Mời các bạn cùng tìm hiểu và tham khảo Đề thi thử Đại học năm 2014 môn Toán - Đề số 3 để biết được những vấn đề cơ bản chuẩn bị tốt cho kì thi Đại học sắp tới. Đề thi gồm có hai phần thi là phần chung và phần riêng với các câu hỏi tự luận có kèm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết.
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2014 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ SỐ 3-BB PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3mx + (m − 1) x + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đường thẳng y = x + cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn điểm C ( 0;1) nằm A B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài 30 Câu II (2,0 điểm) π π cos x − ÷ + cos x + ÷ = cos x − 4 4 Giải phương trình Giải phương trình 23 x − 6.2 x − 3( x−1) + 12 = 2x π tan x dx cos x − sin x ) cos x ( I=∫ Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông AB = BC = a Cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 450 Gọi M tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tính thể tích khối đa diện MABC theo a Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c số dương tùy ý thỏa mãn abc = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức 1 P= + + 2a + b + 2b + c + 2c + a + PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A( − 1;2) đường thẳng ( ∆ ): 3x − y + = Viết phương trình đường trịn qua điểm A cắt đường thẳng ( ∆ ) hai điểm B, C cho ∆ ABC vuông A có diện tích 4/5 x −1 y −1 z − = = −1 điểm A(2;1;2) Viết Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ cho khoảng cách từ A đến (P) ∆: 10 ( 1+ 2x) ( 3+ 4x + 4x2) Câu VII.a (1,0 điểm) Cho khai triển = a0 + a1 x+ a2 x2 + .+ a14 x14 Tìm giá trị a6 B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có tâm I(2; − 3) Biết đỉnh A, C thuộc đường thẳng x + y + = x +2y + = Tìm tọa độ đỉnh hình vng x = 1+ t d1 : y = − t z = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ; x − y −1 z + d2 : = = −2 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d1 d , cho khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d đến (P) log ( y − x + 8) = x x y x+ y 8 + = 2.3 Câu VI.b (2,0 điểm) Giải hệ phương trình Hết - Họ tên thí sinh: ………………………………………………; Số báo danh: …BB01064…… TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYÊN TẤT THÀNH TỔ: TOÁN Câu Câu ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ NỘI DUNG ĐIỂM Với m=1 ta có y = x − 3x + • TXĐ: D=R • Sự biến thiên: - Giới hạn: 0,25 lim y = +∞ ; lim y = −∞ x →+∞ x →−∞ x = y' = ⇔ x =1 -Ta có: y ' = x( x − 1) ⇒ -BBT: −∞ x y’ y + 0 1 - +∞ + 0,25 +∞ −∞ I.1 Hàm số đồng biến khoảng ( −∞ ;0) (1; +∞ ), hàm số nghịch biến khoảng (0;1) Hàm số đạt cực đại x=0 yCĐ=1, đạt cực tiểu x=1 yCT=0 • Đồ thị: y '' = 12 x − ⇒ y '' = ⇔ x = 1 ⇒ I( ; ) 2 điểm uốn đồ thị - Ta có - Đồ thị (C) cắt trục Oy - B ( 1;0 ) ; C − ;0 ÷ Đồ thi cắt trục Ox A ( 0;1) 0,25 0,25 I.2 Hoành độ giao điểm (d) đồ thị (Cm) hàm số: y = x − 3mx + ( m − 1) x + nghiệm phương trình: x − 3mx + ( m − 1) x + = x + x = ⇒ y = ⇔ x(2 x − 3mx + m − 3) = ⇔ x − 3mx + m − = (*) Đường thẳng (d) cắt đồ thị (Cm) điểm A; C; B phân biệt C nằm A B PT (*) có nghiệm trái dấu ⇔ 2.(m − 3) < ⇔ m < 0,25 0,25 3m x A + xB = x x = m − A B Khi tọa độ A B thỏa mãn ⇔ AB = 30 m = ⇔ 9m − 8m = ⇔ m = 9m m −3 − =6 0,25 ( tmdk : m < 3) π π π cos x − ÷+ cos x + ÷ = cos x − cos x.cos = cos x − − 4 4 ⇔ ( ) ⇔ 2cosx = cos x − ⇔ cos x − cos x − = II.1 0,25 ( xB − x A ) + ( yB − y A ) = 30 ⇔ ( xB − x A ) = ⇔ ( xB + x A ) − xB x A = ⇔ CÂU II y A = xA + yB = xB + ( A B thuộc (d)) 2 3π )=0 ⇔ cos x = − x=± + 2k π ⇔ 2 ⇔ 3x x − x ÷− − x ÷ = Giải: Viết lại phương trình có dạng: (1) (cos x − 2)( cos x + 0,25 0,25 0,5 0,25 23 x 2 3x t = − x ⇒ − x = − x ÷ + 3.2 x x − x ÷ = t + 6t II.2 2 Đặt t + 6t − 6t = ⇔ t = ⇔ x − x = Khi phương trình (1) có dạng: x ⇔ (2 x + 1)(2x − 2) = ⇔ 2x = ⇔ x = 0,25 0,25 0,25 π Ta có: Câu II Đặt: tan x dx − tan x cos x ( ) I=∫ tan x − = t ⇒ dx π = dt x = ⇒ t = −4; x = ⇒ t = −3 cos x Đổi cận: Với −3 Suy ra: 0,25 (t + 4).dt t −4 I = −∫ 0,25 −3 4 −3 = − ∫ (1 + )dt = ln − = − (t + ln t ) t −4 −4 0,5 Câu IV BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB BC ⊥ SA · Suy góc mp(SBC) mp(ABC) góc SBA · Theo giả thiết SBA = 450 0,25 Gọi M trung điểm SC, H trung điểm AC Tam giác SAC vuông A nên MA = MS = MC, tam giác SBC vuông B nên MB = MC = MS Suy M tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tam giác SAB vng cân A, SA = AB = a SA ⊥ (ABC), MH // SA nên MH ⊥ (ABC) Suy MH đường cao khối chóp M.ABC a3 VM.ABC = MH.S∆ABC = 12 Suy ⇒ Mà ta có: x + y ≥ xy ; x + ≥ x ⇒ x + y + ≥ 2( xy + x + 1) 1 1 ≤ ≤ y + z + 2( yz + y + 1) z + x + 2( zx + z + 1) Tương tự: , 1 1 P≤ + + xy + x + yz + y + zx + z + Suy ra: ⇒P≤ 1 x + + xy + x + x ( yz + y + 1) 0,25 0,25 1 1 1 P= + + ⇒P= + + 2a + b + 2b + c + 2c + a + a + b + b + c + c + a + 3 2 1 1 a b c P= + + x = ; y = ; z = ⇒ x, y , z > & x y.z = 2 x + y + y + z + z + x + 2 Đặt: Khi đó: Câu V 0,25 0,25 1 ≤ x + y + 2( xy + x + 1) 0.25 xy xy 1 x + + ⇔P≤ = xy + x + 1 + xy + x ) xy ( zx + z + 1) x + + xy Vậy maxP = x = y = z = 0,5 PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A Theo chương trình Chuẩn VI.a (1,0 điểm) (2,0 AH = d ( A; ∆ ) = điểm) Gọi AH đường cao ∆ABC , ta có 4 AH BC ⇔ = BC ⇔ BC = 2 5 Gọi I; R tâm bán kính đường R = AI = BC = trịn cần tìm, ta có ïìï x =- 1+ 4t í ∆ ïïỵ y = 1+ 3t S ∆ABC = Phương trình tham số đường thẳng ( ): I ẻ ( ) ị I(-1+4t; + 3t) Ta có AI = Û 16t2 + (3t – 1)2 = Û t = t = + t = Þ I(-1; 1) Phương trình đường trịn (x + 1)2 + (y – 1)2 = 43 43 + t = Þ I(- 25 ; 25 ) Phương trình đường trịn (x + 25 )2 + (y – 25 )2 = (1,0 điểm) → → Đường thẳng ∆ qua điểm M(1 ; ; ) có vtcp u = (2 ; -1 ; 1) Gọi n = (a ; b ; c ) vtpt → → (P) Vì ∆ ⊂ ( P) nên n u = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 → ⇔ 2a – b + c = ⇔ b = 2a + c ⇒ n =(a; 2a + c ; c ) 0,5 Suy phương trình mặt phẳng (P) a(x – 1) + (2a + c )(y – 1) + c(z – ) = ⇔ ax + (2a + c )y + cz - 3a - 3c = a 1 ⇔ = 2 2 ⇔ ( a + c) = ⇔ a + c = a + (2 a + c) + c d(A ; (P)) = Chọn a = , c = -1 Suy phương trình mặt phẳng (P) x + y – z = Cho khai triển ( 1+ 2x) 10 2 ( 1+ 2x) ( 3+ 4x + 4x ) 10 VII.a (1,0 điểm) ( 3+ 4x + 4x ) 1+ 2x) =( 10 a0 + a1 x + a2 x2 + .+ a14 x14 Tìm giá trị a 10 é2+( 1+ 2x) 2ù 12 + 2x ( ) 1+ 2x) ê ú û =4 ë + 4( + Hệ số x ( 1+ 2x) khai triển 10 Hệ số x ( 1+ 2x) khai triển 12 ( 1+ 2x) 14 Hệ số x6 khai triển C6 C6 C6 = 0,25 4.26 C10 4.26 C12 26 ( 1+ 2x) 14 0,5 C14 Vậy a6 = 4.26 10 + 4.26 12 + 26 14 = 482496 B Theo chương trình Nâng cao (1,0 điểm) Vì điểm A thuộc đường thẳng x + y + = C thuộc đường thẳng x+ 2y + = nên A(a;-a–3) C(- 2c – ; c) a − 2c − = a = −1 ⇒ ⇔ −a − + c = −6 c = −4 ⇒ A(-1; -2); C(5 ;-4) I trung điểm AC x = + t r Đường thẳng BD qua điểm I(2 ; -3 ) có vtcp u =(1;3) có ptts y = −3+ 3t uuu r uuu r ⇒ CB ∈ AB B BD B(2+t ; -3 +3t) Khi : = (3 +t ;–1+3t); = (- 3+t; 1+3t) → 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 → AB CB = Û t = ± VI.b (2,0 điểm) Vậy A(-1; -2); C(5 ;-4), B(3;0) D(1;-6) A(-1; -2); C(5 ;-4), B(1;-6) D(3;0) (1,0 điểm) → d1 qua điểm A(1;2;1) vtcp : u1 = ( 1; −1;0 ) ; d qua điểm B (2; 1; -1) vtcp là: → u2 = ( 1; −2; ) 0,25 → VII.b (1,0 điểm) 0,25 → → → d d u ;u Gọi n vtpt (P), (P) song song với nên n = [ ] = (-2 ; -2 ; -1) ⇒ (P): 2x + 2y + z + D = 0,25 D = −3 7 + D = 2(5 + D) ⇔ ⇔ D = − 17 ⇔ + D = + D + D = − 2(5 + D ) d(A; (P) = 2d( B;(P)) 0,25 17 Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – = 2x + 2y + z - = 0,25 log ( y − x + 8) = (1) x x y x+ y (2) Giải hệ phương trình 8 + = 2.3 Điều kiện: y – 2x + > ( 2) (1) ⇔ y – 2x + = ⇔ y = 2x Thay y = x vào phương trình (2), ta 0,25 0,25 x x 3x x 2 2 18 ⇔ ÷ + ÷ = ⇔ ÷ + ÷ = x x x x x 2x 3x 3 3 + = 2.3 ⇔ + 18 = 2.27 27 27 x 2 ÷ Đặt: t = (t > 0) t + t − = ⇔ ( t − 1) ( t + t + ) = Ta có phương trình x = ⇔ t =1⇒ y = Vậy nghiệm hệ phương trình (0;0) 0,5 ... B(2+t ; -3 +3t) Khi : = (3 +t ;–1+3t); = (- 3+ t; 1+3t) → 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 → AB CB = Û t = ± VI.b (2,0 điểm) Vậy A (-1 ; -2 ); C(5 ;-4 ), B (3; 0) D(1 ;-6 ) A (-1 ; -2 ); C(5 ;-4 ), B(1 ;-6 ) D (3; 0) (1,0... A(a;-a? ?3) C (- 2c – ; c) a − 2c − = a = −1 ⇒ ⇔ −a − + c = −6 c = −4 ⇒ A (-1 ; -2 ); C(5 ;-4 ) I trung điểm AC x = + t r Đường thẳng BD qua điểm I(2 ; -3 ) có vtcp u =(1 ;3) có ptts y = ? ?3+ 3t... ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ NỘI DUNG ĐIỂM Với m=1 ta có y = x − 3x + • TXĐ: D=R • Sự biến thi? ?n: - Giới hạn: 0,25 lim y = +∞ ; lim y = −∞ x →+∞ x →−∞ x = y' = ⇔ x =1 -Ta có: y ' = x( x − 1) ⇒ -BBT: