Đang tải... (xem toàn văn)
-N ếu có một đường thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp th ì đường cao của.. kh ối chóp sẽ song song hoặ c n ằ m tr ờn với đường thẳng đó.[r]
(1)PHẦN 1
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A LÝ THUYẾT
1 Khái niệm thể tích khối đa diện (Sgk hh 12)
2 Các cơng thức tính thể tích khối đa diện
a) Thể tích khối hộp chữ nhật
V = abc với a, b, c kích thước khối hộp chữ nhật
b) Thể tích khối chóp V=
3 1S
đáy h ; h: Chiều cao khối chóp c) Thể tích khối lăng trụ
V= Sđáy h ; h: Chiều cao khối lăng trụ
(2)DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN *Phương pháp:Để tính thể tích khối đa diện ta cóthể:
+Áp dụng trực tiếp cơng thức tính thể tích
+Chia khối đa diện thành khối nhỏ mà thể tích khối tính
+Bổ sung thêm bên khối đa diện để khối đa diện tính thể
tích cơng thức phần bù vào tính thể tích
*Các tập
1)Về thể tích khối chóp
+Nếu khối chóp có chiều cao đáy ta tính tốn chiều cao, diện tích đáy áp dụng cơng thức :V=
3 1S
đáy h
Bài 1:Tính thể tích hình chóp tam giác SABC trường hợp sau:
a) Cạnh đáy a, góc ABC = 60o
b) AB = a, SA = l
c) SA = l, góc mặt bên mặt đáy ỏ
GIẢI:
a) Gọi O tâm ∆ABC
⇒SO ⊥(ABC) SABC =
2 1a
2
a =
4
2 a
∆ABC có SA = SB; ABC = 60o
⇒SA = AB = SB = a
C S
A
B O a
SO ⊥ OA ( SO ⊥ (ABC) ) Tam giác vng SOA có: SO2= SA2- OA2= a2- (
3 2a
2
3)2= 2
3
3 a
a
a
⇒SO = a
3
Vậy VSABC = S∆ABC SO = 3
1 .
4
2
a .
a 32
2 a2
l
(3)VSABC = 13 a a2
l
c)
Gọi O tâm ∆ABC
Gọi A’ trung điểm BC
Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SA’O = ỏ
Tam giác vng SOA có:
SO2= l2- OA2= l2- 94 AA’2 Tam giác vng SOA’ có:
'.sin
sin 13
'
3
1AA SO AA
SO
(2)
Từ (1) (2) ta có:
94
9
1 AA'sin AA'.sin l
O B
A'
A C
a
AA’2(sin2ỏ + 4) = 9l2
' sin 32 4
l AA
S∆ABC= 2(sin3 4)
4 sin 3 sin 2 2 2 ' l l l BC AA sin sin sin 3 2 .sin
. l l SO
⇒VSABC = 3
1
S∆ABC SO = (sin 4). sin 4
sin 3 2 . l
Bài 2. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông A, AB = a,
AC = a Hình chiếu vng góc A’ (ABC) trung điểm BC Tính VA’ABC
theo a?
GIẢI.
-Gọi H trung điểm BC
⇒A’H ⊥ (ABC) (gt)
-Ta có S∆ABC = 21 AB.AC 21a2
-Vì A’H ⊥ (ABC) ⇒A’H ⊥ AH Tam giác vng A’HA có:
A’H2 = A’A2- AH2 = (2a)2- 14 (a2+ 3a2) hay A’H2= 4a2- a2 = 3a2 ⇒A’H = a
B H C
2a
(4)⇒VA’ABC = 3
1
S∆ABC.A’H = 2
2
1. a 3.a 3 a2
Bài 3. Hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABC), SA = a ∆ABC vng cân có AB = BC =a B’ trung điểm SB C’ chân đường cao hạ từ A ∆SAC
a) tính VSABC
b) Chứng minh AB ⊥ (AB’C’) Tính VSAB’C’
GIẢI
a)
S∆ABC= 21BA.BC 21a2; SA =a
⇒VSABC = 13 S∆ABC SA = 61 a3
a
C A
a a
B' C'
B
b) ∆SAB có AB = SA = a ⇒∆SAB cân A ⇒AB’ ⊥ SB B’S = B’B
BC⊥AB ⇒BC ⊥(SAB) ⇒ BC ⊥AB’
BC⊥SA
⇒AB’ ⊥ (SAC) ⇒ AB’ ⊥SA ⇒SC ⊥ (AB’C’) AC’ ⊥SC
Cách
2 2
1 2
' SB a a
AB
Vì AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥B’C’ SC = SA2 AC2 3a
3
2
' a
SC SA
SC
B’C’2= SB’2- SC’2= a62 B'C' a6
⇒S∆AB’C’= 21 21 2 6 4 3
' '
'.BC a a a
AB
⇒V∆AB’C’= 13 24 3 36
.
.a a a
(5)3
' '
2 3
a S B S C
S B S C a
3
' ' ' ' ' 1
' ' '
6 6
3
S A B C S A B C
a
V S A S B S C a
S A B C
V S A S B S C a V a
Bài 4Hình chóp SABC có SA⊥(ABC), ∆ABC cân A, D trung điểm BC, AD = a,
(SB, (ABC)) = ỏ; (SB, (SAD)) = õ Tính VSABC
GIẢI
Dễ thấy
(SB, (ABC)) = ỏ = SBA
(SB, (SAD)) = õ = BSD
∆ABC cân ⇒AD ⊥BC DB = DC
∆SAB có cos ỏ = ABSB (1)
BC ⊥AD BC ⊥SA (vì SA⊥(ABC)
⇒ BC ⊥ (SAD) ⇒ BC ⊥
SD
a B
A C
D S
Tam giác vng SB có sinõ = SB BD
(2) Từ (1) (2) ⇒ cos sin sin
2 a
AB BD
AB
⇒ cos sin
2 2
2 AB a
AB
⇒AB2(sin2õ – cos2ỏ) = -a2cos2ỏ ⇒AB = cos21sin2 a2 cos
S∆SAB =BD.AD =
2
2 2
sin cos sin
cos cos cos sin cos sin
Sin AD AB a a
SA = AB tan ỏ= cos2 sin2
sin
a
⇒VSABC = 31 SA.S∆ABC = cos2 sin2
sin
1
a
2
2
sin cos
sin
a
= 2 2
sin cos
cos sin
a
Bài 5 Cho hình vng ABCD cạnh a nửa đường thẳng Ax, Cy ⊥ (ABCD)
cùng phía với mặt phẳng Điểm M khơng trùng với với A Ax, điểm N không
(6)Gọi I giao điểm AC BD Ta có BD ⊥AC
(vì ABCD hình vng) (Ax, Cy) ⊥(ABCD)
⇒BD ⊥(AMNC)
⇒BI ⊥(AMNC)
BI = BD2 a22
x
n
A
D C
m
B M
N
Diện tích hình thang AMNC S = (AM2CN).AC (mn2)a
VAMNC= 31 31 ( 2) 22 6 ( )
n m BI
S m n a a a
AMNC
*Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa bíết chiều cao ta phải xác định đựơc vị trí chân đường cao đáy.
Ta có số nhận xét sau:
-Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đáy cạnh bên
thì chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
-Nếu hình chóp có mặt bên nghiêng đáy có đường cao
các mặt bên xuất phát từ đỉnh chân đường cao tâm đường tròn nội
tiếp đáy
-Hình chóp có mặt bên mặt mặt chéo vng góc với đáy đường cao
hình chóp đường cao mặt bên mặt chéo
-Nếu có đường thẳng vng góc với mặt đáy khối chóp đường cao
khối chóp song song nằm trờn với đường thẳng
-Nếu đường thẳng nằm đáy khối chóp vng góc vng góc với
một mặt phẳng chứa đỉnh khối chóp đường cao khối chóp đường thẳng kẻ
từ đỉnh vng góc với giao tuyến mặt đáy mặt phẳng chứa đỉnh nói
*Nếu khối chóp khối tứ diện ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp.
Bài 6: SABCD có đáy tâm giác cân A, BC =a, ABC = ỏ, cạnh bên nghiêng
trên đáy góc ỏ Tính VSABC
(7)A S
C B
H
a
- Gọi H hình chiếu S lên (ABC)
- Vì cạnh bên nghiêng đáy ⇒H tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ABC
- Ta có: ∆ABC = 21 AB.AC.sin
mà BC2= 2AB2- 2AB2cosỏ = 2AB2(1-cosỏ) = a2 ⇒AB = a 1cos2
⇒S∆ABC=12 sin 12 2 1sincos 4 cos 2
2
a a
AB
HA = R = 2sinBC 2sina
Tan giác vng có tanỏ = AHSH ⇒SH = 2sina tan 2cosa
⇒VSABC =
cos 24
cot cos
2 3
1
3
cot
a a a
ABC SH
S
Bài 7: SABC có đáy ABCD hình bình hành SABCD = góc đường chéo
= 60o cạnh bên nghiêng đáy góc 45o Tính VSABCD
GIẢI
A B
C
O D
(8)- Vì khối chóp có bên nghiêng đáy ⇒ O tâm đường tròn qua đỉnh A,
B, C, D ⇒ tứ giác ABCD hình chữ nhật {O} = AC ∩ BD
-Đặt AC = BD =x
Ta có ShcnABCD = 21 AC.BD.sin60o= . 3
2 2
1 x x ⇒x=3
- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45o= SCO = (SC, (ABCD)) ⇒∆ASC vuông cân
tại S ⇒ SO = 21 AC1 ⇒ VSABCD=
3 3
1 3.1
Bài 8:SABC có SA = SB = SC = a ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o a) Chứng minh ∆ABC vng
b) Tính VSABC
GIẢI
a)
H
B A
S
C a
o
ASB SB SA
60 ⇒ AB = a
-Tam giác vng SBC có BC2= SB2+ SC2= 2a2
-∆SAC có AC2 = a2+ a2-2a2cos120o= 2a2- 2a2(- 12 ) =3a2
-∆ABC có AC2= AB2 + BC2⇒∆ABC vng B
b) Hạ SH ⊥(ABC)
Vì SA = SB = SL HA = HB = HC ⇒H trung điểm AC ∆ABC vuông B
Tam giác vng SHB có SB = a ⇒SH2= SB2- BH2=
2 a
a SH
BH =
3
a AC
(Hoặc ∆SAC nửa tam giác ⇒SH = SA2 2a )
⇒VSABC = 13 13 21 61 2 12
2
a a
ABC SH ABBCSH aa
(9)Bài 9: SABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o ∆SAC
∆SBD tam giác có cạnh = Tính thể tích khối chóp SABCD
Đáp số: VSABCD= 46
Bài 10:SABCD có đáy hình thang vng A D, ∆SAD cạnh = 2a,
BC = 3a Các mặt bên lập với đáy góc Tính VSABCD
GIẢI
2a 3a
C D
H K
- Hạ SH ⊥(ABCD), H ∈ (ABCD)
- Vì mặt bên lập với đáy góc nên dễ dàng chứng minh H tâm
đường tròn nội tiếp đáy
- Gọi K hình chiếu H lên AD - Ta có HK = AD2 a
- Tam giác vng SHK có HK = a
SK = 2a 23 a (vì ∆SAD đều)
⇒SH = 3a2 a2 a
Vì ⋄ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a
⇒SABCD= (ABCD2 ).AD 5a2.2a 5a2
⇒VSABCD= 3
2 3
1 . 5 . 2 a3
ABCD SH a a
S
Bài 11:Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a,
SB = a 3, (SAB) (ABCD) M, N làtrung điểm AB, BC Tính VSBMDN
(10)S
H
15a 8a
A D
C B
S
A D
C H
B M
N
∆SAB hạ SH b AB ⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b(BMDN)
(SAB) b (ABCD)
S∆CDN= S∆MDA= 4
1
S⋄ABCD ⇒S⋄BMDN = 21 S⋄ABCD = 21 2a.2a = 2a2
∆SAB có AB2= SA2+ SB2= 4a2 ⇒SAB vuông S
⇒ SH12 SA12 SB12 a12 3a12 3a42 ⇒SH = 2
3 a
⇒VSBMDN = 3
1
S⋄BMDN.SH = 13 23 2 3 .
2a a a
Bài 12: SABCD có ⋄ABCD hình thang với AB = BC = CD = 12 AD ∆SBD vuông
tại S nằm mặt phẳng vng góc với đáy SB = 8a, SD = 15a
Tính VSABCD
GIẢI
-Trong ∆SBD kẻ SH b BD
Vì (SBD) b (ABCD)
⇒SH b (ABCD)
-Tam giác vng SBD có SH12 SH12 SD12
hay SH12 641a2 2251a2
hay SH 14400289 a12017 a
-Vì hình thang có AB = BC = CD = 12 AD ⇒ Aˆ Dˆ= 60o, B = C = 120o -∆SBD có BD2= SB2+SD2=289a2 ⇒BD = 17a
∆CBD có BD2=2BC2(1+ 21 ) = 3BC2 = 289a2 ⇒ BC = 173 a S∆BCD= 21 12 2893 23 289123
2 .
. 120
sin o a a
(11)S
A D
C K
B
H
S⋄ABCD= 3S∆BCD = 289123
a
⇒VSABCD=
1
S⋄ABCD.SH = 31 289123 .12017
a a
= 170 3a3
Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD hình chữ nhật, ∆SCD cân S nằm
mặt phẳng (ABCD) ∆SAB có SA = a, ASB = ỏ nằm mặt phẳng lập với
(SCD) góc ỏ Tính thể tích khối chóp SABCD
GIẢI
Trong ∆SCD hạ SH CD Vì ∆SCD cân S
⇒H trung điểm CD
SH CD
(SCD) (ABCD
⇒SH (ABCD)
Gọi K trung điểm AB
Ta có HK AB
AB SH (vì SH (ABD))
⇒AB (SKH) ⇒ AB SK ⇒∆SAB cân S
Dễ thấy ((SAB), (SCD)) = KSH =ỏ
∆SAB có SK =acos ỏ , AB = 2AK = 2asin ỏ ∆SHK vng H có SH =SK.cosỏ = acos2ỏ
KH = SKsinỏ = asinỏcosỏ SABCD =AB.BC = 2asinỏ.asinỏcosỏ
= 2a2sin2ỏcosỏ ⇒VSABCD = 3SH1 .SABCD 23 a3sin2ỏ
Bài 14:Hình chóp SABCD có ∆ABC vng B, SA b (ABC) ACB =60o, BC = a, SA = a 3, M trung điểm SB Tính thể tích MABC
GIẢI
H
C A
B
a M
Cách
SA b (ABC)
(12)Vì M trung điểm SB H- trung điểm
MH= 23
2
1 SA a
S∆ABC= 12 AB.BC 21a.tan60o.a 21a2
VMABC= 13 31 12 23 4
3
a a
ABC MH a
S
Cách
2
SMSB V
V
ASABC MABC
VMABC= 21VSABC
mà VSABC = 31SA.S∆ABC = 13a 3.21a2 12a3
⇒VMABC= 41 a3
Bài 15: Hình chóp SABCD có ABCD hình vng tâm O, SA (ABCD),
AB = a, SA = a H, K hình chiếu vng góc A SB, SD Chứng
minh rằng: SC (AHK) tính thể tích hình chóp OAHK GIẢI
A
C O
H
K a
a
N F E
B
D
a
S
y
x
AH SB (gt) (1)
BC AB (vì ABCD hình vng) BC SA (vì SA (ABCD))
⇒BC (SAB) BC AH (2)
Từ (1) (2) ⇒AH (SBC ⇒AH SC (3) Chứng minh tương tự ta có: SC AK (4) Từ (3) (4) ⇒ SC (AKH)
Gọi {F} = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AF
Kéo dài AF cắt SC N
(13)Vì OA = OC; OE//CN OE = 12 CN
Tam giác vng SAD có 2
1 1
AD AS
AK ⇒AK =
2 2
2 a a
a a AD AS
AD
AS
Dễ thấy AH =a 32
∆AKH cân A
Dễ thấy ∆SBD có SDSK KHBD mà SK = 2 2 2
3
2 a
SA AK a a
SD = a
⇒ KHBD 32aa 3 32 SOSF
HK = 32 BD = 32a OF = 31SO ⇒ OFSF 21
∆SAC có : OA = OC
⇒ SF OF SN
OE ⇒OE =
2
1SN = 1a
S∆AHK =
2 1KH.
4
2 HK
AK =
9 2a2
⇒V = AHK
3 S OE 27 2 a
* Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK sau:
Chọn hệ toạ độ hình vẽ.Ta có:
A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a 2) , O(
2
a,
2
a , 0)
∆SKA ∆ SAD ⇒
SD SA SA SK
⇒ SK=
3 2a ⇒K(0,2
3a ,
a )
∆ABS có AS2 SB.SH⇒ SH=
3 2a ⇒H(2
3a,0,
a )
Ta có )
3 , , ( a a AH ) , ,
( a a AK
,0)
2 , (a a
AO
[AH,AK] =(
9 , 2 ,
2 a2 a2 a2
(14)a K
O
C
D A a
a
N
I
B
⇒VOAHK=
6 1|[
AK
AH, ].AO|=
27
a
Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a 2,
SA = a, SA (ABCD) M, N trung điểm AD SC {I} = BM ∩ AC Tính
thể tích hình chóp ANIB
GIẢI
SA (ABCD)
Gọi {O} = AC ∩ BD
Trong ∆SAC có ON // SA
⇒ON (ABCD) ⇒ NO (AIB) Ta có NO = 12 SA a2
Tính S∆AIB= ?
ABD só I trọng tâm
⇒S∆ABI= 32 S∆ABO= 23.14 S⋄ABCD = 32 a.a = 6 2 a
⇒SANIB= 31NO.S∆AIB= 31 2 6 362
.
.a a a
Bài 17.Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a,
(SAD)(ABCD), ∆SAD Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, CD
Tính thể tích hình chóp CMNP
GIẢI
A
C N a
D
P
B M
F E
S
y
x z
- Gọi E trung điểm AD (CNP) ≡ (ABCD) ⇒SE AD (SAD) (ABCD)
⇒SE (ABCD)
- Gọi F hình chiếu M lên (ABCD) ⇒ MF // SE Dễ thấy F ∈ EB F trung
(15)Ta có MF = 21 SE = 12.a23 a43 S∆CNP= 41SCBD 81SABCD 18a2
VCMNP = 12S∆NCP.MF = 43 963
2
1 a .a a3
Nhận xét:có thể dùng phương pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O
0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ES
Bài 18: Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’ bán kính đáy chiều
cao a Trên đường tròn tâm O lấy A, Trên đường tròn tâm O’ lấy B cho AB =
2a Tính thể tích hình chóp OO’AB
GIẢI
B
A
A' O'
O
H D
Kẻ đường sinh AA’ Gọi D đối xứng với A’ qua O’, H hình chiếu B A’D
Ta có BH A’D BHA’A
⇒ BH (AOO’A’)
⇒BH đường cao tứ diện BAOO’
SAOO’ =
2
2
a , A’B =
3 '2
2 AA a
AB
∆A’BD vuông B ⇒BD=a
∆O’BD ⇒BH=
2
a ⇒V
BAOO’ =
3
BH SAOO’ = 123
a
Bài 19:Cho hình chóp có ABCD hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a;
SA (ABCD); (SA, (ABCD) = 60o Điểm M thuộc cạnh SA, AM = a33 . (BCM) ∩SD ={ N} Tính thể tích hình chóp S.BCMN
(16)S
A
D
C B
N M
H
Ta có SAB=600
∆SAB vng A có AM =
3
a , AB = a ⇒ABM = 300 Kẻ SH⊥ BM SH đương cao hình chóp S.BCMN ta có SH=SB sin 300 = a
BC//(SAD) ⇒MN//BC ⇒
AD MN SA
SM
⇒MN =
3
a
SA SM AD
⇒SBCMN =
3 10 )
(
1 a2
BM BC
MN
⇒VSBCMN =
3
SH SBCMN = 10273
a
Bài 20:Cho hình chóp SABCD có ABCD hình thang; BAD = ABC = 90o;
AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a M, N trung điểm SA SD
Chứng minh BCMN hình chữ nhật tính thể tích hình chóp S.BCNM GIẢI
A D
S H
(17)Ta có BC//AD ,BC= AD
2
1 ,MN//AD , MN=
AD
2
1 ⇒BC = MN , BC// MN (1)
BC ⊥AB BC ⊥SA
⇒BC ⊥(SAB) BC AM (2)
Từ (1) (2) ta có BCNM hình chữ nhật
Kẻ SH ⊥BM thỡ SH⊥(BCNM)
⇒VSBCNM=
3 1S
BCNM.SH=
3
1BC.NM.SH=
3
3
a
Bài 21:Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1có ABC vng AB = AC = a; AA1= a M trung điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1
Hướng dẫn:
+Chọn mặt đáy thích hợp ⇒V = 12
3 a
+Có thể dùng phương pháp toạ độ
Bài 22:Tứ diện ABCD có AB = x có cạnh cịn lại
a.Tính thể tích tứ diện theo x
b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD
c Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn
GIẢI
a
H C
B
C
D
(18)Gọi H Hình chiếu D lên (ABC) DA = DC = DB = ⇒ H tâm đường
tròn ngoại tiếp ∆ABC mà ∆ABC cân H ∈CC’ với C’ trung điểm AB
S∆ABC= 21CC'.AB 12 x4.x 41 x2.x
HC = R∆ABC =
4 2
2
1
cos sin sin
2 xC Cx C x xx x
⇒Tam giác vuông HCD có HD2= CD2- DC2 =
2 43
4
1 xx
x
⇒HD =
2
4
x x
⇒VABCD =
2
2
1 1
3 4 4 12 x x
ABC x
S HD x x x
Cách 2:
B
A
D M
C'
Gọi M trung điểm CD ⇒CD ABM Vì ∆ACD ∆BCD ⇒AM = BM =
3 VABCD = 2VCBMA= 2.13CM.S∆ABC= 32 21.SABM
S∆ABM = 2
1
MC’.AB =
4 2 23
1x. ( ) (x) x 3x
VABCD = 13 4x 3 x2 121 3 x2.x
b)
SACD=
4
3 ⇒d(B,(ACD))=
ACD ABCD
S V
= x x
3
1
c)
VABCD =
2
2
1 1
12 3x x 12 x2 x 8
Dấu “=” xảy ⇔x2= 3-x3 ⇔x = 23 thể tích lớn
8
Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với
mặt đáy ABCD SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ
SH vng góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối lớn
(19)C A S M D B H
Ta có BM SH (gt)
BM SA (Vì SA (ABCD)
⇒BM AH
SABM =
2
1SABCD = 1a2 Mà SABM =
2
1AH.BM ⇒ AH=
2 2 x a a BM a ∆SAH vng A có SH=
2 2 2 x a a h AH SA
∆BAH vuông H có BH=
2 2 2 x a ax x a a a AH AB
SABH =
2
1AH.BH = 2 x a x a VSABH =
2 x a xh a SA SABH
a h
ax xh
a3
12
Dấu xảy a=x tức M trùng D
Bài 24:Hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với đáy ABC SA = a.Điểm M thuộc cạnh AB Đặt góc ACM
Hạ SH vng góc với CM
a)Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện SAHC
b)Hạ AI vng góc với SC,AK vng góc với SH Tính thể tích khối tứ diện
SAKI
Đáp số
a)Vmax=
12
3
a b)V
SAKI =
(20)CĨ THỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN NHỜ VIỆC CHIA THÀNH CÁC KHỐI NHỎ HOẶC BỔ SUNG THÊM
Bài 25: Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh đối đơi AB = CD =a, AC = BD = b, AD = BC = c
Tính thể tích ABCD
GIẢI
H C P
Q
R B
+Dựng ∆PQR cho B, C, D trung điểm PQ, QR, PR
+S∆DCR= S∆BCQ= S∆PDB= 41 S∆PQR
⇒S∆BCD= 14 S∆PQR
AD = BC = PR
D trung điểm PR
⇒AR AP
Tương tự AP b AQ, AQb AR
VAPQR= 41 S∆PQRAR
Bài 26: VABCD =
6
1AD.BC.MN.Sin ỏ Trong ABCD là tứ diện có MN độ dài của đoạn vng góc chung cặp cạnh đối AD CB, ỏ =(AD, BC)
Hướng dẫn: Dùng hình hộp ngoại tiếp tứdiện
Bài 27: Cho hình chóp SABC có tất góc phẳng đỉnh A B tam diện
(21)C A
B S
E
F
a
-Dễ thấy∆ SAB, ∆CAB tâm giác cân S C -Gọi E trung điểm AB ⇒ AB b SE
AB b CE
⇒AB b (SCE)
⇒VSABC = VASEC+ VBSEC = 13S∆SEC.(AE+BE) = 31S∆SEC.AB
Tính S∆SEC= ?
