Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E.. đề thi học sinh giỏi.[r]
(1)§Ò sè 1: Bài Tìm giá trị n nguyên dương: a) n 16 2n ; b) 27 < 3n < 243 Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: ( 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bµi a) T×m x biÕt: 2x x b) Tìm giá trị nhỏ A = x 2006 2007 x Khi x thay đổi Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau ít bao lâu thì kim đồng hồ nằm đối diện trªn mét ®êng th¼ng Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường th¼ng song song víi AC c¾t ®êng th¼ng AH t¹i E Chøng minh: AE = BC §Ò sè 2: Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A 212.35 46.92 3 510.73 255.492 125.7 59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n thì : 3n 2n 3n 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a x 3, 5 b x Bài 3: (4 điểm) x 1 x 7 x 11 0 a) Số A chia thành số tỉ lệ theo : : Biết tổng các bình phương ba số đó 24309 Tìm số A b) Cho a2 c2 a a c Chứng minh rằng: 2 b c b c b DeThi.edu.vn (2) Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là điểm trên AC ; K là điểm trên EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng · · c) Từ E kẻ EH BC H BC Biết HBE = 50o ; MEB =25o · · Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) µ 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân Cho tam giác ABC cân A có A giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD là phân giác góc BAC b) AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… DeThi.edu.vn (3) Đáp án đề Bài Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm câu điểm) a) n 16 2n ; => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4 ®iÓm) ( 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 = 1 1 1 1 (1 49) ( ) 9 14 14 19 44 49 12 = 1 (12.50 25) 5.9.7.89 ( ) 49 89 5.4.7.7.89 28 Bµi (4 ®iÓm mçi c©u ®iÓm) a) T×m x biÕt: 2x x Ta cã: x + => x - + NÕu x - th× 2x x => 2x + = x + => x = - (Tho¶ m·n) + NÕu - x < - Th× 2x x => - 2x - = x + => x = - (Tho¶ m·n) + NÕu - > x Kh«ng cã gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n b) Tìm giá trị nhỏ A = x 2006 2007 x Khi x thay đổi + NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + NÕu 2006 x 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ là 2006 x 2007 Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau ít bao lâu thì kim đồng hồ nằm đối diện trªn mét ®êng th¼ng (4 ®iÓm mçi) Gọi x, y là số vòng quay kim phút và kim 10giờ đến lúc kim đối trên ®êng th¼ng, ta cã: DeThi.edu.vn (4) x–y= (ứng với từ số 12 đến số trên đông hồ) vµ x : y = 12 (Do kim phót quay nhanh gÊp 12 lÇn kim giê) Do đó: x 12 x y xy 1 : 11 y 12 11 33 x= 12 ( vòng) x (giê) 33 11 Vậy thời gian ít để kim đồng hồ từ 10 đến lúc nằm đối diện trên đường th¼ng lµ giê 11 Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường th¼ng song song víi AC c¾t ®êng th¼ng AH t¹i E Chøng minh: AE = BC (4 ®iÓm mçi) §êng th¼ng AB c¾t EI t¹i F ABM = DCM v×: E AM = DM (gt), MB = MC (gt), · AMB = DMC (®®) => BAM = CDM F =>FB // ID => ID AC I Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) A Tõ (1) vµ (2) => CAI = FIA (AI chung) B H C M => IC = AC = AF vµ D E FA = 1v (3) (4) MÆt kh¸c EAF = BAH (®®), BAH = ACB ( cïng phô ABC) => EAF = ACB Tõ (3), (4) vµ (5) => AFE = CAB =>AE = BC DeThi.edu.vn (5) (5) Đáp án đề Bài 1:(4 điểm): a) (2 điểm) 212.35 46.92 10 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 74 A 12 12 9 3 125.7 14 212.34 1 510.73 1 12 1 59.73 1 23 212.34.2 6 12 3 10 10 b) (2 điểm) 3n 2n 3n 2n = 3n 3n 2n 2n = 3n (32 1) 2n (22 1) = 3n 10 2n 3n 10 2n1 10 = 10( 3n -2n) Vậy 3n 2n 3n 2n M10 với n là số nguyên dương Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) x 4 16 3, x 5 5 x 14 5 x 1 2 x 13 x 2 x 2 3 x21 5 3 b) (2 điểm) x 7 x 1 x 7 x 7 x 1 x 11 0 1 x 10 DeThi.edu.vn (6) x 7 x 1 1 x 10 x 7 x 10 1( x 7)10 0 x 7010 x 7 ( x 7) 1 x 8 Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số chia từ số A Theo đề bài ta có: a : b : c = : : (1) và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) k a b c = k a k;b k; c 6 Do đó (2) k ( ) 24309 25 16 36 k = 180 và k = 180 Từ (1) + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi đó ta có số A = a + b + c = 237 + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi đó ta có só A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 b) (1,5 điểm) Từ a c suy c a.b c b a c a a.b đó 2 b c b a.b a ( a b) a = b( a b) b A Bài 4: (4 điểm) I a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) · · AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) M B C H K E DeThi.edu.vn (7) Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5 điểm AC = EB · · Vì AMC = EMB MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) · · = MEK ( vì AMC EMB ) MAI AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) · Suy ·AMI = EMK · Mà ·AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) · · + IME = 180o EMK Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) µ = 90o ) có HBE · Trong tam giác vuông BHE ( H = 50o · · = 90o - HBE = 90o - 50o =40o HBE · · · = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o HEM · A là góc ngoài đỉnh M HEM BME · · · Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài tam giác ) 20 Bài 5: (4 điểm) a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) · · suy DAB DAC · Do đó DAB 200 : 100 b) ABC cân A, mà µ A 200 (gt) nên M D · ABC (1800 200 ) : 800 · ABC nên DBC 600 B Tia BD nằm hai tia BA và BC suy ·ABD 800 600 200 Tia BM là phân giác góc ABD nên ·ABM 100 Xét tam giác ABM và BAD có: · · ·ABD 200 ; · ABM DAB 100 AB cạnh chung ; BAM Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC DeThi.edu.vn C (8) §Ò sè 3: đề thi học sinh giỏi M«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ biÕt nã lín h¬n C©u Cho ®a thøc 9 vµ nhá h¬n 10 11 P x = x + 2mx + m vµ Q x = x + (2m+1)x + m T×m m biÕt P (1) = Q (-1) C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: x y a/ ; xy=84 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = x +5 B= x 15 x2 Câu 6: Cho tam giác ABC có  < 900 Vẽ phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC a Chøng minh: DC = BE vµ DC BE b Gọi N là trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM Chứng minh: AB = ME vµ ABC = EMA c Chøng minh: MA BC Đáp án đề toán C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a 0 a => a = 0; 1; 2; ; * a = => a = * a = => a = hoÆc a = - * a = => a = hoÆc a = - DeThi.edu.vn (9) * a = => a = hoÆc a = - * a = => a = hoÆc a = - C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ biÕt nã lín h¬n Gäi mÉu ph©n sè cÇn t×m lµ x Ta cã: 9 vµ nhá h¬n 10 11 9 9 63 63 63 => => -77 < 9x < -70 V× 9x M9 => 9x = -72 10 x 11 70 x 77 => x = VËy ph©n sè cÇn t×m lµ C©u Cho ®a thøc P x = x + 2mx + m vµ Q x = x + (2m+1)x + m T×m m biÕt P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + Q(-1) = – 2m – +m2 = m2 – 2m §Ó P(1) = Q(-1) th× m2 + 2m + = m2 – 2m 4m = -1 m = -1/4 C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: x y x y xy 84 a/ ; xy=84 => 4 49 3.7 21 => x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = Do x,y cïng dÊu nªn: x = 6; y = 14 x = -6; y = -14 b/ 1+3y 1+5y 1+7y 12 5x 4x ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã: 1+3y 1+5y 1+7y 7y 5y 2y 5y 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 => 2y 2y x x 12 => -x = 5x -12 => x = Thay x = vµo trªn ta ®îc: DeThi.edu.vn (10) 1 3y y y 12 2 =>1+ 3y = -12y => = -15y => y = 1 15 VËy x = 2, y = 1 thoả mãn đề bài 15 C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = x +5 Ta cã : x DÊu = x¶y x= -1 A DÊu = x¶y x= -1 VËy: Min A = x= -1 B= x 15 x 12 12 = =1+ 2 x 3 x 3 x 3 Ta cã: x DÊu = x¶y x = x + ( vế dương ) 12 12 12 12 1+ 1+ x 3 x 3 x 3 B DÊu = x¶y x = VËy : Max B = x = C©u 6: a/ XÐt ADC vµ M BAF ta cã: DA = BA(gt) P E AE = AC (gt) DAC = BAE ( cïng b»ng 900 + BAC ) D => DAC = N BAE(c.g.c ) A => DC = BE XÐt AIE vµ TIC K I T I1 = I2 ( ®®) E1 = C1( 1 DAC = BAE) B H DeThi.edu.vn C (11) => EAI = CTI => CTI = 900 => DC b/ Ta cã: MNE = BE AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME mµ AD = AB ( gt) => AB = ME (®pcm) (1) V× D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( cïng phÝa ) mµ BAC + DAE = 1800 => BAC = AEM ( ) Ta l¹i cã: AC = AE (gt) ( 3) Tõ (1),(2) vµ (3) => c/ KÐo dµi MA c¾t BC t¹i H Tõ E h¹ EP XÐt AHC vµ ABC = EMA ( ®pcm) MH EPA cã: CAH = AEP ( cïng phô víi gPAE ) AE = CA ( gt) PAE = HCA ( => AHC = ABC = EMA c©u b) EPA => EPA = AHC => AHC = 900 => MA BC (®pcm) §Ò sè 4: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u ( ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh : 1 a- 6. 3. 1 : ( b- 2 3 3 3 2003 1 4 2 12 DeThi.edu.vn (12) C©u ( ®iÓm) a- Tìm số nguyên a để a2 a lµ sè nguyªn a 1 b- T×m sè nguyªn x,y cho x - 2xy + y = C©u ( ®iÓm) a- Chøng minh r»ng nÕu a + c = 2b vµ 2bd = c (b+d) th× a c víi b,d kh¸c b d b- Cần bao nhiêu số hạng tổng S = 1+2+3+… để số có ba chữ số giống C©u ( ®iÓm) Cho tam giác ABC có góc B 450 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2CB TÝnh gãc ADE C©u ( 1®iÓm) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2 - 2y2 =1 C©u 1.a 1.b 2.a Đáp án đề Hướng dẫn chấm Thực theo bước đúng kết -2 cho điểm tối đa Thực theo bước đúng kết 14,4 cho điểm tối đa a a a (a 1) 3 a = a 1 a 1 a 1 a a3 v× a lµ sè nguyªn nªn lµ sè nguyªn lµ sè a 1 a 1 Ta cã : nguyên hay a+1 là ước đó ta có bảng sau : a+1 -3 -1 a -4 -2 VËy víi a 4,2,0,2 th× 2.b a2 a lµ sè nguyªn a 1 0,25 0,25 0,25 Tõ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 0,25 V× x,y lµ c¸c sè nguyªn nªn (1-2y)vµ (2x-1) lµ c¸c sè nguyªn đó ta có các trường hợp sau : 1 y x 2 x 1 y 1 y 1 x HoÆc 2 x y 0,25 0,25 VËy cã cÆp sè x, y nh trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi 3.a §iÓm 1§iÓm 1§iÓm 0,25 V× a+c=2b nªn tõ 2bd = c (b+d) Ta cã: (a+c)d=c(b+d) DeThi.edu.vn 0,25 0,5 (13) a c ( §PCM) b d Gi¶ sö sè cã ch÷ sè lµ aaa =111.a ( a lµ ch÷ sè kh¸c 0) Hay ad=bc Suy 3.b 0,5 Gäi sè sè h¹ng cña tæng lµ n , ta cã : n(n 1) 111a 3.37.a Hay n(n+1) =2.3.37.a 0,25 VËy n(n+1) chia hÕt cho 37 , mµ 37 lµ sè nguyªn tè vµ n+1<74 ( NÕu n = 74 kh«ng tho¶ m·n ) 0,25 Do đó n=37 n+1 = 37 n(n 1) 703 kh«ng tho¶ m·n n(n 1) 666 tho¶ m·n Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó VËy sè sè h¹ng cña tæng lµ 36 0,5 A H B C KÎ DH Vu«ng gãc víi AC v× D ACD =600 đó CDH = 300 CD CH = BC Tam gi¸c BCH c©n t¹i C CBH = 300 ABH = 150 0,5 Nªn CH = 0,5 Mµ BAH = 150 nªn tam gi¸c AHB c©n t¹i H Do đó tam giác AHD vuông cân H Vậy ADB = 1,0 450+300=750 1,0 2 2 Tõ : x -2y =1suy x -1=2y 0,25 Nếu x chia hết cho vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= 0,25 nguyªn tè tho¶ m·n Nếu x không chia hết cho thì x2-1 chia hết cho đó 2y2 chia hết cho Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho đó x2=19 0,25 kh«ng tho¶ m·n VËy cÆp sè (x,y) nhÊt t×m ®îc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu 0,25 bµi lµ (2;3) DeThi.edu.vn (14) §Ò sè 5: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (3đ): 1, Tính: 1 P = 2003 2004 2005 5 2003 2004 2005 2 2002 2003 2004 3 2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 x3 x 0, 25 xy 3, Cho: A = x2 y Tính giá trị A biết x ; y là số nguyên âm lớn Bài (1đ): Tìm x biết: 3x + 3x + + 3x + = 117 Bài (1đ): Một thỏ chạy trên đường mà hai phần ba đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại qua đầm lầy Thời gian thỏ chạy trên đồng cỏ nửa thời gian chạy qua đầm lầy Hỏi vận tốc thỏ trên đoạn đường nào lớn ? Tính tỉ số vận tốc thỏ trên hai đoạn đường ? Bài (2đ): Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngoài ∆ABC các ∆ ABD và ACE Gọi M là giao điểm BE và CD Chứng minh rằng: 1, ∆ABE = ∆ADC · 2, BMC 1200 Bài (3đ): Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm 1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó 2, Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Chứng minh: AE = AB §Ò sè 6: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (4đ): Cho các đa thức: A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + DeThi.edu.vn (15) B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 16 1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 2, Tính giá trị M(x) x = 0, 25 3, Có giá trị nào x để M(x) = không ? Bài (4đ): 1, Tìm ba số a, b, c biết: 3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết: 2x x x Bài (4đ): Tìm giá trị nguyên m và n để biểu thức có giá trị lớn 6m 8n 2, Q = có giá trị nguyên nhỏ n3 1, P = Bài (5đ): Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b Qua M là trung điểm BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác góc A, cắt các đường thẳng AB, AC D, E 1, Chứng minh BD = CE 2, Tính AD và BD theo b, c Bài (3đ): · Cho ∆ABC cân A, BAC 1000 D là điểm thuộc miền ∆ABC cho · · DBC 100 , DCB 200 Tính góc ADB ? §Ò sè 7: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (3đ): Tính: 1 3 1 1 1, 6 1 1 2, (63 + 62 + 33) : 13 3, 1 1 1 1 10 90 72 56 42 30 20 12 Bài (3đ): 1, Cho a b c và a + b + c ≠ 0; a = 2005 b c a Tính b, c 2, Chứng minh từ hệ thức ab cd ta có hệ thức: ab cd DeThi.edu.vn (16) a c b d Bài (4đ): Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Bài (3đ): Vẽ đồ thị hàm số: 2 x ; x x ; x y= Bài (3đ): Chứng tỏ rằng: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 là số chia hết cho 100 Bài (4đ): Cho tam giác ABC có góc A = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác đó cắt I Chứng minh: ID = IE §Ò sè 8: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (5đ): 1, Tìm n N biết (33 : 9)3n = 729 2, Tính : A = + 0, (4) Bài (3đ): Cho a,b,c R và a,b,c thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: a (a 2007b) = c (b 2007c) Bài (4đ): Ba đội công nhân làm công việc có khối lượng Thời gian hoàn thành công việc đội І, ІІ, ІІІ là 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ là người và suất công nhân là Hỏi đội có bao nhiêu công nhân ? Câu (6đ): Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngoài ∆ABC các ∆ ABD và ACE 1, Chứng minh: BE = DC 2, Gọi H là giao điểm BE và CD Tính số đo góc BHC Bài (2đ): DeThi.edu.vn (17) Cho m, n N và p là số nguyên tố thoả mãn: mn p = p m 1 Chứng minh : p2 = n + §Ò sè 9: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a, Cho A (0,8.7 0.82 ).(1,25.7 1,25) 31,64 B (11,81 8,19).0,02 : 11,25 Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ? b) Sè A 101998 cã chia hÕt cho kh«ng ? Cã chia hÕt cho kh«ng ? C©u 2: (2 ®iÓm) Trên quãng đường AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với B×nh lµ 2: §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: Tính quãng đường người tới lúc gặp ? C©u 3: a) Cho f ( x) ax bx c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ Chøng tá r»ng: f (2) f (3) BiÕt r»ng 13a b 2c b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A 6 x cã gi¸ trÞ lín nhÊt C©u 4: (3 ®iÓm) Cho ABC dùng tam gi¸c vu«ng c©n BAE; BAE = 900, B vµ E n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c bê AC Dùng tam gi¸c vu«ng c©n FAC, FAC = 900 F vµ C n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c bê AB a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE b) FB EC C©u 5: (1 ®iÓm) T×m ch÷ sè tËn cïng cña 18 A 19 19 29 DeThi.edu.vn (18) §Ò sè 10: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) 3 0,375 0,3 1,5 0,75 1890 11 12 : 115 a) TÝnh A 2,5 1,25 0,625 0,5 2005 11 12 1 1 1 b) Cho B 2004 2005 3 3 3 Chøng minh r»ng B C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu a c 5a 3b 5c 3d th× b d 5a 3b 5c 3d (giả thiết các tỉ số có nghĩa) b) T×m x biÕt: x 1 x x x 2004 2003 2002 2001 C©u 3: (2®iÓm) a) Cho ®a thøc f ( x) ax bx c víi a, b, c lµ c¸c sè thùc BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn b) Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba đường cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ víi ba sè nµo ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC M, N Chøng minh r»ng: a) DM = EN b) §êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN c) Đường thẳng vuông góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi trên c¹nh BC C©u 5: (1 ®iÓm) Tìm số tự nhiên n để phân số 7n cã gi¸ trÞ lín nhÊt 2n DeThi.edu.vn (19) §Ò sè 11: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh: 3 11 11 A = 0,75 0,6 : 2,75 2,2 13 13 10 1,21 22 0,25 225 : B = 49 b) Tìm các giá trị x để: x x 3x C©u 2: (2 ®iÓm) a b c kh«ng lµ sè nguyªn ab bc ca b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = Chøng minh r»ng: ab bc ca a) Cho a, b, c > Chøng tá r»ng: M C©u 3: (2 ®iÓm) a) Tìm hai số dương khác x, y biết tổng, hiệu và tích chúng tỉ lệ nghÞch víi 35; 210 vµ 12 b) VËn tèc cña m¸y bay, « t« vµ tµu ho¶ tØ lÖ víi c¸c sè 10; vµ Thêi gian m¸y bay bay tõ A đến B ít thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B bao lâu ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q cho chu vi APQ b»ng Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450 C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 1 1 15 25 1985 20 §Ò sè 12: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Chứng minh với số n nguyên dương có: A= 5n (5n 1) 6n (3n 2) 91 b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè P cho P 14 lµ sè nguyªn tè Bµi 2: ( ®iÓm) a) T×m sè nguyªn n cho n n bz cy cx az ay bx a b c a b c Chøng minh r»ng: x y z b) BiÕt Bµi 3: (2 ®iÓm) DeThi.edu.vn (20) An và Bách có số bưu ảnh, số bưu ảnh người chưa đến 100 Số bưu ảnh hoa An b»ng sè bu ¶nh thó rõng cña B¸ch + B¸ch nãi víi An NÕu t«i cho b¹n c¸c bu ¶nh thó rõng cña t«i th× sè bu ¶nh cña b¹n gÊp lÇn sè bu ¶nh cña t«i + An tr¶ lêi: cßn nÕu t«i cho b¹n c¸c bu ¶nh hoa cña t«i th× sè bu ¶nh cña t«i gÊp bèn lÇn sè bu ¶nh cña b¹n Tính số bưu ảnh người Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho ABC cã gãc A b»ng 1200 C¸c ®êng ph©n gi¸c AD, BE, CF a) Chøng minh r»ng DE lµ ph©n gi¸c ngoµi cña ADB b) TÝnh sè ®o gãc EDF vµ gãc BED Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n: 52 p 1997 52 p q §Ò sè 13: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) 5 13 10 230 46 6 25 TÝnh: 27 2 10 1 : 12 14 7 10 Bµi 2: (3 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: A 3638 4133 chia hÕt cho 77 b) Tìm các số nguyên x để B x x đạt giá trị nhỏ c) Chøng minh r»ng: P(x) ax bx cx d cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn vµ chØ 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn Bµi 3: (2 ®iÓm) a c Chøng minh r»ng: b d ab a b a b2 ab vµ cd c d c2 d cd a) Cho tØ lÖ thøc b) Tìm tất các số nguyên dương n cho: 2n chia hết cho Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q cho chu vi APQ b»ng Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450 Bµi 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 3a 2b 17 10a b 17 (a, b Z ) DeThi.edu.vn (21)