Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Bài toán tìm điểm trên đồ thị - Thầy Đặng Việt Hùng

Tài liệu luyện thi ĐH môn Toán 2015 về Bài toán tìm điểm trên đồ thị cung cấp kiến thức lý thuyết, 1 số bài tập ví dụ và bài tập tự luyện. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi Đại học 2015 cũng như các kỳ thi Đại học sau này.

Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 BÀI TỐN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ Thầy Đặng Việt Hùng Kiến thức bản: 1) Khoảng cách hai điểm A, B: AB = ( x B − x A )2 + ( yB − y A )2 2) Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = : d ( M , d ) = Đặc biệt: ax + by0 + c a2 + b2 + Nếu ∆: x = a d ( M , ∆) = x0 − a + Nếu ∆: y = b d ( M , ∆) = y0 − b + Tổng khoảng cách từ M đến trục toạ độ là: x0 + y0 1 AB AC.sin A = AB2 AC − ( AB AC ) 2  x + x = xI 4) Các điểm A, B đối xứng qua điểm I ⇔ IA + IB = ⇔  A B  y A + yB = yI 3) Diện tích tam giác ABC: S =  5) Các điểm A, B đối xứng qua đường thẳng ∆ ⇔  AB ⊥ ∆ (I trung điểm AB) I ∈ ∆ Đặc biệt: x = x A + A, B đối xứng qua trục Ox ⇔  B  yB = − y A x = x A + A, B đối xứng qua trục Ox ⇔  B y = − yA  B 6) Khoảng cách đường thẳng ∆ với đường cong (C) khoảng cách nhỏ điểm M ∈ ∆ điểm N ∈ (C) 7) Điểm M ( x; y) gọi có toạ độ nguyên x, y số nguyên Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y = − x + x + (C) Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua tâm M(–1; 3) Hướng dẫn giải: Gọi A ( x0 ; y0 ) , B điểm đối xứng với A qua điểm M (−1;3) ⇒ B ( −2 − x0 ;6 − y0 )  y = − x + x + 0 A, B ∈ (C ) ⇔  6 − y0 = −(−2 − x ) + 3(−2 − x0 ) + ⇔ = − x 03 + x0 + − ( −2 − x0 ) + ( −2 − x0 ) + ⇔ x 02 + 12 x0 + = ⇔ x0 = −1 ⇒ y0 = Vậy điểm cần tìm là: (−1; 0) (−1;6) Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số y = − x3 11 + x + 3x − 3 Tìm đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng qua trục tung Hướng dẫn giải:  x2 = − x1 ≠  y1 = y2 Hai điểm M ( x1; y1 ), N ( x2 ; y2 ) ∈ (C ) đối xứng qua Oy ⇔   x2 = − x1 ≠  x =  x = −3 ⇔  x ⇔  x 11 11  x2 = −3  x2 =  − + x1 + x1 − = − + x2 + x − 3  Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  16   16   , N  −3;  3  3  Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) đối xứng qua Oy là: M  3; Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số y = − x + x + (C) Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng d: x − y + = Hướng dẫn giải: Gọi M ( x1; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) thuộc (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng d  x1 + x2 y1 + y2  ;  , ta có I ∈ d   I trung điểm AB nên I  ) ( ( ) − x13 + x1 + + − x23 + x2 + y1 + y2 x +x Ta có = = 2 + 2 2 x + x = ⇒ − ( x1 + x2 ) + x1 x2 ( x1 + x2 ) + ( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) ⇒  12 2  x1 − x1x2 + x2 = Mặt khác: MN ⊥ d ⇒ ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = ) ( ⇒ ( x2 − x1 ) − ( x2 − x1 ) x12 + x1 x2 + x22 = ⇒ x12 + x1 x2 + x22 = 7 ; x2 = ∓ 2   x + x22 =  x1 − x1x2 + x2 =  ⇒ vô nghiệm - Xét  7⇔ x + x x + x =  x x = 2   - Xét x1 + x2 = ⇒ x1 = ±  7  7 ;2 −  ;  − ;2 +   2   2   Vậy điểm cần tìm là:  Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số y = x + x − x + Gọi A, B giao điểm (C) với trục Ox Chứng minh đồ thị (C) tồn hai điểm nhìn đoạn AB góc vng Hướng dẫn giải: PT hồnh độ giao điểm (C) với trục hoành:   3 x = x + x − 3x + = ⇔  3  x = −5 5 3 ⇒ A(−5;0), B(1;0) Gọi M  a; a3 + a2 − 3a +  ∈ (C ), M ≠ A, B   5 3   5 3 ⇒ AM =  a + 5; a3 + a2 − 3a +  , BM =  a − 1; a3 + a2 − 3a +  AM ⊥ BM ⇔ AM BM = ⇔ (a + 5)(a − 1) + (a + 5)2 (a − 1)4 = ⇔ + (a − 1)3 (a + 5) = ⇔ a4 + 2a3 − 12a2 + 14a + = (*) Đặt y = a4 + 2a3 − 12a2 + 14a + = , có tập xác định D = R 2043 y′ = 4a3 + 6a2 − 12a + 14 ; y′ = có nghiệm thực a0 ≈ − ⇒ y0 ≈ − 16 Dựa vào BBT ta suy (*) ln có nghiệm khác –5 Vậy tồn điểm thuộc (C) nhìn đoạn AB góc vng Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hàm số y = x − x + Tìm toạ độ hai điểm P, Q thuộc (C) cho đường thẳng PQ song song với trục hoành khoảng cách từ điểm cực đại (C) đến đường thẳng PQ Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Hướng dẫn giải: Điểm cực đại (C) A(0;1) PT đường thẳng PQ có dạng: y = m (m ≥ 0) Vì d ( A, PQ) = nên m = Khi hồnh độ điểm P, Q nghiệm phương trình: x − x − = ⇔ x = ±2 Vậy: P(−2;9), Q(2;9) P(2;9), Q(−2;9) Ví dụ 6: [ĐVH] Cho hàm số y = x + mx − m − (Cm) Chứng minh m thay đổi (Cm) ln ln qua hai điểm cố định A, B Tìm m để tiếp tuyến A B vng góc với Hướng dẫn giải: Hai điểm cố định A(1; 0), B(–1; 0) Ta có: y′ = x + 2mx Các tiếp tuyến A B vng góc với ⇔ y′ (1).y′ (−1) = −1 ⇔ (4 + 2m)2 = ⇔ m = − ; m = − 2 x+2 2x −1 Ví dụ 7: [ĐVH] Cho hàm số y = Tìm điểm đồ thị (C) cách hai điểm A(2; 0) B(0; 2) Hướng dẫn giải: PT đường trung trực đọan AB: y = x Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hoành độ nghiệm PT: x+2 1− 1+ = x ⇔ x2 − x − = ⇔ x = ;x= 2x −1 2 1− 1−  1+ 1+  Hai điểm cần tìm là:  , , ;   2   2   Ví dụ 8: [ĐVH] Cho hàm số y = 3x − (C) x −2 Tìm điểm thuộc (C) cách tiệm cận Hướng dẫn giải: Gọi M ( x; y) ∈ (C) cách tiệm cận x = y = Ta có: x − = y − ⇔ x − = 3x − x x x = −2 ⇔ x −2 = ⇔ = ±( x − 2) ⇔  x −2 x −2 x −2 x = Vậy có điểm thoả mãn đề : M1( 1; 1) M2(4; 6) Ví dụ 9: [ĐVH] Cho hàm số y = 2x + x +1 (C) Tìm (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ Hướng dẫn giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C), ( x0 ≠ −1 ) y0 = x0 + 1 =2− x0 + x0 + Gọi A, B hình chiếu M TCĐ TCN thì: MA = x0 + , MB = y0 − = Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: MA + MB ≥ MA.MB = x0 + ⇒ MA + MB nhỏ x0 + = x0 + 1 =2 x0 + x = ⇔ x0 +  x0 = −2 Vậy ta có hai điểm cần tìm (0; 1) (–2; 3) Ví dụ 10: [ĐVH] Cho hàm số y = 2x −1 x +1 Tìm tọa độ điểm M ∈ (C) cho khoảng cách từ điểm I(−1; 2) tới tiếp tuyến (C) M lớn Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Hướng dẫn giải:   Giả sử M  x0 ; −  ∈ (C ) PTTT ∆ (C) M là: x0 +   y−2+ 3 = ( x − x0 ) ⇔ 3( x − x0 ) − ( x + 1)2 ( y − 2) − 3( x0 + 1) = x + ( x + 1) Khoảng cách từ I(−1;2) tới tiếp tuyến ∆ là: d = Theo BĐT Cô–si: ( x0 + 1) 3(−1 − x0 ) − 3( x + 1) + ( x + 1) = x0 + + ( x0 + 1)4 = ( x + 1)2 + ( x0 + 1) + ( x0 + 