Đề KTCL ôn thi ĐH môn Toán - THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 3 (2013-2014) khối D

Các bạn học sinh và quý thầy cô hãy tham khảo đề kiểm tra chất lượng ôn thi ĐH môn Toán - THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 3 (2013-2014) khối D kèm đáp án để hệ thống lại kiến thức đã học cũng như kinh nghiệm ra đề.

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC  ĐỀ KTCL ƠN THI ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 2013­2014  Mơn: TỐN; Khối D  Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề  I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)  x - 2  Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số:  y  = có đồ thị là ( C ).  x - 1  a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  (C )  của hàm số.  b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số  m  để đường thẳng ( d m ) : y = - x + m cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm  A, B  phân biệt sao cho độ dài đoạn thẳng  AB nhỏ nhất.  Câu 2 (1,0 điểm).  Giải phương trình:  (2 tan 2  x - 1) cos x = - cos 2 x   ìï x + x y - y = y + x y + x 2  Câu 3 (1,0 điểm).  Giải hệ phương trình:  í ( x, y Ỵ R).  2  y x = 0  ïỵ  Câu 4 (1,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số  m  để phương trình:  m x 2  + 2  = x + m có hai  nghiệm thực phân biệt.  Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp  S  ABCD  có đáy  ABCD  là hình thang cân với  BC = CD = DA =  a ;  AB = 2 a ; cạnh bên  SA  vng  góc với mặt phẳng  ( ABCD ) ;  SC  tạo với mặt phẳng  ( ABCD )  một góc  bằng  60 0 . Tính thể tích của khối chóp  S. ABCD và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD theo  a   Câu 6 (1,0 điểm).  Cho  x, y, z  là các số thực  dương thoả mãn:  x + y + z 2  = 1  Tìm giá trị lớn nhất của  1  biểu thức:  T = 2 xy + 2 yz + 2 xz +   x + y + z  II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)  A. Theo chương trình Chuẩn  Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ  Oxy , cho hình chữ nhật  ABCD  có  AB = 4 2 ,  điểm  A  có hồnh độ âm. Đường thẳng  AB có phương trình  x + y + = 0 , đường thẳng  BD có phương  trình  x + y = 0 . Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh cịn lại của hình chữ nhật.  Câu 8.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác  ABC  đều. Đường trịn nội tiếp tam  ỉ 3  giác  ABC  có phương trình ( x - 4) + ( y - 2) =5,ngthng BC iqua M ỗ 2 ÷ Tìm toạ độ điểm  A   è 2  ø  n -1 n - 2  Câu  9.a  (1,0  điểm).  Cho  số  nguyên  dương  n  thỏa  mãn  An = Cn + Cn  + 4n + 6 .  Tìm  hệ  số  của  x 16  ( trong khai triển nhị thức Niu­tơn x3  - 2  x n  )  (với  x > 0 ).  B. Theo chương trình Nâng cao  Câu 7.b (1,0 điểm).  Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ  Oxy , cho các điểm  A(4; - 3); B(4;1) và đường  thẳng  (d ) : x + y = 0 . Viết phương trình đường trịn  (C )  đi qua  A  và  B sao cho tiếp tuyến của  ( C ) tại  A  và  B cắt nhau tại một điểm  thuộc  (d ) .  æ Cõu8.b(1,0im).Trongmtphngvihtrcta Oxy ,choelớp ( E) iquaim M ỗỗ ; 2 ÷÷ và  è 2  ø  có độ dài trục lớn bằng   Tìm tọa độ của  điểm  N  thuộc ( E ) sao cho  ON =  5 .  Câu  9.b  (1,0  điểm).  Cho  số  nguyên  dương  n  thỏa  mãn  An 3 - 2  = 20( n - 2) . Tìm  số  hạng  khơng  chứa  x  n  1 ư ổ khaitrinnhthcNiuưtn ỗ x3 + ữ (vi x ạ0). x ø  è ­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­­  Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.  SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC  ĐÁP ÁN KTCL ƠN THI ĐH LẦN 1 NĂM HỌC 2013­2014  Mơn: TỐN; Khối D  (Đáp án có 06 trang)  I. LƯU Ý CHUNG:  ­ Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm  theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.  ­ Điểm tồn bài tính đến 0,25 và khơng làm trịn.  ­ Với bài hình học khơng gian nếu thí sinh khơng vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì khơng cho điểm tương ứng  với phần đó.  II. ĐÁP ÁN:  Câu  Ý  Nội dung trình bày  Điểm  1  a  1,0 điểm  +  TXĐ: D =  R \ {1 }  0,25 +Sbinthiờn: Tacú: y = > 0,"x ẻ D. 2  ( x - 1)  + Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  (-¥ ;1) và  (1; +¥ )   + Hàm số khơng có cực trị  + Giới hạn, tiệm cận.  0,25  lim y = +¥;lim y = -¥ Þ  đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng:  x = 1 .  x ®1- x ®1 + lim y = 1; lim y = 1 Þ  đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng  y = 1  ;  x ®+¥ x ®-¥ + Bảng Biến thiên  +  +  0,25  + Đồ thị hàm số cắt trục  Ox  tại điểm  (2; 0) , trục  Oy  tại điểm  (0; 2)  y  f(x)=(x­2 )/(x ­1 )  f(x)=1  7  x (t )=1  , y (t )=t  6  5  4  3  0,25  2  1  x  ­3  ­2  ­1  1  2  3  4  5  ­1  ­2  ­3  ­4  ­5  b  1,0 điểm  ­ Phương trình hồnh độ giao điểm của  ( d m )  và  (C )  là:  x 2  - mx + m - = 0  (1) ( x ¹ 1 ).  ì D = m 2  - 4m + > 0  Vì  í với  " m nên (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 với  " m   î 1 - m + m - = -1 ¹ 0  0,25  0,25  Suy ra  ( d m ) cắt  (C )  tại hai điểm phân biệt với  " m   Gọi các giao điểm của (d m )  và  (C )  là:  A( xA ; yB ); B( xB ; y B ) với  x A ; x B  là các nghiệm  của  phương trình (1)  Theo Viet có:  x A + x B = m; x A x B  = m - 2 .  0,25 2  2 2  Ta có AB2 = 2( xA - xB )2  = 2[(xA + xB ) - 4xA.xB ù = 2[ m - 4(m - 2)ù = 2[ (m - 2) + 4ù ³ 8  û û û  Vậy  AB nhỏ nhất bằng  2 đạt được khi  m = 2 .  1,0 điểm  p Điều kiện:  cos x ¹ Û x ¹ + kp ( k Ỵ Z )  2  ỉ 2  Ta có: (2 tan x - 1) cos x = - cos x ỗ - ữ cos x = - ( cos 2  x - 1 )  2  è cos  x ø  2  Û cos x - 3cos x - 3cos x + = 0  é êt  = -1  ê Đặt t = cos x; t 0, t ẻ [ -11] tac: 2t - 3t 2  - 3t + = Û ê t  = 2  ê 1  êt = ë  2  Với  t = -1 Þ cos x = -1 Û x = (2k + 1)p ; k Ỵ Z (thoả mãn).  Với  t = 2  (loại)  1  p Với  t = Þ cos x = Û x = ± + k 2p ; k ΠZ (thoả mãn)  2 3  Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:  (2k + 1) p ;  ± 3  p 3  + k 2 p ( k Ỵ Z )  1,0 điểm ìï x + x y - y = y + x y + x 2  (1 ) 5  Đk:  x £    í 2  2  y x = 2  ( )  ïỵ  Phương trình  (1) Û ( x - - y )( x + y 2 ) = 0  é x = y  = 0  Û ê 2  ë x = y + 1  Trường hợp  x = y = 0  thế vào (2) không thoả mãn.  0,25  0,25  0,25  0,25  0,25  0.25  0.25  Trường hợp  x 2  = y + 1  thế vào phương trình (2): y 3  - - y - = 0 ( 3 )  3 ù æ Xét hàm  f (t ) = 2t 3  - - 2t - t ẻ ỗ -Ơ ỳ 2ỷ ố 1  3 ư ỉ f ¢(t ) = 6 t 2  + ;  f Â(t ) > "t ẻ ỗ -Ơ ữ 2 ø  - 2 t è 3ù æ Vậy hàm số  f (t )  đồng biến trên  ç -¥;  ú ; mà  f (1) = 0  û  è Suy ra phương trình (3) có nghiệm duy nhất  y = 1  0.25  Với  y = Þ x 2  = Û x = ±  2  (thỏa mãn điều kiện)  4  0.25  Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  ( 2;1); ( -  2;1)   1,0 điểm  ­ Tập xác định:  D = R ­ Ta có: m x + = x + m    (1) Û m )  ( x 2  + - = x Û m = - x 2  + 2  ­ Ta có: f '( x) = x +2 ( 2  2  )  x + - 1  x  = f ( x )  x + - 1  0.25  2  ,  "x Ỵ R 0.25 é x  = - 2  = Û - x 2  + = 0 Û ê êë x = 2  x 2  + - 1  - x 2  + 2  f '( x ) = Û x2 + ( 2  )  lim f ( x ) = - 1  ;  lim f ( x ) =1 xđ-Ơ xđ+Ơ ưBngbinthiờn: x ­¥ 2  _  f'(x)  0  +¥ 2  +  0  _  0.25  f(x)  2  ­1  ­  ( 1  2  ) ( )  ­ Từ bảng biến thiên ta được m Ỵ - 2; -1 È  1; 2  thỏa mãn.  5  0.25  1,0 điểm  ­ Vì  BC = CD = DA = a ;  AB = 2 a nên  AB  là đáy lớn;  C D  là đáy nhỏ của hình thang  ABCD  Gọi  O  là trung điểm của  AB   ­ Ta có  các tứ giác  AOC D ;  OBC D  là các hình thoi và các tam giác  AO D ;  O DC ;  OCB  là các tam giác đều  cạnh  a Þ  O  là tâm đường trịn ngoại tiếp  ABC D .  