1. Các công thức lượng giác cơ bản: 1. Công thức biến đổi tổng thành tích:.. b) Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC.. Tim phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh [r]
(1)TRƯỜNG THPT ĐĂK HÀ TỔ: TỐN - TIN
ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP TỐN 10 (NÂNG CAO) HỌC KỲ II – năm 2009-2010
A- PHẦN I: ĐẠI SỐ
Chương IV :BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
§-BẤT PHƯƠNG TRÌNH –HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
I- LI THUYẾT: Xét dấu nhị thức; Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc ẩn;bất phương trình có chứa căn, trị tuyệt đối
1.Nhị thức bậc nhất: có dạng ax + b, a b hai số cho trước, a0
2 Dấu nhị thức bậc nhất:
x – –b/a +
ax + b Trái dấu a dấu a II- BÀI TẬP
Bài 1: Xét dấu biểu thức sau:
a.P x( )2x1 5 x x 7 b ( )
4
x x
Q x
x c
1 ( )
3
R x x
Bài Giải bất phương trình
a.x 2 x6 2 x50 b ( 2)(3 )
x x
x
c
3 1 2 2 1
x
x
Bài Giải bất phương trình
a) |5x – 3| < b) |3x – 2| c) 2x x2 d) 3x7 2x3
§-BẤT PHƯƠNG TRÌNH –HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I- LI THUYẾT:
1 Tam thức bậc hai: có dạng f(x) =
ax bx c ,a , b,c số cho trước, a0 2 Dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f(x) =
ax bx c , a0 * 0thì f(x) dấu với a với x thuộc R
* 0thì f(x) dấu với a với x
b a
* 0 f(x) có hai nghiệm phân biệt x x x1, (2 1x2) Lập bảng xét dấu
x – x1 x2 +
ax bx c dấu a Trái dấu a dấu a
*Chú ý: +) , 0
0 a
ax bx c
+) , 0
0 a
ax bx c
3.Phương trình, bất phương trình có chứa có chứa giá trị tuyệt đối II- BÀI TẬP
Bài 1: Giải bất phương trình sau: a) x2 x 1 0
b) x2 4 4x c) 5x2 2x 0
d) (3x – 1)(
3 10
x x )>0 e)
2
2
(3 )( 2)
0
5
x x x
x x
f)
1
1 3x x
(2)g) x – > x x h)
3x2 x i) (- x
2 + 3x – 2)(x2 – 5x + 6) ; k)
3 2 x x x x
> 0; m)
3 2 3
0 (2 ) x x x x
; n)
2 7 12 0
x x
l) (1 – x )( x2 + x – ) > j) x x x
Bài 2: Tìm tập xác định hàm số sau: a) y = x2 8x 15
b) y = 2
3
x x x
Bài Giải hệ bất phương trình sau : 1) 32 13
5
x x x
2) 2
3
x x x
3) 2
2
x x x 4)
2 12 0
2
x x x 5) 2
3 10
6 16
x x x x 6) 2
10
1 x x x x
; 7)
2
2
x 3x – 2>0
( 3x – 2)(x – 5x 6) < 8) 3
x + 3x + 2x – >
2 (1 ) x x x x Bài 3:Giải bất phương trình sau:
a) x2 2x 2x
; b) x2 + x3 - 10 0; c) x2 32x10 d) x x ;
e) x2 6x 2x
; f) (x5)(3x4) 4(x 1) ; g) 2x2 + 10 15
x x
x ;
h) 2
2 x x
x
Bài 4: Giải phương trình sau:
a) 16x17 8x 23 ; b) 2
x x
x ; c) (x+4)(x+1)-3
x
x =6;
d) 12 x 14x2; e) x3 2x1 3x 2; f) x21 x1 ; Bài 5: Tìm m để bất phương trình sau với x:
a) (m - 3)x2 -2mx + m - < 0; b) x2 - mx + m + > 0;
c) mx2 - (m + 1)x + 0; d) (m + 1)x2 - 2mx + 2m < 0;
Bài 6: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m:
a) (m + 3)x2 + 2(m - 3)x + m – = b) (m - 2)x2 - 2(m + 1)x + 2m – =
Bài 8: Cho phương trình: x4 + 2(m + 2)x2 – (m + 2) = (1)
1)Giải phương trình (1) m = 2)Tìm m để phương trình (1) có:
a.4 nghiệm phân biệt; b.3 nghiệm phân biệt; c.2 nghiệm phân biệt; d.1 nghiệm Bài 9: Cho f(x) = 3x2 – 6(2m +1)x + 12m +
a) Tìm m để f(x) = có nghiệm x > b) Tìm m để f(x) > với x R Bài 10: Cho tam thức bậc hai : f x( ) x2 (m 2)x 4
Tìm giá trị tham số m để :
a) Phương trình f x( ) 0 có hai nghiệm phân biệt b) f x( ) 0 với x Chương V :THỐNG KÊ
I- LI THUYẾT:
1.Bảng phân bố tần số,tần suất, loại biểu đồ
2.Các số đặc trưng mẫu số liệu: Số Trung bình cộng,Số trung vị Mốt 3.Phương sai độ lệch chuẩn
II- BÀI TẬP
Bài : Cho bảng phân bố tần số ghép lớp điểm thi toán lớp 10A: Lớp điểm thi Tần số
[0 , 2)
[2 , 4)
[4 , 6) 12
(3)[8 , 10]
Cộng 50
a)Tìm số trung bình; phương sai; độ lệch chuẩn (chính xác đến 0,1) b) Lập bảng phân bố tần suất
c)Vẽ biểu đồ hình cột, hình quạt đường gấp khúc mơ tả tần suất
Bài 2: Để khảo sát kết thi môn toán kỳ tuyển thi đại học vừa qua trường A người điều tra chọn mẫu gồm 60 học sinh tham gia kỳ thi tuyển sinh Điểm mơn tốn thang điểm 10 học sinh cho bảng phân bố tần số sau:
Điểm 10
Tần số 13 19 24 14 10 N= 100
a)Tìm mốt , số trung bình ( xác đến hàng phần trăm), số trung vị b)Tìm phương sai độ lệch chuẩn ( xác đến hàng phần nghìn)
Bài 3: Khi đo chiều cao 50 học sinh lớp, ta có bảng số liệu sau đây: (đơn vị tính: cm)
175 174 160 166 166 170 172 164 166 164
170 168 168 173 165 166 169 171 173 175
162 162 164 165 171 172 164 174 175 162
162 169 172 170 175 169 168 166 167 167
165 164 173 170 166 169 171 163 164 173
a/ Lập bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp với lớp sau: [160;165); [165;170); [170;175]
b/ Lập biểu đồ tần suất hình quạt mơ tả bảng số liệu c/ Tìm mốt số trung vị
Chương VI:GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I- LI THUYẾT:
1 Các công thức lượng giác bản: 1.sin2x cos2x 1
; t anx.cotx 1 ;3.1 tan2 12 (cos 0) os
x x
c x
2
1
1 cot (sinx 0)
sin x
x
2 Chú ý:
1.cos( +k2 )=cos ;2.sin( +k2 )=sin
3 1 cos 1, sin 1, 3 Công thức cộng:
*cos( ) =coscos sin sin *sin( ) =sincos sin cos
* tan( + ) =
tan tan
tan tan
* tan( - ) =
tan tan
tan tan
4 Công thức nhân đôi :
*cos2= cos2 -sin2 =2cos2-1 =1 - 2sin2
* sin2= 2sin cos * tan2 =
2
tan
tan
(Với tan2 ; tan có nghĩa)
5.Công thức hạ bậc:
2 cos
sin
2 x
x ; os2 cos
2 x
c x ; tan2 cos2
1 os2 x x
c x
6 Cơng thức biến đổi tích thành tổng:
*cos cos=
2[cos( +) + cos( -) ] *sin sin=
2[cos( +) - cos( -)] *sin cos=
(4)
cos cos cos cos ; sin sin sin cos
2 2
cos cos sin sin ; sin sin cos sin
2 2
x y x y x y x y
x y x y
x y x y x y x y
x y x y
II- BÀI TẬP
Bài 1: a.Đổi số đo góc sau sang radian: a 200 b 63022’ c –125030’
b Đổi số đo góc sau sang độ, phút, giây: a
18
b
5
c 3
4
Bài : Tính giá trị lượng giác lại cung biết: sin =
5
2 cos = 15
0
2
tan =
2
cot = –3 2
