Môđun đối đồng điều địa phương hình thức trên vành địa phương

O RƢỜN Ọ Lê MƠ UN Ố ÌN Ứ ƢP O M ồng N O P Ố HỒ CHÍ MINH ải hanh ỒN ỀU ỊA P ƢƠN RÊN N LUẬN ĂN ỊA P ƢƠN Ĩ O N Ọ Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 O RƢỜN Ọ Lê MƠ UN Ố ÌN Ứ O ƢP M ồng N O P Ố HỒ CHÍ MINH ải hanh ỒN ỀU ỊA P ƢƠN RÊN N ỊA P ƢƠN huyên ngành: ại số lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN ĂN Ĩ O N N ƢỜ Ọ ƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 LỜ AM OAN Tôi xin cam đoan, đạo hướng dẫn PGS.TS Trần Tuấn Nam, luận văn chuyên ngành Đại số lý thuyết số với đề tài: “Mơđun đối đồng điều địa phương hình thức vành địa phương” hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tp Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2020 Tác giả Lê Hoàng Hải Thanh LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh hướng dẫn tận tình PGS.TS Trần Tuấn Nam Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tơi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô khoa Toán – Tin học, trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh kiến thức mà tơi nhận suốt q trình đào tạo thạc sĩ Tơi xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Sau Đại học trường đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi để tơi học tập hồn thành luận văn Nhân dịp này, muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ tơi suốt thời gian vừa qua Mặc dù có nhiều cố gắng suốt trình thực hiện, song luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp dẫn quý thầy cô bạn học viên Tp Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2020 Học viên Lê Hoàng Hải Thanh M CL C Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu MỞ ẦU hƣơng K ẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm 1.2 Giới hạn ngược 1.3 Hàm tử đối đồng điều địa phương 1.4 Iđêan nguyên tố gắn kết 1.5 Đối ngẫu Matlis 11 1.6 Phức Cech 13 1.7 Phức đối ngẫu 16 hƣơng MÔ UN RÊN Ố N ỒN ỀU ỊA P ƢƠN ỊA P ƢƠN ÌNH THỨC 18 2.1 Một số tính chất 18 2.2 Định lý đối ngẫu 26 2.3 Môđun đối đồng điều địa phương hình thức thứ 30 2.4 Các định lý triệt tiêu không triệt tiêu 33 2.5 Tính minimax 38 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 DANH M C CÁC KÍ HIỆU R : Vành Nơte giao hốn khơng tầm thường : Vành địa phương với iđêan tối đại m  R, m  Spec  R  : Tập iđêan nguyên tố vành R V I  : Tập iđêan nguyên tố chứa I Supp  M  : Giá môđun M Ass  M  : Tập iđêan nguyên tố liên kết M Att  M  : Tập iđêan nguyên tố gắn kết M dim  M  : Chiều Krull môđun M depth  M  : Độ sâu môđun M H Ii  M  : Môđun đối đồng điều địa phương thứ i môđun M R  Mod : Phạm trù R  môđun R  đồng cấu C  R : Phạm trù phức R  môđun ánh xạ dây chuyền Mˆ Rˆ : Đầy đủ môđun M : Đầy đủ vành R Rad ( I ) : Căn iđêan I M R N : Tích tenxơ M R R N lim M i   : Giới hạn ngược hệ ngược môđun M i  ứng với