THỂ TÍCH KHỐI CẦU, KHỐI TRỤ, KHỐI NÓN

1= V MBCD V  V MACD V  V MABD V  V MABC V

PHẦN 2 THỂ TÍCH KHỐI CẦU, KHỐI TRỤ, KHỐI NÓN

1.Định nghĩa:

-Thể tích khối cầu (Sgk HH12 – Trang 44) -Thể tích khối trụ (Sgk HH12 – Trang 50) -Thể tích khối nón (Sgk HH12 – Trang 56) 2.Các công thức:

a)Thể tích khối cầu V = 34R3, R: bán kính mặt cầu b)Thể tích khối trụ V = Sđáy.h , h: chiều cao

c)Thể tích khối nón V = 31Sđáy.h , h: chiều cao B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Ở đây chủ yếu là bài tập tính thể tích khối cầu, trụn nón dựa vào các công thức trên.

Bài 1: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều các cạnh đều bằng a, cạnh bên bằng b. Tính thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ

GIẢI

a

C

C' O

O'

A1

A1' B'

B I

A'

-Gọi O và O’ là tâm ∆ABC và ∆A’B’C’ thì OO’ là trục của các đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và∆A’B’C’

-Gọi I là trung điểm OO’ thì IA = IB =IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

-Bán kính mặt cầu là R = IA

Tam giác vuông AOI có: AO = 32 AA1  32 a23  a33

OI = 21OO' 21 AA' b2

⇒AI2 = OA2+OI2 =a32  b42  712a2 ⇒AI = a2 37

V= 34R3  34 a83.37 37  a372.28 37  718a3 73  2154.a3 AI2 = 4a2123b2  AI  4a2233b2  R

V=

3 3

3 2 2 2 2

4 4 1 2 1 2

3R  3 8.3 3 (4a 3 )b 18 3.(4a 3 )b

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 30o. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

GIẢI

a O S

M

D C

A B

I

Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Ta có SO b (ABCD), SO là trục của ABCD, (SA, (ABCD)) = SAO = 30o

Gọi M là trung điểm SA

Trung trực của SA cắt SO tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

⋄OIMA là từ giác nội tiếp ⇒ SI.SO = SM.SA ⇒ SI = SMSO.SA Với AO = a22 , AS = 2 32

2 3 2 30 cos

a AO a

o   , SO = SA sin30o= a6

⇒SI =

6 3 2 6

a a a

= a 32 ⇒VMcầu= 34a3 32 32  89 32a3

Các bài tập về xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối chóp, khối lăng trụ, đều hỏi thêm thể tích mặt cầu

A J

B M'

C' D

O'

O

A' B'

B

A

D C

Bài 3: Cho hình trụ có đáy là tâm đường tròn tâm O và O’ tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp trong đường tròn tâm O. AA’, BB’ là các đường sinh của khối trụ. Biết góc của mặt phẳng (A’B”CD) và đáy hình trụ bằng 60o. Tính thể tích khối trụ

GIẢI







 DC D A

DC AD

' ⇒ADA’ là góc của (A’B’CD) và đáy Do đó: ADA’ = 60o

∆OAD vuông cân nên AD = OA 2 = R 2

∆ADA’ có h= AA’ = ADtan60o= R 6

V = R2h = R3 6

Bài 4: Bên trong hình trụ có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc đường tròn đáy thứ nhất và C, D thuộc đường tròn đáy thứ hai của hình trụ mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc 45o. Tính thể tích khối trụ.

GIẢI Gọi I, J là trung điểm của AB và CD

Ta có: OI AB; IJ cắt OO’ tại ttrung điểm M của OO’

MIO = 45olà góc của mặt (ABCD) với đáy, do đó:

O’I = 2a2 ; R = a82  a42  38a2

h = 2OM = a2 Vậy V = R2h = 

3 3. . 3 2

3

8a . a2  16a

Bài 5: Một hình trụ có diện tích toàn phần S = 6. Xác định các kích thước của khối trụ để thể tích của khối trụ này lớn nhất.

GIẢI STP= 2Rh +2R2=2R(R+h) = 6

⇔R(h+R) = 3 ⇔ Rh + R2= 3 V = R2h = R(3-R2) = -R3+3R

V’ = -3R2 + 3; V’ =0 ⇔R = 1

Dựa vào bảng biến thiên ta có VMax⇔R = 1 và h = 2

Bài 6: Một mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón cắt đường tròn đáy một cung ỏ và (P) tạo với đáy một góc õ. Cho khoảng cách từ tâm O của đáy đến (P) bằng a. Tính thể tích của khối nón.

GIẢI

O

A E

B S

M

Gọi E là trung điểm AB ta có OES=õ ; AOB=ỏ Vẽ OM (SAB) thì SOM= ta có:

SO=cos

a và OE=

 sin

a

Bán kính đáy R=OA=

cos2 2 sin

cos  

a OE 

Thể tích khối nón là:V= 2 3

2

1 .

3 3sin .cos .cos

2 R h  a

    

Bài 7: Cho hình nốn đỉnh S, đường cao SO = h, bán kính đáy = R. M ∈ SO là đường tròn (C).

1.Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy là (C).

2.Tìm x để thể tích này lớn nhát

GIẢI

S

(C) M

O

Ta có ' ( )

' '

x h h R R R R h

x h R R SO

SM     





Thể tích khối nón V= ( 2 )

3 . 1 ) 3 (

. 1 3

1 3 2 2

2 2 2

2 2 2

' x hx h x

h x R

x h h

SM R

R       



V’= 3 4 ,

3

1 2 2

2 2

h hx h x

R  



V’ = 0 ⇔







 h x x h3

x= h (loại)

Dựa vào bảng biến thiên ta có: V Max ⇔x = 3h

Bài 8: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích toàn phần bằng 2.Với x nào thì hình trụ tồn tại? Tính thể tích V của khối trụ theo x và tìm giá trị lớn nhất của V.

GIẢI Ta có Stp=Sxq+2Sđ=2xy2x2 2(xyx2) Theo giả thiết ta có 2(xy+x2)=2

⇔xy+x2 =1 ⇔ y =

x x2

1 .Hình trụ tồn tại y>0 ⇔1-x2> 0 ⇔0 < x < 1 Khi đó V = x2y = x(1-x2) = -x3+x

Khảo sát hàm số trên với x (0,1) ta được giá trị lớn nhất của V=

3 1 3

3

2  x

Bài 9: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O.Trên đường tròn đó lấy một điểm A cố định và một điểm M di động.Biết AOM= ỏ ,nhị diện cạnh AM có số đo bằng õ và khoảng cách tư O đến (SAM) bằng a.

Tính thể tích khối nón theo a, ỏ, õ.

GIẢI