Những Môn Thuộc Khoa Học Cơ Bản

QUY TẮC L’HOSPITAL.. VD 1.[r]

(1)

TO

TOÁÁN CAO CN CAO CẤẤP A1P A1 ĐẠ ĐẠI HI HỌỌCC

PHÂN PH

PHÂN PHỐỐI CHƯƠNG TRÌNHI CHƯƠNG TRÌNH

S

Sốốtitiếtết: 45: 45 Chương Hàm số biến số

Chương Phép tính vi phân hàm biến số Chương Phép tính tích phân hàm biến số Chương Lý thuyết chuỗi

Tài liệu tham khảo

1 Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Tốn cao cấp A1 – C1 – ĐH Công nghiệp TP HCM

2 Nguyễn Đình Trí – Tốn cao cấp (Tập 2)

– NXB Giáo dục

3 Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp (Tập 1, 4)

– NXB ĐHQG TP.HCM

4 Nguyễn Viết Đơng – Tốn cao cấp (Tập 1)

– NXB Giáo dục

5 Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (Tập 1)

– NXB ĐHQG Hà Nội

Biên

Biênsosoạạnn::ThS ThS ĐĐoồànnVVươươngngNgunNgun

T

TảảiiSlide Slide bbààiigigiảảngngToTốánnA1 A1 ĐĐạạiihhọọccttạạii dvntailieu.wordpress.com dvntailieu.wordpress.com

ChươngChương1 HHààmmssốốmmộộttbibiếếnnssốố

………

§1 Giới hạn dãy số §2 Giới hạn hàm số

§3 Đại lượng vơ bé – vơ lớn §4 Hàm số liên tục

§1 GIỚI HẠN DÃY SỐ

1.1 Các định nghĩa dãy số thực Định nghĩa

Một dãy số thực (gọi tắt dãy số) ánh xạ f từℤ+

vào ℝ cho tương ứng f n( )=xn∈ℝ Ký hiệu dãy số { },xn n=1, 2,

Trong đó, x1;x2; ;xn; gọi số hạng xn

là số hạng tổng quát của dãy số

ChChươngương1 HHààmmssốốmmộộttbibiếếnnssốố

• Dãy số { }, ( 1)n n n

x x = − cho dạng tổng quát • Dãy số { }xn sau cho dạng quy nạp (hồi quy):

1

: ,

2

n n

n x

x x

x

− − −

= =

VD • Dãy số { }xn cho dạng liệt kê:

1

1 1

1; ; ; ; ;

2 n

x x x x

n

= = = =

Định nghĩa

• Dãy số { }xn gọi tăng (hay giảm) xn≤xn+1

(hay xn ≥xn+1) với n∈ℤ+

• Một dãy số tăng (hay giảm) gọi dãy đơn điệu

ChươngChương1 HHààmmssốốmmộộttbibiếếnnssốố

• Dãy số{ },

n n n

x x

n

+

= dãy giảm • Dãy số { }, ( 1)n

n n

x x = − khơng đơn điệu VD • Dãy số

2 { },xn xn

n

= − dãy tăng

Định nghĩa

• Dãy số{ }xn gọi bị chặn nếu ∃M ∈ℝ

cho xn≤M,∀ ∈n ℤ+

• Dãy số { }xn gọi bị chặn nếu ∃ ∈m ℝ cho xn≥m,∀ ∈n ℤ+

• Dãy số { }xn gọi bị chặn nếu dãy bị chặn bị chặn

Chương Chương H1 Hààm sm sốốmmộột bit biếến sn sốố

• Dãy số{ },

n n n

x x

n

+

= bị chặn số1 • Dãy số { }, ( 1) sinn

n n

x x = − n bị chặn vì: 1,

n

x ≤ ∀ ∈n ℤ+ • Dãy số{ }, ( )n

n n

x x = −n + không bị chặn không bị chặn

Định nghĩa

• Sốa∈ℝđược gọi giới hạn dãy số { }xn nếu:

0, N : n N xn a

∀ε > ∃ ∈ℝ ∀ > ⇒ − < ε VD • Dãy số

2 { },xn xn

n

(2)

Ký hiệu: lim n

n→∞x =a hay xn →a

• Dãy số { }xn có lim n

n→∞x = −∞ nếu:

, : n

m N n N x m

∀ ∈ℝ ∃ ∈ℝ ∀ > ⇒ < • Dãy số { }xn có lim n

n→∞x = +∞ nếu:

, : n

M N n N x M

∀ ∈ℝ ∃ ∈ℝ ∀ > ⇒ > • Nếu dãy số { }xn có lim n

n→∞x = ∈a ℝ (hữu hạn) ta nói dãy hội tụ, ngược lại ta nói dãy phân kỳ

VD Chứng tỏ rằng: lim2

3

n n n

→∞

− =

+

1.2 Các tính chất dãy số hội tụ Định lý

• Nếu dãy số hội tụ giới hạn • Nếu dãy số hội tụ dãy bị chặn

• Nếu dãy số tăng bị chặn dãy hội tụ • Nếu dãy số giảm bị chặn dãy hội tụ

Định lý 2. Cho hai dãy số hội tụ { }, { }xn yn lim n

n→∞x =a, nlim→∞yn =b Khi đó:

• lim ( n) ,

n→∞ kx =ka k∈ℝ; nlim (→∞ xn+yn)= +a b

• lim (n→∞ x yn n)=ab; lim ; 0,

n

n n

n

x a

y b

→∞ = ≠ ≠

Định lý

• Cho hai dãy số { }, { }xn yn thỏa xn ≤yn,∀ ≥n N Nếu lim n , lim n

n→∞x =a n→∞y =b a≤b

• Cho ba dãy số { }, { }, { }xn yn zn thỏa xn ≤yn ≤zn với n≥N Nếu lim n lim n

n→∞x =n→∞z =a nlim→∞yn =a

VD Ta có 0 1sin2 1

n n n

≤ ≤

+ nên:

1 1

0 lim sin lim

1

n→∞n n n→∞n

≤ ≤ =

+

Vậy lim1sin2 1

n→∞n n+ =

Định lý (định lý Cantor) Cho hai dãy số { }, { }xn yn thỏa:

1

, [ ; ] [ ; ],

lim( )

n n n n n n

n n x

x y x y x y n

y x

+

+ +

→∞

 ≤ ⊂ ∀ ∈



 − =



ℤ

Khi đó, tồn số thực c∈[ ;xn yn],∀ ∈n ℤ+ Định lý (định lý Bolzano – Weierstrass)

• Định nghĩa. Cho dãy số { }xn Từđó, ta trích dãy số:

1; 2; 3; ; k;

n n n n

x x x x

với sốnk ∈ℤ+ thỏa n1<n2< < nk < Khi đó, { }

k n

x gọi dãy trích từ dãy { }xn

• Định lý. Từ dãy số bị chặn, ta trích dãy hội tụ

VD Cho dãy số bị chặn { }, sin

n n

x x = nπ

Từ dãy { }xn , ta trích hai dãy sau:

2k : sin

x = kπ, 4 1: sin(4 1)

k

x + = k+ π

Ta có: x2k →0 (hội tụ) x4k+1 →1 (hội tụ)

Nhận xét

Do hai dãy hội tụ hai giới hạn khác nên dãy { }xn khơng có giới hạn Vậy dãy { }xn phân kỳ

Định lý (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy)

• Định nghĩa. Dãy số { }xn gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) nếu ∀ >ε cho trước, ta tìm N∈ℤ+

sao cho ∀m n, ≥N

m n x −x <ε

• Định lý. Mọi dãy số hội tụđều dãy Cauchy ngược lại, dãy Cauchy hội tụ

VD Xét sự hội tụ dãy số { }xn sau: a) : ( 1)n

n

x = − ;

b)

1

sin sin sin sin

:

1.2 2.3 ( 1) ( 1)

n n

k

n k

x

n n = k k

= + + + =

(3)

Chương Chương H1 Hààm sm sốốmmộột bit biếến sn sốố Một số kết giới hạn cần nhớ

1) lim ,

n→∞k=k k∈ℝ 2) lim n=0 lim =

n n

n x

x

→∞ ⇔ →∞ ∞; nlim→∞xn=a⇔nlim→∞xn =a

3) lim 0,

n→∞nα = ∀ >α ;

lim n 0,

n→∞α = ∀ >α 4) Nếu a <1 lim n

n→∞a = ; a >1 lim

n n→∞a = ∞ 5) limn

n→∞ a = (a>0); lim

n n→∞ n= ;

1 lim

n n→∞ n e

   +  =

 

 

6) Nếu α≥1,β>1 limln lim

n

n n

n

α α

β

→∞ = →∞ =

Chương Chương H1 Hààm sm sốốmmộột bit biếến sn sốố 1.3 Một số ví dụ giới hạn dãy số

VD Tìm

2

3

lim

5

n

n n

n

→∞

− − + VD Tìm

2

6

( 1)(4 3)

lim

n

n n

n n n

→∞

− +

− + VD 10 Tìm lim3 21

4

n n n

n n

→∞

− + + VD 11 Tìm

2 2

3

1

lim

5

n

n L

n n

→∞

+ + + +

=

+ +

VD 12 Tìm

1

2

9

lim

1

n n n

n n

L

n

+

→∞

 + − 

 

=  



 +

 

VD 13 Tìm

4 lim

1

n n

L

n

+ →∞

 



=  − + 

 

VD 14 Tìm lim( 1)

n

L n n

→∞

= + − −

VD 15 Tìm giới hạn lim( 2 3)

n

L n n n

→∞

= − + ?

A L= −∞; B L= +∞; C

2

L= − ; D L=0

VD 16 Tìm giới hạn lim(3 )

n

L n n n

→∞

= + − − ?

A L=0; B L= +∞; C

2

L= − ; D

L=

VD 17* Chứng minh rằng: lim 0, !

n n

a

a n

→∞ = > VD 18* Xét sự hội tụ tìm giới hạn (nếu có) dãy:

1

: ,

n n

x = +x − x =

………

Chương Chương H1 Hààm sm sốốmmộột bit biếến sn sốố §2 GIỚI HẠN HÀM SỐ

2.1 Bổ túc hàm số

2.1.1 Định nghĩa hàm số

Cho hai tập khác rỗng X Y, ⊂ℝ

Hàm số f (hoặc ánh xạ f) từX vào Y quy luật mà x∈X xác định nhất y∈Y Khi đó:

Miền xác định (MXĐ) f, ký hiệu Df, tập X Miền giá trị (MGT) f là:

{ ( ) }

G = y=f x x∈X

Nếu f X( )=Y f tồn ánh (hay tràn ánh) Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh f song ánh VD Các hàm số:

• f :ℝ→ℝ với y=f x( )=2x đơn ánh • f :ℝ→[0;+∞) với f x( )=x2 tồn ánh • f : (0;+∞ →) ℝ với f x( )=lnx song ánh

Nếu f x( )1 =f x( )2 ⇒x1=x2 f đơn ánh

Hàm sốy=f x( )được gọi hàm chẵn nếu:

( ) ( ), f

f − =x f x ∀ ∈x D

(4)

VD Hàm sốy=2(x2+1)2−x2−1 hàm hợp

( )

f x = x −x g x( )=x2+1

2.1.2 Hàm số hợp

Cho hai hàm số f g thỏa điều kiện Gg ⊂Df Khi đó, hàm sốh x( )=(f g x)( )=f g x[ ( )]được gọi hàm số hợp của f g

Hàm sốy=f x( )được gọi hàm lẻ nếu:

( ) ( ), f

f − = −x f x ∀ ∈x D

Đồ thị hàm số lẻđối xứng qua gốc tọa độ

Chú ý (fg x)( )≠(gf x)( )

Chương Chương H1 Hààm sm sốốmmộột bit biếến sn sốố 2.1.3 Hàm số ngược

Hàm sốg gọi hàm số ngược hàm số f nếu:

( ), f

x=g y ∀ ∈y G Ký hiệu là: g= f−1

VD Cho f x( )=2x thì: f−1( )x =log2x x, >0

Nhận xét

Đồ thị hàm sốy=f−1( )x đối xứng với đồ thị hàm sốy=f x( ) qua đường thẳng y=x

2.1.4 Hàm số lượng giác ngược

a) Hàm số y = arcsin x

• Hàm sốy=sinx có hàm ngược ;

2

 π π − 

 

  1: [ 1; 1] ;

2

f− − → − π π

 

 

x֏y=arcsinx VD arcsin 0=0;

arcsin( 1) π − = − ; arcsin

2

π =

Chương Chương H1 Hààm sm sốốmmộột bit biếến sn sốố b) Hàm số y = arccos x

• Hàm sốy=cosx có hàm ngược [0; ]π f−1: [ 1; 1]− →[0; ]π

x ֏y=arccosx VD arccos 0

2 π = ; arccos( 1)− = π;

3 arccos

2

π

= ; arccos

2

− π

=

Chú ý arcsin arccos , [ 1; 1]

x+ x= π ∀ ∈ −x

Chương Chương H1 Hààm sm sốốmmộột bit biếến sn sốố c) Hàm số y = arctan x

• Hàm sốy=tanx có hàm ngược ;

2

 π π

− 

 

  1: ;

2

f− → − π π

 

 

ℝ

x ֏y=arctanx VD arctan 0=0; arctan( 1)

4 π − = − ; arctan

3 π =

Quy ước. arctan( ) , arctan( )

2

π π

+∞ = −∞ = −

Chương Chương H1 Hààm sm sốốmmộột bit biếến sn sốố d) Hàm số y = arccot x

• Hàm sốy=cotx có hàm ngược (0; )π f−1:ℝ→(0; )π

x ֏y=arccotx VD cot

2

arc = π;

cot( 1)

arc − = π;

cot

arc = π

(5)

Chương Chương H1 Hààm sm sốốmmộột bit biếến sn sốố 2.2 Giới hạn hàm số

2.2.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1. Cho hàm f x( ) xác định ( ; )a b Ta nói f x( ) có giới hạn L (hữu hạn) x tiến đến

0 [ ; ]

x ∈ a b với ε >0 cho trước, ta tìm số

δ > cho 0< −x x0 < δ f x( )−L < ε

Ký hiệu là:

0

lim ( ) x→x f x =L

Định nghĩa (định nghĩa theo dãy)

Cho f x( ) xác định ( ; )a b Ta nói f x( ) có giới hạn L (hữu hạn) x→x0∈[ ; ]a b với dãy { }xn ( ; ) \ { }a b x0 mà xn→x0 f x( )n →L

Định nghĩa (giới hạn tại vơ cùng)

• Ta nói f x( ) có giới hạn L (hữu hạn) x→ +∞

với ε >0 cho trước ta tìm sốM>0 cho x>M f x( )−L < ε

Ký hiệu là: lim ( ) x→+∞f x =L

• Ta nói f x( ) có giới hạn L (hữu hạn) x→ −∞ với ε >0 cho trước ta tìm sốm<0 cho x<m f x( )−L < ε

Ký hiệu là: lim ( ) x→−∞f x =L

Định nghĩa (giới hạn vô cùng)

• Ta nói f x( ) có giới hạn L= +∞ x→x0 với sốM>0 lớn tùy ý, ta tìm số δ >0 cho 0< −x x0 < δ f x( )>M

Ký hiệu là:

0

lim ( )

x→x f x = +∞

• Ta nói f x( ) có giới hạn L= −∞ x→x0 với sốm<0 tùy ý, ta tìm số δ >0 cho

0

0< −x x < δ f x( )<m Ký hiệu là:

0

lim ( )

x→x f x = −∞

Định nghĩa (giới hạn phía)

• Nếu f x( ) có giới hạn L (L ∞) x→x0

(x0 hữu hạn) x>x0 ta nói f x( ) có giới hạn phải x0 Ký hiệu:

0

lim ( )

x→ +x f x =L

0

lim ( ) x x

f x L

+

→ =

• Nếu f x( ) có giới hạn L (L ∞) x→x0

(x0 hữu hạn) x<x0 ta nói f x( ) có giới hạn trái x0 Ký hiệu:

0

lim ( ) x x

f x L

→ − =

0

lim ( ) x x

f x L

−

→ =

Chú ý

0

lim ( ) lim ( ) lim ( )

x x x x x x

f x L f x f x L

− +

→ = ⇔ → = → =

Chương Chương H1 Hààm sm sốốmmộột bit biếến sn sốố 2.2.2 Tính chất

Cho

0

lim ( )

x→x f x =a xlim ( )→x0g x =b Khi đó: 1)

0

lim [ ( )] ( ) x→x k f x =k a k ∈ℝ 2)

0

lim [ ( ) ( )] x→x f x ±g x = ±a b 3)

0

lim [ ( ) ( )]

x→x f x g x =ab; 4)

( )

lim ( 0)

( ) x x

f x a

b

g x b

→ = ≠

5) Nếu f x( )≤g x( ),∀ ∈x (x0− ε; x0+ ε) a≤b 6) Nếu f x( )≤h x( )≤g x( ),∀ ∈x (x0− ε; x0+ ε)

0

lim ( ) lim ( )

x→x f x =x→x g x =L xlim ( )→x0h x =L

Chương Chương H1 Hààm sm sốốmmộột bit biếến sn sốố Một số kết giới hạn cần nhớ

1)

( ) ( )

sin ( ) tan ( )

lim lim

( ) ( )

x x

α α

→ = → =

2) Nếu α≥1,β>1 lim ln lim x

x x

x

α α

β

→+∞ = →+∞ =

3) Nếu

0

lim ( ) 0, lim ( )

x→x u x = >a x→x v x =b thì:

0

( ) lim [ ( )]v x b x→x u x =a

4) ( )

1

0

lim lim

x

x x→±∞ x x→ x e

 

 +  = + =

 

(6)

Chương Chương H1 Hààm sm sốốmmộột bit biếến sn sốố 2.2.3 Một số ví dụ

VD Tìm giới hạn

0

1

lim x

x L

x

→

− +

=

3

0

8

lim x

x x

L

x

→

+ − −

=

VD Tìm giới hạn lim 2 x

L x x x

→+∞

 



=  + −  VD Tìm giới hạn lim 2

x

L x x

→−∞

 



=  + + + 

 

2

1 lim

3 x x

x

x x

L

x

− →−∞

 

 − −  

=  

 + 

 

A L=9; B L=4; C L=1; D L=0 VD Cho hàm số 2

2

tan ,

( ) sin 1

,

3

x x

f x x

x x

 − ≤

 

=  − > 

 −

 Tính f(1),

1 lim ( )

x→−f x xlim ( )→1+f x

2

2 lim

1 x

x

x x

L

x

− →∞

 + + 

 



=  



 +

 

A L= ∞; B L=e3; C L=e2; D L=1

VD 8* Tìm giới hạn

2

1

0 cos lim

cos x

x

x L

x

→

   =  

  A L= ∞; B

3

L=e ; C

L=e ; D L=1

………

§3 ĐẠI LƯỢNG VƠ CÙNG BÉ – VƠ CÙNG LỚN

3.1 Đại lượng vơ bé

a) Định nghĩa

• Hàm số α( )x gọi đại lượng vô bé (VCB)

khi x→x0

0

lim ( )

x x

x

→ α = (x0 vơ cùng) VD α( )x =tan sin 13( −x) VCB x→1−;

2 ( )

ln

x

β = VCB x→ +∞

Chương Chương H1 Hààm sm sốốmmộột bit biếến sn sốố b) Tính chất VCB

1) Nếu α( ), ( )x βx VCB x→x0 α( )x ± β( )x α( ) ( )x βx VCB x→x0 2) Nếu α( )x VCB β( )x bị chận lân cận x0

α( ) ( )x βx VCB x →x0 3)

0

lim ( ) ( ) ( )

x→x f x = ⇔a f x = + αa x , α( )x VCB x→x0

Chương Chương H1 Hààm sm sốốmmộột bit biếến sn sốố c) So sánh VCB

• Định nghĩa

Cho α( ), ( )x βx VCB x→x0,

0

( ) lim

( ) x x

x k x

→

α =

β

Khi đó:

– Nếu k=0, ta nói α( )x VCB cấp cao β( )x , ký hiệu α( )x = β0( ( ))x

– Nếu k= ∞, ta nói α( )x VCB cấp thấp β( )x – Nếu 0≠ ≠ ∞, ta nói k α( )x β( )x VCB cấp

(7)

VD • 1−cosx VCB cấp với x2 x →0 vì:

2

0

2 sin

1 cos 2

lim lim

2

x x

→ →

− = =

         

• sin 3(2 x−1)∼9(x−1)2 x →1

• Tính chất VCB tương đương x → x0 1) α( )x ∼β( )x ⇔ α( )x − β( )x = α0( ( ))x = β0( ( ))x 2) Nếu α( )x ∼β( ), ( )x βx ∼γ( )x α( )x ∼γ( )x 3) Nếu α1( )x ∼β1( ), x α2( )x ∼β2( )x

1( ) ( )x x 1( ) ( )x x

α α ∼β β

4) Nếu α( )x = β0( ( ))x α( )x + β( )x ∼β( )x

Chương Chương H1 Hààm sm sốốmmộột bit biếến sn sốố • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao

Cho α( ), ( )x βx tổng VCB khác cấp x→x0

thì

0

( ) lim

( ) x x

x x

→ α

β giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp

nhất của tử mẫu VD Tìm giới hạn

3

4

cos

lim x

x x

L

x x

→

− +

=

+

• Các VCB tương đương cần nhớ x →

1) sinx∼x; 2) tanx ∼x;

3) arcsinx ∼x; 4) arctanx ∼x

5)

2

1 cos x x

− ∼ ; 6) ex−1∼x;

Chú ý Nếu u x( ) VCB x→0 ta thay x

bởi u x( ) công thức

7) ln(1+x)∼x; 8) n1 x x

n

+ − ∼

VD Tính giới hạn

2

ln(1 sin ) lim

sin tan x

x x

L

x x

→ −

=

VD Tính ( )

2

3

sin 1 tan

lim

sin

x

x x x

L

x x

→

+ − + −

=

+

VD Cho hàm sốy =f x( ) thỏa:

2

x t t

y t t

 = − 

 = +



Khi x →0, chọn đáp án đúng?

Chú ý

Quy tắc VCB tương đương không áp dụng cho hiệu tổng VCB nếu chúng làm triệt tiêu

tử mẫu phân thức

A

2 ( )

4

x

f x ∼ ; B

2 ( )

2

x

f x ∼ ;

C ( ) x

f x ∼ ; D f x( )∼−3x2

VD

2

0

2 ( 1) ( 1)

lim lim

x x x x

x x

e e e e

x x

− −

→ →

+ − − + −

=

2

( )

lim

x

x x

x

→

+ −

= = (Sai!)

Chương Chương H1 Hààm sm sốốmmộột bit biếến sn sốố 3.2 Đại lượng vô lớn

• Hàm số f(x) được gọi đại lượng vô lớn (VCL)

khi x→x0

0

lim ( )

x→x f x = ∞ (x0 vơ cùng) VD

3

cos

2 sin

x

x x

+

− VCL x→0;

3

2

1 cos

x x

+ −

− + VCL x→ +∞ Nhận xét Hàm sốf x( ) VCL x→x0

( )

f x VCB x →x0

Chương Chương H1 Hààm sm sốốmmộột bit biếến sn sốố b) So sánh VCL

Cho f x( ), ( )g x VCL x→x0,

0

( ) lim

( ) x x

f x k g x

→ =

Khi đó:

– Nếu k=0, ta nói f x( ) VCL cấp thấp g x( ) – Nếu k= ∞, ta nói f x( ) VCL cấp cao g x( ) – Nếu 0≠ ≠ ∞, ta nói k f x( ) g x( ) VCL cấp

(8)

VD •

3

x VCL khác c

ấp với

1

2x +x x→0 vì:

3

3 3

0 0

3

lim : lim lim

2

x x x

x x x x x

→ → →

  +

  = = = ∞

 

 + 

• x3+ −x 1∼2 x3 x→ +∞

VD Tính giới hạn:

3

cos

lim

3

x

x x

A

x x

→∞

− +

=

+ ;

3

7

2

lim

2 sin

x

x x

B

x x

→+∞

− +

=

−

• Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp

Cho f(x) g(x) tổng VCL khác cấp x →x0

0

( ) lim

( ) x x

f x g x

→ giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao tử mẫu

Chương Chương H1 Hààm sm sốốmmộột bit biếến sn sốố Đ4 HM S LIấN TC

ã Hm sf x( ) liên tục x0

0

lim ( ) ( )

x→x f x = f x • Hàm sốf x( ) liên tục tập X f x( ) liên tục điểm x0∈X

4.1 Định nghĩa

• Sốx0∈Df gọi điểm lập của f x( ) ∃ε >0 :∀ ∈x (x0− ε; x0+ ε) \ { }x0

f

x∉D

Chú ý Hàm f x( ) liên tục đoạn [ ; ]a b có đồ thị đường liền nét (khơng đứt khúc) đoạn

Quy ước Hàm f x( ) liên tục điểm cô lập

4.3 Hàm số liên tục phía

Hàm số f(x) được gọi liên tục trái (phải) tại x0

0

lim ( ) ( )

x x

f x f x

−

→ = (xlimx0 ( ) ( )0

f x f x

+

→ = )

• Định lý

Hàm số f(x) liên tục tại x0

0

lim ( ) lim ( ) ( )

x x x x

f x f x f x

− +

→ = → =

4.2 Định lý

• Tổng, hiệu, tích thương hàm số liên tục x0 hàm số liên tục tại x0

• Hàm số sơ cấp xác định ởđâu liên tục ởđó • Hàm số liên tục đoạn đạt giá trị lớn nhỏ đoạn

VD Cho hàm số

2

3 tan sin

,

( ) 2

,

x x

x

f x x

x

 +

 >

 = 

 α ≤



Giá trị α để hàm số liên tục x=0 là:

A α =0; B

α = ; C α =1; D α =

VD Cho hàm số 2

ln(cos )

,

( ) arctan 2

2 3,

x x

f x x x

x

 ≠



=  +

 α − =



Giá trị α để hàm số liên tục x=0 là: A 17

12

α = ; B 17 12

α = − ; C

α = − ; D α =

……… 4.4 Phân loại điểm gián đoạn

• Nếu hàm f x( ) khơng liên tục x0 x0được gọi

điểm gián đoạn của f x( ) O

x y

( )C

0

x • Nếu tồn giới hạn:

0

lim ( ) ( )

x x

f x f x

−

→ = , xlim ( )x0 ( 0)

f x f x

+

→ =

f x( 0−), f x( 0+) f x( )0 khơng đồng thời bằng

nhau ta nói x0 điểm gián đoạn loại một

(9)

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố

§1 ĐẠO HÀM ………

1.1 Các định nghĩa

a) Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm sốy=f x( ) xác định lân cận ( ; )a b ( ; )

x ∈ a b Giới hạn:

0

( ) ( )

lim lim

x x

f x x f x

y

x x

∆ → ∆ →

+ ∆ − ∆ =

∆ ∆

(nếu có) gọi đạo hàm của y=f x( ) x0 Ký hiệu f x′( )0 hay y x′( )0

§1 Đạo hàm §2 Vi phân

§3 Các định lý hàm khả vi – Cực trị §4 Cơng thức Taylor

§5 Quy tắc L’Hospital §6 Khảo sát hàm số

Nhận xét Do ∆ = −x x x0 nên:

0

( ) ( )

( ) lim

x x

f x f x

f x

x x

→

−

′ =

−

Nhận xét Hàm sốf x( ) có đạo hàm tại x0

0 0

( ) ( ) ( )

f x′ =f x′ − =f x′ + b) Đạo hàm phía

Cho hàm số y=f x( ) xác định lân cận phải

0

( ; )x b x0 Giới hạn

0

( ) ( )

lim x x

f x f x

x x

+ →

−

− (nếu có) gọi đạo hàm bên phải của y=f x( ) x0 Ký hiệu f x′( 0+) Tương tự, f x′( 0−)

VD Cho f x( )= 3x ⇒f′(0)= ∞, f x( )= x ⇒f′(0 )+ = +∞

c) Đạo hàm vô

• Nếu tỉ số y

x

∆ → ∞

∆ ∆ →x ta nói y= f x( ) có đạo hàm vơ tại x0

• Tương tự, ta có khái niệm đạo hàm vơ phía

Chú ý

Nếu f x( ) liên tục có đạo hàm vơ x0 tiếp tuyến x0 đồ thịy=f x( ) song song với trục Oy

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố 1.2 Các quy tắc tính đạo hàm

1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích thương hai hàm số: (u±v)′=u′±v′; (uv)′=u v′ +uv′;

2 ,

k kv

k

v v

′   − ′

  = ∈

   

  ℝ;

u u v uv

v v

′

  ′ − ′   =

   

 

2) Đạo hàm hàm số hợp f x( )=y u x[ ( )]: ( ) ( ) ( )

f x′ =y u u x′ ′ hay y x′( )=y u u x′( ) ( )′ 3) Đạo hàm hàm số ngược y=y x( ):

1 ( )

( )

x y y x

′ = ′

Đạo hàm số hàm số sơ cấp

1) ( )xα ′= α.xα−1; 2) ( )

x

′

= ;

3) (sinx)′ =cosx; 4) (cosx)′ = −sinx;

5) ( ) tan

cos

x

′ = 6) ( )

2 cot

sin

x

′ = − ; = +1 tan2x;

7) ( )ex ′=ex; 8) ( )ax ′=ax.lna;

9) ( )lnx x

′ = ; 10) (log ) ln a x ′ =x a;

11) ( )

2 arcsin =

1

x

′

− ; 12)( )

1 arccos =

1

x

− ′

− ; 13) ( )

2 arctan

1

x

′ =

+ ; 14) ( )

1 cot

1

arc x

x

− ′ =

(10)

1.3 Đạo hàm hàm số cho phương trình tham số

• Cho hàm sốy=f x( ) có phương trình dạng tham số x=x t( ),y=y t( ) Giả sửx=x t( ) có hàm số ngược hàm số ngược có đạo hàm thì:

( )

t x

t

y y t

y x hay y

x t x

′ ′

′ = ′ =

′ ′

VD Tính y x′( ) hàm số cho

2

3

2

,

4

x t

t

y t

 = −

 ≠

 =



VD Tính yx′(1) hàm số cho 2 t

x e

y t t

 = 

 = −



Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố 1.4 Đạo hàm cấp cao

• Giả sửf x( ) có đạo hàm f x′( ) f x′( ) có đạo hàm

(f x′( ))′=f′′( )x đạo hàm cấp hai f x( ) • Tương tự ta có:

( )

( )n( ) (n 1)( )

f x = f − x ′ đạo hàm cấp n của f x( )

VD Cho hàm số f x( )=sin2x Tính đạo hàm f(6)(0) A f(6)(0)=32; B f(6)(0)= −32; C f(6)(0)= −16; D f(6)(0)=0

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố VD Tính f( )n( )x hàm sốf x( )= −(1 x)n+1

VD Tính y( )n hàm số

1

3

y

x x

=

− −

VD Tính đạo hàm f( )n ( )x hàm sốf x( )=sinx

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố 1.5 Đạo hàm hàm số ẩn

• Cho phương trình F x y( , )=0 (*)

Nếu y=y x( ) hàm số xác định khoảng cho thếy x( ) vào (*) ta đồng thức

( )

y x gọi hàm số ẩn xác định (*) • Đạo hàm hai vế (*) theo x, ta Fx′+F yy′ ′ x =0

Vậy x x, y y

F

y F

F

′ ′ = − ′≠

′

( ) x

y x′ =y′được gọi đạo hàm hàm sốẩn y x( )

Chú ý

Ta xem hàm ẩn y x( ) hàm hợp u x( ) thực đạo hàm hàm số hợp

VD Cho hàm ẩn y x( ) xác định xy−ex +ey =0 Tính y x′( )

VD Cho hàm ẩn y x( ) xác định bởi:

ln

x

xy−e + y = (*) Tính y′(0) VD 10 Cho hàm ẩn y x( ) xác định bởi:

2

ln x y arctany

x

+ = Tính y x′( )

VD 11 Cho hàm ẩn y x( ) xác định bởi:

3

( 2)

y − x − y− x = (*) Tính y′′(1)

VD 12 Viết phương trình tiếp tuyến 2

2 ( ) :E x y

a +b =

điểm M x( ;0 y0)∈( )E Giải

• Với y0≠0, ta có:

2

x y

F

a b

= + −

0

0 2 x

y

x F

a y F

b

 ′ =  ⇒ 

 ′ =  

2

0

( ) b x

y x

a y

′

(11)

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố Phương trình tiếp tuyến điểm M x( ;0 y0)∈( )E là:

0 0

( )( )

y=y x′ x−x +y

2

0

( )

b x

y x x y

a y

⇒ = − − +

2 2 2

0 0

b x x a y y b x a y

⇒ + = + 0

2

x x y y

a b

⇒ + = (*) • Với y0 =0, ta có x0 = ±a

Khi đó, phương trình tiếp tuyến x= ±a thỏa (*) Vậy phương trình tiếp tuyến 0

2

x x y y

a + b =

………

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố §2 VI PHÂN

2.1 Vi phân cấp

• Hàm số y=f x( ) gọi khả vi tại x0∈Df

0 0

( ) ( ) ( )

f x f x x f x

∆ = + ∆ − biểu diễn dạng: ∆f x( )0 = ∆ + ∆A x 0( x)

với A hằng số 0(∆x) VCB ∆ →x Khi đó, đại lượng A.∆xđược gọi vi phân hàm số

( )

y=f x tại x0 Ký hiệu df x( )0 hay dy x( )0

Nhận xét

• ∆f x( )0 = ∆ + ∆A x 0( x) f x( )0 A 0( x)

x x

∆ ∆

⇒ = +

∆ ∆

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố f x( )0 x A f x( )0 A

x

∆ →

∆ ′

⇒   → ⇒ =

∆

⇒df x( )0 =f x′( ).0 ∆x hay df x( )=f x′( ).∆x • Chọn f x( )= ⇒x df x( )= ∆ ⇒x dx = ∆x

Vậy df x( )=f x dx hay dy′( ) =y dx′

VD Tính vi phân cấp f x( )=x e2 3x x0 = −1

VD Tính vi phân cấp hàm sốy =2ln(arcsin )x VD Tính vi phân cấp y=arctan(x2+1)

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố 2.2 Vi phân cấp cao

• Giả sửy=f x( ) có đạo hàm đến cấp n ( )

( )

n n n n

d y=d d −y =y dx

được gọi vi phân cấp n của hàm y=f x( )

VD Tính vi phân cấp hàm sốy=ln(sin )x VD Tính vi phân cấp n của hàm sốy=e2x VD Tính vi phân cấp f x( )=tanx 0

4

x = π

VD Tính vi phân cấp 10 hàm sốy =(x3−x e)x

Chú ý

Khi x hàm sốđộc lập với y cơng thức ( )

n n n

d y =y dx không cịn

Quy tắc tính vi phân cấp n

1) d k un( )=k d u n ; d un( +v)=d un +d vn ; 2)

0

( )

n

n k n k k

n k

d uv C d −u d v

=

=∑ với d u0 =u d v, =v

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố §3 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

3.1 Các định lý

3.1.1 Bổ đề Fermat

Cho hàm sốf x( ) xác định ( ; )a b có đạo hàm ( ; )

x ∈ a b Nếu f x( )đạt giá trị lớn (hoặc bé nhất) x0 ( ; )a b f x′( )0 =0

3.1.2 Định lý Rolle

(12)

3.1.3 Định lý Cauchy

• Cho hai hàm sốf x( ), g x( ) liên tục [ ; ]a b, khả vi ( ; )a b g x′( )≠ ∀ ∈0, x ( ; )a b

Khi đó, ∃ ∈c ( ; )a b cho:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c g b g a g c

′

− =

′ −

3.1.4 Định lý Lagrange

• Cho hàm sốf x( ) liên tục [ ; ]a b, khả vi

( ; )a b Khi đó, ∃ ∈c ( ; )a b cho:

( ) ( )

( ) f b f a

f c b a

− = ′

−

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố 3.2 Cực trị hàm số

3.2.1 Hàm sốđơn điệu

Cho hàm số f x( ) liên tục trong ( ; )a b Khi đó:

• f x( )được gọi tăng ngặt ( ; )a b

1

( ) ( )

0

f x f x

x x

− >

− , ∀x x1, 2∈( ; )a b x1≠x2 • f x( )được gọi giảm ngặt ( ; )a b

1

( ) ( )

0

f x f x

x x

− <

− , ∀x x1, 2∈( ; )a b x1≠x2

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố • f x( )được gọi tăng hay giảm không ngặt ( ; )a b

nếu 2

( ) ( )

0

f x f x

x x

− ≥

− hay

1

( ) ( )

0

f x f x

x x

− ≤

− ,

1, ( ; )

x x a b

∀ ∈ x1 ≠x2 • f x( )được gọi đơn điệu ( ; )a b

( )

f x tăng ngặt hay giảm ngặt ( ; )a b

• f x( )đơn điệu ( ; )a b liên tục ( ; ]a b f x( )đơn điệu ( ; ]a b (trường hợp khác tương tự)

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố b) Định lý

Cho hàm sốf x( ) khả vi trong ( ; )a b Khi đó: • Nếu f x′( )> ∀ ∈0, x ( ; )a b f x( ) tăng ngặt ( ; )a b • Nếu f x′( )< ∀ ∈0, x ( ; )a b f x( ) giảm ngặt ( ; )a b • Nếu f x′( )≥ ∀ ∈0, x ( ; )a b hay f x′( )≤ ∀ ∈0, x ( ; )a b

( )

f x tăng không ngặt hay giảm không ngặt ( ; )a b

c) Định lý

• Nếu f x( ) tăng ngặt ( ; )a b f x′( )≥0 ( ; )a b

và không tồn ( ; )α β ⊂( ; )a b cho f x( )≡0 • Nếu f x( ) giảm ngặt ( ; )a b f x′( )≤0

( ; )a b không tồn ( ; )α β ⊂( ; )a b cho f x( )≡0

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố VD Tìm khoảng đơn điệu y=ln(x2+1)

VD Tìm khoảng đơn điệu

2

2 ( )