∆SEC cân E ES = EC (∆SAB = ∆ACB (g.c.g))
Gọi F trung điểm SC ⇒ EF b SC
∆SBC cân B BC =BS (Vì ∆SAB = ∆CAB (g.c.g))
FS = FC
⇒FBC = 3 Tam giác vng EBC có CE = 2 tan
Tam giác vng FBC có BC = CE2 EB2
cos cos 2cos
( )
a
a EB
Sin2 = BCFC ⇒FC = BC sin2 = 2cosa.sin2 Tam giác vng EFC có
EF2 = EC2- FC2 =
2
cos cos
4 sin
4 tan (sin sin
2 2
2
2
a a
a
S∆SEC= 21 EF.SC = EF.FC = 2 2cos 2
2
cos
2 a sin sin . a .sin
=
2
2 cos
2 .sin . sin sin
2
a
VSABC = 2
2
2 cos
12
3 .sin . sin sin
2
(22)MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ THỂ GIẢI BẰNG PP TOẠ ĐỘ VỚI VIỆC CHỌN HỆ
TOẠ ĐỘ DỄ DÀNG
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi, AC = 4, BD = 2, AC cắt BD
tại O SO (ABCD), SA = 2 Gọi M trung điểm SC, (ABM) cắt SD N Tính
thể tích khối chóp S.ABMN
GIẢI
Cách 1:
B
O C
D A
S
M N
Ta có AB // CD (gt) (ABM) (SCD) = MN
⇒MN // CD ⇒N trung điểm SD
VSABCD= 21 SABCD.SO = 12 AC.BD.SO = 124.2.2 2 8 2
2
SNSD V
V
SABD SABN
⇒VSABN= 21 SSABD=
2 1.
= 2
4 2 1.
.
SDSN SC SM V
V
SBCD SBMN
⇒VSBMN= 41 SSBCD= 2
2 1.
= ⇒VSABMN= VSABN + VSBMN=
(23)O S
A
C D
N M
B z
x y
Chọn hệ toạ độ xyz có tia OX ≡ tia OA, tia oy ≡ OB, tia oz ≡ OS
Dễ thấy A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2), C(-2; 0; 0), D(0; -1; 0), M(-1; 0; 2)
Do (ABM) ∩ (SCD) = MN
AB // CD
⇒MN//CD
⇒N trung điểm SD
⇒N(0; -21 ; 2)
SA = (2; 0; -2 2); SM = (-1; 0; - 2); SB = (0; 1; -2 2); SN = (0; - 21 ; - 2) [SA, SM ] = (0; 2; 0)
VSABM= 61 [SA, SM ].SB = 232
VSAMN= 61 [SA, SM].SN = 32
VSABMN= VSABM + VSAMN =
Bài 2:Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a, AD = b , AA ’= c
a)Tính thể tích A’C’BD
b)Gọi M trung điểm CC’Tính thể tích MA’BD
(24)C B'
D' C'
A'
A
D
B x
y
a
b c
M
a) Cách 1:
Thể tích khối hộp ABCDA’B’C’D’ V = abc VC’CDB=
6
1
1 '
3
1
c ab abc
S
CC BCD V
Tương tự ta có: VAA’BD = VBA’B’ C’ = VD’A’DC’ = 1V
⇒VA’C’DB = V - 1V =
3 1V=
3 1abc Cách 2: dùng phương pháp toạ độ
Chọn hệ toạ độ Axyz hình vẽ Ta có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) D( 0; b; 0), C(a; b; c), A’(0; 0; 0)
DB = (a; -b; 0); DC' = (a; 0; c); DA' = (0; -b;c); [DB,DC'] = (-bc; -ac; ab)
VA’C’DB = |[
DB,DC'].DA'| =
3 1abc
b) Chọn hệ toạ độ hình vẽ.ta có A(0;0;0) , B(a;0;0) , D(0;B;0) , A’(0;0;c) ,
C(a;b;0) , C’(a;b;c)
M trung điểm CC’ nên M(a;b;
2
c )
) ; ; ( a b
BD , )
2 ; ; ( b c
BM , ' ( ;0; )
c a BA
[BD,BM]= ; )
2 ;
(bc ac ab
VBDA’M= |[
BD,BM].BA'| =
4
3
abc abc
2) Về thể tích khối lăng trụ
Ta thường áp dụng cơng thức tính thể tích biết chia nhỏ khối cần tính
(25)Bài 1Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác đều, cạnh a A’A = A’B = A’C Cạnh AA’ tạo với đáy góc 60o Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’
GIẢI
B
A
C C' B'
A'
O a
Gọi O tâm ABC⇒ OA = OB = OC A’A = A’B = A’C (gt)
⇒A’O⊥(ABC)
(AA’,(ABC)) = (AO, AA’) = 600 A’O ⊥OA (vì A’O⊥(ABC)
Trong tam giác vng A’OA có OA’ = OA tan 600 = a Vì ∆ABC cạnh a nên S∆ABC =
4 3a2
⇒VABCA’B’C’ = S∆ABC.A’O =
4
3 a
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A,
AC = b, C = 60o (BC’,(AA’C’C)) = 30o Tính thể tích khối lăng trụ
GIẢI
C C' A'
A
B B'
b b'
Dễ thấy AB(ACC’A’) nên (BC’, (ACC’ A’)) = AC’B = 300
(26)vì AB (ACC’A’) nên AB b AC’
∆ABC’ vng A có AC’ = AB 3b
30 tan
∆ACC’ vng C có (CC’)2 = AC’2- AC2 = 9b2- b2 = 8b2
⇒CC’ = 2b =AA’ S∆ABC=
1
CA.CBsin6oo= 32b2
(27)DẠNG : TỈ SỐ THỂ TÍCH
A/ Phương pháp:Giả sử mặt phẳng ỏ chia khối đa diện thành hai khối tích V1 V2 Để tính k =
1 V V
ta có thể:
-Tính trực tiếp V1, V2bằng cơng thức ⇒k
-Tính V2(hoặc V2) cơng thức tính thể tích khối ⇒Thể tích V2(hoặc V1) ⇒k
Ta có kết sau:
+Hai khối chóp có diện tích đáy tỉ số thể tích tỉ số hai đường cao tương ứng
+Hai khối chóp có độ dài đường cao tỉ số thể tích tỉ số hai diện tích đáy
+ V ' ' ' SASA' SBSB' SCSC' V
C B SA
SABC
C A
B B'
C' A'
(chỉ cho khối chóp tam giác (tứ diện))
B Các tập
Bài 1: Chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC mặt phẳng
(P) chứa AM //BD chia hình chóp thành hai phân Tính tỉ số thể tích hai phần
GIẢI
C
B O A
S
D
M
(28)-Gọi O = AC ∩ BD, I = SO ∩ AM
⇒I ∈ (P) BD ⊂ (SBD) BD // (P)
⇒(P) ∩ (SBD) = B’D’ // BD 3 2 ' '. . . . . . ' ' SOSI SOSI SD SD CSBSB SC SM V V SCBD D SMB
(vì I trọng tâm ∆SAC) 3 ' '
'. . 1. .
