[r]
(1)Trờng THPT Cao bá quát
Đề thi học sinh giỏi
Môn : toán lớp 10 Năm học 2009-2010
-**** -Bài 1: Cho bất phơng trình:
(1)
9 x x
7mx
x x
4)x (9m
( m lµ tham số) a Giải bất phơng trình với m = 28
b Tìm m để bất phơng trình (1) có nghim
Bài 2: Giải hệ phơng trình sau:
2009 2008 2009
2x 1 2x
1 2x 1
2009 2010 2009
2x 1 2x
1 2x 1
2009
1
2009
1
Bài 3: Cho đờng trịn có bán kính cố định R0, tam giác ABC nội tiếp đờng tròn Gọi
ma, mb, mc lần lợt độ dài đờng trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C tam giác ABC Tìm giá trị
nhá nhÊt cđa biĨu thøc
c m
C sin b
m B sin a
m A sin
P
Bài 4:Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn bán kính R
a Chứng minh rằng: đờng thẳng qua trung điểm cạnh vng góc với cạnh đối diện cắt điểm ( điểm gọi M)
b Chøng minh: MA2 +MB2 + MC2 + MD2 = 4R2
Trêng THPT Cao b¸ qu¸t
Đáp án đề thi hc sinh gii
Môn: Toán- lớp 10
Năm 2009-2010
(2)-*** -Bài 1: (5 ®iĨm)
a (3 ®iĨm) TXD: R
+) x = không nghiệm pt
1 x x
7m
x x
4) (9m )
1
(
Đặt t = x
x , t 6 (1 ®iĨm) +) Víi m = 28: (1) trë thµnh: t2 – 30t + 225 t = 15 (1 ®iĨm)
+) Bpt cã hai nghiệm: x15 189 x15 189 (1 điểm)
b ( 2 ®iĨm)
(1) trë thµnh: f(t) = t2 – ( m + 2)t + 8m + (2)
+) §Ĩ ( 1) có nghiệm x R (2) phải có nghiƯm t , 66, (0,5 ®iĨm)
+) Tìm m để (2) vơ nghiệm
,28
14 49
m (1 ®iĨm) +) KL: Bpt cã nghiÖm
, 28 14
49 ,
m (0,5 điểm)
Bài ( 5điểm)
+) H pt cho
2009 . 2008 2x
1 2x
1 2x 1
2010 . 2009 2x
1 2x
1 2x 1
2009
1
2009
1
Trong hệ trục toạ độ, xét vectơ
i i
i 2x ; 2x
a víi i 1,2, ,2009
cã ai ( 1 ®iĨm
)
vµ 2009 2009
1
a
i i (1) (1 điểm)
+) Mặt khác:
1 2 2009 1 2 2009
2009
1 a 2x 2x 2x ; 2x 2x 2x
i i
vµ 2009 2009
a
i i (2) ( 1 điểm)
+) Từ (1) (2) suy ra: vectơ ai hớng, i 1,2, ,2009
Mµ ai , i 1,2, ,2009
(3) 2009 2008 2x 1 2x 1 2x 1 2009 2010 2x 1 2x 1 2x 1 2009 2009
KL: NghiƯm cđa hƯ pt lµ
4018 1 2009
2
1 x x
x ( 1 ®iĨm )
Bài 3: ( 5điểm)
+) áp dụng định lí Sin ta có : (1) c 2m c b 2m b a 2m a R P
( 1 điểm)
+) Mặt khác: 3a2 2(a2 b2 c2)
a m 4 a 2 c b a
m
Theo BĐT Cô si: 4ma23a2 3ama ( 1 ®iĨm)
+) Suy a2 b2 c2
2 a a 2m a ,
T¬ng tù: a2 b2 c2
2 b b 2m b , c b a c c 2m c
(1 ®iĨm)
+) Thay vµo (1):
0
R
P ( 1 ®iĨm)
+) KL: Giá trị nhỏ
0
R
P ΔABC ( 1 im)
Bài 4: ( điểm)
a ( điểm)
Gọi I, J, K, L lần lợt trung điểm AB, BC, CD, DA +) Chứng minh tứ giác OJML hình bình hành
Suy đờng chéo OM JLcắt trung điểm G đờng Chứng minh tứ giác IJKL hình bình hành
Suy đờng chéo IK JL cắt trung điểm G ( 1điểm) +) Suy tứ giác OIMK hình bình hành, mà OIAB KMAB
T¬ng tù: OK CD IMCD (®pcm) ( 1®iĨm) b (3 ®iĨm)
+) áp dụng hệ thức lợng tam giác MAB vµ MCD ta cã: 2 CD 2MK MD MC , 2 AB 2MI MB
MA
Suy 2 CD 2 AB ) MK 2(MI MD MC MB
MA (1) ( 1®iĨm)
+) Do MI = OK, MK =OI, ¸p dơng hƯ thøc lợng tam giác OAB OCD: 2 AB 2R OI 2 AB OI 2 OB OA
(4)
2 CD 2R OK 2
2 CD OK 2 OD OC
2R ( 1®iĨm)