(trong ñó S là diện tích tam giác ABC). Tìm m ñể giá trị bé nhất của hàm số ñạt giá trị lớn nhất. a) Tính phương tích của trọng tâm G của tam giác ABC ñối với ñường tròn ngoại tiếp [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Lớp: 10 Năm học 1998 - 1999
(ðề thi thức) Mơn thi: TỐN
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/04/1999 Bài
Cho parabol: y= x2 −3x+3
a) Viết phương trình đưịng thẳng qua A(1;
) tiếp xúc với parabol b) M điểm thuộc đường thẳng
2
=
y Chứng minh qua M ln vẽ hai tiếp tuyến với parabol hai tiếp tuyến vng góc với Bài
Cho
x
1, x
2 hai nghiệm phương trình: x2 −3x+a=0; x3, x4 hai nghiệm phương trình: x2 −12x+b=0 Biết rằng:3
2
1
x
x
x
x
x
x
=
=
Tìm a, b ? Bàia) Giải hệ phương trình:
= +
= − + +
128
2 y x
y x y x
b) Cho phương trình: 4−x + x+5 =m Tìm m để phương trình có nghiệm Bài
Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
≥ + + + +
≤ + −
0 )
1 (
0 2
m x m x
x x
Bài
a) Cho đường trịn (O) với dây AB, K ñiểm cung nhỏ AB Kẻ dây KC, KD cắt AB E F Chứng minh đường trịn (ACE) (ADF) tiếp xúc với b) Cho tam giác ABC, O ñiểm tuỳ ý tam giác Hạ OM, ON, OP vng góc với cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:
r p OP AB ON
AC OM
BC + + ≥
với p nửa chu vi tam giác ABC; r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC
(2)SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Lớp: 10 Năm học 1998 - 1999
(ðề thi thức) Mơn thi: TỐN
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/04/1999 Bài ( ñiểm)
a) Cho a1,a2,a3,La2004 2004 số thực thoả mãn
2004
2 2004
2
1
+
a
+
a
=
a
L
Chứng minh rằng:
a
1+
a
2+
L
+
a
2004≤
2004
b) Giải phương trình: x4 +x2 −6x+1=0c) Giải bất phương trình:
2 2
5
5 + < + +
x x x
x
Bài (5 ñiểm)
Cho phương trình:
3
+
x
+
5
−
x
−
(
3
+
x
)(
5
−
x
)
=
m
a) Giải phương trình m = 2004b) Tìm m để phương trình có nghiệm
c) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài (5 ñiểm)
Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
a) Nếu sin2B+sin2C =2sin2 A góc A khơng vượt q 600 b) Nếu 4S = (a + b - c)(a – b + c) tam giác ABC vng
(trong S diện tích tam giác ABC) Bài (5 ñiểm)
a) Cho hàm số y =x2 +2(m−1)x+3m−5
Tìm m để giá trị bé hàm số ñạt giá trị lớn
a) Tính phương tích trọng tâm G tam giác ABC đường trịn ngoại tiếp tam giác theo độ dài cạnh
(3)
SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Lớp: 10 Năm học 2001 - 2002
(ðề thi thức) Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 04/4/2002
Bài (2 ñiểm)
Cho phương trình: x2 −8x+1=0 có nghiệm x1, x2 a) Tính S =x17 +x27
b) Tìm số ngun lớn khơng vượt q ) 15
( +
Bài (2 ñiểm)
a) Giải hệ phương trình
= + −
= +
13
4 2
2
y y x x
y x
b) Giải bất phương trình: ( 1) ( 1)
3 2
2
x x x
x x x
x + + + − + ≤ + Bài (2 ñiểm)
a) Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng:
2
3 3
c b a a c c b b a
+ + ≥ +
+
b) Cho tam giác ABC có cạnh a Gọi đường vng góc từ điểm M nằm tam giác ñều ñến cạnh BC, CA, AB MD, ME, MF Xác ñịnh vị trí điểm M để biểu thức
MD MF MF ME ME MD f
+ + + + +
= 1 ñạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ
nhất Bài (1.5 ñiểm)
Chứng minh tam giác vng, hai đường trung tuyến thuộc hai cạnh góc vng cắt theo góc nhọn
α
5 cos
α
≥ Bài (2.5 ñiểm)Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung ñiểm cạnh BC, CA, AB Dựng phía ngồi tam giác đoạn PD NE PD vng góc với AB; PD = AB NE vng góc với AC; NE = AC F điểm cho DPNF hình bình hành Chứng minh:
a) EF vng góc với AM b) BC2 + EF2 =2(AB2 + AC2)
(4)SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Lớp: 10 Năm học 2002 - 2003
(ðề thi thức) Mơn thi: TỐN
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/04/2003
Bài (6 ñiểm)
1) Cho hệ bất phương trình: ( )
0
0
I a
y x
a y x
≥ + +
≤ + −
Trong mặt phẳng toạ ñộ xét hai ñiểm A(0; 9) B(3; 6) Tìm a để toạ độ điểm đoạn AB nghiệm hệ bất phương trình
2) Giải phương trình:
4
1
+
x
−
1
=
3
x
+
2
1
−
x
+
1
−
x
2 Bài (4 ñiểm)1) Chứng minh hai số a, b, c khác thì:
2 )
( ) ( ) (
3
2
2
3 3
c b a a c c b b a
abc c
b
a = + +
− + − + −
− + +
2) Cho x, y, z số không âm Chứng minh rằng: x4 +y4 +z4 ≥ xyz(x+y+z)
Bài (4 ñiểm)
1) Chứng tỏ tam giác ABC vuông S = p (p - c)
Trong S diện tích ; a, b, c ñộ dài cạnh, p nửa chu vi tam giác ABC
2) Chứng minh ñối với tam giác ñộ dài cạnh b, c nghiệm phương
trình:
cos
1 ) (
1 2
2 =
− −
+ −
A m
k kx
x a với k = b + c ( b, c ñộ dài
tương ứng cạnh AC, AB; m ñộ dài ñường trung tuyến xuất phát từ A tam giác ) a Bài (6 ñiểm)
1) Trên ñoạn thẳng AB Người ta xét 2n ñiểm cho chúng gồm n cặp ñiểm ñối xứng với qua trung ñiểm O AB Tiếp người ta đánh dấu đỏ n điểm đánh dấu xanh n điểm cịn lại Chứng minh tổng khoảng cách từ A ñến n ñiểm ñỏ tổng khoảng cách từ B tới n ñiểm xanh
2) Cho tam giác ABC, đường phân giác góc B cắt đường trung
bình DE ( // AB) P ðường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC M, N Chứng minh ñiểm M, N, P thẳng hàng