Các bạn học sinh và quý thầy cô hãy tham khảo đề kiểm tra chất lượng ôn thi ĐH môn Toán - THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 3 (2013-2014) khối D kèm đáp án để hệ thống lại kiến thức đã học cũng như kinh nghiệm ra đề.
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KTCL ƠN THI ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 20132014 Mơn: TỐN; Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) x - 2 Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số: y = có đồ thị là ( C ). x - 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng ( d m ) : y = - x + m cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: (2 tan 2 x - 1) cos x = - cos 2 x ìï x + x y - y = y + x y + x 2 Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: í ( x, y Ỵ R). 2 y x = 0 ïỵ Câu 4 (1,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình: m x 2 + 2 = x + m có hai nghiệm thực phân biệt. Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với BC = CD = DA = a ; AB = 2 a ; cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) ; SC tạo với mặt phẳng ( ABCD ) một góc bằng 60 0 . Tính thể tích của khối chóp S. ABCD và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD theo a Câu 6 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: x + y + z 2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất của 1 biểu thức: T = 2 xy + 2 yz + 2 xz + x + y + z II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 2 , điểm A có hồnh độ âm. Đường thẳng AB có phương trình x + y + = 0 , đường thẳng BD có phương trình x + y = 0 . Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh cịn lại của hình chữ nhật. Câu 8.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC đều. Đường trịn nội tiếp tam ỉ 3 giác ABC có phương trình ( x - 4) + ( y - 2) =5,ngthng BC iqua M ỗ 2 ÷ Tìm toạ độ điểm A è 2 ø n -1 n - 2 Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số nguyên dương n thỏa mãn An = Cn + Cn + 4n + 6 . Tìm hệ số của x 16 ( trong khai triển nhị thức Niutơn x3 - 2 x n ) (với x > 0 ). B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho các điểm A(4; - 3); B(4;1) và đường thẳng (d ) : x + y = 0 . Viết phương trình đường trịn (C ) đi qua A và B sao cho tiếp tuyến của ( C ) tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc (d ) . æ Cõu8.b(1,0im).Trongmtphngvihtrcta Oxy ,choelớp ( E) iquaim M ỗỗ ; 2 ÷÷ và è 2 ø có độ dài trục lớn bằng Tìm tọa độ của điểm N thuộc ( E ) sao cho ON = 5 . Câu 9.b (1,0 điểm). Cho số nguyên dương n thỏa mãn An 3 - 2 = 20( n - 2) . Tìm số hạng khơng chứa x n 1 ư ổ khaitrinnhthcNiuưtn ỗ x3 + ữ (vi x ạ0). x ø è Hết Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐÁP ÁN KTCL ƠN THI ĐH LẦN 1 NĂM HỌC 20132014 Mơn: TỐN; Khối D (Đáp án có 06 trang) I. LƯU Ý CHUNG: Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. Điểm tồn bài tính đến 0,25 và khơng làm trịn. Với bài hình học khơng gian nếu thí sinh khơng vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì khơng cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 a 1,0 điểm + TXĐ: D = R \ {1 } 0,25 +Sbinthiờn: Tacú: y = > 0,"x ẻ D. 2 ( x - 1) + Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-¥ ;1) và (1; +¥ ) + Hàm số khơng có cực trị + Giới hạn, tiệm cận. 0,25 lim y = +¥;lim y = -¥ Þ đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng: x = 1 . x ®1- x ®1 + lim y = 1; lim y = 1 Þ đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1 ; x ®+¥ x ®-¥ + Bảng Biến thiên + + 0,25 + Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (2; 0) , trục Oy tại điểm (0; 2) y f(x)=(x2 )/(x 1 ) f(x)=1 7 x (t )=1 , y (t )=t 6 5 4 3 0,25 2 1 x 3 2 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 b 1,0 điểm Phương trình hồnh độ giao điểm của ( d m ) và (C ) là: x 2 - mx + m - = 0 (1) ( x ¹ 1 ). ì D = m 2 - 4m + > 0 Vì í với " m nên (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 với " m î 1 - m + m - = -1 ¹ 0 0,25 0,25 Suy ra ( d m ) cắt (C ) tại hai điểm phân biệt với " m Gọi các giao điểm của (d m ) và (C ) là: A( xA ; yB ); B( xB ; y B ) với x A ; x B là các nghiệm của phương trình (1) Theo Viet có: x A + x B = m; x A x B = m - 2 . 0,25 2 2 2 Ta có AB2 = 2( xA - xB )2 = 2[(xA + xB ) - 4xA.xB ù = 2[ m - 4(m - 2)ù = 2[ (m - 2) + 4ù ³ 8 û û û Vậy AB nhỏ nhất bằng 2 đạt được khi m = 2 . 1,0 điểm p Điều kiện: cos x ¹ Û x ¹ + kp ( k Ỵ Z ) 2 ỉ 2 Ta có: (2 tan x - 1) cos x = - cos x ỗ - ữ cos x = - ( cos 2 x - 1 ) 2 è cos x ø 2 Û cos x - 3cos x - 3cos x + = 0 é êt = -1 ê Đặt t = cos x; t 0, t ẻ [ -11] tac: 2t - 3t 2 - 3t + = Û ê t = 2 ê 1 êt = ë 2 Với t = -1 Þ cos x = -1 Û x = (2k + 1)p ; k Ỵ Z (thoả mãn). Với t = 2 (loại) 1 p Với t = Þ cos x = Û x = ± + k 2p ; k Î Z (thoả mãn) 2 3 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: (2k + 1) p ; ± 3 p 3 + k 2 p ( k Ỵ Z ) 1,0 điểm ìï x + x y - y = y + x y + x 2 (1 ) 5 Đk: x £ í 2 2 y x = 2 ( ) ïỵ Phương trình (1) Û ( x - - y )( x + y 2 ) = 0 é x = y = 0 Û ê 2 ë x = y + 1 Trường hợp x = y = 0 thế vào (2) không thoả mãn. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 0.25 Trường hợp x 2 = y + 1 thế vào phương trình (2): y 3 - - y - = 0 ( 3 ) 3 ù æ Xét hàm f (t ) = 2t 3 - - 2t - t ẻ ỗ -Ơ ỳ 2ỷ ố 1 3 ư ỉ f ¢(t ) = 6 t 2 + ; f Â(t ) > "t ẻ ỗ -Ơ ữ 2 ø - 2 t è 3ù æ Vậy hàm số f (t ) đồng biến trên ç -¥; ú ; mà f (1) = 0 û è Suy ra phương trình (3) có nghiệm duy nhất y = 1 0.25 Với y = Þ x 2 = Û x = ± 2 (thỏa mãn điều kiện) 4 0.25 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( 2;1); ( - 2;1) 1,0 điểm Tập xác định: D = R Ta có: m x + = x + m (1) Û m ) ( x 2 + - = x Û m = - x 2 + 2 Ta có: f '( x) = x +2 ( 2 2 ) x + - 1 x = f ( x ) x + - 1 0.25 2 , "x Ỵ R 0.25 é x = - 2 = Û - x 2 + = 0 Û ê êë x = 2 x 2 + - 1 - x 2 + 2 f '( x ) = Û x2 + ( 2 ) lim f ( x ) = - 1 ; lim f ( x ) =1 xđ-Ơ xđ+Ơ ưBngbinthiờn: x ¥ 2 _ f'(x) 0 +¥ 2 + 0 _ 0.25 f(x) 2 1 ( 1 2 ) ( ) Từ bảng biến thiên ta được m Ỵ - 2; -1 È 1; 2 thỏa mãn. 5 0.25 1,0 điểm Vì BC = CD = DA = a ; AB = 2 a nên AB là đáy lớn; C D là đáy nhỏ của hình thang ABCD Gọi O là trung điểm của AB Ta có các tứ giác AOC D ; OBC D là các hình thoi và các tam giác AO D ; O DC ; OCB là các tam giác đều cạnh a Þ O là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC D . a 3a 2 3 Ta có: S ABCD = 3S AOD = 3. (đvdt). = 4 Trong hình thoi AOC D , ta có: AC = a 3 · = 60 0 Þ SA = AC.tan 600 = a 3 = 3a Trong tam giác vng SAC có góc SCA 1 3a 3a 3 3 Þ VS ABCD = SA.S ABCD = 3a. = (đvtt) 3 4 Gọi I là trung điểm của SB Þ IO//SA Þ đường thẳng I O là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy nên IA = IB = IC = ID . Mặt khác tam giác SAB vng tại đỉnh A Þ IA = IB = IS Þ IS = IA = IB = IC = ID hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Bán kính của mặt cầu đó là: SA2 + AB 9a + 4a 2 a 13 = = 2 2 13a 2 Diện tích của mặt cầu đó là: 4p R = 4p = 13 p a 2 (đvdt) 4 1,0 điểm Đặt x + y + z = t ; t > 0 R = IA = IB = IS = 6 SB = Ta có: xy + yz + zx = ( x + y + z )2 - (x 2 + y 2 + z 2 ) = 2 2 2 t 2 - 1 Þ t > 1 2 2 0.25 0.25 0.25 0.25 Lại có: ( x - y ) + ( y - z ) + ( z - x ) ³ 0 nên ( x + y + z ) £ 3 (x + y + z ) 0.25 2 2 2 Þ t 2 £ 3 Þ t £ 3 . Khi đó: T = t 2 - 1 + 1 với t Ỵ 1; 3 t ] ( Xét hàm f ( t ) = t 2 - 1 + 1 với t Ỵ 1; 3 ; t ] ( 0.25 ] ( ] ( 1 f ¢ ( t ) = 2 t - fÂ(t)> 0"tẻ t Tacúbngbinthiờncahmstrờn 3 1 t 3 f'(t) + 0.25 1 2 + 3 f(t) 1 Từ bảng biến thiên suy ra T £ 2 + Vậy T lớn nhất ( 2 + 7.a 1 3 , dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z = 3 0.25 1 ) đạt được khi x = y = z = 3 3 1,0 điểm 3x + y = 0 D A C 4 2 B x + y + 2 = 0 0.25 Ta có: B = AB ầ BD ị B(1 -3) + A ẻ AB ị A(t ; -t - 2); (t 0 ) a b 2 Vì độ dài trục lớn bằng 6 nên 2a = Û a = 3 . Giả sử phương trình của ( E ) là: Vì M ( 9.b 0.25 18 2 x y 2 ; ) Î ( E ) Þ + 2 = Û b 2 = 4 Þ ( E ) : + = 1 . 4 a b 4 ì 5 ì x + y 2 = 5 ìï x 2 = ï x = ± ï ï ï 5 +) Giả sử N ( x; y ) , ta có hệ phương trình: í x y 2 Ûí Ûí = 1 ï y 2 = 16 ï 5 ï + y=± 4 î9 ïî ï 5 5 î æ 5 ư ỉ 5 ư ỉ 5ử ổ 5ử Vycú4im: N ỗ N ç ; N ç ; N ç ; ; ữ ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ç ÷ ç ; - 5 ÷÷ 5 5 5 è ø è ø è ø è ø 1,0 điểm Đk : n ³ 5, n Ỵ N Ta có (n - 2)! An 3 - 2 = 20(n - 2) Û = 20(n - 2) Û (n - 3)(n - 4) = 20 (n - 5)! é n = 8 Û n 2 - n - = Û ê Þ n = 8 (thỏa mãn) ë n = -1 8 0.25 0.25 0.25 0,25 0.25 0.25 k 8 8 - k ỉ 1 ư 1ư ỉ Với n = 8 ta có : ç x + ÷ = å C8k ( x ) ỗ ữ = ồC8k x24- 4k x ứ k =0 è èxø k = 0 Số hạng không chứa x ứng với 24 - 4k = Û k = 6 . Vậy số hạng không phụ thuộc x là C8 6 = 28 . Hết Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên( lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl 0.25 0.25 ... + 3) = Û x - y - =0. + D = AD ầ BD ? ?D( ư1 :3) ưngthng DCqua D? ? và song song với AB nên có phương trình : ( x + 1) + ( y - 3) = Û x + y - = 0 Vậy: BC : x - y - = 0; DC : x + y - = 0 ; AD... 3? ? 3? ? 1,0 điểm 3x + y = 0 D? ? A C 4 2 B x + y + 2 = 0 0.25 ưTacú: B = AB ầ BD ị B(1 -3 ) + A ẻ AB ị A(t -t - 2) (t