Phần còn lại dành cho ñộc giả.[r]
(1)T.s Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt Administrator http://www.toanthpt.net
-1- Ôn thi ðại học năm 2008
Chứng tỏ hệ phương trình
( ) ( )
2
1
2x y
y
2y x
x
= +
= +
có nghiệm x= =y
Cách :
Lấy ( ) ( ) (1 : x y) 2x 2y 1 *( ) xy
− − + + − =
Vì : y;1 y
1 x;
x dấu nên x>0; y>0
Theo bất ñẳng thức trung bình cộng trung bình nhân , ta có :
2
1
2x y y
x
y y 1
1 2x 2y
y xy xy
1
2y x x
x x
= + ≥ ≥
≥
⇒ ⇒ ≤ ⇒ + + − >
≥
= + ≥ ≥
Khi ( )* ⇔ =x y , phương trình ( )1 2x2 x (x 2x)( x 1) *( ) x
⇔ = + ⇔ − + + =
Dễ thấy 2x2+ + > ∀x 0, x; phương trình ( )* ⇔ =x
Vậy x= =y nghiệm hệ
Cách : Vì : y;1
y x;
x dấu nên x>0; y>0
Theo bất ñẳng thức trung bình cộng trung bình nhân , ta có :
2
1
2x y y
x
y y
y
1
2y x x
x x
= + ≥ ≥
≥
⇒
≥
= + ≥ ≥
(2)T.s Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt Administrator http://www.toanthpt.net
-2- Ôn thi ðại học năm 2008
Các bạn nghĩ cách giải ; ñã xong chưa nhỉ? Nhiều bạn nhầm tưởng giải xong Thực tơi
mới chứng minh dấu xảy mà thơi , nghĩa :
1
y x 1
y
y 1
x
x
+ =
=
⇒
=
+ =
,
1
y
y
x
x
+ >
+ >
thì hệ cho có nghiệm x>1, y>1? Ta lại tiếp tục giải toán :
Xét hàm số f t( ) t , t t
= + ≥ có đạo hàm f ' t( ) 12 , t (1; ) f t( ) t
= − > ∈ +∞ ⇒ ñồng biến nửa khoảng [1;+∞)
Nếu x > y ( ) ( ) 1 2
f x f y x y 2y 2x
x y
> ⇒ + > + ⇒ > , x≥1, y 1≥ nên y> ⇒x trái gt x >y Nếu x<y f x( ) f y( ) x y 2y2 2x2
x y
< ⇒ + < + ⇒ < , x≥1, y 1≥ nên y< ⇒x trái gt x <y Vậy x=y Khi phương trình ( )1 2x2 x (x 2x)( x 1) *( )
x
⇔ = + ⇔ − + + =
Dễ thấy 2x2+ + > ∀x 0, x; phương trình ( )* ⇔ =x
Vậy x = y =1 nghiệm hệ
Từ toán mở rộng tốn sau :
Chứng tỏ với a≠0,hệ phương trình
( ) ( ) 2
2
a
2x y
y a
2y x
x
= +
= +
có nghiệm
Lấy ( ) ( ) (1 − : x−y)(x+ +y 2xy)=0 *( )
Vì :
a y;
y
2 a x;
x dấu nên x >0; y> ⇒ + +0 x y 2xy>0 Khi ( )* ⇔ =x y Phương trình
( ) 2
1 ⇔2x −x =a ðặt f x( )=2x3−x2 , x>0 Hệ có nghiệm ñường thẳng
y=a cắt ñồ thị f x( )=2x3−x2trên khoảng x>0 điểm Phần cịn lại dành cho ñộc giả
Giải hệ phương trình :
3
6
x 3x y 3y
x y
− = −
+ =
6
(3)T.s Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt Administrator http://www.toanthpt.net
-3- Ôn thi ðại học năm 2008
Phương trình 3
x −3x=y −3y dạng f x( )=f y( ) ( )*
Xét hàm số f t( )= −t3 3t, t ≤ ⇒1 f ' t( )=3t2 − <3 0, t < ⇒1 f t( ) nghịch biến đoạn [−1;1].Khi phương trình ( )* ⇔ =x y
Vậy hệ cho viết lại 6 6
6
x y
x y
x y
=
⇔ = = ±
+ =
Giải hệ phương trình : ( ) ( )
( )
3 y x y
x 8y x y
− + = −
+ = − −
( )2 ( ) ( )2 ( )
3− y 1+ = x−y ⇔ x− − = −y y 1+ ≤ ⇔ ≤0 x− ≤ ⇔ ≤ − ≤y x y * Phương trình :x 8y+ = x− −y ( )2 có nghĩa x− − ≥ ⇔ − ≥y x y **( )
Từ ( )* ( )** suy x− =y
Khi phương trình x 8y+ = x− −y ( )2 ⇔ + +y 8y= ⇔ = − ⇒ =0 y x Vậy hệ có nghiệm (x; y) (= 8; 1− )
Giải hệ phương trình :
2
2
x y
y x
+ − =
+ − =
Hệ xác ñịnh
2
y
1 y
x
1 x
≤
− ≥
⇔
≤
− ≥
Với ñiều kiện ; gợi tưởng ta ñặt [ ] [ ]
x cos , 0;
y cos , 0;
= α α ∈ π
= β β∈ π
Khi ñó hệ
[ ] [ ]
( ) ( ) [ ] [ ]
( )
2
2
cos cos cos sin 1
x y
cos cos cos sin *
y x 0; , 0;
0; , 0;
α + − β = α + β =
+ − =
⇔ β + − α = ⇒ β + α =
+ − =
α ∈ π β∈ π α ∈ π β∈ π
Bình phương vế phương trình ( )1 ( )2 , cộng vế theo vế , ta ñược
( ) ( )
2 sin sin k2 k2 sin cos
2
π π
(4)T.s Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt Administrator http://www.toanthpt.net
-4- Ôn thi ðại học năm 2008
Khi hệ ( )
[ ] [ ] sin cos
2
x
3
* sin cos
2
y
0; , 0;
β = α =
=
⇔ α = β = ⇒
=
α ∈ π β∈ π
Giải hệ phương trình :
( ) ( )
3
3
6
x y x y
x y x y
+ + − =
+ − =
Hướng dẫn :
( ) ( )
3
3
3 3
6
3
x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y
x y x y
x y x y x y x y
− ≥ − <
+ + − = + + − =
⇔ ⇔ + + − = + + − =
+ − =
+ − =
+ − = + − = −
Trường hợp :
3
3
3
x y
x 34
x y
x y
y 30
x y
x y x y
x 12
x y x y x y
y
x y
− ≥
=
+ =
− ≥
= −
− =
+ + − = ⇔ ⇔
=
+ − =
+ =
=
− =
Trường hợp :
3
3
x y
x 103 19 17
x y x y
y 77 25 17
x y x y
− <
= −
+ + − = ⇔
= − +
+ − = −
Lời bình : ( )3
6 x+y = x+y khơng làm thay đổi miền xác định ; tương tự dễ dẫn đến sai lầm ( )2