Tia Bx vuông góc với AC. Gọi I là trung điểm của MN. chứng minh rằng khoảng cách từ điểm I đến AC không đổi khi B di chuyển trên đoạn AC... c) Tìm vị trí của điểm B trên đoạn AC sao cho[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 – 2008
Bài 1: (4 đ)
1) Cho biểu thức 4 3
10
29
9
9
10
x
B
x
x
x
x
a) Tìm điều kiện có nghĩa B b) Rút gọn B
2) Chứng minh
A n
84
n
76
n
64
n
5n
4
chia hết cho 16 với n số nguyênBài 2: (4 đ)
1) Cho đa thức bậc hai
P x
( )
ax
2
bx c
Tìm a, b, c biết P(0)=33; P(1)=10; P(2)=2007 2) Chứng minh rằng:
a b c a b c
a b c
abc
với a, b, c độ dài cạnh tam giácBài 3: (2 đ)
Cho
2
22
2
13
1
2
1
2
1
x
x
A
B x C
D x E
x
x
x
x
x
Tìm số A, B, C, D, E để đẳng thức đẳng thức với x>0 x
4Bài 4: (6 đ)
Cho đoạn thẳng AC=m Lấy điểm B thuộc đoạn AC (B
A, B
C) Tia Bx vng góc với AC Trên tia Bx lấy điểm D E cho BD=BA BE=BCa) Chứng minh CD=AE CD
AEb) Gọi M, N trung điểm AE, CD Gọi I trung điểm MN chứng minh khoảng cách từ điểm I đến AC không đổi B di chuyển đoạn AC
c) Tìm vị trí điểm B đoạn AC cho tổng diện tích hai tam giác ABE BCD có giá trị lớn Tính giá trị lớn theo m
Bài 5: (4 đ)
Cho hình vng ABCD cạnh AB lấy điểm M Vẽ BH vng góc với CM Nối DH, vẽ HN vng góc DH (N thuộc BC)
a) Chứng minh rẳng
DHC
đồng dạng với
NHB
(2)ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 – 2008 Bài 1:
1) 4 3
10
29
9
9
10
x
B
x
x
x
x
a) Giải phương trình
x
49
x
39
x
29
x
10
=04
1 9
9
9
9 0
x
x
x
x
x
21
x
21
9
x x
2
1
9
x
1
0
x
1
x
1
x
21
9
x x
2
1
9
x
1
0
x
1
x
310
x
2x
10
0
x
1
x
10
x
21
0
2
1 0
1
1
10 0
10
10
1 0
x
x
x
x
x
x
x
x
Vậy biểu thức B có nghĩa x
1 x
-10b) ta có:
4
10
1
10
9
9
9
10
x
B
x
v x
x
x
x
x
210
1
10
1
10
1
10
1
x
x
x
x
x
x
x
x
21
1
1
1
1
1
x
x
x
x
2)
8
4
6
4
44
6
4
1
A n
n
n
n
n
n n
n
n
n
4
3
3
3
3
1
n n
n
n
n
n
n n
4
1
3
1
3
1
1
n n n
n n
n n
n
Với x > -10 x
Với x < -10 x
Với x > -10 x
(3)
4
4
1
1
n n
n n
Vì n(n+1) tích hai số ngun liên tiếp nên chia hết cho Do
n n
1
42
4
16
VậyA
16
Bài 2:
1)
P x
( )
ax
2
bx c
P(0)=33
a
.0
2
b
.0
c
33
c
33
P(1)=10
a
.1
2
b
.1
c
10
a b
33 10
a b
23 (1)
P(2)=2007
a
.2
2
b
.2
c
2007
4
a
2
b
33 2007
4
a
2
b
1974
2
a b
987 (2)
Trừ vế theo vế (2) (1) ta a = 1000 Thay a = 1000 vào (1) ta b = - 1023 2)
a b c a b c
a b c
abc
Ta có:
2
2 2
(1)
a
b c
a
a b c a b c
a
2
2 2
(2)
b
a c
b
b a c b a c
b
2
2 2
(3)
c
a b
c
c a b c a b
c
Lấy (1), (2) (3) nhân vế theo vế ta được:
2
a b c a b c
a b c
abc
a b c a b c
a b c
abc
(đpcm)Bài 3:
Đặt
x m
0
m
2
Đẳng thức cho có dạng:
2
2 2
2
2
2
13
2
1
2
1
1
m
m
A
Bm C
Dm E
m
m
m
m
m
(*)VP(*)=
2
2
2
1
2
1
2
2
1
A m
Bm C m
m
Dm E m
m
m
=
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
A B m
C
B m
A
C B D m
C
B E
D m A
C
E
m
m
(4)0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
A B
C
B
A
C B D
C
B E
D
A
C
E
, giải ta tìm A=1, B=-1; C=-2; D=-3; E=-4
Bài 4: (6 đ)
a) xét hai tam giác ABE DBC, ta có: AB=BD (gt)
BE=BC (gt)
ABE DBC 90
Vậy
ABE
DBC c g c
(
)
CD AE
Gọi F giao điểm AE CD, ta có:
EDF BDC
(đối đỉnh)
AEB BCD ABE
(
DBC
)
EDF AEB BDC BCD
mà
BDC BCD 90
nênEDF AEB 90
DFE 90
hay CD
AEb) Gọi M’, I’, N’ hình chiếu M, I, N xuống AC
ABE
có M trung điểm AE, MM’//BE (cùng vng góc với AC)Nên MM’ đường trung bình
ABE
MM
1
BE
2
'
hayMM
1
BC
2
'
Chứng minh tương tự, ta có NN’ đường trung bình
DBC
NN
1
BD
2
'
hayNN
1
AB
2
'
Tứ giác MNM’N’ có MM’//NN’ (cùng vng góc với AC) nên MNM’N’ hình thang
I trung điểm MN, II’//MM’//NN’ (cùng vng góc với AC) nên II’ đường trung bình hình thang MNM’N’
MM NN
BC AB
AC
m
II
2
4
4
4
'
'
'
(khơng đổi) c) Vì
ABE
DBC
nênS
ABE
S
DBC
S
ABE
S
DBC
2S
ABEmà
2S
ABE2
1
AB BE AB BE AB BC
2
.
.
.
.
Ta có:
AB BC
20
AB
22 AB BC BC
.
.
0
AB
2BC
22 AB BC
.
.
22
AB
2 AB BC BC
.
.
4 AB BC
.
.
AB BC
4 AB BC
.
.
(5)Vì AB+BC=m (không đổi) nên
2
2
m
AC
4 AB BC
m
4 AB BC
AB BC
4
.
.
.
.
.
Dấu “=” xảy
AB BC
m
2
B trung điểm đoạn AC Vậy max
2
ABE DBC
m
S
S
4
(đvdt)
B trung điểm đoạn ACBài 5: (4 đ)
a) Xét
DHC
NHB
có:
DHC NHB
(vì phụ với gócCHN
)
DCH NBH
(vì phụ với gócHCB
)Do
DHC
NHB
(g-g)b)
MBH
và
BCH
có:
MHB BHC
(
90
)
BMH HBC
(vì phụ với gócMBH
)Vậy
MBH
BCH
(g-g)MB
HB
1
BC
HC
( )
Mà