a 3a 2  3  ­ Ta có:  S ABCD = 3S AOD  = 3.  (đvdt).  =  4  ­ Trong hình thoi  AOC D , ta có:  AC = a 3  ·  = 60 0  Þ  SA = AC.tan 600  = a 3 = 3a  ­ Trong tam giác vng  SAC  có góc  SCA 1 3a 3a 3  3  Þ  VS  ABCD = SA.S ABCD  = 3a.  =  (đvtt)  3 4  ­ Gọi  I  là trung điểm của  SB Þ  IO//SA  Þ  đường thẳng  I O  là trục của đường tròn  ngoại tiếp đa giác đáy nên  IA = IB = IC = ID .  ­ Mặt khác tam giác  SAB  vng tại đỉnh  A Þ  IA = IB = IS  Þ  IS = IA = IB = IC = ID  hay  I  là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  S  ABCD   ­ Bán kính của mặt cầu đó là:  SA2 + AB 9a + 4a 2  a  13  = =    2 2  13a 2  ­ Diện tích của mặt cầu đó là:  4p R = 4p = 13 p a 2  (đvdt)  4  1,0 điểm  ­ Đặt  x +  y + z  = t ; t > 0  R = IA = IB = IS = 6  SB = ­ Ta có: xy +  yz + zx  = ( x + y + z )2 - (x 2  + y 2  + z 2 )  = 2  2  2  t 2  - 1  Þ t  > 1  2  2  0.25  0.25  0.25  0.25 Lại có: ( x -  y ) + ( y - z ) + ( z - x )  ³ 0  nên ( x +  y + z ) £ 3 (x  + y  + z  )  0.25  2  2  2  Þ t 2 £ 3 Þ t £ 3 .  ­ Khi đó:  T  = t 2 - 1 + 1  với t Ỵ  1;  3  t  ]  ( ­ Xét hàm  f ( t ) = t 2 - 1 + 1  với t Ỵ  1;  3  ;  t  ]  ( 0.25  ]  ( ]  ( 1  f ¢ ( t ) = 2 t  - fÂ(t)> 0"tẻ t Tacúbngbinthiờncahmstrờn 3  1  t  3  f'(t)  +  0.25  1  2 +  3  f(t)  1  ­ Từ bảng biến thiên suy ra  T £ 2 +  Vậy  T  lớn nhất  ( 2 +  7.a  1  3  , dấu “ = ” xảy ra khi  x =  y = z  = 3  0.25  1  )  đạt được khi  x =  y = z  =   3  3  1,0 điểm  3x + y = 0  D  A  C  4  2  B  x + y + 2 = 0  0.25  ­ Ta có:  B = AB ầ BD ị B(1 -3) + A ẻ AB ị A(t ; -t - 2); (t  0 )  a b 2  Vì độ dài trục lớn bằng 6 nên  2a = Û a = 3 .  Giả sử phương trình của  ( E )  là:  Vì M ( 9.b  0.25  18 2  x y 2  ; ) Î ( E ) Þ + 2  = Û b 2  = 4  Þ ( E ) : + = 1 .  4 a b 4  ì 5  ì x + y 2  = 5  ìï x 2  = ï x = ± ï ï ï 5  +) Giả sử N ( x; y ) , ta có hệ phương trình:  í x y 2  Ûí Ûí = 1  ï y 2  = 16  ï 5  ï + y=± 4  î9 ïî ï 5  5  î  æ 5 ư ỉ 5 ư ỉ 5ử ổ 5ử Vycú4im: N ỗ N ç ;  N ç ;  N ç   ;  ;  ữ ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ç ÷ ç ; - 5  ÷÷ 5  5  5  è ø  è ø  è ø  è ø  1,0 điểm  Đk : n ³ 5, n Ỵ N  Ta có  (n - 2)!  An 3 - 2  = 20(n - 2)  Û = 20(n - 2) Û (n - 3)(n - 4) = 20  (n - 5)!  é n = 8  Û n 2  - n - = Û ê Þ n = 8  (thỏa mãn)  ë n = -1  8  0.25  0.25  0.25  0,25  0.25  0.25  k  8  8 - k  ỉ 1 ư 1ư ỉ Với  n = 8  ta có : ç x + ÷ = å C8k ( x ) ỗ ữ = ồC8k x24- 4k x ứ k =0 è èxø k = 0  Số hạng không chứa  x  ứng với  24 - 4k = Û k = 6 .  Vậy số hạng không phụ thuộc  x  là  C8 6  = 28 .  ­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­  Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên( lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl 0.25  0.25  ... + 3) = Û x - y - =0. + D = AD ầ BD ? ?D( ư1 :3) ưngthng DCqua D? ? và song song với  AB  nên có phương trình :  ( x + 1) + ( y - 3) = Û x + y - = 0  Vậy:  BC : x - y - = 0;  DC : x + y - = 0 ;  AD...   3? ? 3? ? 1,0 điểm  3x + y = 0  D? ? A  C  4  2  B  x + y + 2 = 0  0.25 ưTacú: B = AB ầ BD ị B(1 -3 ) + A ẻ AB ị A(t -t - 2) (t