iđêan I MỞ ẦU Lý thuyết đối đồng điều địa phương kiến thức quan trọng hình học đại số đại số giao hốn Mơđun đối đồng điều địa phương hình thức khái niệm đóng vai trị tảng việc nghiên cứu lý thuyết đối đồng điều địa phương Nội dung luận văn nhằm trình bày cách hệ thống tính chất mơđun đối đồng điều địa phương hình thức Luận văn gồm hai chương: hƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn trình bày số cơng cụ đại số giao hốn số khái niệm cần thiết để định nghĩa khái niệm đối đồng điều địa phương hình thức: giới hạn ngược, đối đồng điều địa phương phức Cech hƣơng 2: Mơđun đối đồng điều địa phƣơng hình thức vành địa phƣơng Nội dung chủ yếu chương khái niệm số tính chất mơđun đối đồng điều địa phương hình thức vành địa phương Đặc biệt định lý đối ngẫu tính chất triệt tiêu khơng triệt tiêu hƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm ịnh nghĩa 1.1.1 Vành R có iđêan tối đại gọi vành địa phương Mệnh đề 1.1.2 Những điều kiện sau tương đương: i) Mọi dãy giảm môđun M1  M  M dừng (nghĩa là, tồn n thỏa M n  M n1  ) ii) Mọi họ khác rỗng môđun M , thứ tự theo quan hệ bao hàm  , có phần tử tối tiểu Ghi chú:  i ) gọi điều kiện dây chuyền giảm ii ) gọi điều kiện tối tiểu  Nếu tập môđun môđun M thứ tự theo quan hệ bao hàm  i ) gọi điều kiện dây chuyền tăng ii ) gọi điều kiện tối đại ịnh nghĩa 1.1.3 i) Môđun M thỏa hai điều kiện tương đương: điều kiện dây chuyền giảm điều kiện tối tiểu, gọi môđun Artin ii) Môđun M thỏa hai điều kiện tương đương: điều kiện dây chuyền tăng điều kiện tối đại, gọi môđun Nơte ịnh nghĩa 1.1.4 Vành R vành Artin (Nơte) thỏa điều kiện dây chuyền giảm (tăng) iđêan ịnh nghĩa 1.1.5 Căn iđêan I , kí hiệu Rad  I  , tập gồm tất phần tử x  R thỏa có số nguyên dương n cho x n  I ịnh nghĩa 1.1.6 Thương a b , kí hiệu (a : b) , tập gồm tất phần tử x  R thỏa xb  a Nói riêng, (0 : b) tập gồm tất phần tử x  R thỏa xb  , gọi linh hóa tử b , kí hiệu Ann b Nếu b iđêan x viết a : x  thay cho a : x  ịnh nghĩa 1.1.7 Cho M R - môđun Dãy phần tử x1 , x2 , , xn R gọi dãy M - quy  x1 , x2 , , xn  M  M xi không ước không M /  x1 , x2 , , xi 1  M với i  1,2, , n ịnh nghĩa 1.1.8 Cho M R - môđun I iđêan R thoả mãn IM  M Ta định nghĩa độ sâu M I depth R  I , M   sup n |  x1 , x2 , , xn  dãy M - quy I  Nếu  R, m  vành địa phương ta kí hiệu depth R M : depth R  m, M  ịnh nghĩa 1.1.9 Một R  môđun M gọi phẳng với đơn cấu R  môđun f : N '  N , đồng cấu cảm sinh id M  f : M  N '  M  N đơn cấu ịnh nghĩa 1.1.10 Một môđun X R gọi nội xạ với đồng cấu f : A  X đơn cấu g : A  B môđun R , tồn đồng cấu h : B  X thỏa mãn h g  f ịnh nghĩa 1.1.11 Trong đại số giao hoán, R vành Gorenstein địa phương R vành Nơte địa phương giao hoán có số chiều nội xạ hữu hạn ịnh nghĩa 1.1.12 R vành Gorenstein vành Nơte giao hốn mà địa phương hóa iđêan nguyên tố vành Gorenstein