Đề thi thử tuyển sinh Đại học năm 2014 môn Toán (khối B) - Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng

Xin giới thiệu tới các bạn học sinh, sinh viên Đề thi thử tuyển sinh Đại học năm 2014 môn Toán (khối B) của Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng. Đề thi gồm có hai phần thi là phần chung và phần riêng cùng với phần nâng cao với các câu hỏi tự luận có kèm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẦN THƠ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Mơn: TỐN; Khối B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể phát đề ĐỀ THI THỬ I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 - x + x - (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b) Định m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt 3 x + m - - x + = , với m tham số thực Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: sin x + 2cos x + 4(sin x + cos x) = + cos x Ï x3 (3 y + 55) = 64 Ơ Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: Ì Ơ Ĩ xy( y + y + 3) = 12 + 51x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I x yŒ cos x Ú sin x + cos x + dx Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = AC = a, SBA = SCA = 900 , góc cạnh bên SA với mặt phẳng đáy 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng BC, SA Câu (1,0 điểm) Cho phương trình 5x - + ( x + 4) ( ) x + + = m( x + 4) x2 + , với m tham số thực Tìm giá trị m để phương trình có ba nghiệm thực II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần riêng (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có H (1; 1) chân đường cao kẻ từ đỉnh A, M (3; 0) trung điểm cạnh BC BAH = HAM = MAC Tìm tọa độ điểm A, B, C Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;3; 2), B(2;0; - 4), C (0;1;1) Viết phương trình trục đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC z +1 Câu 9.a (1,0 điểm) Tìm số phức z biết z - + 3i = z +i B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A(-1; 1) có tâm đường trịn nội tiếp I (1; 5), đường thẳng vng góc với IA A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC điểm thứ hai D(-7; 4) Tìm tọa độ điểm B Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm x +1 y - z - tạo với đường thẳng = = A(-1; 2; - 3) , song song với đường thẳng (d1 ) : -1 1 x-3 y + z = = góc cho sin j (d ) : Câu 9.b (1,0 điểm) Giải phương trình: log5 ( x + x + 2) + x + = log5 x + 3x - Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……………………………………………………; Số báo danh:…………………… Cảm ơn bạn lovemathltt@yahoo.com.vn đã gửi tới www.laisac.page.tl ĐÁP ÁN KHỐI B Câu Đáp án Câu Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x - x + x - (2,0 điểm) Tập xác định: D = Điểm Chiều biến thiên: 0,25 Èx y ' = 3x2 - 12x + 9, y ' = € 3x2 - 12x + = € Í , y(1) = 3, y(3) = -1 Ỵx Hàm số đồng biến khoảng (-•; 1) (3; +•), nghịch biến khoảng (1; 3) Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu x = yCT = y(3) = -1; Hàm số đạt cực đại x = yCĐ = y(1) = Giới hạn: lim = +ã, lim = -ã x ặ-ã 0,25 x ặ+ã Bảng biến thiên: x -• y’(x) + +• - +• y(x) -• 0,25 + -1 y '' = x - 12, y '' = € x -12 = € x = 2, y(2) = y  điểm uốn I(2; 1) Đồ thị: qua điểm (0; -1), (4; 3) nhận điểm uốn I(2; 1) tâm đối xứng ∑ 0,25 ∑ O -1 ∑ ∑ x ∑ b) Định m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt 3 x + m - - x + = , với m tham số thực Ta có 3 x + m - - x + = € 3 x + m - = x - €| x |3 -3 x + | x | -1 = m (*) Phương trình (*) phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C’) hàm số: y = x - x2 + x -1 đường thẳng d: y 0,25 m (d phương với trục hoành) Xét hàm số: y = x - x2 + x - , ta có: + Hàm số hàm chẵn nên (C’) nhận trục Oy làm trục đối xứng, 3 đồng thời "x > y = x - x + x - = x - x + x - Từ (C’) suy từ (C) hình bên: 0,25 y -4 0,25 -2 -1 O x -1 Dựa vào đồ thị (C’) ta suy điều kiện m thỏa yêu cầu toán là: -1 < m < 0,25 Câu Giải phương trình: sin x + 2cos x + 4(sin x + cos x) = + cos x (1,0 điểm) Phương trình cho tương đương: cos x(1 + sin 2x) + 4(sin x + cos x) = cos2 x € cos x(1 + sin x - cos x) + 2(sin x + cos x) = € cos x (sin x + 2sin x ) + 2(sin x + cos x ) = € sin x.cos x(sin x + cos x) + (sin x + cos x) = Èsin x + cos x = € (sin x + cos x)(sin x.cos x + 1) = € Í Ỵsin x.cos x + = x+ x= € 0,25 0,25 x=- € x=- kŒ +k -2sin x + sin x + = € (1 - sin x)(2sin x + 2sin x + 1) = Èsin x € x = + k2 €Í 2 Ỵ 2sin x + 2sin x + = (VN) p p Vậy phương trình cho có họ nghiệm x = - + kp x = + k p k Œ Câu Ï x (3 y + 55) = 64 Ô x yŒ (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: Ì Ơ Ĩ xy( y + y + 3) = 12 + 51x Từ hệ pt cho ta có ĐK: x π Khi hệ tương đương: Ï Ê4ˆ Ô3( y + 1) + 52 = Á ˜ Ô Ë x ¯ Đặt u = y + 1, v = Hệ pt trở thành Ì x Ô( y + 1)3 = + 52 ÔÓ x Lấy (1) trừ (2) vế theo vế được: v - u = 3(u - v) € (v - u )(v + uv + u + 3) = (3) ÏÔv = 3u + 52 Ì ƠĨu = 3v + 52 0,25 0,25 (1) 0,25 (2) 0,25 ˆ Ê Do v + uv + u + = Á v + u ˜ + u + > 0, "u, v nên (3) € v = u ¯ Ë Thay v = u vào (2) được: Èu u - 3u - 52 = € (u - 4)(u + 4u + 13) = € Í Ỵu + 4u + 13 = (VN) Vậy u = v = Từ suy hệ có nghiệm (x; y) là: (1; 3) 2 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I 0,25 0,25 cos x Ú sin x + cos x + dx p p cos x (cos x + sin x)(cos x - sin x) dx = Ú dx sin x + cos x + sin x + cos x + 0 I =Ú Đặt t = cos x + sin x  dt = (cos x - sin x)dx; x =  t = 1, x = p  t = -1 -1 Từ I = Ú 0,25 0,25 -1 t ˆ Ê dt = Ú Á1 ˜ dt t +3 t +3¯ Ë -1 I = (t - 3ln | t + 3| = 3ln - 0,25 0,25 Câu AB = AC = a, , Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, (1,0 điểm) SBA = SCA = 900 góc cạnh bên SA với mặt phẳng đáy 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng BC SA Dựng SH ⊥ (ABC) H Khi ta có: Góc SA với (ABC) SAH 600 AB ^ SB ¸ ˝  AB ^ (SBH )  AB ^ HB AB ^ SH ˛ Tương tự AC ^ ( SCH )  AC ^ HC Suy tứ giác ABHC hình vuông cạnh a S H B I O C 0,25 A Từ SH = HA.tan 600 = a = a thể tích khối chóp S.ABC tính 0,25 1 a3 bởi: V = S ABC SH = a a = (đvtt) 3 + Gọi O tâm đáy ABCD Dựng OI ^ SA I (1) Ta có: BC ^ HA¸ ˝  BC ^ (SAH )  BC ^ OI O (2) BC ^ SH ˛ (1) (2)  OI đoạn vuông góc chung BC SA tính bởi: OI = OA.sin 600 = 0,25 a a a = Vậy d ( BC , SA) = OI = 2 4 0,25 ) ( Câu Cho phương trình 5x2 - + ( x + 4) x + + = m( x + 4) x2 + với m tham số thực (1,0 điểm) Tìm giá trị m để phương trình có ba nghiệm thực Pt cho viết lại dạng: m( x + 4) x2 + = ( x + 4)2 + ( x + 4) x2 + + 4( x2 + 2) (1) Do x = - nghiệm (1) dù m lấy giá trị nên: pt (1) € m = Đặt t x+4 x+4 x +2 Xét hàm f ( x ) x2 + + x2 + + (2) x+4 , pt (2) trở thành: m = t + + x+4 x2 + , f '( x) = TXĐ: 0,25 t - 4x ( x + 2) x2 + ; f '( x) = € x = Ê1ˆ f Á ˜ = 3; lim f ( x) = -1 ; lim f ( x) = x ặ-ã x ặ+ã ậ2 Bng bin thiờn: x -• + f’(x) t = f(x) -1 +• 0,25 - Từ bảng biến thiên ta có kết quả: + Khi x biến thiên -1 < t £ + Với < t < pt t x+4 x2 + có nghiệm thực + Với t = -1 < t £ pt t x+4 x2 + có nghiệm thực 0,25 Từ yêu cầu tốn tương đương phương trình m = t + + thỏa mãn t1 Œ (-1;1] »{3}\ {0}; t2 Œ (1;3) (*) có nghiệm t1, t2 t t2 - 4 với -1 < t £ ; g '(t ) = ; g '(t ) =  t = t t 16 g (-1) = -4; g (1) = 6; g (2) = 5; g (3) = , lim- f ( x) = -• ; lim+ f ( x) = +• x Ỉ0 xỈ0 Xét hàm g (t ) = t + + Bảng biến thiên: t g’(t) -1 -4 +• m = g(t) 0,25 16 -• 16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có H (1; 1) chân đường cao kẻ từ Từ bảng biến thiên ta suy điều kiện m thỏa yêu cầu (*) là: m Câu 7a (1,0 điểm) đỉnh A, M (3; 0) trung điểm cạnh BC BAH = HAM = MAC Tìm tọa độ điểm A, B, C Chứng minh tam giác ABC vuông A A Từ giả thiết ta DABM cân A Suy H trung K điểm BM Kẻ MK ^ AC K Do AM tia phân giác góc HAC nên: 0,25 B C H M MK 1 = MK = MH = MC  sin C = MC 2  C = 300 , B = 600 A 900 Từ B(2 xH - xM ; yH - yM ) hay B(-1;2) 0,25 C (2 xM - xB ; yM - yB ) hay C(7;-2) AH đường thẳng qua điểm H vng góc với MH nên có phương trình 2x – y – = 0,25 Vì A thuộc AH nên A(t; 2t–1) = 15 € (1 - t ) + (2 - 2t ) = 15 € t = ± Ta có AH = BM 0,25 Do A + 3;1 + A - 3;1 - ( ) ( ) Câu 8.a Trong không gian tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1;3; 2), B(2;0; - 4), C (0;1;1) Viết (1,0 điểm) phương trình trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC = - = - - -  vtpt mp(ABC) là: Ta có: 0,25 =  pt mp ( ABC ) : x y + z + = Ỵ ˚ Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp DABC Khi đó: Ï(a - 1)2 + (b - 3) + (c - 2)2 = (a - 2)2 + b + (c + 4)2 Ï AI BI Ô Ô 0,25 CI hay Ì(a - 1)2 + (b - 3) + (c - 2)2 = a + (b - 1) + (c - 1) Ì AI Ơ9 x - y + z + = Ô I Œ ( ABC ) Ó Ó Ï2a - 6b - 12c = 75 76 41 41 ˆ Ô Ê 75 76 ;- ˜ € Ì2a + 4b + 2c = 12 € a = ; b = ; c = -  I Á ; 0,25 31 31 31 Ë 31 31 31 ¯ Ô9a - 7b + 5c = -2 Ĩ Vậy phương trình trục đường trịn ngoại tiếp DABC có dạng: 41 76 75 xyz+ 31 = 31 = 31 -7 Câu 9.a z +1 (1,0 điểm) Tìm số phức z biết | z - + 3i |= z + i Giả sử z = x + yi x y Œ , ĐK: x - yi π -i 0,25 0,25 Theo giả thiết: | z - + 3i |= € ( x - 3) + ( y + 3) = 32 | z + 1|=| z + i |€ ( x + 1) + y = x + (1 - y ) € y = - x 0,25 Ï( x - 3) + ( y + 3) = 32 Ta có hệ: Ì Ĩ y = -x Ï( x - 3)2 = 16 È x = 7; y = -7 (thỏa ĐK) €Í €Ì Ỵ x = -1; y = Ĩ y = -x Vậy số phức cần tìm là: z = - 7i ; z = -1 + i 2 0,25 0,25 