de cuong boi duong HSgioi mon toan

Cho hình thang ABCD (AB//CD và AB<CD),M là một điểm trên đáy AB.Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD.Vẽ H đối xứng với M qua E và điểm K đối xứng M qua F. Cho tam giác ABC[r]

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HIPHỊNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HIỆỆP ĐỨCP ĐỨC TRƯỜNG THCS PHAN BỘI CHÂU



Năm học : 2010 - 2011

ĐỀ CƯƠNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP

A) NỘI DUNG: I) HÌNH HỌC:

Chủ yếu: Chứng minh tứ giác, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng số dạng khác

II) SỐ HỌC:

Chủ yếu: Tốn chia hết, phương trình nghiệm nguyên, số phương số dạng khác

III) ĐẠI SỐ:

Chủ yếu: Chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức Giá trị lớn Giá trị nhỏ Phương trình, thức bậc hai số dạng khác

B) BÀI TẬP I) HÌNH HỌC Bài

Cho diểm O nằm tam giác ABC cạnh a Qua O vẽ đường thẳng DE // BC (DAB;EAC);MN//AC(MBC;NAB);PQ//AB(PAC;QBC) a) Chứng minh tứ giác DECB hình thang cân tam giác OMQ tam giác

b)Vẽ OH AB;OIBC;OKAC.Chứng minh AH+BI+Ck=1,5a

Bài

Cho hình thang ABCD (AB//CD AB<CD),M điểm đáy AB.Gọi E F trung điểm AC BD.Vẽ H đối xứng với M qua E điểm K đối xứng M qua F Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm H,K,C,D thẳng hằng;

b)Khi M di động đáy AB HK có độ dài khơng đổi Bài

Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý tam giác.Gọi D,E,F thứ tự trung điểm BC,CA,AB Gọi H,I,K thứ tự điểm đối xứng M qua D,E,F Chứng minh rằng:

a) Ba đường thẳng AH,BI,AB đồng quy điểm O;

Bài Cho hình bình hành ABCD, BD=3AD.Gọi M,N trung điểm của AB CD.Trên BD lấy hai điểm E F cho BE=EF=FD

a) Chứng minh MENF hình chữ nhật;

b) Hình bình hành ABCD phải có thêm điều kiện để MENF hình vng? Bài 4.

Cho tam giác ABC vuông A, cạnh bên a Vẽ hình chữ nhật AEMF có chu vi 2a E AB;FAC

a) Hỏi điểm M di động đường nào?

b)Từ M vẽ đường thẳng MNEF(NEF).Chứng minh MN qua

điểm cố định Bài 5.

Cho tam giác ABC vng góc A, AB = 8; BC=17.Trên BC lấy điểm M.Vẽ hình bình hành ABMN Tính diện tích tứ giác ANCM

Bài 6.

Cho ngũ giác ABCDE Vẽ AH CD.Vẽ BM//AC,EN//AD(M,N thuộc đường

thẳng CD) Cho biết AH=h,MN=a.Tính diện tích ngũ giác ABCDE Bài

Cho tam giác ABC,BC=a;CA=b;AB=c Cho biết 

A=2B ,B =2C , chứng minh

rằng :

a)a2=b2 +bc

b) 

a

c b

1



Bài 8.

Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H.Qua H vẽ đường thẳng cắt AB D,cắt AC E cho HD=HE.Từ H vẽ đường thẳng vng góc với DE cắt BC M.Chứng minh M trung điểm BC

Bài 9.

Cho tam giác ABC,các đường phân giác góc B góc C cắt O.Trên cạnh BC lấy điểm D không trùng với trung điểm nó.Vẽ DEAB cắt OB M; Vẽ

DFAC cắt OC N Chứng minh rằng:

a)DMDN DFDE

b)OD chia đôi EF Bài 10.