Bài 3: Tính giá trị lượng giác khác cung a biết
) osa= ;0 ) tan ;
2
5
a c a b a a
3
)sina= ; ) tan 1;
2 2
c a d a a
e) cosa =
4
< a < 2
b) cota=3 1800 < a < 2700
Bài 4: Tính giá trị lượng giác góc x biết os =x c
2 x Bài 5: Không sử dụng máy tính tính:
0 0 22 23
)sin 75 )tan105 )cos( 15 ) )sin ) os )sin
12
a b c d e c f
Bài 6:Rút gọn biểu thức:
a) sin( ) cos( ) tan(2 ) tan(3 )
2
I a a a a A =
2
cosx cos x cos x cos x sinx sin x sin x sin x
b) s( ) sin( ) tan( ).cot(3 )
2 2
B co a a a a
sin os
os2a-cos4a 2sin sin 4 sin sin
) ) ) )
sin sin 2sin sin sin os os4
4
a c a
c a a a a
c C d D e E f F
a a a a a c a c a
Bài 7:Chứng minh đồng thức:
2
sinx sin
1 cos os2 2 os2 sin
) cotx ) tan ) tan
sin sinx 1 cos ox 2 os2 sin 4
2 x
x c x x c x x
a b c x
x
x x c c x x
d) sin x + cos x = (sinx + cosx)(1 - sinx.cosx) 3
e) sin x - cos x = (sinx - cosx)(1 + sinx.cosx) 3
f) cos x + sin x = - sin x.cos x4 2 g) 2
(5)k) 2 2
1
sin x tan x cos x cos x
tan -sinx
)
sin osx(1+cosx) x
i
x c Bài 8: Chứng minh tam giác ABC ta có:
a)tan(2A +B + C) = tan A b) cos cos cos 4sin sin sin
2 2
A B C
A B C
c) cos(A + B) + cosC = d) cos2A cos2B cos2C 1 2cos cos cos A B C
Bài 9: Tính giá trị lượng giác góc a biết : sin2a = 59 a
Bài 10 Tính giá trị lượng giác góc 2a biết :
a) sina = - 0,6
2 a
b) sina + cosa =
2 v a
Bài 11: a).Tìm cosx biết: sin (x - ) ( ) sin sin x
b).Tìm x biết: cot(x + 5400) – tan (x - 900) = sin2 (- 7250) + cos2(3650)
B- PHẦN II: HÌNH HỌC
Bài 1 ĐƯỜNG THẲNG
I- LÍ THUYẾT
Trong mặt phẳng, đường thẳng có PTTQ dạng ax + by + c = 0(a2 b2 0
),trong
( ; )
n a b VTPT đường thẳng
Đường thẳng d qua điểm M x y( ; )o o nhận n( ; )a b
làm VTPT có phương trình: ( o) ( o)
a x x b y y
Đường thẳng d qua điểm M x y( ; )o o nhận u( ; )a b
làm VTCP có: * Phương trình tham số: o
o
x x at y y bt
* Phương trình tắc:
( 0, 0)
o o
x x y y
a b
a b
Đường thẳng qua hai điểm A(a ; 0), B(0 ; b) (a0,b0) có phương trình: x y a b Đường thẳng d có hệ số góc k có phương trình y = kx + m
II Ví dụ:
Ví dụ 1: Viết PTTQ, PTTS, PTCT(nếu có) đường thẳng d trường hợp sau: a) Đi qua M(3;-1) có VTPT n(2;4)
b) Đi qua M(3;-1) vuông góc với BC, đóB(-1;3), C(2;5) c)Đi qua hai điểm A(-3;2), B(1;-2)
Giải:
* Đường thẳng d qua điểm M(3;-1) nhận n(2; 4)làm VTPT có phương trình tổng quát là: 2(x – 3) + 4(y+ 1) = x + y – = 0
* Đường thẳng d qua điểm M(3;-1) nhận u(4; 2) làm VTCP có:
- Phương trình tham số:
x t
y t
- Phương trình tắc:
4
x y
b) BC (3; 2)
* Đường thẳng qua điểm M(3;-1) vng góc BC nên nhận vectơ BC(3; 2)
làm VTPT có phương trình tổng quát:
(6)* Đường thẳng d qua điểm M(3;-1) nhận u(2; 3) làm VTCP có:
- Phương trình tham số: 3
x t
y t
- Phương trình tắc:
2
x y
c) AB(4; 4)
* Đường thẳng d qua hai điểm A(-3;2), B(1;-2) nên nhận vectơ AB(4; 4)
làm VTCP có: phương trình tham số:
2
x t