' ' SD SD SB SB SA SA V V SCBD D SMB
mà VSABD= VSCBD = 1V SABCD 3 9 ' ' ' ' ' '
1 ' '
1 ' '
MB ABCDD MD SAB SABCD MD SAB D SAB D SMB V V V V V V V V
Bài 2: Hình chóp SABCD có đáy hình vng, SA (ABCD) (SC, (SAB)) = ỏ Mắp
phẳng (P) qua A vng góc SC chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ sốthể tích hai
phần
GIẢI
Kí hiệu K1= VSMAQN V2= V - V1
Gọi O = AC ∩ BD ∆SAC kẻ AN SC
E = SO ∩ AN ⇒ E ∈(P) (P) SC
mà BD SC BD AC BD SA
BD (SAC) BD ⊂ (SAC)
S D C O B A N M Q E
⇒(P) // (SBD) ⇒ (P) ∩ (SBD) = MQ //BD
CB AB (gt)
CB SA (vì SA (ABCD))
⇒CB (SAB) ⇒(SC, (SAB)) = CSB = ỏ
V1= 2VSANQ, V = 2VSACB
SB SQ SC SN V V V V SACB SANQ .
1
(29)Tam giác vuông SAB: SA2 = SB.SQ ⇒SQ = SB SA2 ) (
. 2
2 2 SC SB SA SB SA SC SA V
V
BC AB (gt)
BC SA (vì SA (ABCD))
⇒BC SB
Tam giác vuông SBC: cos ỏ=
SC
SB ⇒ SC =
cos
SB
Tam giác vuông SAB: SA2 = SB2 - AB2= SB2 - BC2= SB2 - SB2tanỏ
) (cos sin ) 1 sin2
( 2
) tan ( cos
1
SA SB SB V V sinsin2 ) sin 1 ( ) sin ( 1
VV
V V
V V
V
Bài 3: SABCD hình chóp tứ giác cạnh a, đường cao h Mặt phẳng qua AB (SDC) chia chóp làm hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần
Bài 4: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a M trung điểm CD, N trung
điểm A’D’ Tính tỉ số thể tích haiphần (MNB’) chia hình lập phương
GIẢI D A B Q M C' B' D' A' P E C
Gợi ý:
Gọi V1, V2tương ứng thể tích phần phần thiết diện ta có: V1= VB’ECF - (VEPD’N+ VFMQC)
Để ý: ED’ = a, FC =
a, PD’ =
3
2a, CQ =
4
(30)Tính V1=
144 55a3
V2= V- V1= a3
-144 55a3
=
144 89a3
89 55 V V
Bài 5: Cho tứ diện SABC lấy M, N thuộc cạnh SA, SB cho
2 MA SM , NB
SN Mặt
phẳng qua MN // SC chia tứ diện thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần GIẢI A' C A B E M N F
Dễ thấy thiết diện hình thang MNEF (với MF // NE) Đặt V = VSABC, V1= VMNEFCS, V2= VMNEFAB
V1= VSCEF+ VSFME + VSMNE
9 3 1. .
CECB CA CF V VSCEF .
SMSA
SA SE SE SM V V SFEA SFME . .
CECB
CAFA S S S S S S V V ABC CEA CEA FEA ABC FEA SFEA
⇒VSFMEV 13.94 274 V
9
. SNSB
SA SM V V SABE SMNE . .
CBCE
CEEB S S S S S S V V ABC CEA CEA ABE ABC ABE SABE
⇒VSABE= 27
V ⇒V1=
V + 274 V + 272 V =
V 2 54 V V
Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có cạnh đáy cạnh bên
a M, N, E trung điểm BC, CC’, C’A’ Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ
do (MNE) tạo
(31)B'
C'
C
B A
A' E
M
N A'
I
Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết diện ngũ giác MNEFI
Gọi V1, V2tương ứng thể tích phần phần thiết diện, ta có V1= VNIBM + VNBB’FI+ VNB’C’EF
V2= VNFA’E+ VNAA’FI+ VNACMI
So sánh phần tương ứng ta có V1= V2 V V
=
Bài 7:Cho hình vng ABCD cạnh a {O} = AC BD, ox (ABCD) Lấy
S Ox, S O Mặt phẳng qua AC vng góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần
(32)DẠNG : PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC,KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG
DỰA VÀO THỂ TÍCH.
Bài 1:SABC có SA = 3a, SA (ABC), ∆ABC có AB = BC = 2a, ABC =120o Tính D(A,(SBC))
GIẢI
B A
S
C
M 3a
2a
S∆ABC= 2
1
AB.BC.sin120o= 2a a
= a3
SSABC= 3
1
S∆ABC.SA= 3
3
2 a
a
= a3
Kẻ SM BC
BC SA (vì SA (ABC))
⇒BC AM ⇒AM = a
∆SAM vng Acó SM = 3a
S∆SBC= SM.BC = 3a2
d(A, (SBC)) =
3
2 3
2
a
a S
V
SBC SABC
a
Bài 2:SABC có đáy ABC tam giác cạnh a 3, SA (ABC), SA =2a `Tính d(A, (SBC))
(33)B A
S
C M
a 2a
S∆ABC= 12 a 3.a 3.sin60o = 32 23 43
2 a
a
VSABC =13 SA.S∆ABC= 32 a
Gọi M trung điểm BC
AM BC
BC SA ⇒BC SM AM = a 32 32a
∆SAM vng A có SM2= SA2+ AM2= 4a2 + 49 a2= 254 a2⇒ SM = 25 a S∆SBC= 12 SM.BC = 523 a2
d(A, (SBC)) = . 53
3
2 23
3 23
a
a S
V
SBC SABC
a
Bài 3:Cho tứ diện ABCD có AD b(ABC); AC = AD = 4; AB = 3, BC =
Tính d(A, (BCD)) ?
GIẢI
C A
B D
4
5
(34)Dễ thấy ∆ABC vuông A S∆ABC= 21 AB.AC = VDABC = 13 S∆ABC.DA =
∆DAC có DC = ∆DAB có DB =
∆DBC có BC = BD = ⇒ ∆DBC cân B, gọi M trung điểm DC ⇒BM DC BM = 258 17 S∆DBC = 12 BM.DC = 21 17.4 = 34
d(A, (DBC)) =3SDABCDBC 1234 V
a
Bài 4:Cho tứ diện ABCD có AB = a; CD = b, cạnh cịn lại c
Tính d(A, (BCD))
GIẢI A N
B
C
D M
a
∆ACD = ∆BCD Gọi M trung điểm CD
⇒AM = BM, DC (ABM)
Gọi N trung điểm AB ⇒MN AB MN2= BM2- BN2= c2+ b42 a42 4c2b42a2
S∆AMN= 2 2 4 2
2 2
a b c
a a b c
a
VABCD = VBCMA= 2.31CM.S(∆ABM)= 23.2b.a4 4c2 b2 a2 12ab 4c2 b2 a2
V∆BCD = BM.CD = 12 4 b
c b = 4b 4c2 b2
d(A, (BCD)) = 2
2 2
2
2 2
4 4
b c
a b c b
c a b c S
V a
b ab BCD ABCB
Bài 5:Cho tứ diện ABCD có AB = CD = x cạnh lại
a) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x
b)Tính d(A, (BCD))
Tương tự
Đáp số: VABCD = 6
(35)d(A, (BCD)) = x 4
2
4
x x
x
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = = 2a, AA1 = 2a BAC = 120o Gọi m trung điểm cạnh CC1
Chứng minh MB MA1và tinh khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM) GIẢI
B
A
C
2a
y x
z
M
C1
A1
B1
Đưa hệ trục toạ độ A1xyz vng góc hình vẽ: gốc toạ độ A1 trục A1Z
hướngtheo A1A
Trục A1y hướng theo A1C1 Trục A1x tạo với trục Oy góc 90
o và nằm MP (A1B1C1)
Toạ độ điểm:
A1(0 ; 0; 0), B1( ; 2;0)
3 a
a
, C1(0; 2a; 0)
A(0 ; 0; 2a 5), B(a23;a2;2a 5), C(0; 2a; 2a 5)
M(0; 2a; a 5)
BM ( a23;52a;-a 5)
M
A1 (0; 2a; a 5), AB( a23; 2a;0)
M A
BM 1 = 0+5a2- 5a2= (BM MA1 ) Thể tích khối chóp AA1BM V =
1
|AB [BM,A1M ]| M
A
BM 1 =
2a -a
3
a
-a
2
a
2a
(36)= ; ; 3
2 15
5
9a2 a2 a
⇒VAA1BM=
15
15
2
3
1 a . a2 a.a2 0 a2
S∆BMA1= 61 BM.A1M= 3a2 ⇒Khoảng cách từ A tới (BMA1)
h = 3SV a35
Bài 7: Cho tứ diện OABC Lấy M nằm tam giác ABC, đường thẳng qua M //
với OA, OB OC cắt mặt OBC, OCA, OAB A1, B1, C1 Chứng minh rằng: 1
OC MC OB
MB OA
MA
GIẢI
H
B
C A
O
K A1
M
Nối M với đỉnh O,A,B,C Khi
VOABC = VMOAB+ VMOBC+ VMOCA
1= MOABOABC MOBCOABC VOABCMOCA V V
V V
V
Xét VOABCMOAB V
Kẻ AH b (OBC), MK b (OBC) AH //MK ∆OAH ∾A1MK ⇒ MA MKAH
OA
1
OA MA AH
MK V
V
OABC
MOBC
Tương tự ta có OC
MC V
V
OABC
MOAB
OB MB V
V
OABC
MOCA
Vậy 1
(37)S A B C D C1 D1 A1 B1 M
H K A1
A
B
C
D
Bài 8:Giả sử M điểm nằm tứ diện ABCD Các đường thẳng MA, MB, MC,
MD cắt mặt đối diện A1, B1, C1, D1
Chứng minh 11 1
1 1
1
1
DD MD CC MC BB MB AA MA GIẢI
Nối M với bốn đỉnh tứ diện ABCD ta có: V = VMBCD+ VMACD+ VMABD+ VMABC
1= V
V V V V V V
VMBCD MACD MABD MABC
Xét V VMBCD
Gọi H, K hình chiếu A, M lên (BCD) ⇒ MK//AH ⇒ 11
AA MA AH MK 1 AA MA AH MK V
VMBCD
Tương tự: 11
BB MB V
VMACD
; 11
CC MC V
VMABD
; 11
DD MD V
VMABC
Bài 9: Cho hình chóp tứ gíc SABCD cạnh SA, SB, SC ta lấy điểm A1, B1, C1sao cho SA1 32
SA
; SB1 21
SB
; SC1 31
SC
Mặt phẳng qua A1, B1, C1cắt SD D1 Chứng minh SD1 52
SD
GIẢI
Ta có VSABC= VSBCD + VSCDA= VSDAB =
V 1 1 1
1 . .
SC SC SB SB SA SA VSABC
VSABC
(1) SD SD SC SC SD SD SA SA VSADC
VSA1D1C1 1 1 1 1
. .
. 92
(2)
Cộng vế với vế (1) (2) ta SD
SD V
VSABCD 1
2 111
1 . 9
Tương tự: SD
SD SD SD SB SB SA SA VSABD
VSA1B1D1 1 1 1 1
. .
. 31
(4) SD SD SD SD SC SC SB SB VSBCD
VSB1C1D1 1 1 1 1
. .
. 61
(5)
Cộng vế với vế (4) (5) ta SD
SD V
VSABCD 1
2 1 1 .
Từ (3) (6) ta có SD
SD SD
SD1 1
. . 92
9
1
(38)PHẦN 2
THỂ TÍCH KHỐI CẦU, KHỐI TRỤ, KHỐI NÓN
A LÝ THUYẾT 1.Định nghĩa:
-Thể tích khối cầu (Sgk HH12 – Trang 44) -Thể tích khối trụ (Sgk HH12 – Trang 50) -Thể tích khối nón (Sgk HH12 – Trang 56) 2.Các cơng thức:
a)Thể tích khối cầu V = 34R3, R: bán kính mặt cầu
b)Thể tích khối trụ V = Sđáy.h , h: chiều cao c)Thể tích khối nón V = 31Sđáy.h , h: chiều cao
B CÁC DẠNG BÀI TẬP
Ở chủ yếu tập tính thể tích khối cầu, trụn nón dựa vào công thức
trên
Bài 1: Cho lăng trụ tam giác có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên b Tính thể tích mặt cầu qua đỉnh lăng trụ
GIẢI
a
C
C' O
O'
A1
A1' B'
B I
A'
-Gọi O O’ tâm ∆ABC ∆A’B’C’ OO’ trục đường tròn ngoại
tiếp ∆ABC và∆A’B’C’
-Gọi I trung điểm OO’ IA = IB =IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I tâm mặt cầu
ngoại tiếp lăng trụ
-Bán kính mặt cầu R = IA
Tam giác vuông AOI có: AO =
3
3 3
(39)OI = 21OO' 21 AA' b2
⇒AI2 = OA2+OI2 =a32 b42 712a2 ⇒AI = a2 37
V= 54
21
7 18 7 72.28
7 3
4 3 3
a a a
a
R
AI2 = a b AI a b R
2 123
4 2 2
V=
3
3 2 2
4 2
3R 3 8.3 3 (4a 3 )b 18 3.(4a 3 )b
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc
30o Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp GIẢI
a O S
M
D C
B A
I
Gọi O tâm hình vng ABCD Ta có SO b (ABCD), SO trục ABCD,
(SA, (ABCD)) = SAO = 30o Gọi M trung điểm SA
Trung trực SA cắt SO I ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
⋄OIMA từ giác nội tiếp ⇒ SI.SO = SM.SA ⇒ SI = SMSO.SA
Với AO = a22 , AS =
2
2 30 cos
a a
AO
o , SO = SA sin30o= 6
a
⇒SI =
6
a a a
= a 32 ⇒VMcầu=
3 3 3
4a a
Các tập xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp,
(40)A
J
B M'
C' D
O'
O
A' B'
B
A
D C
Bài 3: Cho hình trụ có đáy tâm đường tròn tâm O O’ tứ giác ABCD hình vng nội tiếp đường trịn tâm O AA’, BB’ đường sinh khối trụ Biết góc
mặt phẳng (A’B”CD) đáy hình trụ 60o Tính thể tích khối trụ
GIẢI
DC D A
DC AD
' ⇒ADA’ góc (A’B’CD) đáy
Do đó: ADA’ = 60o
∆OAD vuông cân nên AD = OA = R
∆ADA’ có h= AA’ = ADtan60o= R
V = R2h = R3
Bài 4: Bên hình trụ có hình vng ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc đường tròn đáy thứ C, D thuộc đường tròn đáy thứ hai hình trụ mặt phẳng
hình vng tạo với đáy hình trụ góc 45o Tính thể tích khối trụ
GIẢI
Gọi I, J trung điểm AB CD
Ta có: OI AB; IJ cắt OO’ ttrung điểm M OO’
MIO = 45olà góc mặt (ABCD) với đáy, đó:
O’I = 2a2 ; R = 38
2
2 a a
a
h = 2OM = a2 Vậy V = R2h =
3 3 . 2
3
8 . 2 16
a
a a
Bài 5: Một hình trụ có diện tích tồn phần S = 6 Xác định kích thước khối trụ để thể tích khối trụ lớn
GIẢI
STP= 2Rh +2R2=2R(R+h) = 6
(41)V’ = -3R2 + 3; V’ =0 ⇔R =
Dựa vào bảng biến thiên ta có VMax⇔R = h =
Bài 6: Một mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón cắt đường trịn đáy cung ỏ (P) tạo
với đáy góc õ Cho khoảng cách từ tâm O đáy đến (P) a Tính thể tích
khối nón
GIẢI
O A
E B S
M
Gọi E trung điểm AB ta có OES=õ ; AOB=ỏ
Vẽ OM (SAB) SOM= ta có: SO=
cos
a OE=
sin a
Bán kính đáy R=OA=
2 cos sin
cos
a OE
Thể tích khối nón là:V=
2
1
3 3sin .cos .cos
2 a
R h
Bài 7: Cho hình nốn đỉnh S, đường cao SO = h, bán kính đáy = R M ∈ SO đường
tròn (C)
1.Tính thể tích khối nón có đỉnh S đáy (C)
2.Tìm x để thể tích lớn nhát
(42)S
(C) M
O
Ta có ' ' ' (h x)
h R R R R h
x h R R SO SM
Thể tích khối nón V= ( )
3 ) (
3
1 2
2 2
2 2
' x hx h x
h R x
x h h R SM
R
V’= 3 ,
3
1 2
2
h hx x
h R
V’ = ⇔
h x
x h
3
x= h (loại)
Dựa vào bảng biến thiên ta có: V Max ⇔x =
h
Bài 8: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích tồn phần 2.Với x
nào hình trụ tồn tại? Tính thể tích V khối trụ theo x tìm giá trị lớn V
GIẢI
Ta có Stp=Sxq+2Sđ=2xy2x2 2(xyx2) Theo giả thiết ta có 2(xy+x2)=2
⇔xy+x2 =1 ⇔ y = x
x2
1 .Hình trụ tồn tại y>0 ⇔1-x2> ⇔0 < x < 1
Khi V = x2y = x(1-x2) = -x3+x
Khảo sát hàm số với x (0,1) ta giá trị lớn V=
3
3
x
Bài 9: Cho hình nón trịn xoay đỉnh S, đáy hình trịn tâm O.Trên đường trịn lấy
một điểm A cố định điểm M di động.Biết AOM= ỏ ,nhị diện cạnh AM có số đo
bằng õ khoảng cách tư O đến (SAM) a
Tính thể tích khối nón theo a, ỏ, õ
(43)Gọi I trung điểm AM ∆SAM cân nên SI AM
∆OAM cân nên OI AM
(SOI) AM nên SOI góc phẳng nhị diện cạnh AM ⇒SIO = õ Kẻ OH (SAM)
(SOI) (SAM)
⇒H ∈SI OH = a Ta có OI=
sin ; tan cos
2 cos cos ;
sin sin
a IO
SO a
OI OM
a
OH
V= 2
2 2
1
3 cos cos .sin 3sin .cos cos
2
a a a
SO OM
Bài 10: Cho mặt cầu đường kính AB=2R Gọi I điểm AB cho AI=h Một mặt
phẳng vng góc với AB I cắt mặt cầu theo đường trịn (C) +Tính thể tích khối nón đỉnh A đáy (C)
+Xác định vị trí điểm I để thể tích đạt giá trị lớn
GIẢI
B O I
F E
Gọi EFlà đường kính cua (C) ta có :
IE2 = IA.IB = h(2R-h) ⇒ R = IE = h(2Rh)
Thể tích cần tính là:V= (2 )
3
1
2h h r h
r
với < h < 2R
V’ = 3(4Rh3h2 , V’ =
3
R h
Vmax
3 4R h
hay AI =