Töø C keû tia vuoâng goùc vôùi trung tuyeán.. AM caét AB ôû D.[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN MƠN TỐN LỚP 9
(Năm học: 2007 – 2008)
Thời gian làm : 150phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: Cho
2x y 5 ;
2y z
5 10 x + y + z = 57 Tìm x, y, z Câu 2: Chứng minh x23
+3 x+ x2+9 x +18+
3
x2+15 x+54+ x +9=
1 x
Câu 3: Tìm x, y > Biết: 2x + y + = 2 x ( y 3) Câu 4: Cho f(x) = x3 – x2 – 4x – Chứng minh f(x) > với x > 3
Câu 5: Năm mèo bắt chuột 5phút Hỏi cần mèo bắt 10 chuột 10 phút
Câu 6: So sánh A B biết A = 2007.2009 B = 20082
Câu 7: Cho x, y lớn nhỏ Xét dấu A = – x – y + xy Câu 8: Với số tự nhiên x, y ta có:
(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương. Câu 9: Cho x2 – ax + = (a khác 0) tính
2
1 x
x
theo a
Câu 10: Tính M =
1 1 1
1 1
2 2007
Caâu 11: Tìm số nguyên tố p cho p + p + số nguyên tố Câu 12: Tìm x, y thỏa x2 – 6xy + 10y2 – 2y + = 0.
Câu 13: Cho tam giác ABC vuông cân C Từ C kẻ tia vng góc với trung tuyến
AM cắt AB D Tính BDDA
Câu 14: Cho tam giác ABC có M trung điểm BC Phân giác góc AMB cắt AB
I, phân giác góc AMC cắt AC K Chứng minh IK song song BC
Câu 15: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH (H thuộc BC), biết BC =
15cm vaø AB :AC = :4 Tính HB, HC
Câu 16: Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt O, biết AC =
16cm; BD = 10cm góc AOB có số đo 600 Tính diện tích hình bình hành ABCD./.
PHỊNG GD&ĐT LÂM HÀ
Đề thức
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN MƠN TỐN LỚP 9
Thời gian làm : 150phút (Năm học: 2007 – 2008)
Câu 1:(1đ) Cho
2x y 5 ;
2y z
5 10 vaø x + y + z = 57 Ta coù:
x y
7 5
2
= z 20 0,25đ
Áp dụng dãy tỉ số ta coù:
x y
7
2
= z 20=
x y z
5 20
= 57 57
2 = 2 0,5ñ
=> x = 7; y = 10; z = 40 0,25ñ
Câu 2: (1,5đ) Chứng minh x23
+3 x+ x2+9 x +18+
3
x2+15 x+54+ x +9=
1 x VT =
1 1 1 1 1
3 x x 3 x x x x x
ñ
=
x 0,5ñ
Câu 3: (1,5đ) Tìm x, y > Biết: 2x + y + = 2 x ( y 3) <=>
2
x y x 3
= 0,5ñ
<=> x y vaø x 0,5ñ
<=> x = y = 0,5ñ
Câu 4: (1,5đ) Cho f(x) = x3 – x2 – 4x – Chứng minh f(x) > với x > 3
Ta coù f(x) = x3 – x2 – 4x – 6=(x – 3)(x2 + 2x + 2) 0, 5đ x > <=> x – > 0, 25ñ (x2 + 2x + 2) = (x + 1)2 + > x 0, 5ñ
Vậy f(x) > với x > 0, 25đ Câu 5: (1đ) => Một mèo bắt chuột năm phút
0,5ñ
=> Một mèo bắt hai chuột mười phút 0,25đ
=> Năm mèo bắt mười chuột mười phút 0,25đ Câu 6: (1đ) So sánh A B biết A = 2007.2009 B = 20082
A = 2007.2009 = (2008 – 1) (2008 + 1) = 20082 – > B 1ñ
Câu 7: (1đ) Cho x, y lớn nhỏ Xét dấu A = – x – y + xy
A = – x – y + xy = (1 – x)(1 – y) 0, 5đ Vì x, y lớn nhỏ nên (1 – x) và(1 – y) dấu 0, 25đ
Vậy A > 0, 25đ
Câu 8: (1đ) Với số tự nhiên x, y ta có:
(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số phương.
(3)(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y2 = (x2 + 5xy + 4y2) (x2 + 5xy + 6y2) + y4 0, 5ñ = (x2 + 5xy + 5y2)2 –y4 + y4 0, 25ñ
= (x2 + 5xy + 5y2)2 là số phương Với số tự nhiên x, y 0, 25đ
Câu 9: (1đ) Cho x2 – ax + = <=> x2 + = ax x khác 0 0, 25đ
Chia hai vế cho x2 ta có x + 1/x = a 0, 5đ Bình phương hai vế ta có: x2 + 1/x2 = a2 – 2
0, 25đ Câu 10: (1đ) Tính M =
1 1 1
1 1
2 2007
M =
1 2006
2 4 2007 0, 5ñ
M =
2007 0, 5ñ
Câu 11: (1đ) Tìm số nguyên tố p cho p + p + số nguyên tố P = 3k + (kN) => p + số nguyên tố 0, 25ñ
P = 3k + (kN) => p + số nguyên tố 0, 25đ
=> p có dạng 3k (kN) mà p số nguyên tố => p = thử lại thỏa 0, 5đ
Câu 12: (1,5đ) Tìm x, y thoûa x2 – 6xy + 10y2 – 2y + = 0.
(x –3y)2 + ( y – 1)2 = 0 0, 5ñ
<=> x –3y = vaø y – = 0
0, 5ñ
<=> x = và y = 0, 5đ
Câu 13: (1đ)
Kẻ trung tuyến CI cắt AM G => G trọng tâm tam giác ABC DG cắt AC K 0,25đ
=> G trực tâm tam giác ACD 0,25đ
=> DG // MB (cùng vuông góc AC) 0,25đ
=> BDDA = MGGA =1
2 0,25đ
Câu 14: (2đ)
Theo tính chất phân giác ta có:
IA AM KA AM
(1); (2)
IB BM KC CM 0,5đ
Mà MB = MC (gt) (3)
0,5đ
Từ (1), (2), (3) ta có
IA KA
IB KC 0,5đ
Từ suy IK // BC 0,5đ
Câu 15: (1,5đ) Ta coù :
2 2
AB AC AB AC AB AC
9
3 16 25
0.5ñ
=> AB = 9cm ; AC = 12cm 0,5ñ => BH =
27
5 cm ; CH = 48
5 cm 0,5đ
Câu 16: (1,5đ)
Kẻ BH vng góc với AC H 0,25đ
A
B C
M
I K
12 34
B C
A
I D G
K
(4)=> BH = 3/2 BO = 3/4 BD 0,5đ => SABC = ½ BH.AC = 3/8 AC.BD 0,25đ Mà SABCD = 2SABC = 3/4 AC.BD 0,25ñ
=> SABCD = 40 3cm2 0,25ñ
A
C B
D 600 H