Câu 7.b Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng A(-1; 1) có tâm đường (1,0 điểm) trịn nội tiếp I (1; 5), đường thẳng vng góc với IA A cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác AIC điểm thứ hai D(-7; 4) Tìm tọa độ điểm B Chứng minh B, I, D thẳng hàng Suy phương trình BD x – 8y + 39 = D Gọi AB đường thẳng qua A( 1; 1), vectơ pháp A π = tuyến nên có phương trình 0,25 a( x + 1) + b( y - 1) = Đường thẳng AI có phương trình 2x – y + = I B C Ta có BAI 450 nên góc tạo hai đường thẳng AB AI 450 2a - b 0,25 € (a – 3b)(3a + b) = Do 2 5(a + b ) TH1: a – 3b = 0, chọn a = 3, b = Suy AB: 3x + y + = (nhận I D khác phía AB vơ lý) 0,25 TH2: 3a + b = 0, chọn a = 1, b = –3 Suy AB: x – 3y + = (nhận I D phía AB ) Ï x - y + 39 = Tọa độ điểm B nghiệm hệ Ì  B (17;7 ) 0,25 Óx - 3y + = Câu 8.b Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(-1; 2; - 3) , (1,0 điểm) x +1 y - z - = = tạo với đường thẳng song song với đường thẳng d1 : -1 1 x-3 y + z = = góc cho sin j d2 : Ta có vtcp d1 = vtcp d2 2 + + π Giả sử (P) có vtpt = 0,25 hay (P) // d1 nên d2 tạo với (P) góc nên: | b + c + 2b + c | (b + c) + b + c 2 2 0,25 € (3b + 2c) = b + bc + c € 8b + 11bc + 3c = € (b + c)(8b + 3c) = Èb + c = €Í Ỵ8b + 3c = + Với b + c = ta chọn: b = c = -1  = - + Với 8b + 3c = ta chọn: b = c = -8  = - Kết hợp với giả thiết mp(P) qua A(-1; 2; - 3) ta suy phương trình (P): y - z - = 5x - y + z + 35 = Cả mp thỏa (P) // d1 nên đáp số tốn Giải phương trình: log5 ( x + x + 2) + x + = log5 x + 3x Câu 9.b (1,0 điểm) ĐK: x > Phương trình cho tương đương: log5 ( x + x + 2) + x + x + = log5 x + x (1) Nếu đặt f (t ) = log t + t (1) có dạng f ( x + x + 2) = f (5x) (2) 0,25 0,25 0,25 0,25 Xét hàm số: f (t ) = log t + t , TXĐ D = (0; + •) + > 0, "t Œ D Chứng tỏ f(t) hàm đồng biến D f '(t ) = t ln 0,25 Èx Do x > 0, x + x + > nên (2) € x + x + = 5x € x2 - 3x + = € Í Ỵx Vậy phương trình có hai nghiệm x =1, x = 0,25 Ghi chú: Cách chứng minh B, I, D thẳng hàng + Gọi I1 giao điểm BI với đường trịn (J) ngoại tiếp DABC Khi ta có I1 A I1C (do ABI1 I1BC ) (1) + Mặt khác: I1IA = IBA + IAB = I1CA + IAC = I1 AC + IAC = IAI1  DIAI1 cân I1  I1 A = I1C (2) (1) (2) suy I1 tâm đường tròn ngoại tiếp DIAC Do IAD 900 nên ID đường kính đường trịn (I1)  I1 Œ ID Từ suy đường thẳng I1I qua B, D nên B, I, D thẳng hàng D A I1 I B J Cảm ơn bạn lovemathltt@yahoo.com.vn đã gửi tới www.laisac.page.tl C ... hay Ì(a - 1)2 + (b - 3) + (c - 2)2 = a + (b - 1) + (c - 1) Ì AI Ơ9 x - y + z + = Ô I Œ ( ABC ) Ó Ó Ï2a - 6b - 12c = 75 76 41 41 ˆ Ô Ê 75 76 ;- ˜ € Ì2a + 4b + 2c = 12 € a = ; b = ; c = -  I Á... Với b + c = ta chọn: b = c = -1  = - + Với 8b + 3c = ta chọn: b = c = -8  = - Kết hợp với giả thi? ??t mp(P) qua A (-1 ; 2; - 3) ta suy phương trình (P): y - z - = 5x - y + z + 35 = Cả mp thỏa (P)... 0,25 ∑ O -1 ∑ ∑ x ∑ b) Định m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt 3 x + m - - x + = , với m tham số thực Ta có 3 x + m - - x + = € 3 x + m - = x - €| x |3 -3 x + | x | -1 = m (*) Phương