( 1)

x f x

x

+ =

− VD Tìm khoảng đơn điệu

2

y

x x

= −

VD Tìm khoảng đơn điệu y=e x3−4

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố 3.2.2 Cực trị

• Nếu f x( ) liên tục ( ; )a b chứa x0 f x( )0 <f x( ),

( ; ) \ { }

x a b x

∀ ∈ f x( )đạt cực tiểu tại x0

• Nếu f x( ) liên tục ( ; )a b chứa x0 f x( )0 >f x( ),

( ; ) \ { }

x a b x

∀ ∈ f x( )đạt cực đại tại x0

b) Định lý

Cho f x( ) có đạo hàm đến cấp 2n ( ; )a b chứa x0

(13)

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố VD Tìm cực trị hàm sốf x( )= − −x6 2x3+3

Chú ý

• Hàm số không đạt max X⊂D

3.2.3 Giá trị lớn – giá trị nhỏ

Cho hàm sốy=f x( ) có MXĐD X ⊂D

• SốM gọi giá trị lớn của f x( ) X nếu: : ( )0

x X f x M

∃ ∈ = f x( )≤M, ∀ ∈x X Ký hiệu là: max ( )

x X

M f x

∈

=

• Sốm gọi giá trị nhỏ của f x( ) X nếu: : ( )0

x X f x m

∃ ∈ = f x( )≥m, ∀ ∈x X Ký hiệu là: ( )

x X

m f x

∈

=

• Nếu max ( )

x X

M f x

∈

= ( )

x X

m f x

∈

= thì:

( ) ,

m≤f x ≤M ∀ ∈x X b) Phương pháp tìm max –

Hàm số liên tục đoạn [a; b]

Cho hàm sốy=f x( ) liên tục đoạn [ ; ]a b Để tìm

[ ; ] max ( )

x∈a b f x xmin ( )∈[ ; ]a b f x , ta thực bước sau:

• Bước 1. Giải phương trình f x′( )=0 Giả sử có n

nghiệm x1, ,xn∈[ ; ]a b (loại nghiệm ngồi [ ; ]a b) • Bước 2. Tính f a( ), ( ), , ( ), ( )f x1 f xn f b

• Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ giá trịđã tính giá trị max, tương ứng cần tìm

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố VD Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

4

( )

2

f x =x − x − +x đoạn [0; 2] Chú ý

• Nếu đề chưa cho đoạn [ ; ]a b ta phải tìm MXĐ hàm số trước làm bước

• Có thểđổi biến sốt=t x( ) viết y=f x( )=g t x( ( )) Gọi T miền giá trị hàm t x( ) thì:

max ( ) max ( )

x X∈ f x = t T∈ g t , ( )x X∈ f x =min ( )t T∈ g t VD Tìm max, của f x( )= − +x2 5x+6 VD Tìm max, của

2

sin

sin sin

x y

x x

+ =

+ +

Hàm số liên tục khoảng (a; b)

Cho hàm y= f x( ) liên tục ( ; )a b (a b, ∞) Để tìm

( ; ) max ( )

x∈a b f x xmin ( )∈( ; )a b f x , ta thực bước:

• Bước 1. Giải phương trình f x′( )=0 Giả sử có n

nghiệm x1, ,xn∈[ ; ]a b (loại nghiệm ngồi [ ; ]a b) • Bước 2. Tính f x( ), , ( )1 f xn hai giới hạn

1 lim ( ), lim ( )

x a x b

L +f x L −f x

→ →

= =

• Bước 3. Kết luận:

1) Nếu max{ ( ), , ( )}f x1 f xn >max{ ,L L1 2}

( ; )

max max{ ( ), , ( )}n

x∈a b f = f x f x

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố 2) Nếu min{ ( ), , ( )}f x1 f xn <min{ ,L L1 2}

1 ( ; )

min min{ ( ), , ( )}n

x∈a b f = f x f x

3) Nếu không thỏa 1) (hoặc 2)) hàm số khơng đạt max (hoặc min)

VD Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

2 ( )

1

x f x

x

=

− khoảng (1;+∞)

Chú ý

Ta lập bảng biến thiên f x( ) thay cho bước VD 10 Tìm điều kiện tham sốm để phương trình

sau có nghiệm: m( x2+ − − =2 1) x

• Hàm số f x( )được gọi hàm lồi ( ; )a b f x′( ) tăng ( ; )a b Khi đó, đồ thịy= f x( ) gọi đồ thị lõm ( ; )a b

• Hàm số f x( ) gọi hàm lõm ( ; )a b ( )

f x′ giảm ( ; )a b Khi đó, đồ thịy= f x( )được gọi đồ thị lồi ( ; )a b

3.3 Khoảng lồi, lõm đồ thị – điểm uốn

(14)

b) Định lý

• Nếu f′′( )x >0 (hay f′′( )x <0) với x∈( ; )a b đồ thị hàm sốy=f x( ) lõm (hay lồi) ( ; )a b VD 11 Hàm số y=x3−3x2+1

lõm có đồ thị lồi (−∞; 1); hàm y=x3−3x2+1 lồi có đồ

thị lõm (1;+∞)

M(1; 1) điểm uốn đồ thị

• Nếu f′′( )x0 =0 f′′( )x đổi dấu x chuyển từ trái sang phải qua điểm x0 M x0( ;0 y0) điểm uốn của đồ thị hàm sốy=f x( )

VD 12 Xác định tính lồi, lõm hàm số: 8 ln

y=x − x

VD 13 Tìm khoảng lồi, lõm đồ thị hàm số: arccos

y= x

VD 14 Xác định tính lồi, lõm hàm sốy=arctan 2x

đồ thị hàm sốy=arctan 2x

3.4 Tiệm cận đồ thị

• Tiệm cận đứng

Đường cong y=f x( ) có tiệm cận đứng x=x0

0

lim ( )

x→x f x = ∞ • Tiệm cận xiên

Đường cong y=f x( ) có tiệm cận xiên y=ax+b ( )

lim , lim ( )

x x

f x

a f x ax b

x

→∞ = →∞ − = Chú ý

Khi a=0 đồ thị có tiệm cận ngang y=b

VD 15 Tìm tất tiệm cận đồ thị hàm số:

3 ln(1 x )

y

x

−

=

VD 16 Tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số:

3 ( 1)

y= x x−

VD 17 Tìm tiệm cận xiên (ngang) đồ thị hàm số:

4

y= +x x − x+

………

§4 CƠNG THỨC TAYLOR

4.1 Cơng thức khai triển Taylor

Cho hàm số f x( ) liên tục [ ; ]a b có đạo hàm đến cấp n+1 ( ; )a b với x x, 0 ∈( ; )a b ta có khai triển:

• Khai triển Taylor với phần dư Lagrange

( ) ( 1)

1

0

( ) ( )

( ) ( ) ( )

! ( 1)!

k n

n

k n

k

f x f c

f x x x x x

k n

+

+ =

= − + −

+

∑

với c∈( ; )a b

• Khai triển Taylor với phần dư Peano

( )

0

( )

( ) ( ) (( ) )

!

k n

k

f x

f x x x O x x

k

=

=∑ − + −

• Khai triển Maclaurin viết lại:

/ //

2

( )

(0) (0)

( ) (0)

1! 2!

(0)

( )

! n

n n

f f

f x f x x

f

x O x

n

= + + +

+ +

• Khai triển Maclaurin

Khai triển Taylor với phần dư Peano x0=0 gọi khai triển Maclaurin

Vậy:

( )

0 (0)

( ) ( )

! k n

k n

k

f

f x x O x

k

=

=∑ +

(15)

4.2 Các khai triển Maclaurin cần nhớ

1) 1 0( )

1

n n

x x x x

x = + + + + +

−

2)

2

1 0( )

1! 2! !

n

x x x x n

e x

n

= + + + + +

3)

2

ln(1 ) 0( )

1

n

x x x x

x x

+ = − + − + +

4)

2

cos 0( )

2! 4! 6!

n

x x x

x = − + − + + x

5)

3

sin 0( )

1! 3! 5! 7!

n

x x x x

x= − + − + + x

2

( 1)

6) (1 )

2!

( 1) ( 1)

0( )

!

m

n n

m m

x mx x

m m m n

x x

n

−

+ = + + +

− − +

+ +

VD Khai triển Maclaurin ( ) 1

f x x

=

+ đến

x

Chú ý

Nếu u x( ) VCB x→0 ta thay x cơng thức u x( )

VD Khai triển Maclaurin hàm

2

1

y

x

=

+ đến

x VD Khai triển Maclaurin y=ln(1−2 )x2 đến x6

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố VD Khai triển Maclaurin hàm sốy =2x đến x4 VD Khai triển Maclaurin y=esinx đến x3

VD Khai triển Maclaurin hàm số:

2

( )

x x

f x

x x

+ + =

− + đến

x tính f(4)(0)

VD Cho hàm f x( )=x3cos 2x Giá trị f(7)(0) là: A f(7)(0)=480; B f(7)(0)=560;

C f(7)(0)=3360; D f(7)(0)=6720

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố 4.3 Ứng dụng cơng thức Taylor

• Từ cơng thức khai triển Taylor, ta có: ( )

0

( )

( ) ( )

! k n

k

f x

f x x x

k

=

≈∑ −

với sai số

( 1)

1 ( )

( ) ( )

( 1)!

n

n n

f c

R x x x

n

+

= −

+ , c∈( ; )a b • Nếu f(n+1)( )x ≤M, ∀ ∈x [ ; ]a b ta có đánh giá sai số: ( ) 0

( 1)!

n n

M

R x x x

n

+

≤ −

+

4.3.1 Tính giá trị gần hàm số (tham khảo)

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố VD Tính sốe xác đến ε =10−3 Giải Ta có:

2

1 0( )

1! 2! !

n

x x x x n

e x

n

= + + + + +

1

2! !

e

n

⇒ ≈ + + + + với sai số ( ) , (0; 1)

( 1)!

c

n

e

R x c

n

ε = = ∈

+

6 (n 1)! n ⇒ ε < ⇒ =

+

Vậy 1 1 2! 3! ! 5! 6!

e≈ + + + + +

4.3.2 Tìm giới hạn tỉ số hai VCB

a) Phần VCB α(x) x → (tham khảo) Nếu α( )x VCB x→0 thỏa α(k−1)(0)=0

( )k(0) 0

α ≠ (k =1, 2, ) đại lượng ( )

(0) ! k

k

x k

α

được gọi phần của α( )x Khi đó,

( ) (0) ( )

! k

k

x x

k

α

α ∼

VD 10 Xét α( )x =etanx−1 Khi x→0, ta có: (0)

(16)

b) Các ví dụ tìm giới hạn

VD 11 Tìm giới hạn

0

2 lim

sin

x x

x

e e x

L

x x

− →

− −

=

−

Giải Ta có:

2 3

1 0( )

1! 2! 3!

x x x x

e = + + + + x ,

2 3

1 0( )

1! 2! 3!

x x x x

e− = − + − + x ,

3

sin 0( )

3!

x

x= −x + x

Vậy

3

0 3 3

1

0( )

2 3

lim lim

sin

0( )

x x

e e x

L

x x

−

→ →

+

− −

= = =

− +

VD 12 Tính

0

ln(1 ) sin

lim

1

x

x e x

L

x

→

+ + − −

=

+ −

Giải Ta có: 6 1

x + − ∼ x ,

2 3

ln(1 ) 0( )

2

x x

x x x

+ = − + + ,

2 3

1 0( )

2

x x x

e = + +x + + x , sin 2 0( )3

3

x x x x

− = − + +

3 11

ln(1 ) sin 11

6 x

x e x x L

⇒ + + − − ∼ ⇒ =

4.3.3 Tìm tiệm cận cong (hay xiên) đồ thị hàm số

Đồ thị ( ) :C y=f x( ) có đường tiệm cận cong y=g x( ) f x( )=g x( )+ α( )x với α( )x VCB x→ ∞ VD 13 Tìm tiệm cận xiên ( )C : y =3x x2( −1)

1

3

x

x x

   = − − +   

  Giải Khi x→ ∞, ta có:

1 1

y x

x

   =  − 

  2

1 1

1

3 9

x

x x x

  

  

=  − − +   

Vậy

y= −x tiệm cận xiên đồ thị ( )C

VD 14 Tìm tiệm cận xiên

3 ( ) :

1

x

C y

x

=

− Giải Ta có:

1 1

1

y x

x

 



=  + − 

  Khi x → ∞ thì:

2

1

2( 1) 8( 1) ( 1)

x x

y x O

x x x

 

 

= + − +  

− −  − 

• Khi x→ +∞ thì:

2( 1)

x

y x x

x

+ +

−

∼ ∼

• Khi x→ −∞ thì:

2( 1)

x

y x x

x

− − − −

−

∼ ∼

Vậy

y= +x ,

2

y= − −x tiệm cận xiên ( )C

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố VD 15 Tìm tiệm cận cong

4

2

( ) :

1

x x

C y

x

− +

=

− Giải Ta có:

2

1

x x

y x

x

− +

=

−

Đặt t x

x

→∞

=   → , ta suy ra:

2

(1 )

1

y x t t

t

= − +

−

=x2(1−2t3+3 )(1t4 +t2+0( ))t2

=x2(1+ −t2 2t3+O t( ))3

2 3

1

x O

x x x

  

  

=  + − +    

 

x2 O x2

x x

  

= + − +    +  ∼

Vậy đồ thị có tiệm cận cong y=x2+1 Cách khác

2

4

1

x

y x x

x

−

= + + +

− ∼ x→ ∞

(17)

§5 QUY TẮC L’HOSPITAL

VD Tìm giới hạn

2

2 lim

x x

x

e e

L

x

− →

+ −

=

Định lý (quy tắc L’Hospital) Cho hai hàm số f x( ), g x( ) liên tục khả vi lân cận điểm x0 Nếu

0

lim ( ) lim ( )

x→x f x =x→x g x = (hoặc ∞) thì:

0

( ) ( )

lim lim

( ) ( )

x x x x

f x f x

g x g x

→ →

′ =

′

2

0

sin lim

.arctan x

x x

L

x x

→ −

=

VD Tính

0

1 lim cot x

L x

x

→

 



=  − 

  (dạng ∞ − ∞)

1 1 lim x x

L x −

→

= (dạng 1∞)

1

lim ( )x x

x

L x

→+∞

= + (dạng ∞0) VD Tìm giới hạn ( )

0

lim ln

x

L x x

+ →

= (dạng 0×∞) A L=0; B L= ∞; C

2

L= ; D

L=

………

§6 KHẢO SÁT HÀM SỐ (Tham khảo) 6.1 Khảo sát hàm số theo tham số

Cho đường cong ( )C xác định phương trình tham số: ( )

, ( )

x x t

t D

y y t

 =

 ∈

 =

 (D MXĐ)

6.1.1 Khoảng biến thiên biến t

a) Nếu x t( +T)=x t( ), (y t+T)=y t( ), ∀ ∈t D ta cần khảo sát x t( ), ( )y t [ ;α α +T]

b) Giả sử với t∈D, tồn t* cho:

• x t( *)=x t( ), ( *)y t = −y t( ) Khi đó, ( )C nhận Ox làm trục đối xứng

• x t( *)= −x t( ), ( *)y t =y t( ) Khi đó, ( )C nhận Oy làm trục đối xứng

• x t( *)= −x t( ), ( *)y t = −y t( ) Khi đó, ( )C nhận gốc tọa độO(0; 0) làm tâm đối xứng

c) Tổng quát, giả sử với t∈D, tồn t* cho: • x t( *)=x t( ), ( *)y t +y t( )=2b Khi đó, ( )C nhận

