SKKN: Giúp học sinh phát hiện sai lầm khi giải phương trình vô tỉ

Sáng kiến “Giúp học sinh phát hiện sai lầm khi giải phương trình vô tỉ” tìm ra một số ví dụ về sai lầm của học sinh, từ đó đưa ra một số cách sửa chữa các sai lầm đó một cách cụ thể. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến trên.

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN SAI LẦM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Quảng Bình , ngày 20-5-2013 PHẦN THỨ NHẤT: PHẦN MỞ ĐẦU: 1.1 - Lý chọn đề tài : Muốn cơng nghiệp hố đại hố đất nước phải nhanh chóng tiếp thu khoa học kỹ thuật đại giới Do phát triển vũ bão khoa học kỹ thuật, kho tàng kiến thức nhân loại tăng lên nhanh chóng Cái mà hơm cịn ngày mai trở thành lạc hậu Nhà trường luôn cung cấp cho học sinh hiểu biết cập nhật Điều quan trọng phải trang bị cho em lực tự học để tự tìm kiếm kiến thức cần thiết tương lai Sự phát triển kinh tế thị trường, xuất kinh tế tri thức tương lai đòi hỏi người lao động phải thực động, sáng tạo có phẩm chất thích hợp để bươn chải vươn lên cạnh tranh khốc liệt Việc thu thập thông tin, liệu cần thiết ngày trở nên dễ dàng nhờ phương tiện truyền thơng tun truyền, máy tính, mạng internet v.v Do đó, vấn đề quan trọng người hay cộng đồng không tiếp thu thơng tin, mà cịn xử lý thơng tin để tìm giải pháp tốt cho vấn đề đặt sống thân xã hội Như yêu cầu xã hội việc dạy học trước nặng việc truyền thụ kiến thức thiên việc hình thành lực hoạt động cho HS Để đáp ứng yêu cầu cần phải thay đổi đồng thành tố trình dạy học mục tiêu, nội dung, phương pháp, hình thức tổ chức, phương tiện, cách kiểm tra đánh giá - Hiện mục tiêu giáo dục cấp THCS mở rộng, kiến thức kỹ hình thành củng cố để tạo lực chủ yếu : + Năng lực hành động + Năng lực thích ứng + Năng lực chung sống làm việc + Năng lực tự khẳng định Trong đề tài quan tâm để khai thác đến nhóm lực "Năng lực chung sống làm việc" "Năng lực tự khẳng định mình" kiến thức kỹ thành tố lực HS Trong trình giảng dạy thực tế lớp số năm học, tơi phát cịn nhiều học sinh thực hành kỹ giải tốn cịn có nhiều học sinh chưa thực hiểu kỹ phương trình vơ tỉ giải phương trình vơ tỉ hay có nhầm lẫn hiểu sai vấn đề nên thực sai mục đích Việc giúp học sinh nhận nhầm lẫn giúp em tránh nhầm lẫn cơng việc vơ cần thiết cấp bách mang tính đột phá mang tính thời cao, giúp em có am hiểu vững lượng kiến thức tạo móng để tiếp tục nghiên cứu dạng toán cao sau Nội dung đề tài trước có số người nghiên cứu song nội dung chung chung, chưa đưa dạng cụ thể Trong đề tài cố gắng tìm số ví dụ sai lầm học sinh, từ đưa số cách sửa chữa sai lầm cách cụ thể Mong đề tài em học sinh đồng nghiệp đón nhận 1.2 - Phạm vi áp dụng đề tài: *Đối tượng nghiên cứu: -Như trình bày nên sáng kiến tơi nghiên cứu hai nhóm đối tượng cụ thể sau : Giáo viên dạy toán THCS Học sinh lớp THCS : bao gồm lớp với tổng số 35 học sinh * Phạm vi nghiên cứu: -Trong sáng kiến nêu số “sai lầm” mà học sinh thường mắc phải q trình làm tập phương trình vơ tỉ - Đại số -Phân tích sai lầm số toán cụ thể để học sinh thấy lập luận sai thiếu chặt chẽ dẫn tới giải khơng xác -Từ định hướng cho học sinh phương pháp giải tốn phương trình vô tỉ * Phạm vi áp dụng đề tài: Đề tài áp dụng cho học sinh lớp giáo viên dạy Toán THCS PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG 2.1: Thực trạng nội dung cần nghiên cứu Qua nhiều năm dạy mơn Tốn 9, tơi nhận thấy: Khi gặp tốn phương trình vơ tỉ học sinh chưa phân loại định hình cách giải, lúng túng đặt điều kiện biến đổi,trong phương trình loại có nhiều dạng Nhưng bên cạnh chương trình đại số khơng nêu cách giải tổng quát cho dạng, thời lượng dành cho phần Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua khơng giải trình bày cách giải đặt điều kiện lấy nghiệm sai phần Khi giảng dạy cho học sinh nhận thấy: Khi giải pt: x   5x   3x  (1) Ví dụ 1: Lời giải sai: (1)  x 1  3x   5x 1(2) Bình phương hai vế : x-1 = 5x - + 3x – + 15x2 13x  (3) Rút gọn :2-7x = 15x2 13x  2(4) Bình phương hai vế : -14x + 49x2= 4(15x2-13x +2) (5) Rút gọn :11x2- 24x + = (11x-2)(x-2) = Tìm Phân tích sai lầm : Khơng ý đến ĐK Căn thức có nghĩa x 1 xác định x  Do x = Khơng phải nghiệm 11 Sai lầm thứ hai (4) (5) Không tương đương  7x   2 (2  x)  4(15x  13x  2) Mà (4)   x1  ; x2  11 PT(5) PT hệ PT (4), tương đương với (4) ĐK 2-7x  Do x = khơng phải nghiệm (1) Cách giải : Cách 1: Giải xong thử lại Cách 2:Đặt ĐK thức xác định x  , x  Do giải xong kết luận phương trình vơ nghiệm Cách 3:Chứng minh vế trái số âm Cịn vế phải khơng âm.KL phương trình vơ nghiệm Ví dụ 2: Giải PT (x+3) x 1   x 3  x  3   x   Ta có :(x+3)    x 1   x  Lơì giải sai: Nhận xét :Rõ ràng x = - nghiệm PT  B0  Ghi nhớ : A B     A    B  Ví du 3: x4  x2 Giải PT:  x4 x  4   x  4     2 x   x  4x  x(x  3)  x   (x  2) Lời giải sai: x   x     x  4    x    x  3  x0  x  3  Nhận xét : Rõ ràng x = -3 nghiệm PT  A0 Ghi nhớ : A  B   A  B Ví dụ 4: Lờigiảisai: Giải PT: 2x  1 x2  x2  x2 2x  2x    2x   x     1  x2 x2 2x   x  x  7 Vậy PT vơ nghiệm Nhận xét : PT cho có nghiệm x = -7 ?   A    B   Ghi nhớ :  A B A B A  0; B  khiA  ; B  Như lời giải bỏ sót trường hợp A  0; B  Nên nghiệm x = -7 Ví dụ 5: Giải PT: x   x   x   x  16 Lời giải sai: Ta có : x   x 1  2x   4x 16  x 1   x   x 1  2x   4(x  4)  x 1  2x    x 1  2x  x 1   ; x  Vậy PT có nghiệm x = Nhận xét : Ta thấy x = nghiệm PT  A0 Ghi nhớ : A  B  A  C    B C Ví dụ 6: Giải PT: x( x  1)  x( x  2)  x( x  3) Lời giải sai: Ta có x(x 1)  x(x  2)  x(x  3)  x x 1  x x   x x   x 1  x   x 3 ; Căn thức có nghĩa x  Khi ta có :  x 1  x   x   x   x  Do PT vơ nghiệm  x   x   Nhận xét : Có thể thấy x = nghiệm PT Việc chia hai vế cho làm nghiệm  A B A  0; B    A  B khiA  0; B  Ghi nhớ: A B   x Do lời giải phải bổ sung trường hợp x  ,và xét trường hợp x < Kết cụ thể chưa áp dụng đề tài là: Học sinh lớp 9A, số lượng HS: 35 em Kém Yếu TB Khá Giỏi SL % SL % SL % SL % SL % 04 11.4 10 28.6 11 31.4 07 20.0 03 8.6 Đứng trước thực trạng đó, thân người phân công trực tiếp dạy mơn Tốn 9, thời gian qua, tơi thường xuyên tìm hiểu sai lầm lời giải học sinh Từ đó, tìm tịi nghiên cứu đưa số cách giải cụ thể cho dạng Để giúp học sinh giải tốt phương trình vô tỉ, năm học qua vận dụng số biện pháp sau để giảng dạy, hướng dẫn học sinh giải tốn có hiệu 2.2 Các giải pháp: 2.21-Phương pháp bình phương hai vế PT: Trước hết ta cô lập thức chứa ẩn vế, đặt ĐK cho vế khơng âm bình phương hai vế PT Ví du 1: Giải PT: Giải: 2+ 2x 1  x (1) ĐK:x  (2) 2 PT(1)  2x 1  x  2(3) ;ĐK: x  2(4) 2x 1  (x  2) (5)  x  6x 5  Giải x1=1 khơng thõa mãn (4); x2 = 5thỗ mãn (2)và (4) Vậy PT có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải PT: x 1  x   1(1) Giải: ĐK:x  2(2) PT(1)  x 1   x  2(3) Hai vế (3) khơng âm bình phương hai vế : x + = 1+x – + x    x   x    x    x  ,thõa mãn ĐK (2) Vậy PT có nghiệm x = 2.22-Phương pháp: Đưa PT PT chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối: x2 4x   x  8(1) Ví dụ: Giải PT: Giaûi(1)  ( x  2)  x   x   x  8Nếu x  2thì x -  x   x  5, Thuộc khoảng xét Nếu x  2thì - x   x  8, PT vô nghiệm Kết luận x  2.23-Phương pháp đặt ẩn phụ: Ví dụ: x2 - x   Giải pT: Giải:ĐK: x  ; PT cho có dạng: x2   x2    Đặt : x   t  0PT coù dạng t  t   0Giải t  2; t  1(loaïi) Với t = Thì x    x2   x   Kết luận: x=  2.24-Phương pháp đưa hệ phương trình : Giải PT: Giải: x   x 1  3; ĐK:x  1(1) Đặt x   y, x 1  z ;Khi x-2= y3 ;x+1 = z2  y  z  3( )  Ta có HPT sau:  z  y  3(3) ;Giải HPT (y = 1;z =2)thõa mãn ;  z  0(4)  Giải tìm x = 3(Thoã mãn) Kết luận: x = 2.25-Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: a)Chứng tỏ tập giá trị hai vế rời nhau: Ví dụ: Giải PT: x 1  5x 1  3x  2(1) ĐK:x  ;Ta có với ĐK x < 5x Do x 1  5x 1  Vế trái số âm cịn vế phải khơng âm Vậy PT vơ nghiệm b)Sử dụng tính đối nghịch hai vế: 2 Giải PT: 3x  6x   5x 10x 14   2x  x Ví dụ: Giải: 2 Vế trái PT: 3(x 1)   5(x 1)     Vế phải PT:5-(x+1)2  Vậy hai vế PT x  1 Kết Luận : x= -1 c)Sử dụng tính đơn điệu: Giải PT: x   x   3(1) Ví dụ : Giải : Ta thấy x =3 nghiệm PT Với x >3 Thì x   1, x   Nên vế trái (1) > Với -1  x  3Thì x -  1; x   Nên vế trái (1) < Vậy x =3 nghiệm PT d)Sử dụng ĐK xảy dấu : Ví dụ: Giải PT: Giải ; ĐK:x > x 4x   4x   (1) x a b Áp dụng BĐT   Với a>0,b>0 Xẩy dấu “=” b a a=b 2 Do (1)  x  4x   x  4x   x  4x   0(Dox  )  x   Thõa mãn (2) 2.26-Phương pháp dùng biểu thức liên hợp: Ví dụ: Giải PT: 4x   3x   x3 (1) ĐK: x  Nhân hai vế PT cho biểu thức liên hợp(1)  x3   x 3 ( 4x 1  3x  2)   x  3 4x   3x     4x   3x   x   (2) Giải PT (2) Ta có x= nghiệm PT * GIỚI THIỆU THÊM BÀI TẬP ĐỂ HỌC SINH LUYỆN TẬP Bài 1: Giải PT: x   x  2(1) ; Hướng dẫn: ĐK:x  Bình phương hai vế giải x = 2 Bài 2: Giải PT: x  x   x  Hướng dẫn : Đặt t= x  (1); 1   x  t2  4  1 (1)   t    Giải t =   x   2  2 Bài 3: GiảiPT: x  x   x (1) ; Hướng dẫn : ĐK: x > Biến đổi(1)  x  1  …  x   x   Bài 4:Giải PT: a) x   x  b)  x   x  ; c)  x   x  Hướng dẫn : Dùng Phương pháp bình phương hai vế Kết quả: câu a) x = 3; Bài 5: Giải PT: x2  2x  x 1 b) x= 1  ; c) x = 0; x = x 1   x 1   x (1); HD:ĐK:  ( x  )( x  )   (1)   x    x Bình phương hai vế giải kết x = -3; x = -2(KTM) PT vô nghiệm Bài 6: Giải PT sau: a)  2x  x 1; b) x   x  14 3 x 5 Hướng dẫn: câua) PT Vơ nghiệm;  3; câu b)PT có vô số nghiệm x  Giải PT:a) 3 x 3x 5; Bài 7: b)  x  2x   x  Câu: a) Biến đổi Tương đương  9 x  29 x  22  Câu: b)Tương tự 2 Bài :Giải PT:3x2 +2x = x  x   x (1);HD:Biến đổi (1) 3x  3x  x  x   Dùng Phương pháp đặt ẩn phụ: x  x  t  Giải PT ẩn t có hai nghiệm t=1; t=  Thay giải tìm x Bài 9: Giải : a) x2  2x 1  x2  4x   3; b) x   x 1  x   x 1  Hướng dẫn: Biến đổi PT chứa dấu giá trị tuyệt đối Câu:a)   x  1; Câu b)  x  10 2 Giải PT: x2 +4x +5 = 2x  (1);HD ĐK: x  ;Biến đổi (1) Bài 10:  x 12   x 1  2x  1     2x  1   Bài 11:Giải PT:    a) x   x  c) x  2x   x  2x 1 b) x    x d ) 4x  x   3x  2; e) x  2x   x 1 Hướng dẫn: Câu a,b,,d,e; Dùng phép biến đổi  B  A  B   A  B Câu c: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ Bài 12:GiảiPT: a) 3x  6x   5x 10x  14   2x  x (1) b) x    x  x  6x  11(1) Hướng dẫn: Dùng BĐT: Câu a) VT  ; VP  Do PT có nghiệm hai vế nhau: x =-1   Câub) VT: Áp dụng BĐT Bu nhiacốp xki: x    x  (12  12 )(2)  VT  Dấu “=” xẩy … x =3 VP: =…= (x-3)2 +2  ; Dấu “=” xẩy x =3 Vậy PT có nghiêm x = Bài 13: Giải PT: x 1   x  (x 1)(3  x)  Hướng dẫn: ĐK: 1  x  3; Đặt t = x 1  3 x ; Với ĐK t  PT có dạng: t2-2t = giải ptrình theo t -Trên số phương pháp giải tốn phương trình vô tỉ sai lầm mà học sinh hay mắc phải, song trình hướng dẫn học sinh giải tập, giáo viên cần phân tích kỹ đề để học sinh tìm phương pháp giải phù hợp, tránh lập luận sai hiểu sai đầu dẫn đến kết khơng xác Kết đạt sau áp dụng đề tài: Lớp 9A, SL: 35 em Kém SL Yếu % SL TB % SL Khá % SL Giỏi % SL % 01 2.9 06 17.1 15 42.9 08 22.9 05 14.3 PHẦN THỨ BA: KẾT LUẬN 3.1: Ý nghĩa đề tài: Phần kiến thức phương trình vơ tỉ - Đại số rộng sâu, tương đối khó với học sinh, nói có liên quan mang tính thực tiễn cao, tập kiến thực rộng, nhiều, độ tư lớn Qua việc giảng dạy thực tế nhận thấy để dạy học tốt phần phương trình vơ tỉ cần phải nắm vững sai lầm học sinh thường mắc phải bên cạnh học sinh phải có đầy đủ kiến thức cũ, phải có đầu óc tổng quát, lơgic có nhiều học sinh cảm thấy khó học phần kiến thức Để nâng cao chất lượng dạy học giúp học sinh hứng thú học tập mơn Tốn nói chung phần phương trình vơ tỉ nói riêng giáo viên phải tích luỹ kiến thức, phải có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ cho học sinh cầu nối linh hoạt có hồn kiến thức học sinh Với sáng kiến “Giúp học sinh phát tránh sai lầm giải toán phương trình vơ tỉ” tơi cố gắng trình bày sai lầm học sinh thường mắc phải cách tổng qt nhất, bên cạnh tơi củng phân tích kỉ phần kiến thức so với khả tiếp thu học sinh để giáo viên có khả phát sai lầm học sinh để từ định hướng đưa hướng biện pháp khắc phục sai lầm Bên cạnh tơi ln phân tích sai lầm học sinh nêu phương pháp khắc phục định hướng dạy học dạng để nâng cao cách nhìn nhận học sinh qua giáo viên giải vấn đề mà học sinh mắc phải cách dễ hiểu Ngồi tơi cịn đưa số tập tiêu biểu thơng qua ví dụ để em thực hành kỹ Vì thời gian nghiên cứu đề tài có hạn tơi nghiên cứu phạm vi Vì tơi đưa vấn đề để áp dụng vào năm học qua đúc rút năm học trước dạy 3.2: Kiến nghị, đề xuất: Tôi xin đề xuất số ý nhỏ sau nhằm nâng cao chất lượng dạy học giáo viên học sinh : - Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung chương trình sách giáo khoa, soạn giáo án cụ thể chi tiết, thiết kế đồ dùng dạy học TBDH cho sinh động thu hút đối tượng học sinh tham gia - Giáo viên cần tích cực học hỏi tham gia chuyên đề, hội thảo tổ, nhóm nhà trường, tham gia tích cực nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng thường xuyên - Học sinh cần học kĩ lý thuyết cố gắng hiểu kĩ kiến thức lớp - Học sinh nhà tích cực làm tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập - Gia đình học sinh tổ chức đoàn thể xã hội cần quan tâm trách nhiệm tới việc học tập em - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Nhà trường cần tổ chức buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chun đề Vì khả có hạn, kinh nghiệm giảng dạy mơn Tốn chưa nhiều, tầm quan sát tổng thể chưa cao, lại nghiên cứu thời gian ngắn, nên khó tránh khỏi thiếu sót khiếm khuyết Rất mong lãnh đạo đồng nghiệp bảo, giúp đỡ bổ xung cho để sáng kiến đầy đủ vận dụng tốt có chất lượng năm học sau Tơi xin chân thành cám ơn ! TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách " Một số vấn đề đổi PPDH trường THCS mơn tốn" Bộ giáo dục Đào tạo Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho GV THCS chu kỳ III ( 2004-2007) mơn tốn Bộ giáo dục Đào tạo 3 Những vấn đề chung đổi giáo dục trung học sở mơn tốn Bộ giáo dục Đào tạo Giáo trình " Phương pháp dạy học tốn" tác giả Hồng Chúng - BGD&ĐT SGK SGV tốn 6,7,8,9.(BGD&ĐT)… MỤC LỤC - PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU Trang LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trang PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trang PHẦN II NỘI DUNG ĐỀ TÀI Trang Chương THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Trang Chương MỘT SỐ GIẢI PHÁP Trang Giải pháp Trang Giải pháp Trang 11 Giải pháp Trang12 KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ Trang 18 KẾT LUẬN Trang 18 KIẾN NGHỊ Trang 19 PHẦN III TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 19 ... thức cũ cho học sinh cầu nối linh hoạt có hồn kiến thức học sinh Với sáng kiến ? ?Giúp học sinh phát tránh sai lầm giải tốn phương trình vơ tỉ? ?? tơi cố gắng trình bày sai lầm học sinh thường mắc... Trong trình giảng dạy thực tế lớp số năm học, phát nhiều học sinh thực hành kỹ giải tốn cịn có nhiều học sinh chưa thực hiểu kỹ phương trình vơ tỉ giải phương trình vơ tỉ hay có nhầm lẫn hiểu sai. .. học sinh để giáo viên có khả phát sai lầm học sinh để từ định hướng đưa hướng biện pháp khắc phục sai lầm Bên cạnh tơi ln phân tích sai lầm học sinh nêu phương pháp khắc phục định hướng dạy học