1)2 ≥ = ⇒ d ≤ Khoảng cách d lớn ( x0 + 1) = ( x0 + 1)2 ⇔ ( x0 + 1)2 = ⇔ x = −1 ± Vậy có hai điểm cần tìm là: M ( −1 + ;2 − ) M ( −1 − ;2 + ) Ví dụ 11: [ĐVH] Cho hàm số y = 2x − x +1 Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) N(–1; –1) Hướng dẫn giải: MN = (2; −1) ⇒ Phương trình MN: x + y + = Phương trình đường thẳng (d) ⊥ MN có dạng: y = x + m Phương trình hoành độ giao điểm (C) (d): 2x − = x + m ⇔ x + mx + m + = ( x ≠ −1) x +1 (1) (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B ⇔ ∆ = m − 8m − 32 > (2) Khi A( x1;2 x1 + m), B( x2 ;2 x2 + m) với x1, x2 nghiệm (1)  x1 + x2   m m ; x1 + x2 + m  ≡ I  − ;  (theo định lý Vi-et)    2 A, B đối xứng qua MN ⇔ I ∈ MN ⇔ m = −4  Suy (1) ⇔ x − x = ⇔  x = ⇒ A(0; –4), B(2; 0) x = Trung điểm AB I  Ví dụ 12: [ĐVH] Cho hàm số y = 2x x −1 Tìm đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A với A(2; 0) Hướng dẫn giải: Ta có (C ) : y = + x −1   Gọi B  b;2 +     , C  c;2 +  với b < < c b −1 c −1  Gọi H, K hình chiếu B, C lên trục Ox Ta có: AB = AC; BAC = 900 ⇒ CAK + BAH = 900 = CAK + ACK ⇒ BAH = ACK { và: BHA = CKA = 90 ⇒ ∆ ABH = ∆CAK ⇒ AH = CK C HB = AK  2 − b = + c − b = −1 Hay:  ⇔ c=3 2+ = c−2 b −1  Vậy B(−1;1), C (3;3) { Ví dụ 13: [ĐVH] Cho hàm số y = B H A K x −3 x +1 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tìm hai nhánh đồ thị (C) hai điểm A B cho AB ngắn Hướng dẫn giải: Tập xác định D = R \ { − 1} Tiệm cận đứng x = −1 4 a   4 b   Giả sử A  −1 − a;1 +  , B  −1 + b;1 −  (với a > 0, b > ) điểm thuộc nhánh (C) 1 1   16  16  64 AB = (a + b) + 16  +  = (a + b)2 1 + ≥ 4ab 1 + = 4ab + ≥ 32   2 2 ab a b  a b   a b  2 a = b a = b  ⇔a=b=44 16 ⇔  ab = a =  ab AB nhỏ ⇔ AB = ⇔  Khi đó: A ( −1 − 4;1 + 64 ) , B ( −1 + 4;1 − 64 ) Ví dụ 14: [ĐVH] Cho hàm số y = −x + x −2 Tìm đồ thị (C), điểm A, B cho độ dài đoạn AB đường thẳng AB vng góc với đường thẳng d : y = x Hướng dẫn giải: PT đường thẳng AB có dạng: y = − x + m PT hoành độ giao điểm (C) AB: −x + = − x + m ⇔ g( x ) = x − (m + 3) x + 2m + = (1) ( x ≠ 2) x −2 ∆ > Để có điểm A, B (1) phải có nghiệm phân biệt khác ⇔  g  g(2) ≠  ⇔ (m + 3) − 4(2m + 1) > ⇔ ∀m 4 − (m + 3).2 + 2m + ≠ x + x = m + Ta có:  A B Mặt khác y A = − x A + m; yB = − xB + m  x A x B = m + Do đó: AB = ⇔ ( xB − x A )2 + ( yB − y A )2 = 16 ⇔ m − 2m − = ⇔  m = −1 m =   + Với m = , thay vào (1) ta được: x − x + = ⇔  x = + ⇒ y = − x = − ⇒ y = ⇒ A(3 + 2; − 2), B(3 − 2; 2) A(3 − 2; 2), B(3 + 2; − 2)  + Với m = −1 , thay vào (1) ta được: x − x − = ⇔  x = + ⇒ y = −2 −  x = − ⇒ y = −2 + ⇒ A(1 + 2; −2 − 2); B(1 − 2; −2 + 2) A(1 − 2; −2 + 2); B(1 + 2; −2 − 2) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! ... gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tìm hai nhánh đồ thị (C) hai điểm A B cho AB ngắn... Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Hướng dẫn giải: Điểm cực đại (C) A(0;1) ... 2x −1 Ví dụ 7: [ĐVH] Cho hàm số y = Tìm điểm đồ thị (C) cách hai điểm A(2; 0) B(0; 2) Hướng dẫn giải: PT đường trung trực đọan AB: y = x Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hồnh độ nghiệm PT: