TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 20142015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phú t, không kể thời gian phát đề. Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số = - + 3 2 3 2 y x x có đồ thị ( ) C a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( ) C b) Tìm các giá trị của m để phương trình - = + 3 2 1 3 1 2 2 2 x x m có ba nghiệm phân biệt Câu 2 (1,0 điểm). a) Cho tan 2 a = - và 2 p a p < < . Tính 2sin 3cos 5cos 7sin a a a a + - : b) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn điều kiện : ( ) ( ) 2 5 3 1z i z i z + - = + + Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình : ( ) ( ) 2 3 3 2log 1 5log 1 2 0x x - - - + = Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân ( ) 3 2 0 2cos .I x x x dx p = + ò . Câu 5 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình : 20 5 4 96 4 13 13 10 x y xy x y ì + - = ï í + + + = ï î Câu 6 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ( ) 3 2 1 : 2 1 1 x y z d - + + = = - và mặt phẳng ( ) : 2 0P x y z + + + = . Hãy viết phương trình đường thẳng ( ) D đi qua ( ) 3; 0; 3M - ,cắt đường thẳng ( ) d và mặt phẳng ( ) P lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm .AB Câu 7 (1,0 điểm). Cho lăng trụ tam giác .ABC A B C ¢ ¢ ¢ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và , 2AB a BC a = = . Biết hình chiếu của B ¢ lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và góc giữa đường thẳng CC ¢ và mặt phẳng ( ) A B C ¢ ¢ ¢ là 0 60 . Tính thể tích khối lăng trụ và góc giữa đường thẳng HB ¢ và mặt phẳng ( ) ABB ¢ theo a . Câu 8 (1,0 điểm ). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc ( ) Oxy , cho tam giác ABC. Đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là 3 5 8 0, 4 0x y x y + - = - - = . Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm ( ) 4; 2D - . Lập phương trình các đường thẳng AB, AC; biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3. Câu 9 (0,5 điểm). Cho một đa giác đều 8 cạnh . Chọn ngẫu nhiên một đường chéo của đa giác. Tìm xác suất để chọn được một đường chéo có độ dài nhỏ nhất ? Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn 3a b c + + = . Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b c a b c + + ³ + + Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh:……………… DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đi Hc - THPT Quc Gia - Tài Liu Ôn Thi.Cp nht mi ngày! Tham gia ngay! Group FB: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan www.DeThiThu.Net www.DeThiThu.Net www.DeThiThu.Net TRƯỜNG THPTCHUYÊN VĨNH PHÚC H Ư Ớ N G DẪN CHẤM ĐỀTHI T H P T Q U Ố C GIA NĂM HỌC20142015 Môn:T O Á N (Gồm6 trang) C â u Đáp á n Điểm a) 1 , 0 Tậpx á c định:D = ¡ . V ớ i m=1ta c ó = - + 3 2 3 2 y x x Tac ó 2 3 6y'x x. = - ; 0 0 2 x y' x = é = Û ê = ë 0 , 2 5 H à m số đồngbiếntrên các k h o ả n g ( ;0) -¥ v à (2;) + ¥ ;nghịchbiếntrên khoảng (0;2). Cực trị:H à m số đạtc ự c đạitạix = 0,y CĐ = 2;đạtc ự c tiểu tạix = 2,y CT =2. Giớih ạ n : lim , l i m x x y y ®+¥ ®-¥ = +¥ = -¥ 0 , 2 5 B ả n g biếnthiên: x - ¥ 0 2 + ¥ y' + 0 0 + y 2 +¥ -¥ 2 0 , 2 5 1 .(2,0đ) Đồ thị: f(x)=(x^3)3*(x)^2+2 8 6 4 2 2 4 6 8 5 5 x y 0 , 2 5 b) 1 , 0 Phươngtrình ( ) - = + Û - + = + 3 2 3 2 1 3 1 3 2 2 3 * 2 2 2 x x m x x m 0 , 2 5 Phương trình ( ) * chính là phươngtrình h o à n h độgiaođiểmc h u n g g i ữ a h a i đường ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2, 2 3 , y x x C y m d d Ox ì = - + ï í = + ï î số g i a o điểmg i ữ a ( ) d v à ( ) C chínhl à số n g h i ệ m pt ( ) * 0 , 2 5 DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đi Hc - THPT Quc Gia - Tài Liu Ôn Thi.Cp nht mi ngày! Tham gia ngay! Group FB: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan Nhỡn vo th ta thy phng trỡnh ( ) * cú ba nghim phõn bit 5 1 2 2 3 2 2 2 m m - < + < - < < - 0,25 Vy phng trỡnh - = + 3 2 1 3 1 2 2 2 x x m cú ba nghim phõn bit 5 1 2 2 m - < < - 0,25 a) 0,5 sin 2 3 2sin 3cos 2tan 3 cos sin 5cos 7sin 7 tan 5 5 7 cos A A a a a a a a a a a a ì + + + = = = - - + - ì 0,25 2.(1,0) Thay tan 2a = - ( ) ( ) 2. 2 3 1 7. 2 5 19 A - + ị = = - - - + 0,25 b) 0,5 t ( ) 2 , , , 1z x yi x y i z x yi = + ẻ = - ị = - Ă . Thay vo ng thc ta c ( ) ( )( ) ( ) 3 4 1 3 4 1 1 3 4 4 3z i z x yi i x yi x yi x y x y i = + + - = + + + - - = - + + 0,25 1 1 3 4 1 1 1 6 2 4 3 1 6 6 6 6 x x x y z i z y x y y ỡ = - - = - ỡ ùùù ị = - + ị = ớ ớ - = + ợ ù = ù ợ 0,25 0,5 3 .(0,5 ) .iu kin : 1 0 1x x - > > t ( ) 3 log 1t x = - . Pt ó cho tr thnh : 2 1 2 5 2 0 2 2 t t t t - + = ị = = 0,25 ã ( ) 3 2 log 1 2 1 9 10t x x x = ị - = - = = ã ( ) 1 2 3 1 1 log 1 1 3 1 3 2 2 t x x x = ị - = - = = + Pt cú hai nghim 10 , 1 3x x = = + 0,25 1,0 ( ) ( ) 3 3 3 2 2 1 2 0 0 0 2cos 1 cos 2I x x xd x x dx x xdx I I p p p = + = + + = + ũ ũ ũ 0,25 4 .(1,0 ) 33 3 2 3 1 0 0 1 3 81 I x dx x p p p = = = ũ 0,25 ( ) 3 2 0 1 cos 2I x xdx p = + ũ . t ( ) 1 1 cos 2 sin 2 2 du dx u x dv x dx v x x = ỡ = ỡ ù ù ị ớ ớ = + = + ù ợ ù ợ 2 2 3 3 3 2 0 0 0 1 1 3 1 sin 2 sin 2 cos 2 2 2 9 12 2 4 x I x x x x x dx x p p p p p ổ ử ổ ử ổ ử = + - + = + - - = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ ũ 2 3 1 18 12 8 p p + - 0,25 Vy: 3 2 3 1 81 18 12 8 I p p p = + + - 0,25 DeThiThu.Net - Thi Th i Hc - THPT Quc Gia - Ti Liu ễn Thi.Cp nht mi ngy! Tham gia ngay! Group FB: ễN THI H TON - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan www.DeThiThu.Net www.DeThiThu.Net 1,0 Gii h phng trỡnh : ( ) ( ) 20 5 4 96 1 4 13 13 10 2 x y xy x y ỡ + - = ù ớ + + + = ù ợ iu kin 4 13 0 13 0 0 4 . 0(*) x y xy x y + ỡ ù + ớ ù ị ợ Khi h cú nghim ( ) x y t ( ) ( ) ( ) ( ) * 4 0 1 5 4 2 4 . 96 0 0 x x y x y y ỡ ị + = + > ắắđ ớ ợ 0,25 5 .(1,0 ) T phng trỡnh ( ) 1 theo bt ng thc AMGM ta cú ( ) ( ) 5 4 2 4 . 96 4 96 4 24 (3)x y x y x y x y + = + Ê + + ị + Ê 0,25 T phng trỡnh ( ) 2 theo bt ng thc Cauchy Schwarz ta cú ( ) ( ) 10 4 13 13 2 4 26 4 24 4x y x y x y = + + + Ê + + + 0,25 ( ) ( ) 4 3 3 & 4 4 24 4 24 12 x y x x y x y y = = ỡ ỡ ị + = ớ ớ + = = ợ ợ Th li nghim ta tm h p trỡnh. Vy hpt cú mt nghim duy nht ( ) ( ) 312x y = 0,25 1,0 Gi im ( ) ( ) 3 2 2 1A t t t d + - + - - ẻ v im B i xng vi A qua ( ) 3 0 3M - ( ) 3 2 2 5B t t t ị - - - + 0,25 6 .(1,0 ) Do ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 5 2 0 1B P t t t t ẻ ị - + - + - + + = ị = 0,25 ( ) 5 1 2A ị - - v ( ) 11 4B - ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 30 3 : : 1 2 11 3 2 x t qua M y t vtcp u BA z t = + ỡ - ỡ ù ù ị D ị D = - ớ ớ = = - ù ù = - + ợ ợ uuur r 0,25 Vy pt ng thng ( ) 3 2 : 3 x t y t z t = + ỡ ù D = - ớ ù = - + ợ 0,25 1,0 Gi H l trung im ca ( ) ( ) ,BC B H ABC gt  ị ^ ( ) ( ) ( ) ( ) ã 0 60 , ,CC A B C BB ABC B BH       = = = 0,25 7 .(1,0 ) 0 tan 60 3B H BH a  = = v 2 2 3AC BC AB a = - = ị 2 1 3 . 2 2 ABC a S AB AC = = Suy ra 2 3 . 3 3 . 3 2 2 ABC A B C ABC a V BH S a a    = = ì = ì (vtt) 0,25 Gi M l trung im ( ) ( ) ( ) AB AB B HM ABB B HM    ị ^ ị ^ . Do ú ( ) ( ) ( ) ã , ,B H ABB B H B M MB H      = = 0,25 Ta cú ã ã 1 1 tan tan 2 2 MH MB H MB H arc B H   = = ị =  . Vy ( ) ( ) 1 , arctan 2 B H  ABB  = 0,25 1,0 DeThiThu.Net - Thi Th i Hc - THPT Quc Gia - Ti Liu ễn Thi.Cp nht mi ngy! Tham gia ngay! Group FB: ễN THI H TON - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan www.DeThiThu.Net MK H D C B A Gi M l trung im ca BC, H l trc tõm tam giỏc ABC, K l giao im ca BC v AD. Ta kớ hiu , d d n u uur uur ln lt l vtpt, vtcp ca ng thng d. Do M l giao im ca AM v BC nờn ta ca M l nghim ca h phng trỡnh: 7 4 0 7 1 2 3 5 8 0 1 2 2 2 x x y M x y y ỡ = ùùù - - = ỡ ổ ử ị - ớ ớ ỗ ữ + - = ố ứ ợ ù = - ù ợ AD vuụng gúc vi BC nờn ( ) 11 AD BC n u = = uuur uuur , kt hp AD i qua im D suy ra phng trỡnh ca ( ) ( ) :1 4 1 2 0 2 0AD x y x y - + + = + - = . Ta im K l nghim ca h phng trỡnh: ( ) 4 0 3 3 1 2 0 1 x y x K x y y - - = = ỡ ỡ ị - ớ ớ + - = = - ợ ợ 0,25 8 .(1,0 ) Ta chng minh c K l trung im ca HD nờn ( ) 24H . 0,25 Do A l giao im ca AD v AM nờn ta ụ im A l nghim ca h phng trỡnh ( ) 3 5 8 0 1 11 2 0 1 x y x A x y y + - = = ỡ ỡ ị ớ ớ + - = = ợ ợ Do B thuc BC ( ) 4B t t ị - , kt hp vi M l trung im BC suy ra ( ) 7 3C t t - - . Do H l trc tõm ca tam giỏc ABC nờn ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 . 0 2 6 8 2 0 2 14 2 0 7 t BH BC t t t t t t t = ộ = - - + - - = - - = ờ = ở uuur uuur 0,25 Do ( ) ( ) 3 2 2 2 , 51t t B C Ê ị = ị - . Ta cú ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 , 4 0 31 , 01 AB AC AB AC n n = - = ị = = uuur uuur uuur uuur Do ú ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 , 40 31 , 01 AB AC AB AC n n = - = ị = = uuur uuur uuur uuur . Do ú :3 4 0 : 1 0.AB x y AC y + - = - = 0,25 0,5 9 .