Thí sinh không được phép sử dụng máy tính bỏ túi.. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm...[r]
(1)SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
CỤM TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG
ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 11- LẦN 2 NĂM HỌC 2019-2020
Môn thi: Tốn
Thời gian làm 150 phút, khơng kể thời gian giao đề
Câu (6,0 điểm).
a Giải phương trình
1 4
cosx+sinx=
b. Giải phương trình
1 1 ( ).
x x x
x x
- + - = Ỵ ¡
Câu (4,0 điểm).
a. Cho đa giác có 60 đỉnh Hỏi có tam giác có cạnh đường chéo đa giác đó? b. Cho khai triển ( 1) ( 1)2 2 4 ,
n n n
n
x+ + x + =a +a x a x+ + +a x với n số tự nhiên, n³ 1 Tìm n biết a a a1, ,2 lập thành cấp số cộng
Câu (2,0 điểm). Cho dãy số ( )un thỏa mãn
1
2
1
2
, ,
n n
u
n n
u u u n u
ìï =
ïï Ỵ ³
íï + + + =
ùùợ Ơ Tỡm cụng thc s
hng tổng quát un tính tổng S=u1+u2+ + u2020
Câu 4. (2,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A(2;5) H hình chiếu vng
góc A lên cạnh BC. Gọi I, J(2; 1)- K(6;1) tâm đường nội tiếp tam giác
, ,
ABC ABH ACH Chứng minh I trực tâm tam giác AJ K tìm tọa độ đỉnh B C,
Câu (4,0 điểm). Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G, cạnh AB =a; O tâm tam giác BCD M điểm thuộc mặt phẳng (BCD) Gọi H K L, , hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng (ACD),(ABD),(ABC)
a. Mặt phẳng ( )P qua trọng tâm G, cắt cạnh AB AC AD, , B C D', ', ' Chứng
minh ' ' '
AB AC AD
AB +AC +AD = .
b. Chứng minh đường thẳng GM qua trọng tâm E tam giác HKL
Câu (2,0 điểm). Cho x y z, , ³ thỏa mãn x y z+ + =1 Tìm giá trị lớn biểu thức
2 2
(2)(3)ĐÁP ÁN ĐỀ THI KSCL HSG TOÁN LỚP 11 LẦN 2- CỤM THANH CHƯƠNG- NĂM 2020
Câu Nội dung Điể
m 1.a
(3 đ) Điều kiện: cos 0,sin
k
x¹ x¹ Û x¹ p 0.5
PT sinx+ 3cosx=4sin cosx x
sin2 sin( )
3
x x p
Û = +
2
2 ; ,
3
k
x p k px p p k
= + = + ẻ Â 0.5
1.b
(3 đ) ĐK: x- 1x³ 0;1- 1x³ 0;x¹ 0Û - £1 x<0;x³ 0.5
C1 (Bình phương):
1
1
x x
x x
- = -
Nếu - £1 x<0 PT vơ nghiệm Nếu x³
2
1 2 1 1
x x x
x x x
- = - - + -
2 2 5
( ) 1 ( ), (T/ m)
2
x x x x x x x - Loai x +
Û - - - + = Û - - = Û = = 1.5
C2 : (Đặt ẩn phụ chuyển HPT) ĐK PT có nghiệm x³ Đặt
1, 1
a x b
x x
= - =
-2
1
( )
1
1
a b x
a b x
a x
x
a b x a b x
x ìï + = ì ï ï + = ï ïï ï Þ íï - = - Þ íï - = - Þ = + -ï ï ïỵ ïïỵ
1 1 5
( ) 1 (Loai); ( )
2
x x x x x x Tm
x x
- +
- - - + = Û - - = Û = =
C3 : (Đánh giá theo BĐT Cauchy) ĐK có nghiệm x³ BĐT , ,
a b
ab£ + "a b³
1
1
1 1
1( ) ; ( 1)
2
x x
x x
x x
x x x
+ - + £ - = - £ 1 1 2 x x x x
VT x VP
+ - +
-Þ £ + = =
Phương trình tương đương với dấu xảy
1 1
1 ; 1,
2
x x x x
x x
+
= - = - ³ Þ =
2.a
(2 đ) C1 : đỉnh B, C thỏa mãn, hay AB, BC, CA đường chéoChọn đỉnh A có 60 cách, giả sử chọn thêm đa giác cung AB BC CA» ,¼ ,» ln có đỉnh đa giác
0.5
Giả sử x y z, , số đỉnh đa giác nằm cung » ,» ,¼
AB CA BC, ú x y z, , ẻ Â; , ,x y z³
0.5 Bài toán trở thành tìm số nghiệm nguyên dương
phương trình x y z+ + =57 57 1 1 1
x y z
= + + + + + + + +144424443 144424443 144424443
(có 56 dấu + )
(4)Do vai trị đỉnh nên có 2 56 56 60 20 C C = tam giác thỏa mãn
0.5
C2 : Số tam giác tạo thành Cn3 Số tam giác có cạnh đa giác
1
n
nC - Số tam giác
có cạnh cạnh đa giác n.
Số tam giác thỏa mãn
3
4 3
n n n
n
C - nC - - n= C
-2.b (2 đ)
1
1 n; n 2n; n
a =C a =C +C a =C 0.5
1, ,2
a a a cấp số công nên a1+a3=2a2 0.5
1
2
(n 1)(n 2) ( 1)
2( ) 2
6
n n n n
n n n
C +C = C +C Û n+ - - = ỗỗỗổ - + nữữửữữ
ỗố ứ 0.5
2 9 10 0 1( ); 10( )
n n n Loai n Tm
Û - - = Û = - = 0.5
3 (2 đ)
2
1
(n- 1)un- +un =n u n 0.5
2
1
(n 1)un- (n 1).un
Û - = -1 1 n n n u u n -Û = + 0.5
1. 1
1 ( 1)
n
n n
u u
n n n n
- -= = + + 0.5 Tổng 2
1 2020 2020
4.2020 8080
2020
2020.2021 2021
S=u +u + +u = u = = 0.5
4 (2 đ)
Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC trực tâm tam giác AJK
· · · ·
ABC =HAC Þ ABJ =J BH =HAK =KAC
· · · · ·
0
90 =BAC =BAK +KAC =BAK +ABJ
AK BJ
Þ ^
Tương trự chứng minh CK ^AJ Do I trực tâm tam giác AJK
0.5
Gọi I a b( ; ) ta có
0
AI J K KI AJ ìï = ïï íï = ïïỵ uuruuur uuruuur
4( 2) 2(b 5)
(4;1)
0( 6) 6( 1)
a a
I
a b b
ì ì ï - + - = ï = ï ï ï Û ï Þ í í ï - - - = ï = ï ï ï ï ỵ ỵ 0.5
Phương trình BI x y: - - 3=0 Phương trình CI y: - 0=
0.25
Một vecto phương đường thẳng AI
(1; 2)
ur = AIuur =
- Gọi vecto phương đường thẳng chứa cạnh AB cạnh AC u t k'( , )
r
· · 450 cos450 | cos( , ') | 2 | 2 | 5(2 2) 3 0, 3 0
IAB =IAC = Þ = u ur r Û t- k = t +k Û t k- = t+ k=
Với 3t k- =0 chọn t=1,k= Þ3 u'(1;3) r
Với t+3k=0 chọn t=3,k= - Þ1 u'=(3; 1) -r
0.5
(5){ }B =BI ÇABÞ B( 1; 4)- - ; { }C =CI ÇAC Þ C(14;1) 5.a
(2 đ) Tính chất trọng tâm G tứ diện ABCD AO=4GO AO; = - 43GA uuur uuur uuur uuur
O trọng tâm tam giác BCD nên OB+OC +OD =0 uuur uuur uuur r
AB AC AD AO
Û uuur+uuur+uuur= uuur
' ' '
' ' '
AB AB AC AC AD AD AG
AB AC AD
Û uuuur+ uuuur+ uuuur= uuur
Do với điểm A điểm B C D G', , ', thuộc mặt phẳng (P) nên
' ' '
AB AC AD
AB +AC +AD =
0.5 0.5 0.5 0.5 5.b (2 đ)
Độ dài đường cao tam giác BCD
2
TG
a
h =
Độ dài đường cao tứ diện ABCD TD a h = TD TG MM MH
h = h Tương tự
TD TG
MM MK
h = h ;
3
TD TG
MM ML
h = h
Mặt khác
2 3
4
BCD MBC MCD MBD
a
SD = =SD +SD +SD
2
1
1
( )
2
a
a MM MM MM
Û + + =
1
3
a
MM MM MM
Û + + =
Ta có MM1+MM2+MM3=hT G
1 1
TG TG TG
MM MM MM
h h h
Û + + =
1. 2. 3.
TG TG TG
MM MM MM
GB GC GD GM
h h h
Þ uuur+ uuur+ uuur=uuur
Do E trọng tâm tam giác HKL nên ta có 3MEuuur=MHuuuur+MKuuuur+MLuuur
1
4
3 TG T G TG
MM MM MM
GB GC GD
h h h
ổ ửữ ỗ ữ ỗ = - ỗ + + ữữ ữ ỗố ứ
uuur uuur uuur
4 3GM = - uuur
0.5 0.5 0.5 0.5 6 (2 đ)
Giả sử y nằm x zÞ z x y y z( - )( - )³ 0.5
( )( )
xyz z x y y z
Þ + - - ³ ; P =x y y z z x2 + + £ x y y z z x xyz z x y y z2 + + + + ( - )( - ) 0.5
2 2 ( )2
x y yz xyz y x z
(6)( ) ( )
3
3 2( )
1
(2 )( )( )
2 2.27 54 27
x y z
y x z x z y x z x z + +
= + + £ + + + + = =
4 max
27
P =
đạt
2, 1, 0
3
x= y= z=
0.5