4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ. 1/ Các bước khả sát sự biến thiên và vẽ đồ thi hàm số. b) Lậ[r]
(1)ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÁM SỐ.
1/ Giả sử f(x) có đạo hàm khoảng (a ; b) Ta có: a) Điều kiện đủ:
- f’(x) > khoảng (a ; b) f(x) đồng biến khoảng (a ; b) - f’(x) < khoảng (a ; b) f(x) nghịch biến khoảng (a ; b) b) Điều kiện cần.
- f(x) đồng biến khoảng (a ; b) f’(x) 0 khoảng (a ; b)
- f(x) nghịch biến khoảng (a ; b) f'(x)0trên khoảng (a ; b).
2/ Phương pháp tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số - Tìm TXĐ hàm số
- Tính y’, giải phương trình y’ = - Lập bảng xét dấu y’
- Sử dụng điều kiện đủ tính đơn điệu để kết luận
Chú ý: Trong điều kiện đủ, f’(x) = số hữu hạn điểm thuộc (a ; b)
kết luận
Cần nhớ: f(x) = ax2 + bx + c
Nếu 0 f(x) ln dấu a
Nếu 0 f(x) ln dấu a
a b x
2
Nếu 0 f(x) có hai nghiệm x1 , x2 Ta có bảng xét dấu sau:
x - x1 x2 +
f(x) Cùng dấu a Trái dấu a Cùng dấu a
Đặc biệt: +
0 0 0
)( x R a
xf
+
0 0 0
)( x R a
xf
+ af()0 f(x)0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1 < < x2
BÀI TẬP Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số
a) y = + 3x – x2 b) y = 2x3 – 6x + c) y = - 3 7 1
3
(2)d) y = x3 + 3x + e) y = 2 3
3
4
x x
x f) y = x4 – 2x2 +
g) y = -x4 + 2x2 – k) y =
x x 1
l) y =
1 x x
m) y =
1 x x x
p) y = 4 x2 q) y = x2 x 20 r) y = x + 1 x2
2 Tìm m để hàm số sau đồng biến R
a) y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – ĐS : 1
3
m
b) y = mx3 – (2m – 1)x2 + 4m – ĐS : m =
2
3, Tìm m để hàm số sau nghịch biến TXĐ a) y = ( 2) ( 8)
3
x m x m x ĐS : 1m4
b) y = (3 2)
3 )
(
x m mx x m ĐS : m Tìm m để hàm số :
a) y = m x mx
1
đồng biến khoảng xác định hs ĐS : m < -1 m >
b) y =
m x m mx 10
nghịch biến khoảng xác định hs ĐS : 2
5
m
2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ. * Quy tắc tìm cực trị y = f(x). Quy tắc 1:
1 Tìm TXĐ
2 Tính f’(x) Tìm điểm f’(x) = f’(x) không xác định Lập bảng biến thiên
4 Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị Quy tắc
1.Tìm TXĐ
Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) = kí hiệu xi ( i = 1, 2, 3…n) nghiệm
của
Tính f”(x) f”(xi)
4, Dựa vào dấu f”(xi) suy tính chất cực trị xi
BÀI TẬP Tìm điểm cực trị hàm số
a) y = x2 – 3x – b) y = 2x3 – 3x2 + c) y = x 4x
3
1 3
(3)d) y = x3 – 3x2 +3x e) y = 4 1
2
1
x
x f) y =
4
x x
g) y = x3(1 – x)2 h) y =
1 x x
k) y =
2
x
x
l) y = x + x
1
m) y =
1 2 x x x
n ) y =
1 x x x
p) y = sinx + cosx q) y = 2sinx + cos2x [ ; ] Tìm m để hàm số :
a) y = x3 – 2mx2 + có cực đại cực tiểu ĐS : m 0
b) y = (3 1) 3
x m x
x m
có cực đại cực tiểu ( có cực trị) ĐS : 1;
3
m m
c) y =
1 2 x mx x
có cực đại cực tiểu ĐS : m < d) y = x4 – mx2 + có cực trị ĐS : m > 0
e) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + đạt cực trị x = ĐS : m = 1
f) y = x3 – mx2 – mx – đạt cực tiểu x = ĐS : m = 1
g) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + đạt cực đại x = -2 ĐS : m = 7/2
h) y =
m x mx x
đạt cực đại x = ĐS : m = -3 k) y =
1 x m mx x
đạt cực tiểu x =
3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Cách tìm GTLN – GTNN hàm số y = f(x) khoảng (a; b):
B1: Tìm điểm khoảng (a; b) cho f’(x) = f’(x) không xác định
B2: Lập bảng biến thiên kết luận.
Cách tìm GTLN – GTNN hàm số y = f(x) đoạn [a; b]
B1: Tìm điểm x1, x2, x3, khoảng (a; b) cho f’(x) =
f’(x) không xác định
B2: Tính f(a), f(x1), f(x2), f(x3), , f(b).
B3: Tìm số lớn M số nhỏ m số trên. Khi đó: M M[a; b] ax ( )f x M Min f x[a; b] ( )
BÀI TẬP Bài Tìm GTLN GTNN ( có) hàm số
a) y = x3 – 3x2 + đoạn [-1 ; 1] b) c ( ) 1 3 ,
1
f x x
x
với x > 0
(4)Bài 2: Tìm GTLN – GTNN (nếu có) hàm số y = x4 – 3x3 + 5
2x
2 – :
a Khoảng (0 ; 6) b Đoạn [1; 2] Bài 3: Tìm GTLN – GTNN(nếu có) hàm số: a f(x) = x +
2x khoảng ( 0; 5) b
2 5 6 ( ) x x f x
x
với x > 0
6 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1/ Các bước khả sát biến thiên vẽ đồ thi hàm số. 1o Tìm TXĐ.
2o Xét biến thiên.
a) Giới han – Tiệm cận b) Lập bảng biến thiên 3o Vẽ đồ thị.
- Vẽ đường tiệm cận (nếu có)
- Xác định số điểm dặc biệt đồ thị ( Giao điểm đồ thị với trục tọa độ)
- Nhân xét đồ thị : Chỉ trục đối xứng, tâm đối xứng 2/.Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)
a > a <
Pt y’ = có hai nghiệm phân biệt
2
-2
O
2
-2
Pt y’ = có nghiệm kép
2
(5)Pt y’ = vô nghiệm
2
4
2
BÀI TẬP Khảo sát biến tiên vẽ đồ thị hàm số sau :
1 y = x3 – 3x2 + 1 2 y = -x3 + 3x + 2 3 y = 2x3 – 3x2 +1
4 y = x 4x
3
1
5, y = x3 – 3x2 + 3x + y = -x3 – 3x +
3/ Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 0)
a > a <
Pt y’ = có ba nghiệm phân biệt
-2
2
Pt y’ = có nghiệm
2
-2
BÀI TÂP Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau :
1 y = x4 – 2x2 – 3 y = -x4 + 2x2 – 1 3 y = 4 1
2
1
(6)4 y =
4
x x
y = x4 + 2x2 –
4/ Hàm số y = ( 0, 0)
bc ad c
d cx
b ax
D = ad – bc > D = ad – bc <
2
4
2
-2
BÀI TẬP Khào sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau : y =
1
x x
2 y =
1
x x
y =
2
x
x
4 y = x x
5 y =
2
x
7 MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯƠNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ Vấn đề 1: Tìm số điểm chung hai đường
(C) : y = f(x) ; (C/) : y = g(x) Do đó: số nghiệm pt f(x) = g(x) số nghiệm
chung (C) (C/).
(7) (C) tiếp xúc (C/) hệ có nghiệm Nghiệm hệ hoành độ tiếp điểm
Vấn đề 3: Biện luận đồ thị số nghiệm pt F(x, m)=0 (1)
Viết (1) thành dạng f(x) = g(m) Vẽ (d) : y = g(m) (d // Ox)
Số giao điểm d (C) số nghiệm (1)
Vấn đề 4: Tiếp tuyến với đường (C): y = f(x)
Tiếp tuyến với (C) M(xo; yo) (C) Ta sử dụng công thức: y – yo= f/(xo) (x - xo)
(*)
Tiếp tuyến với (C) có phương trình đường thẳng d có hệ số góc kd
Ta có: f/(xo) = kd Giải pt ta tìm xo áp dụng cơng thức (*)
Ta thường gặp hai công thức sau:
(tt)// (d) f/(x o) = kd
(tt)/ (d) f/(x
o) =
Tiếp tuyến với (C): y = f(x) qua điểm A(xA; yA) cho trước
Gọi (d): y = g(x) đường thẳng qua A(xA; yA) có hệ số góc k
(d) tiếp xúc (C) có nghiệm Giải hệ tìm k
BÀI TẬP.
1 Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến (C) :
a) Tại điểm uốn (C) (Là điểm có hồnh độ nghiệm phương trình f”(x) = 0) b) Tại điểm có tung độ -1
c) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x –
(8)2 Cho (C) : y =
2
x x
Viết phương trình tiếp tuyến (C): a) Tại giao điểm (C ) với trục Ox
b) Song song với đường thẳng d1 : y = 4x –
c) Vng góc với đường thẳng d2: y = -x
Tại giao điểm hai tiệm cận 1) Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 4
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M0(-1; -2)
2) Cho hàm số y = -x3 + 3x + 1.
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 – 3x + m = 0.
c)Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hịanh độ x0 =
3) Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x + 1
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y =
24
x
c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số 4) Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – 2.
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = - 9x +
c) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt 5) Cho hàm số y =
3
1x3 x2
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(1 ; 0)
6) Cho hàm số y =
3
1x3 x2 x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hòanh 7) Cho hàm số y = x3 + x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung 1)Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4 – 2x2 + – m = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hịanh độ x =
2) Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + 2.
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Tìm m để phương trình x4 – 2x2 + m = có bốn nghiệm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm cực tiểu đồ thị hàm số 3) Cho hàm số y =
2 3
2
(9)a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4 – 6x2 + – m = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0 ; )
4) Cho hàm số y = -x4 + 6x2 – 5
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M0(1 ; 0)
5) Cho hàm số y =
1 x4 x2
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Tìm m để phương trình : x4 – 8x2 – + m = có nghiệm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung 1)Cho hàm số y =
1
x x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) điểm M0(2 ; 3)
c) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -2x +
2) Cho hàm số y =
1
x
x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) điểm có hịanh độ x = -2
c) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = -x +
3) Cho hàm số y = x x
1
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số b) Tìm (H) điểm có tọa độ số nguyên
c) Viết phương trình tiếp tuyến (H) giao điểm (H) với trục tung 4) Cho hàm số y =
x x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) giao điểm (H) với trục hịanh c) Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt (H) hai điểm phân biệt
5) Cho hàm số y =
4
x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số
b) Một đường thẳng (d) qua A(-4 ; 0) có hệ số góc m Tìm m để (d) cắt (H) hai điểm phân biệt