xét: n tăng, xn đến gần yn đến gần 1  Khi n  : Giá trị xn  1, cịn yn KHƠNG đến gần giá trị cụ thể nào!

Định nghĩa (“dễ chịu”): Dãy {xn} có giới hạn a  xn  a n đủ lớn

Mánh: n đủ lớn (n = 1000) & MTBTúi  0.50025 (b)!

:

sin lim 2

2

n n

n n

n 



 

0 /

a b/1

/

GIỚI HẠN DÃY SỐ: ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ

-Có ghạn: Hội tụ K0 có ghạn (hoặc lim = ): phân kỳ

Dãyxn hội tụ a 

0 :

,

0  N  N xn a   n  N

 

  

0 :

,

0  N a   xn  a   n  N 



   

hạn hữu

: lim xn a

n 

a





a a 

1

x

1000

x

0

N

x

1

0

N

x

Tốn học (ngơn ngữ  ‟ N0):

xn “rất gần” a, n đủ lớn   >  N0: | xn‟ a | <   n  N0

VD: Xét dãy {n/(n + 1)} a/ “Đoán” lim xn b/ Với lim vừa đoán &  = 10-2, 10-3  N

0 = ?

c/ Chứng minh chặt chẽ (a)

1 lim 

 

 n

n

n

Đoán" "

? 10

1

0

1

 



 

 



N n

n

GIỚI HẠN VÔ CÙNG ‟ DÃY PHÂN KỲ

-0

0 :

,

lim xn M N N xn M n N

n     lớn     

Giới hạn =  (vẫn phân kỳ): Không thể xét | xn ‟ a | !

Định nghĩa xn phân kỳ: Phủ định (lôgich) mệnh đề hội tụ Hội tụ:

0 :

0

, N N x a n N

R

a     n    

  luoân 

         



 a R, 0: N0 N n N0 để xn a

Phân kỳ:

0

0 :

, (

lim xn M N N xn M n N

n     aâm) tuỳ ý     

TÍNH CHẤT GIỚI HẠN -                                               lim & lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim , lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x y y x y x y x y x y x n : ĐK : ĐK

lim tổng (hiệu, tích, thương, v.v…) = Tổng (hiệu … ) lim

lim xn = a  Mọi dãy xn  a: x a

k n k    lim

GIỚI HẠN CƠ BẢN -                lim lim n n n n a a a a                lim lim     n n n

n Hàm mũ:

Lũy thừa:     lim / n a n lim lim

/  

  



 n n

b

n n

VD: (Tổng cấp số nhân)             n n 1

lim  KQ:

2 1

1 



 n

n  q  q  q

2

1 lim

Tổng quát: Hdaãn:

q q q q n n        1 1 

Soá e: a

n n

n

n n e

a e

n  

               

 & lim

1

lim lim 1

NGUYÊN TẮC TÍNH GIỚI HẠN

-Biến đổi biểu thức cần tính lim giới hạn & thay vào VD: Tính giới hạn:

1 lim 2     n n

n n n

n n

n

2 lim     

 limn n  n 1

Giaûi:  

    

0 lim 1 lim 1 lim 1 lim 2 2 2 2                     n n n n n n n n n n n n      

 

3 5 5 lim 5 lim           

 n n

n n n n n n n n

     

1 1 lim 1 lim lim                

 n n n n

n n n n n n n

Thực tế: :

1 lim 1 lim 2 2          x x n n x n

GIỚI HẠN KẸP

-Cho daõy xn, yn,zn

            

 x z a

N n z y x n n n n n n n lim lim a y y n n n n      

 & lim

lim

n n

n y z

x  

a

Hệ (hay sử dụng): 0    & lim  0  lim  0

  

 n n n

n n

n y n y x

x VD: sin lim    n n n n n

n n 

      1000 lim n n n n! lim   VD: n n n

lim !

0  

    n n n n n n n n   1 sin

0 2 2 

    n n n n

n Với n  2000:

0

1 1000

0  

             n n n

Coâsi: 1   1 1   1 1 n n n n n n n

TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS

-Tiêu chuẩn Weirstrass: Dãy tăng & chặn hội tụ Dãy giảm & chặn hội tụ Chứng minh dãy hội tụ  Hay dùng: Tính đơn điệu & bị chặn

VD: Chứng minh tồn giới hạn (số e) n

n n

 

   



1 lim

Giải: Dãy tăng:

1 1

1 1

1

1

1

1

 

    

   

   

 

 

    



  



n n

n n

n

n n

n

Bđt Côsi:    

1 1

1

1

1

1

1

1

1

 

 

 

 

 

 

    

   

n n

n n

n n n

n

n



TỔNG KẾT

-Các kỹ thuật chứng minh dãy hội tụ

Chứng minh dãy phân kỳ: Chỉ dãy có lim khác tối thiểu dãy khơng có giới hạn

 Bằng định nghĩa: Tìm giá trị a = limxn Giải |xn a|    Chặn xn từ phía  Tính chất dãy kẹp

 Chứng minh dãy tăng & chặn (giảm & chặn dưới)  Tính giới hạn: Đưa biểu thức theo giới hạn

BT: Saùch giáo khoa & Bổ sung (xem web)