Đề KTCL ôn thi ĐH môn Toán - THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 1 (2013-2014)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: TỐN; Khối A, A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  x  m x  m  (1) (m tham số) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m  b) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho bốn điểm O, A, B, C bốn đỉnh hình thoi (với O gốc tọa độ) Câu (1,0 điểm) Giải phương trình:  cot x  4sin x  cos x  x  1 x   y  1  y  Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:  2 4 x  y  y   x  Câu (1,0 điểm) Xác định tất giá trị m để phương trình x   m   x    m  1 x3  x có nghiệm Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh 2a Mặt bên SAB tam giác đều, SI vng góc với mặt phẳng  SCD  với I trung điểm AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SO AB Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a  b  c b  c  a  c  a  b  a  b  c  2ab a  b  c  2bc a  b  c  2ca II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x  y   hai đường 2 2  2 2 tròn  C1  :  x  1   y  1  1;  2 2  C2  : x  3   y    Tìm điểm M đường thẳng d để từ M kẻ tiếp tuyến MA đến đường tròn  C1  tiếp tuyến MB đến đường tròn  C2  (với A, B tiếp điểm) cho tam giác AMB cân M Câu 8a (1,0 điểm) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác số có chữ số chẵn chữ số lẻ 1 Câu 9a (1,0 điểm) Giải phương trình: log ( x  3)  log ( x  1)8  log x B Theo chương trình Nâng cao Câu 7b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d1 : x  y   đường thẳng d : x  y   cắt I Viết phương trình đường thẳng d qua O cắt d1 , d A, B cho 2IA  IB e x  cos x cos x Câu 8b (1,0 điểm) Tính giới hạn: lim x 0 x2 n Câu 9b (1,0 điểm) Cho khai triển 1  x  x3   a0  a1 x  a2 x   a3 n x 3n Xác định hệ số a6 biết 15 a a a 1 a0   22   33nn    2 2 -Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh:……………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐÁP ÁN KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: TỐN; Khối A, A1 I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Với Câu thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm tròn II ĐÁP ÁN: Câu Ý NỘI DUNG ĐIỂM 2,0 điểm a Với m  hàm số có dạng y  x  x  TXĐ: D   Giới hạn: lim y  ; lim y   x  0,25 x  x  Chiều biến thiên: y '  x3  x ; y '     x  1 BBT x 1  y’ + 0    y 1  + 0,25  Hàm số đồng biến khoảng  1;0  1;    Hàm số nghịch biến khoảng  ;  1  0;1 0,25 Điểm cực đại  0;3 , cực tiểu 1;1 ,  1;1 Điểm uốn: y ''  24 x  8; y ''   x    17  Điểm uốn U   ;    Đồ thị: Giao với Oy  0;3 , đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng 0,25 b TXĐ:  x  y '  x  2m x ; y '    m (*) x   Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị  (*) có hai nghiệm phân biệt khác  m   m m   m m4  ;  m  1 , C  ;  m  1 Tọa độ điểm cực trị A  0; m  1 , B    2  Dễ thấy A  Oy B, C đối xứng qua OA O khác A m  1 0,25 0,25 0,25  m   m  1 Tọa độ trung điểm BC I  0;   Vậy điểm O, A, B, C đỉnh hình thoi I trung điểm OA suy m m2   m2    m  4m    m   ( thỏa mãn) 1,0 điểm k cos x  Đk: x  k   sin x   0,25 0,25 Pt   cos x  sin x  sin x   cos x   cos x  sin x  1 sin x  1  sin x  1    sin  x    4   +) sin x  1  x   0,25   k 0,25  x  k (l )   +) sin  x      4  x   k   Vậy phương trình có nghiệm x    0,25 k k   1,0 điểm  y  Đk:  x    x  1 x   y  1  y  (1)  2 4 x  y  y   x  (2) (1)   x  1 x   y  1  y    x   x   1 y 0,25   1 y 0,25 Xét hàm số f (t )  t  t  , f '(t )  3t   0t   (1) có dạng f  x   f   1 y  2x   y  x  Thay vào phương trình (2) ta 16 x  24 x   x     x  1 x    0,25 16  x  1 0  4x 1 16     x  1  x  1  x       x   x   x  1  0,25 1  Với x   y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;  2  1,0 điểm Điều kiện x  Xét x = thay vào phương trình khơng thỏa mãn Với x  viết lại phương trình:  x    1  m  x  x     m   x  0,25 x2  x2    1  m   m   1 x x x2   Từ phương trình (1) ta có: t  1  m  t  m     Đặt t  x t2  t  m  g t  t 1 t2  t  Xét hàm số g  t   với t  t 1 0,25 0,25 g ' t    t  1(l ) ; g ' t     t   t  1 BBT t g’(t)   +  g(t) Để (1) có nghiệm x  (2) có nghiệm t  Từ BBT g(t) cần có m  1,0 điểm 0,25 S K D A E O H C I B F Goi E trung điểm CD, suy AB  IE Lại có AB  SI  AB   SEI  ,  ABCD   (SIE ) Trong tam giác SEI kẻ đường cao SH  SH   ABCD  SI  a 3; IE  2a  SE  a (do tam giác SEI vuông S)  SH  a 2a 3 Vậy VS ABCD  SH S ABCD  (đvtt) 3 a a Vì EH  SE  SH   OH  EH   OI Qua O kẻ OF / / BC ( F  BC ) 2  d  SO, AB   d  AB,  SOF    d  I ,  SOF    2d  H ,  SOF   Kẻ HK vng góc với SO K  HK   SOF   d  SO, AB   HK  a 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 điểm Không tổng quát, giả sử: a  b  c  Đặt a  b  c a  b  c  2ab  a  b  c  P6  2 b  c  a  b  c  a  2bc 2  c  a  b a  b  c  2ac b  c  a  2 2 2 a  b  c  2ab b  c  a  2bc 6 P 1     2 2  a  b   c b  c   a  a  c   b2 a  b  c  P c  a  b 0,25 2 a  b  c  2ac 1 2    c  1   c  1  2c  1   c  3  c 25 2 3 6 P 1  P    2 2 2  a  b   c b  c   a  a  c   b Dấu “=” xảy a  b  c 2 0,25 0,25 0,25 7.a 1,0 điểm  C1  có tâm I 1;1 , bán kính R1  ;  C2  có tâm J  3;  , bán kính R2  Do IJ   R1  R2   C1  ,  C2  rời nên A B phân biệt M  t; t    d  MA2  MI  R12  2t  4t  ; MB  MJ  R22  2t  6t  Tam giác AMB cân M  MA2  MB  t  Vậy M  2;6  8.a 0,25 0,25 0,25 1,0 điểm Số cách chọn số tự nhiên chẵn số cho (có số 0) C42  Số cách chọn số lẻ số cho C43  Số số có chữ số phân biệt gồm số chẵn số lẻ lấy từ tập cho (có số đứng đầu) C42 C43 5!  2880 Số số có chữ số phân biệt mà số đứng đầu gồm số chẵn số lẻ lấy từ tập cho C31.C43 4!  288 Vậy số số thỏa mãn yêu cầu toán là: 2880  288  2592 số 9.a 0,25 0,5 0,5 1,0 điểm ĐK:  x0 x 1 0,25 (1)  log  x  3 x    log x  ( x  3) x   x (2) x  1 - Nếu x  ; (2)  ( x  3)( x  1)  x    x3 x  - Nếu  x  ; (2)  ( x  3)(1  x)  x  x  3   x  3  7.b 0,25 0,25 Vậy phương trình có nghiệm x  3; x  3  1,0 điểm  Ta có d1  d Tam giác IAB vng I có 2IA  IB nên cos IAB 0,25 hay d tạo với d1 góc  với cos     d1 có véc tơ pháp tuyến n1 (1; 2) , gọi n(a; b) véc tơ pháp tuyến d   n1.n a  2b 1 cos         2 5 n1 n a b 8.b 0,25 0,25 b   3b  4ab     4a  3b 0,25 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu toán là: x  x  y  0,25 1,0 điểm 2 e x  cos x.cos x ex 1  cos x.cos x  cos 3x.cos x lim  lim  lim   lim 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x2  cos x   cos x sin 2 x  sin x  cos x.cos x lim  lim  lim x0 x 0 x 0 x2 2x2 x2  lim x0 sin 2 x sin x sin 2 x  lim   lim x0 x0 x2 x2 x2 0,25 0,25 0,25 sin 2 x e x  cos x.cos x lim 6   lim  Vậy x 0 x 0 x2 x2 0,25 9.b 1,0 điểm 3n Cho x  15 a a a 1 1     a0   22   33nn     8n  215  n  2 2  2 0,25 Ta có x 5 k k k 0 i 0   x    C5k x153k 1  x    C5k x153k  Cki  2 x  k 0 k i 0,25 i   C5k Cki  2  x153k  i   i  k   k  i 0 15  3k  i   3k  i  Ta có bảng sau k i 0,25  k  3, i  k  4, i  3 Vậy a6  C53 C30  2   C54 C43  2   150 -Hết - 0,25 ...SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐÁP ÁN KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2 01 3-2 014 Mơn: TỐN; Khối A, A1 I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải... 0t   (1) có dạng f  x   f   1? ?? y  2x   y  x  Thay vào phương trình (2) ta 16 x  24 x   x     x  1? ?? x    0,25 16  x  1? ?? 0  4x ? ?1 16     x  1? ??  x  1? ??  x ... 0,25 k k   1, 0 điểm  y  Đk:  x    x  1? ?? x   y  1? ??  y  (1)  2 4 x  y  y   x  (2) (1)   x  1? ?? x   y  1? ??  y    x   x   1? ?? y 0,25   1? ?? y 0,25 Xét hàm