Cach giai phuong mot so pt

* Phương trình bất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải theo hướng này là đúng, nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng phương pháp h[r]

(1)

Email: Tavanhuong2002@yahoo.com

PHƢƠNG TRÌNH-BÂT PHƢƠNG TRÌNH-HỆ PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ

A Phƣơng trình - bất phƣơng trình chứa thức

I Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng 1 Kiến thức cần nhớ:

2 2

1

2

3 ,

4

5 ,

n n

a a

a b a b ab

a b a b a b

a b a b

a b a b a b

2 Các dạng bản:

* Dạng 1: f x g x g x 02

f x g x (Không cần đặt điều kiện f x 0) * Dạng 2: f x g x xét trường hợp:

TH1:

0

g x

f x TH2:

( )

g x

f x g x

* Dạng 3:

2

( ) 0

f x f x g x g x

f x g x

Lưu ý: + g(x) thường nhị thức bậc (ax+b) có số trường hợp g(x) tam thức bậc hai (ax2+bx+c), tuỳ theo ta mạnh dạn đặt điều kiện

cho g x bình phương vế đưa phương trình bất phương trình dạng quen

thuộc

+ Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình

0

n n n

n n

a x a x a x  a x a có nghiệm x= chia vế trái cho cho x– ta

0

n n

x b x b x  b x b ,

tương tự cho bất phương trình

* Phương trình bất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm nghiệm việc giải theo hướng đúng, khơng nhẩm nghiệm ta sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp phương pháp hàm số khơng ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác

* Phương trình bất phương trình bậc 4, lúc ta phải nhẩm nghiệm việc giải phương trình theo hướng đúng, nhẩm nghiệm sử dụng phương trình bất phương trình bậc không ta phải chuyển sang hướng khác

“Cũng khơng ?!”

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x x2 3x 0(ĐH Khối D – 2006)

Biến đổi phương trình thành:

2x x 3x (*), đặt điều kiện bình phương vế

ta được: x4 6x3 11x2 8x ta dễ dạng nhẩm nghiệm x = sau chia đa thức ta được:

(2)

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 2

4 x 2x 10 2x , ĐK:

2 x

2 ( 5)

pt x x x x x x x x (1), Với

2

x hai vế (1) khơng âm nên ta bình phương vế: x3 – x2 – 5x – x x 12

b) Tương tự với dạng: * f x g x * f x g x

Ví dụ 1: Giải bất phương trình

2x 6x x

Giải

1 2x 6x x bất phương trình tương đương với hệ:

2

3 7

2

2 2

2 1 3

x x

x x x x x

x x x x

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình

2

x mx m có nghiêm

Giải

* Nếu m < phương trình vơ nghiệm

* Nếu m phương trình x2 2mx m2+4m 3=0 Phương trình có

=2m2 4m+3>0 với m

Vậy với m phương trình cho có nghiêm

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2x2 mx 3 x 1 có hai nghiệm phân biệt

Giải:

Cách 1: 2

2 0, (*)

x PT

x m x , phương trình (*) ln có nghiệm:

2

1

2 20 20

0,

2

m m m m m m

x x Phương trình cho có nghiệm

(*) có nghiệm x

2

2 2

4

1 4 20

4 20

m

x m m m m

m m m

Chú ý: + x1 > 0, x2 < x1 > x2 a.c < nên pt có nghiệm trái dấu + Cách thường dùng hệ số a dương âm

+ Cách 2: Đặt t = x + suy x = t – 1, với x t

(*) trở thành:

1

t m t (**) Để (*) có nghiệm x 1thì (**) phải có

nghiệm t

Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt

2

x mx x , (1) Giải: 2

3 0,

x pt

x m x để (1) có hai nghiệm thực phân biệt (2) có hai

nghiệm lớn

2hay

2

4 12

1

0

2

1

2

m

f m

S

(3)

Email: Tavanhuong2002@yahoo.com Chú ý : Cách 2: đặt

2

t x , để (2) có hai nghiệm lớn

2

1

3

2

t m t có hai nghiệm thực lớn

3 Các kỹ năng:

a Để bình phƣơng vế phƣơng trình – bất phƣơng trình ta biến đổi cho vế không âm hai đặt điều kiện cho vế khơng âm

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 5x x 2x (ĐH Khối A – 2005)

Vế phải không âm, vế trái chưa nhận xét ta phải biến đổi thành:

5x x 2x ta bình phương vế đưa dạng để giải

Ví dụ 2: Giải phương trình:

1 2

x x x x x

Giải

Điều kiện:

1 *

x x x

2 2

2

2 2

2

1 2 2

4 2

8

x x x x x x x x x x x

x x x x x

x x

Vậy phương trình cho có hai nghiệm x=0,

8

x (Hãy tìm thêm cách giải khác)

Ví dụ 3:Tìm m để phương trình 2

2x mx x có nghiệm

HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm

2 1,2

16

m m

x Kết hợp

với điều kiện ta tìm |m|

b Chuyển phƣơng trình – bất phƣơng trình tích: - Đặt nhân tử chung, đẳng thức

Lưu ý: Để sử dụng phương pháp ta phải ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích

Ví dụ :Giải phương trình:

7

x x

HD:

Bình phương hai vế

Dùng đẳng thức a2 b2=0 Nghiệm 2, 29

2

x x

Ví dụ 5: Giải bất phương trình: a

2

1

x

x x

b

2

3

x x x x

ĐS: a x<8, b ; 3;

2  

Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh với giá trị dương tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:

2

x x m x (1)

(4)

) ( , 32

2

4

2 3 2

m x

x x x

m x

x

pt Để chứng minh m 0, phương

trình (1) có nghiệm phân biệt cần chứng minh phương trình (2) có nghiệm khác

Thậvậy: đặt f x x3 6x2 32,x 2, ta có f(2) = 0,

'

lim , 12 0,

x f x f x x x x nên f(x) hàm liên tục 2; đồng biến khoảng suy m phương trình (2) ln có nghiệm x0 mà < x0 <

Một số dạng chuyển thành tíc

- Dạng: ax b cx d a c x- b d

-m

Ta biến đổi thành: m( ax b cx d) ax b cx d

Ví dụ: Giải phương trình: 3

5

x

x x ĐS: x=2

- Dạng: u+v=1+uv (u-1) (v-1)=0

Ví dụ: Giải phương trình: 3x 1 x 2 1 3x2 3x 2 ĐS: x=0,

x=

Ví dụ: Giải phương trình: 4x 1 x 1 4x3 x2 ĐS: x=0,

x=1

- Dạng: au+bv=ab+uv (u b) (v a)=0

Ví dụ 1: Giải phương trình x 3 2x x 1 2x x2 4x 3 ĐS: x=0,

x=1

Ví dụ 2: Giải phương trình 2

3 3 2

x x x x x x x ĐS: x=0

- Dạng: a3 b3 (a b) (a2+ab+b2)=0 a=b

Ví dụ: Giải phương trình: 2 3 93 x2 x 2 2x 3 33 x x 2 ĐS: x=1

c Chuyển dạng: A1 + A2 + + An = với Ai 0 1, i n pt tƣơng đƣơng

với: A1 0, A2 0, An 0

Ví dụ 1: Giải phương trình :

4x 3x 4x x 2x

HD: Phương trình tương đương

4x 4x x x 2x 2x ĐS: x=1

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2

4x y y 4x y Giải

Bình phương hai vế ta 2 2

2 2 ,

2

x y y x y x y

d Sử dụng lập phƣơng:

Với dạng tổng quát 3a 3b 3c ta lập phương hai vế sử dụng đẳng thức 3 3

3

a b a b ab a b phương trình tương đương với hệ

3 3

3

a b c

a b abc c

Giải hệ ta có nghiệm phương trình

Ví dụ: Giải bất phương trình x 1 3x 2 32x 3 ĐS:

3 1; 2;

2

x x x

(5)

- TH1: Mẩu dương ln âm ta quy đồng khử mẩu:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

2

2 16 7

3

x x

x

x x (ĐH Khối A 2004)

Giải

ĐK: x 1 2 x2 16 x 3 7 x 2 x2 16 10 2x

2

4

5 10

10

10 34

2 16 10

x

x x

x

x x

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: x 10 34

- TH2: Mẩu âm dương khoảng ta chia thành trường hợp:

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: a x 3 x2 4 x2 9 b

2

51

1

x x

x

HD: a Xét ba trường hợp x=3, x>3 x<3 ĐS:

x x

b Xét hai trừng hợp x ĐS:

1 52 x x

Bài tập

Bài 1: Giải phương trình sau: a x 2 x 1 x x 1 x2 x 0

HD: Bình phương vế biến đổi thành: 2

2x x x x x x 4x 6x

2

(x 2)(2 x x x 2x 2)

b 2

4x 5x x x 9x HD: Nhân lượng liên hợp

Bài 2: Giải bất phương trình sau:

1 2x 2x x

HD: Cách 1: Đặt

4

2

1 2

16

t t

t x x x Cách 2: Bình phương đưa

dạng: A1+A2 = 0, với A1,A2

Bài 3: Giải phương trình 10 3x x (HD: Bình phương hai lần phương trình

bậc đầy đủ_nhẩm nghiệm (x=3) chia đa thức) Bài 4: Giải phương trình 2

1

3 x x x x

Bài 5: Giải phương trình

2x 6x x

Bài 6: Giải phương trình sau:

1

x x 3x 2 32x 3 1

3 32x 2 x 2 39x 4 3x 1 x 1 x32

2

1

4

x

x x 3

4

x

x x

7 5x 3x x (HD:Bình phương sử dụng dạng: A1+A2 = 0, với A1, A2 0) Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m x m x m

Bài 8: Tìm m cho phương trình:

4x x x m a Có nghiệm

(6)

Email: Tavanhuong2002@yahoo.com Bài 9: Giải bất phương trình sau:

a

2

1

x

b 2

3

x x x x x x

c 2

2

x x x x x x

Bài 10: Giải phương trình:

a 3x 1 3x2 3x x2 x b 3 4

3

x

x x

x

c x 4x

x d

2

2 x 9x x

e 2

2x x x 3x 2x 2x

II Phƣơng pháp đặt ẩn phụ:

Dạng 1: F n f x 0, đặt t n f x (lưu ý n chẵn ta phải thêm điều kiện t 0)

Ví dụ 1: Giải phương trình: a x2 x2 11 31 b

5 3

x x x x

HD: a Đặt

11,

t x t ĐS: x=

b Đặt

3 ,

t x x t ĐS: 109

2

x

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2

2

x x m x x m

Giải

Đặt: 2

5 0;

t x x x t

Khi phương trình trở thành 2

2 *

t mt m t m Phương trình cho có

nghiệm (*) có nghiệm t 0; hay 6

0 6

m m

Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình:

( 2 1)

m x x x x , (1) có

nghiệmx 0;1

Giải: Đặt 2

2 2

t x x x x t Nếu x 0;1 t x 12 1;2

BPT trở thành:

1 0,

m t t

Khi ta có 2

1

t

m

t , với t Đặt

2 2

1

t f t

t , dùng đồ thị ta tìm

2

m

Dạng 2:

2

m f x g x n f x g x n f x g x p , đặt t f x g x , bình phương hai vế để biểu diễn đại lượng cịn lại qua t

Ví dụ 1: Cho phương trình x x m x x a Giải phương trình m=3

(7)

Đặt: t 3 x 6 x t2 9 2 3 x 6 x * Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

2 x x nên từ (*) ta có t

Phương trình cho trở thành t2 2t 9= 2m (1)

a Với m=3 (1) t2 2t t =3 Thay vào (*) ta x= 3, x=6

b PT cho có nghiệm (1) có nghiệm t 3; Xét hàm số

2 2 9

f t t t với t 3; , ta thấy f(t) hàm đb nên:

6 f(3) f t f với t 3; Do (1) có nghiệm t 3;

chỉ 6

m m

Chú ý: Để tìm miền giá trị t ta có cách thương dùng sau:

Cách 1: dùng BĐT 2: dùng pp hàm số ( xem phần PP hàm số )

Ví dụ 2: Giải phương trình x335 x3 x 335 x3 30

HD: đặt: 3 3 35

35 35

3

t

t x x x

t ĐS: x=2, x=3

Ví dụ 3: Giải bất phương trình

7x 7x 49x 7x 42 181 14x HD: Đặt t 7x 7x … 6

7 x

Dạng 3:

,

n n

F f x g x , F(t) phương trình đẳng cấp bậc k TH1: Kiểm tra nghiệm với g x

TH2: Giả sử g x chia hai vế phương trình cho gk x đặt n

f x t

g x Ví dụ 1: Giải phương trình

5 x x

ĐK: x x3 x2 x x2 x x2 x x

2 2

1

x x

x x x x

Đặt 2 ,

1

x

t t

x x Phương trình trở thành

2

2 1

2

t t t

t Với t=2: Phương trình cho vơ nghiệm

Với

2

t : Phương trình cho có nghiệm 37

2

x

Ví dụ 2: Giải phương trình 2

5x 14x x x 20 x

Giải

ĐK: x 5x2 14x 9 x2 x 20 5 x 1 5x2 14x 9 5 x 1 x2 x 20 Bình phương hai vế: 2 x2 4x 5 3 x 4 5 x2 4x 5 x 4

Đặt 5,

x x

t t

x phương trình trở thành

2

2 1,

2

(8)

Với t = 1: Phương trình cho có nghiệm 61 5, 61

2

x x

Với

2

t : Phương trình cho có nghiệm 5, 5

x x

Vậy phương trình cho có hai nghiệm: 61,

x x

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

3 x m x x

HD: ĐK x Xét hai trường hợp x = x ≠ 1, Chia hai vế phương trình cho 4x2 1 đặt 41

1

x t

x x t ĐS

1

3

m

Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để)

0

af x g x f x h x Đặt t f x , phương trình trở thành

0

at g x t h x

Ví dụ: Giải phương trình 2

2 x x 2x x 2x

HD

Đặt

2 1

t x x x

(Phương pháp áp dụng cho phương trình, bất phương trình lượng giác,

mũ, logrit,…rất hay!) Bài tập

Giải phương trình sau:

1

2x 5x x 21x 20 ĐS: 193, 17 73

4

x x

2 3 2

3 2

x x x x Đặt y x 2, ĐS: x 2, x 2

3 2 x2 3x 2 3 x3 8 ĐS:

3 13

x

4 2x x 1 x

x x x Đặt

1

t

x, ĐS:

1

2

x

Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lượng giác)

Khi giải phương trình, bất phương trình lượng giác thường tìm cách đặt ẩn phụ để chuyển phương trình, bất phương trình đại số Tuy nhiên, nhiều trường hợp cách ngược lại tỏ hiệu quả, tính chất hàm lượng giác ta đưa toán đại số toán lượng giác giải toán lượng giác

Lưu ý vài tính chất bản:

* sina 1, cosa * sin2a cos2a

*

2

1 tan

cos

a

a *

2

1 cot

sin

a

a Ví dụ 1: Giải phương trình 2

1 x 2x Giải

ĐK x Đặt x cos ,t t 0; Khi phương trình trở thành

2 2

1 cos t 2cos t 2sin t sint Ta tìm được: sin

t Khi

2

cos sin

2

(9)

Nhận xét: * Nếu tốn có tập xác định u x a Ta nghĩ đến cách đặt

sin , ;

2

u x a t t đặt u x acos ,t t 0;

* Nếu u x 0;a ta đặt sin2 , 0;

u x a t t

Ví dụ 2: Giải phương trình 3 2 2

1

x x x x

HD: Đặt x cos ,t t 0; dưa phương trình lượng giác

sint cost sin cost t sin cost t Để gải phương trình ta lại đặt

sin cos ,

u t t u

ĐS: 2, 2

2

x x

Ví dụ 3: Giải phương trình

1 x 4x 3x ĐS: , 2

x x

Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình)

* Khi gặp phƣơng trình có dạng F f x ,na f x ,mb f x 0

Đặt u na f x , v mb f x Khi ta hệ phương trình sau: , n m F u v

u v a b Giải hệ tìm u, v ta lại tìm x Khi tìm x ta giải hai phương trình

n

u a f x v mb f x

Ví dụ 1: Giải phương trình: x x 3 x x ĐS: x 0, x

Ví dụ 2: Giải phương trình: 324 x 12 x 6 ĐS:

24, 88,

x x x

Ví dụ 3: Giải phương trình: 4x 417 x 3 ĐS: x 1, x 16 Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 3

3

2 x x x x ĐS: x 1, x

Ví dụ 5: Giải phương trình: x 1 x 3 32, đặt u 3x 1,v x 3, pt trở thành:

3

2

u v u v

Ví dụ 6: Giải phương trình: 1 1

2 x x , đặt

3 ,

2

u x v x

Ví dụ 7: Với giá trị a phương trình: x x a

1

1 có nghiệm

Đặt u 31 x,v 31 x Phương trình trở thành:

2

a u v uv u v a TH1: a = hệ phương trình vơ nghiệm

TH2: a 0, hệ phương trình trở thành 2

u v a uv a

a

Hệ có nghiệm

4 0

S P a Vậy phương trình có nghiệm a

* Khi gặp phƣơng trình có dạng n n

(10)

Đặt t f x , y naf x b ta có hệ n

n

t b ay y b at Ví dụ 1: Giải phương trình 2x3 1 23 x 1 ĐS: 1,

2

x x

Ví dụ 2: Giải phương trình 2 4

2

x

x x

Giải

ĐK x 2 2 2 12 1 1

2 2

x

x x

x x x x

Đặt

1, 1

2 2

x t t

t x y y Ta hệ phương trình

2

1

2 1

2

t y

y t

Giải

thêm chút ta kết quả! ĐS:

3 17 13

,

4

x x

Chú ý: khơng thể sử dụng phương pháp bình phương không nhẩm nghiệm, nên ta phải biến đổi để xuất biểu thức giống từ ta đặt ẩn phụ

Ví dụ 3: Giải phương trình

4x 7x x ĐS: 1, 7,

4

x x x

Chú ý: Bài sử dụng phương pháp bình phương

Bài tập:

1

3x x 4x 3x 5x 2 x2 x x2 x

3 2

4 2

x x x x x x 4 x x 2x

x x x

Bài 2: Giải cácbất phương trình sau:

1 2

5x 10x 2x x 324 x 12 x 6

3 2

2x x 5x 10x 15

2

1

4

x

x x

1 312 x 314 x 2 2 3x 1 3x 3 32

3

1 x x x2 2 x

5

2

1

4

x

x x (đặt t x x)

III Phƣơng pháp hàm số

Các tính chất:

Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) phương trình f(x)=k

(k R) có khơng q nghiệm khoảng (a;b)

Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) u, v (a,b) ta có

( )

f u f v u v

(11)

Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục đoạn [a;b] tồn F'(x) khoảng

(a;b) c a;b :F c' F b F a

b a Khi áp dụng giải phương trình: có F(b) – F(a) = c a b; :F c' F' x có nghiệm thuộc (a;b)

Định lý Rơn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoăc lõm miền D phương trình f(x)=0

khơng có q hai nghiệm thuộc D

Từ tính chất ta có phương án biến đổi sau:

Phƣơng án 1: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = k, nhẩm nghiệm chứng

minh f(x) đồng biến (nghịch biến) suy phương trình có nghiệm

Phƣơng án 2: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = g(x), nhẩm nghiệm dùng

lập luận khẳng định f(x) đồng biến g(x) nghịch biến hàm suy phương trình có nghiệm

Phƣơng án 3: Biến đổi phương trình dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn điệu

đó ta có: u = v

Ví dụ: Giải phương trình:

4x 4x 1

ĐK:

x Đặt f x 4x 4x2 Miền xác định:

x , '

2

0

4

x f x

x x

Do hàm số đồng biến với

2

x , nên phương trình có nghiệm nghiệm Thấy

2

x nghiệm phương trình

Đối với phƣơng trình chứa tham số ta thực nhƣ sau: Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1)

B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị (C ): y = f(x,m) đường thẳng

d: y = g(m)

B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m)

B3: Kết luận: * phương trình có nghiệm: , max ,

x D f x m g m x D f x m * phương trình có k nghiệm: d cắt (C) k điểm

* phương trình vơ nghiệm khi: d khơng cắt (C ) Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: 2

1

x x x x mcó nghiệm

TXĐ: R

Xét hs: y f x x2 x 1 x2 x 1, Df = R,

2

'

1

x x

y

x x x x

' 2

2 2 2

2

0 1 1

2 1 1

x x

y x x x x x x

x x x x x x

(v.nghiệm)

Mặt khác: f’(0) = > suy y’ > nên hàm số đồng biến

Giới hạn: 2

2

lim lim

1

2

lim lim

1

x x

x

x x x x

x

(12)

Email: Tavanhuong2002@yahoo.com BBT: x

y’ +

y

1

Vậy phương trình có nghiệm < m <

Chú ý: Trong tốn khơng thực việc xác định giới hạn hàm số, có thể ngộ nhận tập giá trị hàm số R dẩn đến việc kết luận sai lầm phương trình có nghiệm với m Do việc tìm giới hạn tốn khảo sát

rất cần thiết để tìm tập giá trị

Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx x m 1, ĐK: x

1

x

bpt m

x , xét hs

1

'

1 2 3 1

x x

y y

x x x

'

0

y x lim

x y f(3) =

2

BBT:

x

y’ +

y y(5)

1

0

Vậy bất phương trình có nghiệm

y m m

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình: x x x 12 m x x có nghiệm Giải: ĐK: x

( 12)

pt x x x x x m xét hs y f x (x x x 12) x x Miền xác định: D 0;

Nhận xét: Hàm số h x x x x 12 đồng biến D

Hàm số g x x x đồng biến D

Suy y = f(x) = h(x).g(x) hàm đồng biến D Vậy phương trình có nghiệm

chỉ f m f

Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm phương trình:

3

x m x

Giải: Phương trình viết lại dạng:

3

x

m x

Số nghiệm phương trình số giao điểm (C):

2

3

x y

x

(13)

x 1/3

y’ +

y 10

1

KL: m m 10: phương trình vơ nghiệm

1 m 1hoặc m 10: phương trình có nghiệm

1 m 10: phương trình có nghiệm phân biệt

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x x x x m, (1)

Giải: ĐK: x Đặt t x x, lập BBT t(x) với x ta có t

Khi phương trình (1) trở thành:

2t

+ t + = m, lập bảng biến thiên hàm số vế

trái với t từ kết luận: m

Bài tập:

Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

9

x x x x m

Bài Giải phương trình sau:

1 2

1

x x x x

2 x x x x

3 x x x 12 12 x x

B Hệ phƣơng trình - hệ bất phƣơng trình chứa

1 Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng:

Ta thực theo bước sau:

B1: Đặt điều kiện (nếu có)

B2: Biến đổi phương trình – bất phương trình hệ phương trình đơn giản mà ta biết cách giải cách: thế, khử biến

B3: Kết luận (chú ý điều kiện biến đổi tương đương hay hệ quả) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

2

x y

Giải

Điều kiện:

2

x y

Bình phương vế trừ vế theo vế ta có: x y x y x y Thay x = y vào phương trình, giải ta x = y = 11

Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình:

2

x y y x Giải

Điều kiện: x,y

cộng vế theo vế ta được: 2

2 x y x y x y x y

Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất:

1

x y m

(14)

Email: Tavanhuong2002@yahoo.com 2 2

2 (*)

1

1 , 1,

y x m

y x m x

hpt x x m x m x

x

xy x y x x

x

Phải tìm m để (*) có nghiệm thoả: x 1,x

TH1: xét x = 1:

TH2: (*) có nghiệm kép x 1:

TH3: (*) có nghiệm x1 x2: Chú ý: Có thể dùng đồ thị

2

1

, 1,

x

y x x

x Ví dụ 4: giải: 2 2

2 2

( ) 185

( ) 65

x xy y x y x xy y x y

Giải: Cộng vế phương trình ta được:

2 2 2 2

2 x y x y 250 x y 125 x y

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: 2,

1, (2) x y x y y x y x

Giải: ĐK: y x,x y

2

1

4

x

x y x

x y

2

1

2 2

4

y

y y x

x y KQ: 17 5;

12

Bài tập: Giải hệ: phương trình sau:

3

x y

y x

3

x y xy x y 2 3 3

x y x y xy

x y 2 420 280

x y xy

y x xy

2 2

1

x y x y

2 2

2

x y x y

2 2 2

x y x y a

(a > 0)

2

x y x y

2 3 3

x y x y y x

y x

10 30

35

x y y x x x y y 11 2 1 1 x y y x

(15)

Bài Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:

3

x y m

2 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ:

Ta thực theo bước sau:

B1: Điều kiện (nếu có)

B2: Lựa chọn ẩn phụ, tìm đk cho ẩn phụ

B3: Giải hệ nhận được, từ suy nghiệm x, y B4: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm từ kết luận Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình: 31

2

x y

x y điều kiện: x y, Đặt u x v, y ĐK: u v, 0, hệ biến đổi dạng:

2 2

1

0

0 0

3

1 4

2

u v

u

u x x

u v u u

Vậy nghịêm hệ cặp nghiệm (x; y) thoả:

0

1 1

x

y x

Ví dụ 2: (ĐH Khối A – 2006) Giải hệ phương trình: ( , )

1

x y xy

x y R

x y

Điều kiện: xy 0,x 1,y Đặt t xy x y t Bình phương phương trình 2, thay ẩn phụ vào, giải tìm được t = Giải thêm chút xíu ta nghiệm

Bài tập: Giải hệ phương trình sau:

1

9

x y xy

xy

2

2 2 8 2

4

x y xy

x y

3

1 2

x y

3

3 4

x y x y x y x y

5

1

3

2

x x y

y x y

y

2

14 84

x y xy

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	0,98 MB