Tham khảo đề kiểm tra chất lượng ôn thi ĐH môn Toán - THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 2 (2013-2014) dành cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh Đại học, với đề thi này các em sẽ được làm quen với cấu trúc đề thi và củng cố lại kiến thức căn bản nhất.
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KTCL ƠN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 20132014 Mơn: TỐN; Khối B Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x - 3mx + 3( m - 1) x - m 3 + 1, (1) (với m là tham số). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 1. b) Gọi d là tiếp tuyến tại điểm cực đại A của đồ thị hàm số (1). Đường thẳng d cắt trục Oy tại điểm B Tìm tất cả các giá trị của m để diện tích tam giác OAB bằng 6, với O là gốc tọa độ. Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình: sin x + = cos 3x + 4sin x + cos x. 1 Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình: x 2 + x + = -4 x + + 3. x 2 Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân: ị 3 x dx . x + + x 2 - 1 Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a 2 , SA = SB, SA vng góc với AC , mặt phẳng ( SCD ) tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 60 O . Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Câu 6 (1,0 điểm). Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = 3 xyz Chứng minh 1 3 rằng: + + ³ 2 2 x (3 x - 1) y (3 y - 1) z (3 z - 1) 4 II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x - y - = 0, đường thẳng BC đi qua điểm M (4;0), đường thẳng CD đi qua điểm N (0; 2). Biết tam giác AMN cân tại A , viết phương trình đường thẳng BC. Câu 8.a (1,0 điểm). Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(3;1; - 4). Tìm tọa độ các điểm B, C thuộc trục Oy sao cho tam giác ABC vuông cân tại A Câu 9.a (1,0 điểm). Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và khơng q hai quả cầu màu vàng. B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD, có BD nằm trên đường thẳng d : x + y - = 0 , điểm M (- 1; 2) thuộc đường thẳng AB, điểm N (2; - 2) thuộc đường thẳng AD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vng ABCD biết điểm B có hồnh độ dương. Câu 8.b (1,0 điểm) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x - y - z + = 0 và điểm A ( 3; -2; - 2 ) . Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua A , vng góc với mặt phẳng ( P ) và cắt các trục Oy, Oz lần lượt tại M , N sao cho OM = ON (M, N khơng trùng với O). Câu 9.b (1,0 điểm). Giải bất phương trình: log ( ) ( ) x + + - ³ log 2 - 10 - x Hết SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KTCL ƠN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 20132014 Mơn: TỐN; Khối B HƯỚNG DẪN CHẤM I. LƯU Ý CHUNG: Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. Điểm tồn bài tính đến 0,25 và khơng làm trịn. Với Câu 5 nếu thí sinh khơng vẽ hình phần nào thì khơng cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 a 1,0 Khi m = 1 ta có hàm số y = x - 3 x 2 Tập xác định: D = ¡ 0,25 x = 0 é Ta có y ' = x 2 - 6 x ; y ' = 0 Û ê ë x = 2 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -¥ ;0) và (2; +¥ ) ; nghịch biến trên khoảng (0; 2) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCD = 0 ; đạt cực tiểu tại x = , yCT = - 4 Giới hạn: lim y = +¥, lim y = -¥ 0,25 x ®+¥ x ®-¥ Bảng biến thiên: x 0 -¥ y' + 0 y 2 0 +¥ + +¥ 0 0,25 4 -¥ Đồ thị: 0,25 b 1,0 é x = m - 1 Ta có y¢ = x - 6mx + m 2 - 1 ; y¢ = Û x - 2mx + m 2 - = 0 Û ê ë x = m + 1 ( ) 0,25 Suy ra hàm số có cực đại và cực tiểu với mọi m Ỵ ¡ Ta có y ''( m - 1) = -6; y ''(m + 1) = 6 , do đó điểm cực đại của đồ thị hàm số A ( m - ; -3m + 3 ) . 0,25 Phương trình tiếp tuyến d : y = y¢ ( x A )( x - x A ) + y A Û d : y = -3m + 3 Ta có { B} = d ầ Oy ị B ( ; -3m + 3 ) . Điều kiện có tam giác là m ¹ 1 . 0,25 Do tiếp tuyến song song với trục Ox nên tam giác OAB vuông tại B AB = m - 1 , OB = -3m + 3 Nên diện tích tam giác OAB é m = -1 1 2 AB.OB Û ( m - 1) = 4 Û ê 2 ë m = 3 Vậy m = - 1 và m = 3 thoả mãn yêu cầu. 0,25 SDOAB = 2 1,0 Phương trình đã cho tương đương với 4sin x.cos x.cos x + = cos 3x + 4sin x + cos x Û 2sin x ( 2cos x.cos x - ) + - cos x - cos x = 0 Û 2sin x ( cos 3x + cos x - ) + - cos 3x - cos x = 0 Û (2sin x - 1)(cos 3x + cos x - 2) = 0 p é x = + k 2 p ê 1 6 *) sin x = Û ê 2 ê 5 p x= + k 2 p êë 6 *) cos x + cos x - = Û 4cos 3 x - cos x - = Û cos x = Û x = k 2 p p 5 p Vậy phương trình có các nghiệm: x = + k 2p , x = + k 2 p và x = k 2 p 6 vi k ẻÂ 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 ì x ¹ 0 ï ï 1 ĐK: í éê x ³ - (*) 2 ïê ïỵ ë x £ -1 Nếu x > 0 thì phương trình tương đương với + Đặt t = + 0,25 3 1 + = -4 + + 2 (1 ) . x x x x ìt ³ 0 1 + 2 (t ³ 0) (1 ) . Phương trình (1) trở thành í Û t = 3 . 2 x x ỵ t = t - 6 0,25 é + 37 x= (tm ) ê 1 14 Với t = 3 , ta có + + 2 = Û x 2 - x - = 0 Û ê x x ê - 37 (k tm) êx= ë 14 Nếu x 0 Do CD ^ BC và CD đi qua N ( 0; 2 ) Þ phương trình CD : bx - ay + 2a = 0 . Do ABCD là hình vng nên khoảng cách d ( A, BC ) = d ( A, CD ) é3a + b = 0 Ûê a2 + b2 a + b 2 ë a - 3b = 0 Nếu 3a + b = 0 , chọn a = Þ b = -3 Þ phương trình BC : x - y - = 0 Nếu a - 3b = 0 , chọn a = Þ b = 1 Þ phương trình BC : 3x + y - 12 = 0 . Û -5a - 5b = 7 a - b 8.a 0,25 0,25 1,0 Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên trục Oy, suy ra H (0;1;0) . Do đó uuur 0,25 HA(3;0; -4) Þ HA = 5. uuur B thuộc Oy nên B(0; b;0) Þ HB (0; b - 1; 0) . Do tam giác ABC vuông cân tại A 0,25 éb = 6 nên HB = HA Þ| b - 1|= 5 Þ ê ë b = -4 Với b = Þ B (0; 6;0) Þ C (0; - 4;0) . 0,25 Với b = -4 Þ B(0; -4;0) Þ C (0;6;0) . 9.a 0,25 1,0 4 Số phần tử của không gian mẫu là W = C16 = 1820 . 0,25 Gọi B là biến cố “ 4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và khơng q hai quả màu vàng”. Ta xét ba khả năng sau: Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: C41C 5 3 0,25 1 Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: C4C5 C 7 Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: C41C51C 7 2 Khi đó W B = C41C53 + C41C71C52 + C41C72 C5 1 = 740 . Xác suất của biến cố B P ( B ) = W B 740 37 = = W 1820 91 7.b 0,25 0,25 1,0 M A B H N D Gọi H là hình chiếu của M d, suy ra H (t ;3 - t ) . uuuur r Ta có MH (t + 1;1 - t ) , d có véc tơ chỉ phương u (1; -1) . MH vng góc với d suy ra uuuur t + - + t = Þ t = Þ MH (1;1) . 0,25 C Do đó MB = 2.MH = 2 . B thuộc d nên B(b;3 - b) ; MB = Û (b + 1) + (1 - b) 2 = 4 0,25 Suy ra b = 1 hoặc b = - 1 (loại). Từ đó B (1;2) . AB đi qua M và B nên phương trình AB là y = 2. AD qua N và vng góc với AB nên phương trình AD là x = 2 . Vậy A (2; 2) . 0,25 ì x = 2 Tọa độ D là nghiệm hệ ị D(21).GiIltrungimBDsuyra ợx + y - = 0,25 ổ3 3ử I ỗ ữ IltrungimACnờn C(11). ố 2 ø Vậy A(2; 2), B (1;2), C (1;1), D (2;1). 8.b 1,0 Gọi M ( 0; a;0 ) , N ( 0;0; b ) trong đó ab ¹ 0 . Ta có uuuur uuur AM = ( -3;2 + a;2 ) , AN = ( -3;2; b + 2 ) . r Gọi véctơ pháp tuyến ( Q ) là n Q uuuur uuur r Þ nQ = éë AM , AN ùû = ( 2a + 2b + ab ; 3a ;3 b ) .Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng r ( P ) nP = (1; -1; -1 ) . r r r r ( P ) ^ ( Q ) Û nP ^ nQ Û nP nQ = Û ab - a - b = 0 (1) và é a = b OM = ON Û a = b Û ê (2) . ë a = -b Từ (1) và (2) ta được é a = (loai ) r + a = b Þ ê Với a = Þ nQ = (12;6; ) Þ ( Q ) :2 x + y + z - = 0 ë a = 2 + a = -b Þ a = 0 (loai ) Vậy phương trình ( Q ) : x + y + z - = 0 . 9.b 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 1 ĐK : - £ x £ 10 3 + x + 1 Bất phương trình tương đương log ³ log 2 - 10 - x 2 ( Û x + + 10 - x ³ Û 0,25 ) ( x + 1)(10 - x ) ³ 23 + x 0,25 1 Với - £ x £ 10 bất phương trình tương đương với 3 369 49 x 2 - 418 x + 369 £ Û 1 £ x £ 49 Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là : 1 £ x £ 0,25 369 49 Hết Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl 0,25 ... = t 2? ? - Þ xdx = tdt. Đổi cận : x 3 2? ? t 2? ? 3 3 tdt tdt Ta có I = ị 2? ? dx = ị t +t -2 t + )( t - 1 ) 2? ? ( 0 ,25 0 ,25 3 é ù 2? ? 3 = ò ê + dt = ln| t - 1| + ln| t + |? ?2? ? ú 2? ? ë t - t... + cos x Û 2sin x ( 2cos x.cos x - ) + - cos x - cos x = 0 Û 2sin x ( cos 3x + cos x - ) + - cos 3x - cos x = 0 Û (2sin x - 1)(cos 3x + cos x - 2) = 0 p é x = + k? ?2? ?p ê 1 6 *) sin x = Û ê 2? ? ê... z - = 0 . 9.b 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 1,0 1 ĐK :? ?- £ x £ 10 3 + x + 1 Bất phương trình tương đương log ³ log 2? ? - 10? ?-? ?x 2? ? ( Û x + + 10 - x ³ Û 0 ,25 ) ( x + 1)(10 - x ) ³ 23 + x 0 ,25