(0,5 ) S cỏch chn 2 nh trong 8 nh ca a giỏc l 2 8 C ị s ng chộo ca a giỏc l 2 C 8 8 20- = 20 ị W = 0,25 Gi A l bin c chn c mt ng chộo cú di nh nht. Ta thy s cỏc ng chộo ca a giỏc u 8 nh cú di nh nht l s cỏc cnh ca hỡnh vuụng cú 4 nh l cỏc nh ca a giỏc ang xột, cú hai hỡnh vuụng nh vy 8A ị = . .Vy xỏc xut c mt ng chộo cú di nh nht l 0,25 DeThiThu.Net - Thi Th i Hc - THPT Quc Gia - Ti Liu ễn Thi.Cp nht mi ngy! www.DeThiThu.Net ( ) 8 2 0,4 20 5 A P A = = = = W 1,0 đpcmÛ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 9 2 9 *ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca + + + + + ³ Û + + + + + ³ . ( Do 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c ab bc ca + + ³ + + dấu bằng khi a b c = = ) 0,25 10.(1,0đ) Áp dụng bất đẳng thức AMGM ta được ( ) ( ) ( ) ( ) * 1 1 1 3 2VT ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca abc = + + + + + = + + + + + + 0,25 ( ) 2 3 3 3 ab bc ca abc ³ + + × ( ) ( ) * 3 3 3 3 3 3 3.3.3 9abc a b c VP abc ³ + + × = = = . Dấu bằng xẩy ra khi 1a b c = = = 0,25 Vậy với các số dương , ,a b c thỏa mãn 3a b c + + = . Thì 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b c a b c + + ³ + + dấu đẳng thức 1a b c Û = = = 0,25 Lưu ý khi chấm bài: Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Kh i chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sa i đó không được điểm. Học sinh đư ợc sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. Trong lời giải câu 7 nếu học sin h không vẽ hình thì không cho điểm. Điểm toàn bài tính đến 0,2 5 và không làm tròn. DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đi Hc - THPT Quc Gia - Tài Liu Ôn Thi.Cp nht mi ngày! Tham gia ngay! Group FB: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan Truy cp http://dethithu.net mi ngày đ ti các đ thi th THPT Quc Gia ( Đi Hc ) các môn TOÁN – ANH – VĂN – LÝ – HÓA – SINH mi nht,nhanh nht t các trưng THPT và trung tâm luyn thi đi hc trong nưc.Chúng tôi luôn cp nht đ thi th mi ngày vy nên các bn yên,luôn có các đ thi th mi nht đ các bn tham kho. Ngoài ra http://dethithu.net còn đăng ti các tài liu phc v sĩ t Ôn thi đi hc vi các chuyên đ trong tâm. www.DeThiThu.Net . TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 20 14 20 15 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phú t, không kể thời gian phát đề. Câu 1 (2, 0 điểm). Cho hàm số = - + 3 2 3. Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan www.DeThiThu.Net www.DeThiThu.Net www.DeThiThu.Net TRƯỜNG THPTCHUYÊN VĨNH PHÚC H Ư Ớ N G DẪN CHẤM Đ THI T H P T Q U Ố C GIA NĂM HỌC2014 20 15 Môn: T O Á N (Gồm6 trang) C â u Đáp á n Điểm a) 1 , 0 Tậpx. ) 3 2 0 1 cos 2I x xdx p = + ũ . t ( ) 1 1 cos 2 sin 2 2 du dx u x dv x dx v x x = ỡ = ỡ ù ù ị ớ ớ = + = + ù ợ ù ợ 2 2 3 3 3 2 0 0 0 1 1 3 1 sin 2 sin 2 cos 2 2 2 9 12 2 4 x I x