Bốn người khách cùng ra khỏi quán và bỏ quên mũ. Chủ quán không biết rõ chủ của những chiếc mũ đó nên gửi trả cho họ một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để cả bốn người cùng được trả sai[r]
(1)1 Câu I(4 điểm)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y f x x33x2
2 Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y m x 2x 3 2 cắt trục hoành ba điểm phân biệt
Câu II(4 điểm)
1 Giải phương trình lượng giác: cos 2 3 sin 2cos 2sin 2 2sin 1 2cos 1
x x x
x x
x
2 Giải hệ phương trình: 2
2
27 2
1
3
1
4 x y x 4
xy y
x x
y x
Câu III(4 điểm)
1 Bốn người khách khỏi quán bỏ quên mũ Chủ quán rõ chủ mũ nên gửi trả cho họ cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để bốn người trả sai mũ
2 Số lượng loài vi khuẩn phịng thí nghiệm tính theo cơng thức ( )S t A e rt Trong đó, A số lượng vi khuẩn ban đầu, ( )S t số lượng vi khuẩn có sau thời gian t (phút),
0
r tỷ lệ tăng trưởng không đổi theo thời gian t thời gian tăng trưởng Biết số lượng vi khuẩn ban đầu có 500 sau có 1500 Hỏi bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt 121500 ?
Câu IV(6 điểm)
1 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ’ ’ ’, có đáy ABC tam giác vuông với ABBC2 A’ cách đỉnh , , .A B C Gọi ,L K trung điểm BC AC, Trên đoạn ’ , ’A B A A lấy M N, cho MA’ 2 BM AA, ’ ’ A N Tính thể tích khối tứ diện MNKL, biết
’ 10
A L
2 Bạn An muốn làm thùng hình trụ khơng đáy từ ngun liệu mảnh tơn hình tam giác ABC có cạnh 90 cm Bạn cắt mảnh tơn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M, N thuộc cạnh BC; P, Q tương ứng thuộc cạnh AC AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao MQ Tính thể tích lớn thùng mà bạn An làm
3 Cho hình chóp S ABC có AB BC CA a , SA SB SC a 3, M điểm không gian Gọi d tổng khoảng cách từ M đến tất đường thẳng AB, BC, CA, SA, SB,
SC Tính giá trị nhỏ d Câu V(2 điểm)
Cho ba số thực a, b, c không nhỏ thỏa mãn a2b2c2 12
Tìm giá trị nhỏ biểu thức 21 21 2 ( )( )
1
P a b a c
a b c c
HẾT SỞ GD & ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC
ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC ĐỘI TUYỂN HSG LẦN LIÊN TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC - THẠCH THÀNH
NĂM HỌC 2020 -2021
Mơn: Tốn - Lớp 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày kiểm tra: 08 tháng 11 năm 2020 (Đề thi gồm có 01 trang, 05 câu)
(2)2 Qui định chung
+) Tổng điểm thi làm tròn đến 0.25 điểm
+) Học sinh giải theo cách khác Nếu cho điểm tối đa phần theo qui định +) Nếu hình khơng vẽ vẽ sai khơng chấm điểm
SỞ GD & ĐT THANH HĨA TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC ĐỘI TUYỂN HSG LIÊN TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC - THẠCH THÀNH
NĂM HỌC 2020 -2021
Mơn: Tốn - Lớp 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày kiểm tra:08 tháng 11 năm 2020 (Đáp án gồm có 09 trang, 05 câu)
Câu Nội Dung Điểm
I
(4đ) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
3 3 2
y f x x x 2đ
Tập xác định: D R
Sự biến thiên:
+) Giới hạn tiệm cận: lim ,lim
x x
y y
đồ thị hàm số khơng có tiệm cận
0,5
+) Chiều biến thiên: y' 3 x23.
2
' 3
1 x
y x
x
Hàm số đồng biến khoảng ; 1 1; Hàm số nghịch biến khoảng 1;1
0,5
ng biến thiên:
0,5
Đồ thị:
+)Nhận điểm uốn I(0; -2) làm tâm đối xứng
+) Cắt Ox điểm ( 1;0); 2;0 , cắt Oy điểm (0; 2)
Đồ thị hình vẽ
0,5
Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y 3m x 2x 3 2 cắt trục
hoành ba điểm phân biệt 2đ
(3)3 Nhận thấy số giao điểm đồ thị hàm số trục hồnh số nghiệm phương trình
3 m x 2x 3 2 Điều kiện:
2 x
Đặt u 3m x , v 2x 3 0 ta có hệ
3
2
2
u u v
u v m
0,5
Từ u v 2 v u, thay vào phương trình cịn lại hệ ta
2
3
2u 2u 2m 3 2u u 4u 7 2m Do v0 nên u2
Với cách đặt u 3m x ta suy với giá trị u2 có giá trị x tương ứng
0,5
Xét hàm số f u 2u3u24u7 ; 2, ta có
6 2 4
f u u u ;
1
0 2
3 u f u
u
Bảng biến thiên f u :
0,5
Dựa vào bảng biến thiên ta suy phương trình có ba nghiệm u phân biệt
chỉ 145 10 145
27 m 54 m
0,5
II (4đ)
1.Giải phương trình: cos 2 3 sin 2cos 2sin 2 2sin 1 2cos 1
x x x
x x
x
2đ
Điều kiện 2cosx 1 0,25
Phương trình cho tương đương với: cos sin 2cos 2sin 1 cos
x x
x x
x
0,5
cos 2x sinx 2sinx
1 sinx2sinx 3
sin
3 sin
2 x x
0,5
+) sin ,
2
(4)4 +) 3 sin 2 2 x k
x k Z
x k
Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm phương trình cho là:
2
x k 2
x k (với k Z )
0,25
2 Giải hệ phương trình:
2
2
27 2
1
3
1
4 x y x 4
xy y x x y x 2đ
ĐK:x0
NX: x = không TM hệ PT Xét x >
PT (1) 3y 3y 9y2 1 x x x
2
2 1
3y 3y (3 )y 1
x x x
(3)
0.5
Từ (1) x > ta có: y > Xét hàm số f(t)= t + t t2 1, t > Ta có: f’(t) = + 2
2 1 t t t
>0 Suy f t luôn đồng biến (0,+∞)
PT (3) f 3y f x
3y =
1 x
0.25
Với 3y x
thay vào (2) ta được:
2
2 4
4 x x x x
x
4 Điều kiện có nghiệm
2
4x 4x 0 x
2 12 x
x
0; \
2
x
2
4 x x x
x
2 2
2
6x 4x log 2x log x
2 2
2
log 2x 4x log x 6x
2
2
log 2x 4x 4x log x 2x
log 22 x1 2 2x12 log 22 x2x
0.5
2
2
g x g x
miền 0;
Xét g t log2t t 1 ln g t
t
t
f t
đồng biến
2 2
2x 2x 4x 4x 2x
(5)5 III
(4đ)
IV (6đ)
2
4x 6x
3
4
3
4 x
x
(nhận)
Với 5
4
x y
Với 5
4
x y
Vậy 5; ; 5;
4
S
0.25
1 Bốn người khách khỏi quán bỏ quên mũ Chủ quán rõ chủ mũ nên gửi trả cho họ cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để bốn người trả sai mũ
2đ
Số phần tử không gian mẫu n 4! 24 Gọi biến cố A: "Cả bốn người trả sai mũ.”
: "
A Có người bốn người trả mũ.”
0.5
+) TH1: Cả bốn người trả mũ có: cách 0.25
+) TH2: Chỉ có người trả mũ có: Chọn người người để trả mũ có:
4 C cách Ba người lại trả sai mũ có:
3 3! 1 C 2
Theo quy tắc nhân có: 4x2=8 cách
0.5
+)TH3: Chỉ có người trả mũ có: 4.1
C cách 0.25
Theop quy tắc cộng: 15 15 24
n A P A 0.25
Vậy
8
P A P A 0.25
2 Số lượng loài vi khuẩn phịng thí nghiệm tính theo cơng thức S t( ) A e rt Trong đó, A số lượng vi khuẩn ban đầu, S t( ) số lượng vi khuẩn có sau thời gian t (phút), r0 tỷ lệ tăng trưởng không đổi theo thời gian t thời gian tăng trưởng Biết số lượng vi khuẩn ban đầu có 500 sau có 1500 Hỏi bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt 121500 ?
2 đ
Ta có 300
1
1 500
ln
( ) 1500 1500 500
300 300
r A
r phú
S
t t
t e
h
(6)6 Ta lại có:
ln 300 500
( ) 121500 121500 500 ln
300
t A
S t e
r
0.5
ln
ln 243 1500 ( 25
300t t phút)
(giờ) 0.5
Để số lượng vi khuẩn đạt 121500 cần 25giờ để 500 vi khuẩn ban đầu tăng trưởng
0.5 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ’ ’ ’, có đáy ABC tam giác vuông với
2
ABBC A’ cách đỉnh A B C, , Gọi L K, trung điểm
,
BC AC Trên đoạn A B A A’ , ’ lấy M N, cho
’ , ’ ’
MA BM AA A N Tính thể tích khối tứ diện MNKL, biết A L’ 10
2đ
Gọi E trung điểm AN, ta có ME//AB//LK SMLK SELK VMNKL VNELK ta có '
3 EKN A KA S S
0.5
+) Do A A A B' ' A C' K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên A K' ABC( 'A AC)ABC
mà BK ACBKA AC' 0.5
+) Ta có , ,
2
BK
(7)7
'
1
,
3 18
NELK NKE A KA
V d L NKE S KB S
2 AC KB
+) Vì A K' ABCA K' KL A K' A L' 2LK2 3
'
1
'
2
A AK
S A K KA
Vậy
'
1 . 2.3 1.
18 18 6
NELK A KC MNLK
V KB S V
0.5
2 Bạn An muốn làm thùng hình trụ khơng đáy từ ngun liệu mảnh tơn hình tam giác ABC có cạnh 90 cm Bạn muốn cắt mảnh tơn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tơn ngun liệu (với M , N thuộc cạnh BC; P, Q tương ứng thuộc cạnh AC AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao MQ Tính thể tích lớn thùng mà bạn An làm
2đ
Gọi I trung điểm BC Suy I trung điểm MN Đặt MN x, 0 x 90
Ta có: MQ BM
AI BI
3 90
MQ x
; gọi R bán kính trụ
2 x R
0.5
Thể tích khối trụ là:
2
3
3
90 90
2
T
x
V x x x
0.5
Xét 3 90 2
f x x x
với 0 x 90
3 3 180
8
f x x x
, 0
60 x f x
x
0.5
Khi suy
(0;90)
13500
max 60
x f x f Khi suy
(0;90)
13500
max 60
x f x f
0.5 A
B M N C
Q P
N P Q
I
B C
A
(8)8 Cho hình chóp S ABC có AB BC CA a , SA SB SCa 3, M điểm khơng gian Gọi d tổng khoảng cách từ M đến tất đường thẳng
AB, BC, CA, SA, SB, SC Tìm giá trị nhỏ d
2đ
Ta có khối chóp S ABC khối chóp tam giác
Gọi G trọng tâm tam giác ABC Khi SG chiều cao khối chóp
S ABC
Gọi D,E,Flần lượt trung điểm BC,AB,CA I,J,K hình chiếu D,E,F SA,SC,SB
Khi DI,EJ,FKtương ứng đường vng góc chung cặp cạnh SA BC, SC AB, SB CA
Ta có DI EJ FK Do SID SJE nên SI SJ
Suy ED IJ∥ (cùng song song với AC) Do bốn điểm D,E,I,J đồng phẳng Tương tự ta có bốn điểm D,F,I,K E,F,J,K đồng phẳng
0.5
Ba mặt phẳng DEIJ,DFIK,EFJK đôi cắt theo ba giao tuyến DI, EJ , FK Suy DI,EJ,FK đồng quy điểm O thuộc SG
Xét điểm Mbất kì khơng gian Ta có
, ,
, ,
, ,
d M SA d M BC DI
d M SC d M AB EJ d DI EJ FK d M SB d M AC FK
0.5
Do d nhỏ DI EJ FK 3DI M O
Ta có
2 a
AD ,
3
a
AG AD , 2
3 a SG SA AG ,
2
sin
3 SG SAG
SA
0.5
Suy sin 2
2 3
a a
DI AD SAD Vậy giá trị nhỏ cần tìm 3 6
3 a
DI a
0.5 S
A C
B J I
E G D
F
(9)9
Giáo viên thẩm định Giáo viên đề
Trịnh Đình Hiểu Phạm Thị Nga
V Cho ba số thực a, b, c không nhỏ thỏa mãn a2 b2 c2 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
21 21 2 ( )( )
1
P a b a c
a b c c
2đ
Ta có (a b c )2 3(a2b2c2) 36 a b c 6 Mặt khác a, b, c nên a + b + c +
Ta CM: 21 21
1
1 ab
a b (1) 2
1 1
(1)
1
1 ab ab
a b
2 2
2 2
( ) ( 1)
0
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)
ab a ab b b a ab
a ab b ab a b ab
(2)
Vì a 1, b nên (2) Do (1) Đẳng thức xảy a = b
0.25
Áp dụng (1), ta có: 21 21 2 2
1
1
ab
a b a b
2 2 2
1 2
1 2
1 1
2
a b c c a b c a b c
2 2
1 64
1 2 16
a b c c a b c
0.5
Lại có: (a2 )(b a2 )c a b c
2
64 3( 2) 6
2 16
P a b c
a b c
Đặt t = a + b + c + 2, t 8, ta có:
2 64
3
16
P t
t
0.5
Xét hàm số ( ) 264 16
f t t
t
, với t [5 ; 8]
2
128
'( ) 0, [5;8]
( 16)
t
f t t
t
f(t) nghịch biến đoạn [5 ; 8]
( ) (8) 86, [5;8]
5
f t f t 86
5 P
0.25
86
2
P a b c Vậy GTNN P 86