địa phương 1.2 Giới hạn ngƣợc Khái niệm giới hạn ngược tổng quát hóa đối tượng phạm trù như: tích trực tiếp, hạt nhân kéo lại Cho phạm trù C tập số thuận I (tức tập I trang bị quan hệ thứ tự toàn phần cho với i, j  I tồn k  I cho i  k , j  k ) Họ vật M i xạ i j : M j  M i (ii  Id M ) với i i, j  I i  j gọi hệ ngược ik  i j kj với i  j  k Giới hạn ngược định nghĩa dựa theo tính phổ dụng ịnh nghĩa 1.2.1 Với kí hiệu trên, giới hạn ngược hệ ngược M ,   j i i iI vật lim M i  M i thỏa mãn   i) i j f j  fi ii)Với vật X họ xạ gi : X  M i thỏa mãn tính chất đầu tiên, tồn xạ  : X  lim M i cho fi  gi   Dựa theo định nghĩa, giới hạn ngược tồn Xét phạm trù R  Mod có hệ ngược môđun M i ,i j  Gọi X tập hợp phần tử iI (mi )iI tích trực tiếp  iI M i thỏa mãn i j (m j )  mi  Rõ ràng, X môđun iI M i Dễ dàng kiểm tra X với họ đồng cấu tự nhiên fi : X  M i , cho fi  (mi )   mi với (mi )  X , giới hạn ngược hệ ngược M i ,i j  iI Mệnh đề 1.2.2 Mọi hệ ngược phạm trù R  Mod có giới hạn ngược Mệnh đề mở rộng cho nhiều phạm trù phạm trù vành giao hốn, phạm trù nhóm phạm trù không gian tôpô Từ phần trở quan tâm tới giới hạn ngược phạm trù R  Mod Ví dụ 1.2.3 i) Giả sử quan hệ thứ tự I rời rạc, tức i  j i  j Khi giới hạn ngược hệ ngược M i ,i j  iI tích trực tiếp  iI Mi ii) Cho I tập thứ tự phần 1;2;3 với   Hệ ngược tương ứng I sơ đồ B A g f   C 28 Nhận xét 2.2.2 Dựa vào định lý 2.2.1, ta đưa chứng minh khác cho định lý 2.1.7 định lý 2.1.13 Giả sử  R, m  vành địa phương có phức đối ngẫu I iđêan R Cho  N  M  L  dãy khớp môđun hữu hạn sinh Kí hiệu C x phức Cech ứng với iđêan I tức Rad xR  Rad I Dãy khớp ngắn môđun cảm sinh dãy khớp ngắn phức  Cx  Hom  L, DR   Cx  Hom  M , DR   Cx  Hom  N , DR   Lấy đối đồng điều ta có dãy khớp dài  H i  Cx  Hom  L, DR    H i Cx  Hom  M , DR    H i Cx  Hom  N , DR      i i Lưu ý H Cx  Hom  M , DR   H I  Hom  M , DR   Do cách tác động hàm tử đối ngẫu Matlis áp dụng 2.2.1 ta thu dãy khớp   FIi  N    FIi  M    FIi  L    ịnh lý 2.2.3 Cho I iđêan tùy ý vành địa phương, M R  môđun hữu hạn sinh Với số nguyên j  , ta có đẳng cấu sau  L i  I FI  M j  0  j   FI  M   víi i   I víi i  Hơn FIi  M  môđun I  adic đầy đủ Chứng minh Theo 2.1.5 khơng tính tổng qt xem R có phức đối ngẫu Đặt X j : FIi  M  Khi đó, X j  Hom  H j , E  H j : H I j  Hom  M , DR    Để tính Li  I FIi  M  ta sử dụng dãy khớp ngắn  lim ToriR1  R / I n , X   Li  I  X   limToriR  R / I n , X       Với H Ii H j  limExt iR R / I n , H j , có dãy khớp ngắn   Ext iR  R / I n , H j    Ext iR  R / I n , H j   H Ii  H j   n n 29     Lưu ý, H j R  mơđun I  xoắn, H I0 H j  H j H Ii H j  với  i  Tác động hàm tử đối ngẫu Matlis Hom H j , E  R / m     Hom Ext iR  R / I n , H j  , E  ToriR  R / I n , X j  dãy khớp sau trở thành    Hom H Ii  H j  , E   ToriR  R / I n , X j   ToriR  R / I n , X j   n Từ dãy khớp ngắn trên, n lim ToriR  R / I n , X j   với i limToriR  R / I n , X j   với i  Hơn limTor 0R  R / I n , X j   X j Do theo nhận xét ban đầu,  0 Li  I  FIi  M     i I F M       I ,i  ,i  FIi  M  môđun I  adic đầy đủ Dựa vào tính đầy đủ I  adic , ta đưa tiêu chuẩn tính triệt tiêu dạng bổ đề Nakayama Hệ 2.2.4 Cho M R  môđun hữu hạn sinh, I iđêan vành R cho FIi  M   I FIi  M  Khi FIi  M   Chứng minh Vì FIi  M  đầy đủ I  adic nên FIi  M   lim FIi  M  / I t FIi  M   t với đẳng cấu thứ hai xảy dựa theo đẳng thức FIi  M   I FIi  M  Hệ 2.2.5 Cho x  m phần tử vành địa phương  R, m  Với iđêan I R  môđun hữu hạn sinh M , ta có dãy khớp dài  Hom  Rx , FIi  M    FIi  M   FiI , x  M   với i  30 Chứng minh Theo 2.1.5, khơng tính tổng qt ta giả sử R vành có phức đối ngẫu DR Phức Cech C x phần tử x nón đồng cấu R  Rx Do Cx  Cx  Hom  M , DR  nón ánh xạ dây chuyền Cx  Hom  M , DR   Cx  Hom  M , DR   Rx Lưu ý Cx  Cx Cx , x Do ta có dãy khớp ngắn phức  Cx  Hom  M , DR   Rx  1  Cx, x  Hom  M , DR   Cx  Hom  M , DR   Dãy cảm sinh dãy khớp dài  HiI , xR  Hom  M , DR    H Ii  Hom  M , DR    H Ii  Hom  M , DR    Rx  với i  Lấy đối ngẫu Matlis áp dụng định lý 2.2.1, ta thu dãy khớp dài cần tìm Hệ 2.2.6 Cho x  m phần tử vành địa phương  R, m  M R  mơđun hữu hạn sinh Khi đó, với i  , ta có dãy khớp  Hom  Rx , H mi  M    H mi  M   lim H mi  M / x n M   Chứng minh Áp dụng định lý 2.2.5 với trường hợp I  , ta có điều phải chứng minh 2.3 Mơđun đối đồng điều địa phƣơng hình thức thứ Trong mục cấu trúc chi tiết cho mơđun đối đồng điều địa phương hình thức thứ Cho  R, m  vành địa phương, M R  môđun hữu hạn sinh Với N R  mơđun M , ta có dãy tăng R  môđun M  N :M m    N :M Do M N : M m     N :M m n   môđun Nơte, dãy dừng số nguyên n ta kí hiệu m n    N :M m  Cho I iđêan vành R , kí hiệu biểu diễn mơđun I  xoắn m  M / I n M   I M : n t M mt  / I n M   I n M :M m  / I n M 31 Mệnh đề 2.3.1 Cho  R, m  vành địa phương đầy đủ Với kí hiệu trên, tồn đẳng cấu FI0  M   n I n M :M m  Chứng minh Xét dãy khớp ngắn hệ ngược  I n M   I n M :M m Lấy giới hạn ngược, với lưu ý 0 I M : n n M n    I n  M :M m  / I n M  I nM  n m n M  , ta có đơn cấu    m   lim  I n M :M m  / I n M  FI0  M  Để kết thúc chứng minh cần kiểm tra  toàn cấu Thật vậy, lấy y n    I n M   lim  I n M :M m  / I n M Lưu ý, M m  adic đầy đủ nên M I  adic đầy đủ Khi xem y n  I n M   lim  M / I n M  , tồn y  M cho y  yn  I n M với số nguyên dương n Ta có y   y  yn   yn   suy với y  yn  I n M yn  I n M :M m Vậy y  I M : n n M Giả sử  m    y    y n pAss M  y   I n M :M m  với n   I n M  Q  p phân hoạch nguyên sơ mơđun khơng M Khi đặt TI  M   p  Ass  M  | dim R /  I , p  0 uM  I   pAss M  \TI  M  Q  p Bổ đề 2.3.2 Với kí hiệu trên, mơđun sau trùng i) I M : n n M m  32 ii) pSI  M  Ker  M  M p  SI  M   Supp  M / IM  \ V  m  iii) uM  I  Chứng minh Trước tiên ta kiểm tra đẳng thức I n M :M m  pS I  M  I nM p  M với n  Xét n  trường hợp lại xử lý tương tự Lấy x   IM :M m  p  SI  M  Chọn r  m \ p , tồn n đủ lớn để r n x  IM suy x  IM p  M Ngược lại, lấy x  pSI  M  I n M p  M Nếu x  IM hiển nhiên x thuộc tập bên trái Giả sử x  IM ,   V   IM :M x    Supp  M / IM  Mặt khác cách chọn x nên p V   IM :M x   với p  SI  M  Suy V   IM :M x    V  m  kéo theo tồn n đủ lớn để m n x  IM Dựa vào đẳng thức vừa ra, ta có n I n M :M m    I M   M   n pS I  M n p Theo định lý giao Krull, n I n M p  suy môđun thứ môđun thứ hai mệnh đề trùng Hơn nữa,   Q  q Ker M  M p  q p nên môđun thứ hai thứ ba trùng Kết hợp mệnh đề 2.3.1 bổ đề 2.3.2, cấu trúc FI0  M  miêu tả cách rõ ràng ịnh lý 2.3.3 Cho  R, m  vành địa phương M R  môđun hữu hạn sinh Tồn đẳng cấu   FI0  M   uM I R 33 Chứng minh Dựa vào bổ đề 2.1.5, toán đưa trường hợp R vành đầy đủ Áp dụng 2.3.1 2.3.2 ta có điều phải chứng minh Bổ đề 2.3.4 Cho  pAss M  Q  p phân tích nguyên sơ tối tiểu môđun không M Giả sử Ass M  p1 , p2 , , pt  đặt U  Q  p1   Q  p2    Q  ps  (với  s  t ), AssU  ps1 , ps2 , , pt  Nói cách khác AssU  Ass M \ Ass  M / U  Chứng minh Xét dãy khớp ngắn U  M  M / U  Theo tính chất quen thuộc biết iđêan nguyên tố liên kết, ta có Ass M / U  p1 , p2 , , pt  AssU  Ass M  AssU  Ass M / U Vì ps 1 , ps 2 , , pt   Ass M / U   nên nằm AssU Ngược lại, đặt V  ti s 1 Q  p , ta có U  U / U  V   U  V  / V  M / V suy AssU  ps 1 , ps 2 , , pt  Hệ 2.3.5 Cho M R  môđun hữu hạn sinh Khi Ass uM  I   TI  M      Hơn nữa, FI0  M   dim R q, I R  với q  Ass R M Chứng minh Áp dụng bổ đề định lý 2.3.3 2.4 ác định lý triệt tiêu không triệt tiêu Trong mục tìm hiểu tính chất triệt tiêu không triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương hình thức Cụ thể, quan tâm 34 đến hai số nguyên supi  | FIi  M   0 ; inf i  | FIi  M   0 Trước tiên khảo sát trường hợp đơn giản Bổ đề 2.4.1 Giả sử M R  môđun hữu hạn sinh cho dim M / IM  Khi FIi  M   với i  FI0  M    I  M  Chứng minh Với n  , theo giả thiết môđun M / I n M bị triệt tiêu   lũy thừa iđêan tối đại m , suy H mi M / I n M  với i  H m0  M / I n M   M / I n M Lấy giới hạn ngược, ta có điều phải chứng minh Bổ đề sau mối quan hệ tính khơng triệt tiêu đối đồng điều địa phương hình thức bậc thấp bậc cao Bổ đề 2.4.2 Cho p iđêan nguyên tố i  cho lim H pi Rp  M p / I n M p     Khi lim H mi dim R / p M / I n M    i Chứng minh Theo giả thiết định lý 2.2.1, H IRp Hom M p , DR p   Mặt khác, có đẳng cấu phức  Hom M p , DR p  Hom  M , DR    dim R / p  Rp Đẳng cấu cảm sinh đẳng cấu môđun đối đồng điều   H IR jp Hom M p , DR với p   H  j dim R / p I  Hom  M , D   R p R j  Khi H Ii dim R / p  Hom  M , DR    Theo định lý 2.2.1, lim H mi dim R /p  M / I n M     Định lý xác định số nguyên sup i  | FIi  M   ịnh lý 2.4.3 Cho M R  môđun hữu hạn sinh Khi dim M / IM  sup i  | FIi  M   0 35   Chứng minh Vì Supp M / I n M  SuppM  V  I  nên dim M / I n M  dim M / IM với n  Theo định lý triệt tiêu Grothendieck, H mi  M / I n M   với i  dim M / IM kéo theo bất đẳng thức dim M / IM  supi  | FIi  M   0 Ngược lại, chọn iđêan nguyên tố p cho dim M / IM  dim R / p Vì   dim M p / IM p  suy FI Rp M p / IM p  theo bổ đề 2.4.1 Bây áp dụng bổ đề 2.4.2, FIdim M / IM  M   FIdim R / p  M   ịnh nghĩa 2.4.4 Với I iđêan vành R M R  môđun hữu hạn sinh, định nghĩa fgrade  I , M :  inf i  | FIi  M   0 bậc hình thức môđun M ứng với iđêan I Khái niệm bậc hình thức đặt tương tự khái niệm bậc thông thường grade  I , M :  inf i  | H Ii  M   0 Bổ đề 2.4.5 Cho I iđêan vành địa phương  R, m  M R  môđun hữu hạn sinh i) fgrade  I , M / xM   fgrade  I , M   với x  p với p  Ass  M  \ m ii) fgrade  I , M   dim M / IM ,depthM  iii) Giả sử R vành Gorenstein Khi fgrade  I , R   cd  I , R   dim R Chứng minh i) Theo hệ 2.1.10, ta có dãy khớp ngắn  H  x, FIi  M    FIi  M '  H1  x, FIi 1  M    với i M '  M / xM Từ suy FIi  M '  với i  fgrade  I , M   1, nói cách khác fgrade  I , M / xM   fgrade  I , M   36 ii) Rõ ràng, fgrade  I , M   dim M / IM theo 2.4.3 Bây ta chứng minh fgrade  I , M   depthM cách quy nạp theo c  fgrade  I , M  Trường hợp c  hiển nhiên Giả sử c  Khi FI0  M  theo kết mục 2.3 iđêan m có chứa phần tử M  quy Suy fgrade  I , M    fgrade  I , M / xM   depth  M / xM   depth M  Do fgrade  I , M   depth M iii) Khi R vành Gorenstein, phức đối ngẫu phép giải nội xạ tối tiểu R chuyển vị bên trái d  dim R vị trí, nói cách khác DR R dim R Áp dụng định lý 2.2.1 FIi  M   Hom  H Idim Ri  R  , E  với i  Do fgrade  I , R   cd  I , R   dim R Lưu ý trường hợp tổng quát, đẳng thức fgrade I , R   cd I , R  dim R không xảy ịnh lý 2.4.6 Cho  R, m  vành địa phương với phức đối ngẫu DR Cho I iđêan R Khi  fgrade  I , M   inf i  cd  I , K i  M   | i  0, ,dim M  với M R  môđun hữu hạn sinh Chứng minh Theo 2.2.1,   fgrade  I , M    sup i  : H Ii  Hom  M , DR      Để thuận lợi, chứng minh ta kí hiệu s  C   sup i  | H i  C   với C phức R  môđun, C x phức Cech ứng với dãy phần tử sinh I Lưu ý H Ii  Hom  M , DR    H i  Cx  Hom  M , DR   với i  37   sup i  : H Ii  Hom  M , DR     s  Cx  Hom  M , DR   Mặt khác Hom  M , DR  phức bị chặn môđun đối đồng điều hữu hạn sinh C x phức bị chặn môđun phẳng nên   s  Cx  Hom  M , DR    sup s Cx  H i  Hom  M , DR    i | i   Hơn H i  Hom  M , DR    K i  M  nên   s Cx  H i  Hom  M , DR    cd  I , K i  M   ta có điều phải chứng minh Hệ 2.4.7 Cho I iđêan vành địa phương  R, m  Khi fgrade  I , M   dim M  cd  I , M  với M R  môđun hữu hạn sinh Chứng minh Vì cd  M   max cd  I , R / p | p  MinM  nên tồn p  Ass  M  cho cd  I , M   cd  I , R / p Hơn nữa, p  Ass K i  M  với   i  dim R / p suy cd  I , R / p  cd I , K i  M  Bây áp dụng định lý ta có fgrade  I , M   i  cd  I , K i  M    dim M  cd  I , M  Một áp dụng lý thuyết đối đồng điều địa phương chứng minh liên thơng dựa vào dãy Mayer-Vietoris Tương tự đối đồng điều địa phương hình thức có dãy tương ứng ịnh lý 2.4.8 Cho I , J iđêan vành địa phương  R, m  , với M R  môđun hữu hạn sinh Ta có dãy khớp dài  FIiJ  M   FIi  M   FJi  M   FiI , J   M   với i  Chứng minh Dãy khớp ngắn  M /  I nM cảm sinh dãy khớp dài J nM   M / I nM  M / J nM  M /  I n , J n  M  38   lim H mi M /  I n M  J n M   lim H mi  M / I n M   lim H mi  M / J n M     lim H mi M /  I n , J n  M  Lưu ý giới hạn ngược khớp hệ ngược môđun Artin Mặt khác, I n ,Jn M  I , J   lọc  ổn định M,  lim H mi M /  I n , J n  M  FiI , J   M  theo 2.1.6 Bây I n M định M theo bổ đề Artin-Rees  I  suy J n M IJ  lọc ổn J   lọc ổn định Một lần  theo 2.1.6, lim H mi M /  I n M J n M   FIiJ  M  Sau đây, ta trình bày ví dụ cụ thể bậc hình thức dựa vào dãy MayerVietoris Ví dụ 2.4.9 Cho k trường R  k  x1 , x2 , x3 , x4  chuỗi lũy thừa hình thức biến k Đặt I   x1 , x2  R J   x3 , x4  R Khi dãy Mayer-Vietoris cho ta hai đẳng cấu R  FI1J  R  Do fgrade  I ; FI2J  R   FI2  R   FJ2  R  J , R   2.5 Tính minimax Trong mục cuối luận văn, tìm hiểu tính minimax mơđun đối đồng điều địa phương hình thức bậc cao Nhắc lại, R  môđun M gọi minimax tồn môđun hữu hạn sinh N M cho môđun thương M / N Artin Lớp mơđun minimax đóng với phép mở rộng, phép lấy môđun môđun thương Bổ đề 2.5.1 Cho M R  môđun hữu hạn sinh Khi FIi  M  Artin   dãy giảm Kti t dừng hay môđun thương Kti / Kti1  với giá trị t đủ lớn   Chứng minh Giả sử dãy giảm môđun Kti nguyên dương n đủ lớn cho Kti  , t t dừng Khi tồn số Kti  Suy ra, đồng cấu 39 pti : FIi  M   H mi  M / I t M  đơn cấu FIi  M  đẳng cấu với môđun   H mi M / I n M Lưu ý môđun đối đồng điều địa phương môđun hữu hạn sinh ứng với iđêan tối đại Artin Vậy FIi  M  môđun Artin ịnh lý 2.5.2 Cho M R  môđun hữu hạn sinh cho l  dim M / IM  Khi FIl  M  minimax FIl  M  Artin Chứng minh Trước tiên ta chứng minh Ker htl1,t hữu hạn sinh, Ker htl1,t  Thật vậy, giả sử Ker htl1,t  Dãy khớp ngắn  I t M / I t 1M  M / I t 1M  M / I t M  cảm sinh dãy khớp dài t 1,t  H ml  I t M / I t 1M   H ml  M / I t 1M    H ml  M / I t M   hl Khi ta có dãy khớp H ml  I t M / I t 1M   Ker htl1,t      Theo giả thiết, H ml I t M / I t 1M  Do đó, dim I t M / I t 1M  l Dãy khớp cuối    Att  Ker htl1,t   Att H ml  I t M / I t 1M      p  Ass  I t M / I t 1M  | dim R / p  l  Suy Ker htl1,t không hữu hạn sinh Bây giờ, giả sử FIl  M  minimax Khi tồn số nguyên dương c   cho Ktl / Ktl1 hữu hạn sinh với t  c Khi dãy giảm Ktl t dừng c Theo bổ đề 2.5.1, FIl  M  Artin Khi dim M / IM  , định lý không Chúng ta xét trường hợp sau 40 Ví dụ 2.5.3 Cho k trường R  k  x  Xét iđêan I   x  R  môđun M  R Lưu ý R đầy đủ tôpô  x   adic (nghĩa  x   R   R Ta có dim R /  x   suy F0x   R    x  R   R Do F0x   R  hữu hạn sinh minimax Tuy nhiên, F0x   R  không Artin Hệ 2.5.4 Cho M R  môđun hữu hạn sinh Giả sử dim M / I M  ,   dim M / I M  sup i  | iI  M  kh«ng minimax Chứng minh Đặt d  dim M / I M Ta cần FId  M  không minimax Dãy khớp ngắn  H I0  M   M  M  cảm sinh dãy khớp dài    H mi  H I0  M    FIi  M   FIi M    theo 2.1.8 Mặt khác, FId M khơng Artin, suy không minimax Cuối cùng, dãy khớp dài FId  M  không minimax 41 KẾT LUẬN Trong luận văn thực số cơng việc sau: Tổng hợp trình bày chi tiết có hệ thống kết đối đồng điều địa phương hình thức (Định lý 2.1.7, Định lý 2.1.13) Trình bày việc nghiên cứu định lý đối ngẫu, tính triệt tiêu không triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương hình thức (Định lý 2.2.1, Hệ 2.2.4, Định lý 2.4.3) 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Atiyah, Mcdonald (1969), Introduction to commutative algebra, AddisonWesley Publishing company [2] A Grothendieck (1966), Local Cohomology, Notes by R Hartshorne, Lecture Notes in Math., vol 20, Springer [3] Bourbaki (1960), Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing company [4] J J Rotman (1979), An introduction to homological algebra, Academic Press [5] K Divaani-Aazar, R Naghipour, M Tousi (2002), Cohomological dimension of certain algebraic varieties, Proc Amer [6] M Brodmann, R.W Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [7] N T Cuong, T T Nam (2001), The I–adic completion and local homology for Artinian modules, Math Proc Camb Phil Soc., 131 [8] P Schenzel (2007), On formal local cohomology and connectedness, J Algebra 315, 894-923 [9] P Schenzel (2003), Proregular sequences, local cohomology, and completion, Math Scand 92 161–180 [10] P Schenzel (1998), On the use of local cohomology in algebra and geometry [11] T Kawasaki (2002), On arithmetic Macaulayfication of Noetherian rings, Trans Amer Math Soc 354 123-149 [12] Y Gu (2014), The Artinianness of Formal Local Cohomology Modules, Bull Malays Math Sci Soc., 2, no 2, 449456 [13] Zoschinger (1986), Minimax modules, J.Algebra.102, 1-32 ... để định nghĩa khái niệm đối đồng điều địa phương hình thức: giới hạn ngược, đối đồng điều địa phương phức Cech hƣơng 2: Môđun đối đồng điều địa phƣơng hình thức vành địa phƣơng Nội dung chủ yếu... ta có điều phải chứng minh 2.3 Mơđun đối đồng điều địa phƣơng hình thức thứ Trong mục cấu trúc chi tiết cho mơđun đối đồng điều địa phương hình thức thứ Cho  R, m  vành địa phương, M R  môđun. .. thống kết đối đồng điều địa phương hình thức (Định lý 2.1.7, Định lý 2.1.13) Trình bày việc nghiên cứu định lý đối ngẫu, tính triệt tiêu không triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương hình thức (Định