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD; AB<CD) Đường thẳng qua A vng góc với CD cắt CD H, cắt đường thẳng BC K Chứng minh tam giác ABK đồng dạng tam giác HAD

Bài 11.

a) Chứng minh tam giác ABM đồng dạng tam giác DMC b) Gọi N trung điểm BC Tính độ dài MN

Bài 12.

Cho tam giác ABC vng góc A, đường cao AH Vẽ HM AB; HNAC

a) Chứng minh AM.AB=AN.AC

b) Cho biết AH=2cm, BC= 5cm Tính diện tích tứ giác AMHN Bài 13.

Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi M N trung điểm AH BH Gọi O giao điểm AN với CM Chứng minh rằng:

a) ANCM

b) AH2 =4MC.MO

Bài 14.

Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm di động cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM cắt tia BM H, cắt tia BA O Chứng minh rằng:

a) OA.OB=OC.OH;

b) Góc OHA có số đo khơng đổi; c) Tổng BM BH + CM.CA không đổi Bài 15

Cho tam giác ABC, ba đường cao AD,BE,CF Gọi M,N,I,K hình chiếu D AB,AC,BE,CF Chứng minh điểm M,N,I,K thẳng hàng

II) SỐ HỌC:

TỐN CHIA HẾT

I>Tính chất chia hết tập số nguyên , bội số, ước số : 1) Định nghĩa :

Số nguyên a gọi chia hết cho số nguyên b ( b  ) Nếu có số nguyên c

cho a = b.c

Ta nói a bội b, a  b ; b gọi ước a , ba

2) Các tính chất : a  a với a 

2 a  b b  c a  c

3  a với a 

4 Nếu a , b số nguyên dương a  b , b  a a = b

5 Nếu a  b ac  b

Đặc biệt : a  b  a bn

6 Nếu a  b (a) (b)

7 a  (1 ) với a

8 Nếu a  b, a  b b khơng chia hết cho a

10 Nếu a  b c  b (ma nc b )

11.Nếu S = (a+b+c+d)  m a,b,c d  m

12.Nếu S = a + b + c +d a, b ,c  m ;d khơng chia hết cho m S khơng chia hết

cho m

13.Nếu a  b , c  d ac bd

Đặc biệt a b a bnn

14.Nếu ac  b (b,c)=1 a  b

15.Nếu a  b, a  c mà (b,c)=1  a  b.c

16.Cho a,b  Z ; b > ln tìm cặp số (q ,r)

sao cho a = bq + r ( r 0; r < b)

17.Nếu a a1, 2…an  P ( P số nguyên tố ) tồn ay  P

B ÀI T ẬP Bài1 : Chứng minh 74

1 n

 

Bài2:Chứng minh 17n 11 6n

  với nN

Bài3 : Chứng minh : 2.7n

  với n

Bài4: Chứng minh n3–n  với n Z

Bài 5: Chứng minh n3–n+2 không chia hết cho với n  N

Bài 6: n2+11n+39 không chia hết cho 49 với nN

Bài : Chứng minh n2+3n+4 không chia hết cho 49 với nN

Bài 8: n2+3n+5 không chia hết cho 121 với n N

Bài : n2+5n+16 không chia hết cho 169

Bài 10: Tìm n (n>0;n4)sao cho 3n –8 chia hết cho n–4

Bài11:Chứng minh : m3+20m48 m chẳn , mN

Bài 12 Chứng minh 4n1+60n–4  36 với n  N

Bài13 Chứng minh n3– n chia hết cho 24 với moi n lẻ nN

Bài 14 chứng minh: n( n – 1)( 2n + )  moi n lẻ nZ

PH Ư ƠNG TR ÌNH NGHI ÊM NGUYÊN

A.Ph ¬ng pháp giải

+ Phơng trình dạng : ax + by = c, ( a,b,c số nguyên)

Muốn tìm nghiệm nguyên ta phải tách đợc phần nguyên biểu diễn x theo y ngợc lại

+ Đa phơng trình tích Ta biến đổi để vế phơng trình tích biểu thức nguyên ẩn

vÕ số nguyênbằng cách phân tích số nguyên thành thừa số nguyên

tố ta cã thÓ xÐt mäi

trờng hợp xảy từ tính nghiệm ngun phơng trình

+ Phơng pháp loại trừ Từ phơng trình cho tìm số điều kiện loại bớt dần giá trị ẩn để tìm nghiệm

+ Dùng tính chia hết Ta dùng tính chia hết để thu hẹp miền xác địnhcủa

nghiệm đa phơng trình phơng trình đn giản h¬n

+Tách phần ngun Ta tách phân nguyên riêng đặc điều kiện cho

phân thức lại số ngun từ tìm nghiệm phơng trình

+Dùng vai trị bình đẳng ẩn Nếu phơng trình ngun mà ẩn x,y,z có vai

trị bình đẳng, ta đặt điều kiện để giả sử xyz mà tốn khơng tín tổng qt từ giới hạn bớt miền xác định ẩn tìm đợc nghiệm phơng trình

+Chøng minh nghiƯm nhÊt Với số phơng trình có nghiệm nguyên ta

thấy đợc vài nghiệm , cách chứng minh phơng trình nhận nghiệm ta kết luận đợc nghiệm phơng trình cho

B.Bài tập

1/ Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: 13 100



 xy y

x

2/ Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: 345

  y

x

3/ Tìm nghiệm nguyên phơng trình : 74

  y

x

4/Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình : 5x-3y = 2xy-11 5/ Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau:

a/ 25 ( 6)

   y y

x b/ x2 91 y2

 

c/ 11 + 14xyz + 7x = -22yz - 7z

6/ T×m nghiệm nguyên phơng trình sau a/ 2 1987

  y

x b/ x(x+1).(x+7).(x+8) = y2.

7/ Giải phơng trình nghiệm nguyên

a/ 3

   

 x y x y

x b/ 4 15

   

 x y y y

x

8/ Tìm sè nguyªn x , y , z , t cho : x y  y z  z t t x 2003

9/ Tìm cặp số nguyên không âm x,y thoả mÃn: y2(x 1) 1576 x2

 

 ; (p2)

10/ Tìm tất cặp số nguyên không âm x , y cho : x-y= x2 xy y2

 

BÀI TẬP ĐẠI SỐ Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) A= 2 3

   

 xy y x y

x ;

b) B= (12 12 2) 10(2 )

  



 xy y x y

x

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) A= (a b)3 (b c)3 (c a)3

   

b) B=(a b 2c)3 (b c 2a)3 (c a 2b)3        

3.a) Chứng minh rằng:

A=(x+y+z)3–x3–y3–z3=3(x+y)(y+z)(z+x)

b) Phân tích đa thức thành nhân tử:

B= (a+b+c)3+(a–b–c)3+(b–c–a)3+(c–a–b)3

4.Phân tích đa thức thành nhân tử: a) A= (x2 –2x)(x2 –2x–1)–6

b) B= (x2 +4x–3)2 –5x(x2+4x-3)+6x2

c) C= (x2+x+4)2+8x(x2+x+4)+15x2

5.Phân tích đa thức A thành tích nhị thức bậc với đa thức bậc ba với hệ số nguyên cho hệ số cao đa thức bật ba 1:

A= 3x4 +11x3–7x2 –2x+1

Phân tích đa thức B thành tích hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên: B= x4 –6x3+11x2 –6x+1

7.Phân tích đa thức C thành tích hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên hệ số cao mang dấu dương:

C= x4 –x3+2x2 –11x–5

Cho biểu thức M=

ca b a c bc a c b ab c b a 2 2 2 2 2 2        

Chứng minh rằng:

a) Nếu a,b,c độ dài cạnh tam giác M>1

b) Nếu M= hai ba phân thức cho biểu thức M 1, phân thức lại –1

Cho biểu thức: P= 

              12 3 8 :

1 2 3 2 2

x x x x x x x x x a) Rút gọn P;

b) Tìm giá trị x để P=0; P=1; c) Tìm giá trị x để P >

10 Cho biểu thức : Q= 

                   x x x x x x x x x

x

8 2 2 2 2

a) Rút gọn Q;

a) 4( ) 5 N x x x x x x x x             

b) 141

56 15 12 2 2            

 x x x x x x

x

c) ( )

16 31 ) ( 1 1 1 1

1 x N

x

x   

                          

12 Giải biện luận phương trình :

ax b bx a   

1 (1) ( với a,b tham số, a0 , b0) 13 Giải biện luận phương trình :

b a x b a

x    

1

1

(1) ( với a,b tham số ) 14 Giải phương trình:

0 1 10 100 9 9                        x Giải:

Lần lượt chuyển vế nhân hai vế phương trình với số, sau lần ta x=–9000 1 10 100 9 9                       

x  100 10 1

9 9                        x

 100 10 90

9 9 10 100 9                                         x x

 100 900

9         

x  x = -9000

15 Giải phương trình:

           

 3

1 12 15

2 x x x

x x

16 Giải phương trình: *) ( 15 16 ) ( N x x x           

17 Giải phương trình: a)2 14

   

 x x x

x ;(1)

b) ( 3)4 ( 5)4 16

    x

x (2)

1 2 2

2    n  với n  N; n 2

19.Chứng minh rằng: a) a b a b

  1

1

với a,b>0

b) 

           

 a p b p c a b c

p 1 1

với a,b,c cạnh tam giác p nửa chu vi tam giác

CĂN THỨC Bài 1: Rút gọn biểu thức với -1 < x < 1, x0

2 2 ) 1 1 1 1

( x x

x x x x x x

M   

           

KQ: M 1 x2  

 Với -1 < x < x0 Bài 2:    1 1                   x x x x x x x x x x x x x M

a Tìm x để M có nghĩa b Rút gọn M

KQ: a) M có nghĩa x 1;x 0; x

4



b M x x

  

1

Với x0; x 0; x

4



Bài 3: Tính biểu thức M = 6 2 12 18 128 M = 6 2 12 16 2.4 22

KQ: M = 31

Bài 4:

Cho M = x 2 x 3 x1 x với 3x4 Hãy rút gọn M

KQ: M = -1

chứng minh a a a x x 1 1 1 2        

với x( 1+ a) = a

Bài 6: Rút gọn biểu thức M =

   

1 1 1 1 2                 

 x x x

KQ: M= 21 2

3 x x 

Bài 7: Tính

3 1 1 1 1         M

KQ: M =

Bài 8: Cho a > 0, b >

Rút gọn biểu thức b

ab b a ab b a M 2      

KQ:

      

 a b

M

Bài 8: cho x1 Tính M =

1 1 2            x x x x x x x x x x

KQ: M =

Bài 9: cho m

c z b y a x  

 ( m > )

Chứng minh 22 22 22

c b a z y x m     

Bài 10: chứng minh

2 48 13     

A số nguyên

CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x 1992  x 1993

Bài 2: Tìm giá trị x;y để biểu thức A = 2x2 + 9y2-6xy -6x -12y +2022

Đạt giá trị nhỏ

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2-2xy + 6y2- 12x +2y +45

Bài 4: Tìm giá trị lớn biểu thức D = -5x2 -2xy -2y2+ 14x -10y +1

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 2x2-2xy + 5y2+ 52y

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = 5x2 +8xy + 5y2 -2x + 5

Hình học Bài 10

Cho diểm O nằm tam giác ABC cạnh a Qua O vẽ đường thẳng DE // BC (DAB;EAC);MN//AC(MBC;NAB);PQ//AB(PAC;QBC)

a) Chứng minh tứ giác DECB hình thang cân tam giác OMQ tam giác b)Vẽ OH AB;OIBC;OKAC.Chứng minh AH+BI+Ck=1,5a

Giải:

b) Chứng minh tương tự ta PQBA,MNAC hình thang cân; ODN, OPE

tam giác

Trong hình thang cân, hai cạnh bên nhau; đường cao tam giác đường trung tuyến, ta có :

AN= CM; HN=HD; BQ=AP;IQ=IM;CE=BD;KE=KP Cộng vế đẳng thức ta được:

AN+HN+BQ+IQ+CE+KE=CM+HD+AP+IM+BD+KP Suy AH+BI+CK=AK+CI+BH=a2aa =1,5a

Bài 38

Cho hình thang ABCD (AB//CD AB<CD),M điểm đáy AB.Gọi E F trung điểm AC BD.Vẽ H đối xứng với M qua E điểm K đối xứng M qua F Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm H,K,C,D thẳng hằng;

b)Khi M di động đáy AB HK có độ dài không đổi Giải:

a) C đối xứng A qua E; H đối xứng với M qua E hai đoạn thẳng CH AM đối xứng với qua E suy CH =AM CH//AM hay CH //AB.(1)

Chứng minh tương tự DK=BM DK//MB hay DK //AB.(2)

Mặt khác CD//AB(3) nên từ (1),(2),(3) theo tiên đề Ơ-clit ta suy H,K,C,D thẳng hang b) HK=CD–(CH+DK)=CD–(AM+BM)=CD–AB ( không đổi).;’;

Bài 39

Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý tam giác.Gọi D,E,F thứ tự trung điểm BC,CA,AB Gọi H,I,K thứ tự điểm đối xứng M qua D,E,F Chứng minh rằng:

a) Ba đường thẳng AH,BI,AB đồng quy điểm O;

b)Khi M di động tam giác ABC đường cao OM qua điểm cố định Giải:

a) AK BM đối xứng qua F nên AK = BM AK//BM.(1) BM CH đối xứng qua D nên BM=CH BM//CH(2) Từ (1) (2)  AK=CH AK//CH AKHC hình bình hành. Chứng minh tương tự, ta ABHI hình bình hành

Hai hình bình hành AKHC ABHI có chung đường chéo Ah nên AH,BI,CK đồng quy trung điển O đường

b) XétAMH có AD MO hai đường trung tuyến Gọi G giao điểm chúng

suy GA=32 AD nên G trọng tâm ABC Vậy đường thẳng OM qua

một điểm cố định trọng tâm G ABC

Cho hình bình hành ABCD, BD=3AD.Gọi M,N trung điểm AB CD.Trên BD lấy hai điểm E F cho BE=EF=FD

a) Chứng minh MENF hình chữ nhật;

b) Hình bình hành ABCD phải có thêm điều kiện để MENF hình vng? Giải:

a) BEM=DFN(c.g.c) ME=NF góc E1 = góc F1  góc E2 = góc F2 

ME//NF MÈN hình bình hành. Ta có BD=3AD BD=3MN

Mặt khác BD=3EF nên MN=EF

 hình bình hành MENF hình chữ nhật b) Hình chữ nhật MENF hình vng

 EFMN BDMN BDAD( MN//AD)

Bài 61.

Cho tam giác ABC vuông A, cạnh bên a Vẽ hình chữ nhật AEMF có chu vi 2a E AB;FAC

a) Hỏi điểm M di động đường nào?

b)Từ M vẽ đường thẳng MNEF(NEF).Chứng minh MN qua điểm

cố định

Giải: a)ME+MF=a; AF+FC=a  MF=FC

 góc FCM = 45 độ  MBC. Vậy M di động cạnh huyền BC,

b) Vẽ hình vng ABDC, D điểm cố định MNEF góc M1=góc E1( cặp

góc có cạnh tương ứng vng góc)

Gọi H giao điểm FM với BD.HMD=MEF(c.g.c)

 góc M2 = góc E1 góc M2 = góc M1, dẫn tới M,N,D thẳng hàng Vậy đường

thẳng MN qua điểm cố định điểm D Bài 85.

Cho tam giác ABC vng góc A, AB = 8; BC=17.Trên BC lấy điểm M.Vẽ hình bình hành ABMN Tính diện tích tứ giác ANCM

Giải: ABMN hình bình hành MN=AB=8; MN//AB nên MNAC

Áp dụng định lí Py-ta-go ta tính AC=15 Vậy 60

8 15

 

ANCM

S (đvdt)

Bài 88.

Cho ngũ giác ABCDE Vẽ AH CD.Vẽ BM//AC,EN//AD(M,N thuộc đường thẳng

CD) Cho biết AH=h,MN=a.Tính diện tích ngũ giác ABCDE Giải:

EN//AD SAED SAND; ADE ACD

ABC

ABCDE S S S

S    =SAMC SACD SAND SAMN a.h

2

 

 

Bài 133

Cho tam giác ABC,BC=a;CA=b;AB=c Cho biết 

A=2B ,B =2C , chứng minh :

a)a2 =b2+bc

b) 

a

c b

1



Giải:

a) Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AB  góc A1=2 góc B2 Mặt khác góc A1=2 góc B1 nên góc A1= góc DBC

BAC đồng dạng DBC(g.g)

BC AC DC BC

 ;

BC2=AC.CD hay a2=b(b+c)=b2 +bc.(1)

b) Từ góc B= 2góc C, chứng minh tương tự ta b2 =c2+ca(2)

Thay b2 =c2 +ca vào (1) ta được:

a2=c2 +ca+bc=c(a+b+c)

b a c b b

c b a

a a

c b a c

1 ) (

2

2  

     



Bài 134.

Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H.Qua H vẽ đường thẳng cắt AB D,cắt AC E cho HD=HE.Từ H vẽ đường thẳng vng góc với DE cắt BC M.Chứng minh M trung điểm BC

Giải:

Ta có góc A2 =góc B2; góc AHE=góc M2 ( hai góc có cạnh tương ứng vng góc)  AHE đồng dạng BMH(g.g)



HM HE BM

AH

 (1)

Tương tự, AHD đồng dạng CMH (g.g)



HM DH CM

AH

 (2)

Vì HD = HE nên từ (1) (2) 

CM AH BM

AH

  BM=CM

Bài 135 Cho tam giác ABC,các đường phân giác góc B góc C cắt O.Trên cạnh BC lấy điểm D khơng trùng với trung điểm nó.Vẽ DEAB cắt OB

M; Vẽ DFAC cắt OC N Chứng minh rằng:

a)DMDN DFDE

b)OD chia đôi EF

a) MBD đồng dạng NCD(g.g) DMDN DCDB (1)

EBD đồng dạng FCD(g.g)

DC DB DF DE

 (2)

Từ (1) (2) 

DN DM DF

DE

 (3)

b) Từ (3) 

DF DN DE

DM

  MN//EF

Tứ giác OMDN hình bình hành , đường chéo OD chia đơi MN

Ba đường thẳng DE, DF DO đồng quy D cắt hai đường thẳng song song MN EF thành cặp đoạn tỷ lệ OD chia đôi MN nên OD chia đôi EF

Bài 139.

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD; AB<CD) Đường thẳng qua A vng góc với CD cắt CD H, cắt đường thẳng BC K Chứng minh tam giác ABK đồng dạng tam giác HAD

Giải: AB//HC

AD BK BC BK AH AK

 

ABK HAD có A =H =90

AD BK Ah AK

 nên ABK đồng dạng HAD

Bài 140.

Hình thang ABCD vng góc A D, AD = 15; CD=9 Gọi M điểm cạnh AD, biết MB = 5;MC=15

a) Chứng minh tam giác ABM đồng dạng tam giác DMC b) Gọi N trung điểm BC Tính độ dài MN

Giải:

a) Áp dụng định lí Py-ta-go ta tính MD=12cm AM=3cm.

ABM đồng dạng DMC( cạnh huyền cạnh góc vng)

 góc M1= góc C1.

b) Ta có góc M1+góc M2 =góc C1+góc M2= 90 độ  góc BMC= 90 độ

Bài 142.

Cho tam giác ABC vng góc A, đường cao AH Vẽ HM AB; HNAC

a) Chứng minh AM.AB=AN.AC

b) Cho biết AH=2cm, BC= 5cm Tính diện tích tứ giác AMHN Giải:

a) AMN đồng dạng ACB(g.g)



AB AN AC

AM

  AM.AB=AN.AC

b)SABC AH.BC

1

Vì AMN đồng dạng ACB nên

25 2

              

BC AH BC

MN S

S

ABC AMN

 SAMN=

25

= ( )

5

4 cm2  ( )

5 cm2

SAMHN 

Bài 145.

Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi M N trung điểm AH BH Gọi O giao điểm AN với CM Chứng minh rằng:

a) ANCM

b) AH2=4MC.MO

Giải: a)ABH đồng dạngCAH(g.g)



AM BN AH

BH CA AB

2



 hay

AM BN CA AB

 (1)

Ta có góc B1= góc A1(2)

Từ (1) (2)  ABM đồng dạngCAM(c.g.c)

Suy góc A2= góc C2

Xét tam giác CAO có góc CAO + góc C2 = góc CAO + góc A2 = 90 độ  góc O= 90 độ Vậy ANCM

b) AOM đồng dạngCHM(g.g)

MH MO CM

AM



 AM.MH=MC.MO AH AH MC.MO

2  hay AH 4MC.MO

2



Bài 147.

Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm di động cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM cắt tia BM H, cắt tia BA O Chứng minh rằng: a) OA.OB=OC.OH;

b) Góc OHA có số đo khơng đổi; c) Tổng BM BH + CM.CA không đổi

Giải: a)BOH đồng dạngCOA(g.g)

OA OH OC OB

  OA.OB=OC.OH

b)OCOB OHOA 

OB OH OC OA

 (1)

OHA vàOBC có góc O chung(2)

Từ (1) (2)  OHA đồng dạngOBC(c.g.c) góc OHA = góc OBC( khơng đổi)

c)Vẽ MKBC

 BKM đồng dạngBHC(g.g)

BH BK BC BM

  BM.BH=BC.BK(3) CKM đồng dạngCAB(g.g)

CA CK CB CM

Cộng vế (3) (4)

BM.BH+CM.CA=BC.BK+BC.CK=BC(BK+CK)=BC2 ( không đổi).

Bài 150

Cho tam giác ABC, ba đường cao AD,BE,CF Gọi M,N,I,K hình chiếu D AB,AC,BE,CF Chứng minh điểm M,N,I,K thẳng hàng

Giải:

Vì DM//CF DI//CA nên BMBF BCBDBEBI  MI//EF(1)

Vì DN//BE DK//AB nên

CF CK CB CD CE CN



  NK//EF.(2)

AMD đồng dạng ADB

AB AD AD

AM

 (3)

AND đồng dạng ADC

AC AD AD AN

 (4)

Chia vế (3) cho (4) ta đượcAMAN ACAB

ACF đồng dạng ABE  AEAF ACAB

AE AF AN

AM

 suy MN//FE(5)

Từ (1);(2);(5) suy điểm M,N,I,K thẳng hàng

Bài 10 Bài 38 Bài 39 Bài 60 Bài 61 Bài 85 Bài 88 Bài 133 Bài 134 Bài 135 Bài 139 Bài 140 Bài 142 Bài 145 Bài 147.

Bài 150 Soạn theo sách : BÀI TẬP NÂNG CAO VÀ CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN TÁC GIẢ BÙI VĂN TUYÊN