y t
* Phương trình tắc đường thẳng d:
4
x y
* Phương trình tổng quát đường thẳng d: -4(x + 3) = 4(y – 2) x + y + =
Ví dụ 2: Chứng minh hai đường thẳng d1: 2x – 3y + = d2 : -2x – 7y + = cắt
tìm giao điểm chúng Giải:
Ta có 2
3
nên hai đường thẳng d1và d2cắt
Giao điểm d1và d2là nghiệm hệ phương trình :
8
2 5
2
5 x
x y
x y
y
Vậy d1và d2cắt
8 ( ; )
5
A
III- BÀI TẬP
Bài 1: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d: 3x – 5y – 11 = điểm M(2;-3).Hãy viết phương trình đường d’ trường hợp sau:
a) Đi qua M song song với đường thẳng d b) Đi qua M vuông gócvới đường thẳng d c) Đi qua M căt trục Ox, Oy A, B cho OA = 2OB (A, B khác gốc tọa độ O) Bài 2: Cho tam giác ABC biết A(-1;1), B(2;-4), C(3;0)
a) Viết phương trình đường cao tam giác ABC b) Viết phương trình đường trung trực tam giác ABC c) Tính góc hai đường thẳng AB AC
Bài 3: Cho điểm A(1;3) đường thẳng d: x – 2y + = a) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua A b) Tìm hình chiếu điểm M đường thẳng d
Bài 4: Viết PTTQ, PTTS, PTCT (nếu có) đường thẳng d trường hợp sau: a) d qua A(-1;2) song song với đường thẳng 5x + =
b) d qua điểm B(7;-5) vng góc với đường thẳng x + 3y - = c) d qua C(-2;3) có hệ số góc k = -3
d) d qua hai điểm M(3;6) N(5;-3)
Bài 5: Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB: x – 3y +11 = 0,đường cao AH: 3x + 7y – 15 = 0, đường cao BH: 3x – 5y + 13 = Tim phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh lại tam giác
Bài Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số đường thẳng biết: a qua M(2; –3) có vectơ pháp tuyến n ( 4;1)
b qua điểm A(0; 5) B(4; –2)
c qua điểm N(6 ; –1) có hệ số góc k =
3
(7)a Viết PTTQ cạnh ABC; b Viết PTTQ đường cao AH, đường trung tuyến AM Bài Tìm giao điểm cặp đường thẳng sau:
a d1: 2x – 3y + = d2:
x 2t y 3t
b d1: x = d2:
x 3t y t
Bài 2. KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC
I- LÍ THUYẾT
Khoảng cách từ điểm M x y( ; )o o đến đường thẳng : ax+by+c=0là:
o
2
ax
( , ) byo c
d M
a b
Phương trình đường phân giác:
Cho hai đường thẳng cắt 1: a x1 b y c1 0, 2:a x b y c2 0 Phương trình
đường phân giác góc tạo hai đường thẳng là: 21 2 22 2
1 2
0 a x b y c a x b y c
a b a b
Góc hai đường thẳng 1: a x1 b y c1 1 0, 2:a x b y c2 0được tính cơng thức:
1 2
1 2 2 2 2
1 2
cos( , )
a a b b
a b a b
II Ví dụ:
Ví dụ 1:.Tính khoảng cách từ điểm M(-3;5) đến đường thẳng : 2x-3y+1=0 Giải: Ta có : ( , ) 2.( 3) 3.5 12 2 20 20
13 13
2 ( 3)
d M
Ví dụ 2: Tính góc hai đường thẳng 1: x 2 y12 0, 2:x 5y 4
Giải: 2 2 2 2
( 1).1 2.( 5) 11 11 os( , )
130 130 ( 1) ( 5)
c
( ,1 2) 15 15'
Vậy góc hai đường thẳng 1và 2khoảng 15 15'o
III Bài tập:
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua M(-2;3) cách hai điểm P(-1;0), Q(2;1). Bài 2: Cho tam giác ABC có A(2;0), B(4;1), C(1;2).
a) Viết pt đương phân giác góc A
b)Viết pt đường thẳng qua góc tọa độ cắt đường thẳng AB, AC M, N cho
OM ON
Bài 3: Viết pt đường thẳng qua gốc tọa độ O tạo với đường thẳng d: x – 2y + =0 góc 45o
Bài 4: Cho A(1;1) B(4;-3) Tìm điểm C thuộc d: x – 2y – = cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB
Bài 5: Tính góc hai đường thẳng d1và d2trong trương hợp sau:
a)
2 :
1
x t
d
y t
1 ' :
3 '
x t
d
y t
b)
1 :
3
x t
d
y t
: d x y ; c) d x y1: 1 0 d2: 2x y 0 d)d1: 3x – y + = d2: 2x – 4y + =
e) d1: 2x – 3y + = d2:
x 2t y 3t
f) d1: x = d2:
x 3t y t
Bài 6: Cho M(2; 1) đường thẳng d: 14x – 4y + 29 =
a.Tìm toạ độ hình chiếu H M d; b.Tìm toạ độ điểm đối xứng M’ M qua đường thẳng d Bài 7: Xét vị trí tương đối đường thẳng sau:
(8)b 1: 2x + 1,5y + = 2:
x 3t y 4t
c 1:
x 3t y 2t
2:
x y
1
Bài 8: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
a M(5; 1) : 3x – 4y – = b M(–2; –3) : x 3t
y 4t
Bài 9: Cho điểm A(–1; 2), B(3; 1) đường thẳng : x t
y t
Tìm điểm C cho tam giác ABC tam giác cân C
Bài 3 ĐƯỜNG TRÒN
I- LÍ THUYẾT
1 Đường trịn tâm I x y( ; )o o bán kính R có phương trình là: ( )2 ( )2
o o
x x y y R Phương trình 2
2
x y ax by c với điều kiện a2b2 c0là pt đường trịn tâm I(-a;-b) bán kính R a2 b2 c
3 Tiếp tuyến đường tròn :
* Tiếp tuyến của đường tròn điểm M nằm đường tròn đường thẳng qua M nhận
IM
làm VTPT
* Đường thẳng tiếp xúc với đường trịn tâm I, bán kính R d I( , )R(đk tiếp xúc)
II.VÍ DỤ:
Ví dụ 1:.Viết phương trình đường trịn trường hợp sau:
a) Tâm I(-2;3) qua A(1;2) b) Nhận AB làm đường kính với A(-2;6), B(4;-2) c) Tâm I(-1;2) tiếp xúc với đường thẳng : x - 2y + =
Giải:
a) Đường tròn tâm I(-2;3) qua A(1;2) nên có bán kính: 2
(1 2) (2 3) 10
R IA
Vậy phương trình đường trịn tâm I(-2;3) qua A(1;2) là: (x 2)2 (y 3)2 10
b) Đường tròn đường kính AB có tâm I(1;2) trung điểm AB bán kính 100 10
2 2
AB
R
Vậy phương trình đường trịn đường kính AB là: (x 1)2 (y 2)2 25
c) Đường tròn tâm I(-1;2) tiếp xúc với đường thẳng : x - 2y + = nên có bán kính:
2
1.( 1) 2.2 ( , )
5 ( 2)
R d I
Ví dụ 2:.Xác định tâm bán kính đường tròn sau: a) x2 y2 2x 4y 3 0
(1)
b) 2x2 2y2 8x 4y 7 0 (2)
Giải:
a) Ta có: a = -1, b = -2, c = -3
Đường tròn (1) có tâm I(1;2), bán kính 2
( 1) ( 2) ( 3)
R
b) (2) 2 4 2 0
2
x y x y
Ta có: a = -2, b = -1, c =
Đường trịn (2) có tâm I(2;1), bán kính 2 17
( 2) ( 1) ( )
2
(9)Ví dụ 3:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):x2 y2 8x 6y 0
Viết phương trình
tiếp tuyến đường trịn (C) gốc tọa độ O
Giải: Đường trịn (C) có tâm I(4;-3), bán kính R 42 ( 3)2 25 5
Tiếp tuyến đường tròn (C) O đường thẳng qua O nhận OI (4; 3) làmVTPT
Vậy phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) O là: 4x – 3y = III BÀI TẬP:
Bài 1:.Viết phương trình đường trịn trường hợp sau: a) Đường trịn đường kính AB, biết A(-3;2), B(7;-4)
b) Đường tròn tâm I(3;-2) tiếp xúc với đường thẳng d: -x + y + = c) Đường tròn qua ba điểm A(-2;4), B(5;5), C(6;-2)
d) Đường tròn qua hai điểm A(2;3), B(-1;1) có tâm nằm đường thẳng d: x - 3y - 11 = e) Đường tròn qua A(1;2) tiếp xúc với đường thẳng d: x – 3y – 11= B(-2;-1)
f) Đường tròn qua A(2;-1) tiếp xúc với hai trục tọa độ Bài 2: Cho đường tròn ( C ): 2
2
x y x y Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn
( C ) trường hợp sau:
a) Tiếp tuyến đường tròn ( C ) M(1;2); b)Tiếp tuyến đường tròn ( C ) qua điểm M(6;8) Bài 3: Cho đường tròn ( C ): x2 y2 8x 6y 0
Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn ( C )
trong trường hợp sau:
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: -4x + 3y +10 = b) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d: 4x – 3y + 2009 =
Bài 4: Trong phương trình sau, phương trình phương trình đường trịn? Tìm tâm bán kính đường trịn
a) 2
8
x y x y b) x2y2 6x 4y36 c) 2x22y24x 8y 2
d) 2
2x 2y 4x 2y 0 e) x2 + y2 – 2x + 4y – = f) x2 + y2 – 6x + 8y + 50 =
g)(x 3)2 (y 4)2
2
Bài 5: Lập phương trình đường trịn (C) biết:
a (C) có tâm I(6; 1), tiếp xúc với đường thẳng d: x + 2y – = b (C) có đường kính AB biết A(1 ; -2), B(0 ; 3)
c (C) có bán kính R=1, tiếp xúc với trục hồnh có tâm nằm đường thẳng: x +y – = d (C) qua điểm A(1 ;2), B(5 ; 2), C(1 ; –3)
Bài 6: Trong mặt phẳng 0xy cho phương trình x2 y2 4x 8y 5 0
(I)
a)Chứng tỏ phương trình (I) phương trình đường trịn ,xác định tâm bán kính đường trịn
b)Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn biết tiếp tuyến qua A(0;-1) Bài 7: Trong mặt phẳng 0xy Cho điểm (0; 1); (0;1) : (1;2 2)
3
A B C
a)Viết phương trình đường trịn đường kính AB
b)Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn ( ;1 3) 2
M
Bài 4: ĐƯỜNG ELIP
I- LÍ THUYẾT
* Phương trình tắc elip:
2
2
x y
a b (a > b > 0) với
2 2
b a c
* ,
cx cx
MF a MF a
a a
bán kính qua tiêu điểm M(x;y); * F F1 2c tiêu cự
(10)* Độ dài trục lớn :A A1 2a; * Độ dài trục bé: B B1 2b; * Tâm sai:
c e
a II VÍ DỤ:
Ví dụ 1:.Xác định tọa độ đỉnh, tiêu điểm,tiêu cự, độ dài trục lớn, độ dài trục bé, tâm sai elip có phương trình:
2
1
9
x y
Giải: Ta có: a2 9 a 3
, b2 1 b1, c2 a2 b2 9 8 c
* Hai tiêu điểm:F1( 8;0), ( 8;0)F2
* Các đỉnh: A1( 3;0), A2(3;0), (0; 1),B1 B2(0;1)
* Độ dài trục lớn : A A1 2a6
* Độ dài trục bé: B B1 2b2
* Tâm sai: c e
a
Ví dụ 2: Viết phương trình tắc elip biết elip có độ dài trục bé đỉnh A(-4;0)
Giải: Ta có: 2b = b=3 Đỉnh A(-4;0) a = Vậy phương trình tắc (E) là:
2
1 16
x y
III BÀI TẬP:
Bài 1: Xác định tọa độ đỉnh, tiêu điểm,tiêu cự, độ dài trục lớn, độ dài trục bé, tâm sai elip có phương trình sau:
a)
2
1
8
x y
b)
2
2 1
3 x
y
c) x29y2 9 d) 4x25y2 20
Bài 2: Viết phương trình tắc elip trường hợp sau:
a) Có đỉnh B(0;-2), tiêu điểm F(1;0); b) Tiêu cự 6, tâm sai 3
5
c) (E) qua hai điểm M(4; 3)và N(2 2; 3) ; d) Một tiêu điểm F(-3;0) tâm sai
4 e e) (E) qua điểm (1; )
5
M và MF1MF2 2 5 (trong F F1, 2 hai tiêu điểm elip). f) Độ dài trực lớn 15, (E) qua điểm M mà
1 90
F MF và sMF F1 2 26(trong F F1, 2là
hai tiêu điểm elip) Bài 3: Cho (E):
2
1
7
x y
có hai tiêu điểm F F1, 2 Tim điểm M hypebol cho a) MF12MF2; b) M nhìn hai tiêu điểm góc 60
Bài 4: Cho (E) có phương trình:
2
1
9
x y
a) Xác định m để đường thẳng d: y = x + m (E) có điểm chung
b) Viết phương trình đường thẳng đi qau điểm M(1;1) Và cắt (E) hai điểm A, B cho M là
trung điểm đoạn thẳng AB
Bài 5. ĐƯỜNG HYPEBOL
I- LÍ THUYẾT
* Phương trình tắc hypebol:
2
2
x y
a b (a > 0, b > 0) với
2 2
b c a * F F1 2 2c tiêu cự; * ,
cx cx
MF a MF a
a a
(11)* Hypebol nhận trục tọa độ làm trục đối xứng, gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
* Hai tiêu điểm:F1( ;0), ( ;0)c F c2 ; * Các đỉnh: A1(a;0),A a2( ;0);* Độ dài trục thục: A A1 2a
* Độ dài trục ảo: B B1 2b; * Phương trình hai đường tiệm cận:
b
y x
a
; * Tâm sai: e c a II VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Xác định tọa độ đỉnh, tiêu điểm,tiêu cự, độ dài trục thực, độ dài trục ảo, tâm sai, phương trình đường tiệm cận hypebol có phương trình:
2
1 16
x y
Giải: Ta có: a2 9 a 3
, b2 16 b4, c2 a2b2 9 16 25 c5
* Hai tiêu điểm:F1( 5;0), (5;0) F2
* Các đỉnh: A1( 3;0), A2(3;0)
* Độ dài trục thực : A A1 2a6
* Độ dài trục ảo: B B1 2b8
* Phương trình hai đường tiệm cận: b
y x x
a
* Tâm sai: c e
a
Ví dụ 2:Viết phương trình tắc hypebol, biết (H) có độ dài trục ảo 10 đỉnh A(-4;0) Giải: Ta có: 2b = 10 b=5 Đỉnh A(-4;0) a =
Vậy phương trình tắc (E) là:
2
1 16 25
x y
III BÀI TẬP:
Bài 1: Xác định tọa độ đỉnh, tiêu điểm,tiêu cự, độ dài trục thực, độ dài trục ảo, tâm sai, phương trình đường tiệm cận hypebol có phương trình:
a)
2
1 12
x y
b)
2
1 y
x c) 3x2 5y2 15 d) x2 7y2 7
Bài 2: Viết phương trình tắc hypebol trường hợp sau: a) Độ dài trục thực 11, tiêu cự 8;
b) Tiêu cự 11và hypebol qua điểm ( 22; ) 2
M
c) Khoảng cách hai tiêu điểm 10 MF1 MF2 6, với M điểm hypebol
d) Tâm sai 2và (H) qua điểm A(-5;3); e) (H) qua hai điểm M(6;-1) N( 8; 2)
f) Độ dài trục thực độ dài trực ảo khoảng cách hai tiêu 2 Bài 3: Cho (H):
2
1
7
x y
có hai tiêu điểm F F1, 2 Tim điểm M hypebol cho
1 2
MF MF . Bài 4: Cho (H)
2
2
x y
a b Gọi F F1, 2là tiêu điểm A A1, 2là cá đỉnh (H).M điểm tùy ý (H) có hình chiếu Ox N Chứng minh rằng:
a) OM2 MF MF1 a2 b2 b)
2 2
1
(MF MF) 4(OM b ) Bài 5: Cho (H) :
4 16
2 y x
=
a Viết phương trình tiệm cận (H);b Tính diện tích hình chữ nhật sở (H) c Chứng minh điểm M (5,
2
) N (8, 3) thuộc (H)
(12)e Chứng minh trung điểm PQ MN trùng
Bài 6. ĐƯỜNG PARABOL
I I- LÍ THUYẾT
* Phương trình tắc parabol:
2
y px (p>0)
* Đỉnh: O(0;0);* Tham số tiêu: p d F ( , ) 0 ; * Trục đối xứng: Ox;
* Tiêu điểm: ( ;0) p
F ; * Đường chuẩn:
2 p x II VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Xác định tham số tiêu, tiêu điểm, phương trình đường chuẩn parabol có phương trình:
2
5y 12x
Giải: Ta có: 2p = 12 p = - Tham số tiêu: p =6
- Tiêu điểm: F (3;0) - Đường chuẩn: x3
Ví dụ 2: Viết phương trình tắc (P) biết tiêu điểm F(1;0). Giải: (P) có tiêu điểm F(1;0) nên
2 p
p
Vậy phương trình tắc (P) là: y2 4x
III BÀI TẬP:
Bài 4: Xác định tham số tiêu, tiêu điểm, phương trình đường chuẩn parabol có phương trình:
a) y2 6x
b) 2y2 x0 c) 7y2 20x d)
3x y
Bài 4: Viết phương trình tắc (P) trường hợp sau:
a) (P) nhận dường thẳng d: x = -2 đường chuẩn; b) (P) có tham số tiêu p = c) (P) qua điểm M(4;-1)
d) Một dây cung (P) vng góc với trục Ox có độ dài khoảng cách từ điểm O (P) đến dây cung
Bài 4: Xét (P) : y2 4x
có tiêu điểm F đường chuẩn Cho hai điểm A(4;-4) B(1;
4 1) a) Chứng tỏ A, B nằm (P) ba điểm A, B, F thẳng hàng
b) Chứng minh khoảng cách từ trung điểm I đoạn thẳng AB đến đường chuẩn bằng
độ dài đoạn thẳng AB Từ có nhận xét vị trí và đường trịn đướng kính AB.
Bài 7. ĐƯỜNG CONIC
I- LÍ THUYẾT Định nghĩa:
Cho điểm F cố định, đường thẳng cố định không qua F số dương e.
( ) /
( , ) MF
C M e
d M
F: tiêu điểm, : đường chuẩn, e tâm sai conic.
2 Cho conic (C) với tâm sai e Khi đó: + (C) elip e < + (C) parabol e = 1
+ (C) hypebol e > Cho elip (E):
2
2
x y
a b (a > b > 0)
* Đường chuẩn 1 ứng với tiêu điểm trái F1(C;0)có phương trình
2
a a
x
e c
(13)* Đường chuẩn 2 ứng với tiêu điểm trái F C2( ;0)có phương trình
2
a a x
e c
* Với điểm M thuộc (E)
1
1 ( , ) ( , )
MF MF
e d M d M Cho elip (H):
2
2
x y
a b (a > 0, b > 0)
* Đường chuẩn 1 ứng với tiêu điểm trái F1(C;0)có phương trình
2
a a
x
e c
* Đường chuẩn 2 ứng với tiêu điểm trái F C2( ;0)có phương trình
2
a a x
e c
* Với điểm M thuộc (H)
1
1 ( , ) ( , )
MF MF
e d M d M II BÀI TẬP:
Bài 1: Xác định tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn đường conic sau: a)
2
1
8
x y
b)
2
1 15 20
x y
c) y2 10x
Bài Viết phương trình đường conic trường hợp sau: a) Tiêu điểm F(3;0), đường chuẩn :x0và tâm sai e =
b) Tiêu điểm F(-1;4), đường chuẩn ứng với tiêu điểm F:y0và tâm sai e = 1 c) Tiêu điểm F(2;-5), đường chuẩn ứng với tiêu điểm F:y x và tâm sai e =2.
Bài 18 Cho (H) :
4 16
2
2 y
x
=
a Viết phương trình tiệm cận (H) b Tính diện tích hình chữ nhật sở (H) c Chứng minh điểm M (5,
2
) N (8, 3) thuộc (H)
d Viết phương trình đường thẳng qua M, N tìm giao điểm P, Q với tiệm cận (H)
e Chứng minh trung điểm PQ MN trùng Bài 19. Cho (P) : y2 = 4x
a Xác định toạ độ tiêu điểm F phương trình đường chuẩn d (P)
b Đường thẳng có phương trình : y = m (m 0) cắt d, Oy (P) điểm K, H, M Tìm toạ độ điểm