Mỗi một giáo viên cần phải tập cho học sinh khi chứng minh định lý phải xem xét một cách toàn diện, vận dụng hết lượng kiến thức dã học có liên quan đến định lý để phát hiện kẻ thêm hình phụ và đề xuất những hướng chứng minh khác nhau. Từ đó biết xâu chuỗi kiến thức một cách lôgíc và biết vận dụng định lý đó vào giải quyết các bài toán. Mời thầy cô tham khảo sáng kiến kinh nghiệm khai thác các phương pháp khác nhau để chứng minh định lý đường phân giác trong của một tam giác.
KHAI THÁC CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC NHAU ĐỂ CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG CỦA MỘT TAM GIÁC A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Khi dạy định lý hình học giáo viên thường cho học sinh đọc định lý, ghi giả thiết, kết luận chứng minh theo hướng dẫn sách giáo khoa trình bày Ít có giáo viên hướng dẫn cho học sinh tìm cách chứng minh hay khai thác tư học sinh qua việc đề nhiều phương án vẽ thêm hình phụ để chứng minh định lý, vận dụng định lý để khai thác toán liên quan Khơng làm điều lý khách quan thời gian lớp hạn chế, thời gian chuẩn bị giáo viên không nhiều, mặt khác có giáo viên chưa tâm huyết, chưa chịu suy nghĩ Đối với học sinh thường mang tính lệ thuộc sách giáo khoa, hầu hết khơng nghĩ đến việc suy nghĩ để phát đề xuất cách chứng minh Trước yêu cầu nghiệp cơng nghiệp hố, đại hố đất nước, ngồi nhiệm vụ dạy chữ, dạy người phải biết khơi dậy niềm đam mê học tập, có khả tư sáng tạo trình nghiên cứu Vì giáo viên cần phải tập cho học sinh chứng minh định lý phải xem xét cách toàn diện, vận dụng hết lượng kiến thức dã học có liên quan đến định lý để phát kẻ thêm hình phụ đề xuất hướng chứng minh khác Từ biết xâu chuỗi kiến thức cách lơgíc biết vận dụng định lý vào giải tốn Sau tơi xin trình bày cách khác để chứng minh định lý: “ Trong tam giác đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.”(Sách giáo khao Toán 8- Tập 2) Và vận dụng công thức đường phân giác vào giải toán B NỘI DUNG: I Một số cách chứng minh định lý: “ Trong tam giác đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.” Khơng tính tổng qt, ta xét tam giác ABC có phân giác AD ( D thuộc BC), ABC ≥ ACB Ta cần chứng minh: AB DB = AC DB (*) PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com A Cách 1: (SGK Toán - tập 2,trang 66) Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AD E.(Hình 1) C B D Cách 2: Nếu nghĩ đến chứng minh hệ thức tam giác đồng dạng, phải tạo cặp tam giác đồng dạng với tam giác ACD E (Hình 1) cách dựng BE(E thuộc AD) cho ABE = ACD (Hình 2) Thật vậy: Ta có ∆ABE •? ∆ACD (g-g) Suy : AB EB = (1) AC DC ; AEB = ADC •BDE = BED A •∆BDE cân B • BD = BE (2) Từ (1) (2 ) suy (Đpcm) E Cách 3: Dựng BE ⊥ AD, CF ⊥ AD ( E,F thuộc AD, B D hình 3) ta lại có cách chứng minh khác: C (Hình 2) A Ta có ∆ABE •? ∆ACF (g-g), ∆BDE •? ∆CDF(g-g) Suy ra: AB EB DB = = AC FC DC B E D Cách 4: Dựng AH ⊥ BC, DM ⊥ AB, DN •AC F (H,M,N thuộc BC, AB, AC, Hình 4) (Hình 3) C A áp dụng phương pháp diện tích ta chứng minh định lý N M Ta có ∆ADM = ∆AND (Cạnh huyền góc nhọn) S ( ABD) DM AB AB Suy DM = DN, : S ( ACD) = DN AC = AC B (Hình 4) H PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com D C Lại có: S ( ABD) AH DB DB = = S ( ACD ) AH DC DC Từ suy (đpcm) Cách 5: Vẽ đường thẳng qua B song song với AD Cắt đường thẳng AC E (Hình 5) E Khi xét ∆CBE, AD // BE, ta có DB AE = DC AC (1) A A Cũng AD // BE mà AD lại phân giác góc BAC, dễ dàng chứng minh AEB = ABE • ∆ABE cân A suy AB = AE (1) Từ (1) (2) suy (*) C D B (Hình 5) Cách 6: Qua D dựng đường thẳng song song với AB, AC, căt AB, AC F, E (hình 6) Ta có : ∆BFD •? ∆DEC (g-g) Suy ra: A BD BF DF BF + DF Mặt khác: Dễ thấy AEDF = = = DC DE CE DE + CE F B hình thoi nên suy ra, BD AB = DC AC (Đpcm) E C D (Hình 6) Với cách kẻ hình phụ sau tiếp tục chứng minh định lý cách khác Cách 7: Qua D dựng đường thẳng song song với AB, qua A dựng đưởng thẳng song song với BC, hai đưởng thẳng cắt E DE cắt AC F PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Cách 8: Trong tam giác ABC dựng hai đưởng cao CE BF, chúng cắt K H Đường thẳng qua C song song AD cắt BF I Cách 9: Dựng qua B đường thẳng vuông góc với AB; Dựng qua C đưởng thẳng vng góc AC, hai đưởng thẳng cắt K AD cắt BK, CK E F Dựng qua B đưởng thẳng song song với AD cắt CK G Cách 10: Qua B; C dựng đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng qua D song song với AC F E Đường thẳng qua F song song AB cắt AD M II Vận dụng công thức đường phân giác tam vào giải tốn Cơng thức đường phân giác tam giác: Để tính độ dài AD = da theo cạnh BC = a, AC = b ,AB = c trước hết tính BD, CD Theo tính chất đường phân giác ta có: BD CD BD + CD BC a = = = = c b b+c b+c b+c Từ có BD = ac ab (1) CD = (2) b+c b+c Trong nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng tia CK cho BCK = BAD, tia CK cắt tia AD K (h 7) Ta có ADB = CDK ABD = CKD Từ ∆ABD •? ∆CKD, Hình AD CD Suy = ó AD.DK = BD.CD BD KD ∆ABD •? ∆AKC suy AB AK = ó AB.AC = AD.AK AD AC Từ hai đẳng thức có AD.AK – AD.DK = AB.AC – BD.CD Chú ý AK – DK = AD nên AD2 = AB.AC – BD.CD hay d a2 = bc – BD.CD (3) Từ (1), (2) (3) suy d a2 = bc - a bc (4) (b + c) PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Hay d a2 = bc ( − a2 ) (b + c) (5) Để ý (b + c)2 – a2 = (b + c + a)(b + c – a) = 2p(2p – 2a) = 4p(p – a), nên từ (5) có d a2 = p ( p − a )bc hay d a2 = bcp( p − a ) (6) b+c (b + c) Từ (4), (5) (6) với ý (b + c)2 > 4bc ta có bất đẳng thức độ dài đường phân giác tam giác: bc − a2 ≤ d a2 < bc (7) d a2 < p(p – a) (8) Đẳng thức (8) xảy AB = AC Đối với db, dc có cơng thức tương tự Một số tốn ứng dụng cơng thức đường phân giác : Bài toán 1: Gọi da ,db, dc độ dài đường phân giác tam giác ABC với cạnh : AB + BC + AC = a + b + c = 2p chứng minh rằng: a) ab + bc + ca - (a + b + c ) ≤ d a2 + d b2 + d c2 ≤ p b) da + db + dc ≤ p Hướng dẫn giải: Từ công thức (8) ta có : d a2 + db2 + d c2 ≤ p(p-a) + p(p-b) + p(p-c) = 3p – 2p = p 2 áp dụng công thức (7) ta : d a2 + db2 + dc2 ≥ (ab + bc + ca) - (a + b + c ) áp dụng BĐT bu-nhi-a-côp-xki câu a) ta có :( d a + d b + d c )2 ≤ 3( d a2 + d b2 + d c2 ) ≤ 3p2 Từ suy (Đpcm) Cả hai câu a) b) dấu xẩy tam giác ABC Bài toán 2: Chứng minh tam giác ABC cân đáy BC hai phân giác BE CF Hướng dẫn giải: Ta chứng minh trực tiếp sử dụng công thức (4) PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Dựa vào giả thiết ta có: db = dc • d b2 = d c2 • ac • c-b + bc( b ac c ab = ab − (a + c ) ( a + b) c b ) = (a + b) (a + c ) => c – b + bc c − b + a (c − b ) + a (c − b ) =0 ( a + b) ( a + c ) => (c – b)(1 + bc c + cb + b + a + 2a (c + b) )=0 ( a + b) (a + c ) => c= b hay AB = AC C KẾT LUẬN: Trong trình giảng dạy mơn hình học, đặc biệt dạy định lý, việc cung cấp kiến thức cho học sinh cần có ý thức dạy phương pháp tư sáng tạo cho học sinh Trong điều kiện khả cho phép giúp gho học sinh phân tích, liên hệ để tìm cách chứng minh khác đường vận dụng định lý vào giải tốn Trong năm học vừa qua tơi thể nghiệm vấn đề cho học sinh khối góp phần bồi dưỡng đội ngũ HSG Huyện, Tỉnh cho ngành GD huyện nhà Nhưng điều quan trọng với cách thực trước mắt chưa hữu kết song chắn giúp học sinh phát triển trí tuệ rèn luyện khả lao động sáng tạo, đặc biệt đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp dạy học Thanh Chương, tháng năm 2008 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com ... sinh tìm cách chứng minh hay khai thác tư học sinh qua việc đề nhiều phương án vẽ thêm hình phụ để chứng minh định lý, vận dụng định lý để khai thác toán liên quan Khơng làm điều lý khách quan... khác Từ biết xâu chuỗi kiến thức cách lơgíc biết vận dụng định lý vào giải tốn Sau tơi xin trình bày cách khác để chứng minh định lý: “ Trong tam giác đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành... giáo khao Toán 8- Tập 2) Và vận dụng công thức đường phân giác vào giải toán B NỘI DUNG: I Một số cách chứng minh định lý: “ Trong tam giác đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng