Gọi H là hình chiếu của I lên BC, từ giả thiết ta có SI vuông góc với (ABCD)... Hình chiếu của B’ lên (ABC) trùng trọng tâm của tam giác ABC..[r]
(1)Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện.
I Tính trực tiếp.
Chú ý: Khi tính thể tích khối đa diện theo phương pháp ta cần tính đường cao khối đa diện
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a, CD = a, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm AD, biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI)
cùng vng góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
(Khối A – 09)
(2)Gọi H hình chiếu I lên BC, từ giả thiết ta có SI vng góc với (ABCD)
Góc (SBC) và(ABCD) góc
SHI 600 Ta dễ tính IC = a 2; IB = BC = a SABCD =
3a2 S
IBC = SABCD - SABI – SCDI =
2
3
a
Nên IH = 3
5 IBC
S a
BC
Từ
VS.ABCD = 1/3.SABCD.SI =
3
3 15 15
a
A B
D C
S
I
(3)Ví dụ 2: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a Góc đường thẳng BB’ (ABC) 600 Tam giác ABC vuông C,
BAC = 600 Hình chiếu B’ lên (ABC) trùng trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối đa diện A’ABC theo a
(B – 2009)
HD: Gọi M trung điểm AC, H trọng tâm tam giác ABC Ta có:
BH = a/2 BM =
a
, B’H =
2
a .
Đặt BC = x, CM =
2AC =
x
Sử dụng BM2 = BC2 + CM2 ta tính
được x2 = 27
52a
2
9 104 ABC
a S
3 '
9 208 A ABC
a V
C'
A' B'
B
A
(4)Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng C, AC = a, AB = 2a, SA vuông góc với đáy GĨc (SAB) (SBC) 600 Gọi H, K hình chiếu
của A lên SB, SC Chứng minh AK
HK tính thể tích khối chóp
S.ABC
HD: CM AK (SBC) AK
HK SABC =
2 3
2
a , AK = AH.sin600.
Tính SA =
2
a V = 6
12
a
A B
C S
K H
Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, khoảng cách tâm O tam giác ABC đến (A’BC) a/6 Tính thể tích khối lăng trụ HD: Đặt AA’ = x, sử dụng tam giác đồng dạng : MHOMAA' ta tính
được x =
4
a 3 12
16
a V
j H
O M
C'
B'
A'
C
B
(5)2 Sử dụng công thức tỉ số thể tích.
Trong phương pháp ta sử dụng tính chất:
' ' ' ' ' '
A B C
ABC
V SA SB SC
V SA SB SC A'
B'
C'
C
B A
S
Ví dụ 1: Cho lăng trụ tam đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2aA’C = 3a Gọi M trung điểm A’C’, I giao điểm AM A’C Tính VIABC
(D – 2009) HD: Sử dụng tỉ số: IABC 23
MABC
V IA
V IM
3
4 IABC
a V
I M A'
C' B'
B B
A
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC BAD 900
,CAD 1200, AB = a, AC = 2a,
AD = 3a Tính VABCD
(6)Chọn M, N điểm AC, AD cho AM = An = a Ta có:
BM = 1/2AC = a; BN = a a
MN2 = AM2 + AN2 – 2AM.AN.cos
MAN
3
MN a
tam giác BMN vng B
Vì AB = AM = AN nên hình chiếu A lên (BMN) trùng trọng tâm tam giác BMN trung điểm H MN
Ta tính VABMN =
3 2
12
a Ta lại có:
ABMN
ABCD
V AB AM AN
V AB AC AD VABCD =
3 2
2
a
H N
M D
C B
(7)Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với cạnh đáy góc 600 Gọi M điểm đối xứng với C qua D, N trung điểm của
SC, mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành phần tính tỉ số thể tích hai phần
HD:
1 MDPQ
MBNC
V
V
5 DPQCNB MBCN
V V
1
2 MBCN DBCN DBCS S ABCD
V V V V
Từ ta có: VDPQCNB=
5
12VS ABCD
7 DPQCNB
SABNPQ
V V
M
Q P
N
D C
B A
S
Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, K điểm thuộc CC’ cho CK = 2a/3, mặt phẳng (α) qua A, K song song với BD chia khối lập phương thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần
(8)3 Ứng dụng thể tích tính khoảng cách.
Bµi 1: SABC cã SA = 3a, SA (ABC), ∆ABC cã AB = BC = 2a, ABC =120o
TÝnh D(A,(SBC))
Gi¶i
S∆ABC = 21 AB.BC.sin120o =
4
2a a = a3
3
SSABC = 31 S∆ABC SA=
333
2 a
a = a3 3
KỴ SM BC
BC SA (v× SA (ABC))
⇒BC AM ⇒ AM = a
SAM vuông A có SM = 3a S∆SBC = SM.BC = 3a2
d(A, (SBC)) 3 32
2
SABC SBC
V a
S a a
B A
S
C
M 3a
2a