đường thẳng y=b làm trục đối xứng

• x t( *)+x t( )=2 , ( *)a y t =y t( ) Khi đó, ( )C nhận đường thẳng x=a làm trục đối xứng

• x t( *)+x t( )=2 , ( *)a y t +y t( )=2b Khi đó, ( )C nhận điểm I a b( ; ) làm tâm đối xứng

6.1.2 Sự biến thiên x(t), y(t)

Lập bảng biến thiên x t( ), ( )y t hàm biến quen thuộc

Chú ý

• Dùng ( ) ( ) x

y t y

x t

′ ′ =

′ để tính hệ số góc tiếp tuyến • Dùng

3 ( ) ( ) ( ) ( )

[ ( )] x

x t y t x t y t

y

x t

′ ′′ − ′′ ′ ′′ =

′ để tìm khoảng lồi, lõm đồ thị

6.1.3 Tiệm cận

• Nếu lim ( ) 0

t→αx t =x tlim ( )→αy t = ∞ x=x0 tiệm cận đứng ( )C

• Nếu lim ( )

t→αx t = ∞ tlim ( )→αy t =y0 y=y0 tiệm

cận ngang ( )C • Nếu lim ( )

t→αx t = ∞, lim ( )t→αy t = ∞ và:

( )

lim , lim[ ( ) ( )]

( )

t t

y t

a y t x t b

x t

→α = →α − α =

y=ax+b tiệm cận xiên ( )C Chú ý

• Phương trình tiếp tuyến ( )C điểm M x y( , )ứng với t hệ tọa độOxy (Descartes) có dạng:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

y t x t y t x t y t

Y X

x t x t

′ ′ − ′

= +

(18)

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố • Giả sử t→t0 điểm M x y( , ) tiến vô

một nhánh vô tận ( )C Khi đó, giới hạn (nếu có) (*) phương trình tiệm cận ứng với t=t0 VD Khảo sát vẽđồ thị đường cong:

2

2 ,

( 1)

t t

x y

t t t

+

= =

− −

Giải MXĐ D=ℝ\ { 1; 0; 1}− Đồ thị khơng có tính đối xứng, tuần hồn

Ta có:

3 2

2 2 2

3 1

( ) , ( )

( 1) (1 )

t t t

x t y t

t t t

+ − +

′ = − ′ = >

− −

1

( ) 1, ( 1; 0),

x t′ = ⇔ =t t < − t=t ∈ − t=t >

Bảng biến thiên:

Phương trình tiếp tuyến ( )C điểm M x y( , ) ứng với t hệ tọa độOxy có dạng:

2

3

( 1) ( 4)

2( 1) 2( 1)

t t t t

Y X

t t t t

+ +

= − −

+ − + −

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố Cho t→ −1,t→0,t→1 ta tiệm cận

là:

2

Y = − +X , Y =0

3

Y = − X−

Đồ thị

VD Khảo sát vẽđồ thị đường cong:

( sin ), (1 cos )

x=R t− t y=R − t

Giải MXĐD=ℝ Vì:

(2 ) ( ) , (2 ) ( )

x kπ − +t x t = k R y kπ π − =t y t

nên đồ thịđối xứng qua đường x= πk R Ta cần khảo sát đường cong khoảng:

[0; ] [0; ]

x∈ πR ⇒ ∈t π

Ta có: x t′( )=R(1−cos ),t y t′( )=Rsint

2

0 (1 cos ) x

y

R t

′′ = − <

−

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố Bảng biến thiên Đồ thị

6.2 Khảo sát hàm số theo tọa độ cực

6.2.1 Hệ tọa độ cực

Trong mặt phẳng chọn điểm O cốđịnh gọi cực tia

Ox gọi tia cực Vị trí điểm M tùy ý mặt phẳng hoàn toàn xác định r =OM, ϕ =(Ox OM, )

Khi đó, cặp ( , )r ϕ gọi là tọa độ cực của điểm M Mối liên hệ tọa độ cực

và tọa độ Descartes là: x=rcos ,ϕ y=rsin ϕ

6.2.2 Phương trình đường cong tọa độ cực

• Phương trình đường cong tọa độ cực có dạng: ( )

(19)

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố • Cho đường cong ( )C tọa độ Descartes có phương

trình F x y( , )=0 Thay x=rcos ,ϕ y=rsinϕ vào ta F r( cos ,ϕ rsin )ϕ =0, giải r theo ϕ ta thu phương trình ( )C tọa độ cực VD Trong mpOxy, xét phương trình đường trịn qua

gốc tọa độO(0; 0): 2

( ) :C x +y −2ax−2by=0 Ta có:

2cos2 2sin2 2 ( cos ) 2 ( sin ) 0

r ϕ +r ϕ − a r ϕ − b r ϕ =

Vậy phương trình ( )C tọa độ cực là: 2( cos sin )

r = a ϕ +b ϕ

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố 6.2.3 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số r = r(φ)

• Ta xem x= ϕr( ) cos ,ϕ y= ϕr( )sinϕ khảo sát trường hợp theo tham số ϕ

• Trong nhiều trường hợp biến ϕ tăng dần, ta theo dõi chiều biến thiên r để vẽđồ thị

• Góc α tạo bán kính cực tiếp tuyến xác định công thức: ( )

( )

r tg

r

ϕ α =

′ ϕ

VD Khảo sát vẽđồ thị( ) :C r2=a2cos 2ϕ Giải MXĐ: cos

4 k k

π π

ϕ ≥ ⇔ − + π ≤ ϕ ≤ + π

Chương Chương Ph2 Phéép tíính vi phân hnh vi phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố Hàm cos 2ϕ tuần hoàn với chu kỳ π nên ta khảo sát

trong khoảng

4

π π

− ≤ ϕ ≤ r =a cos 2ϕ Ta có: ( ) sin 0

cos

a

r′ ϕ = − ϕ = ⇔ ϕ =

ϕ

Bảng biến thiên Đồ thị

…… ………

Chương Chương Ph3 Phéép tíính tnh tíích phân hch phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố

§1 Tích phân bất định §2 Tích phân xác định

§3 Ứng dụng tích phân xác định §4 Tích phân suy rộng

………

§1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

• Hàm sốF x( )được gọi nguyên hàm f x( ) khoảng ( ; )a b F x′( )=f x( ),∀ ∈x ( ; )a b

Ký hiệu ∫ f x dx( ) (đọc tích phân) Nhận xét

• Nếu F x( ) nguyên hàm f x( ) F x( )+C nguyên hàm f x( )

Chương Chương Ph3 Phéép tíính tnh tíích phân hch phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố Tính chất

1) ∫k f x dx ( ) =k∫ f x dx k( ) , ∈ℝ

2) ∫ f x dx′( ) =f x( )+C

3) d f x dx( ) f x( )

dx ∫ =

4) ∫[ ( )f x +g x dx( )] =∫ f x dx( ) +∫g x dx( )

MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ

1) ∫a dx =ax+C, a∈ℝ

2)

1

,

1

x

x dx C

α+

α = + α ≠ −

α +

∫

3) dx lnx C

x = +

∫ ; 4) dx x C

x

= +

∫

5) ∫e dxx =ex+C; 6)

ln x

x a

a dx C

a

= +

∫

7) ∫ cosxdx =sinx+C; 8) ∫sinxdx = −cosx+C

9)

2 tan cos

dx

x C

x = +

∫ ; 10)

2 cot sin

dx

x C

x = − +

∫

11)

2

arctan

dx x

C

a a

x +a = +

∫

12)

2 arcsin ,

dx x

C a a

a x

= + >

−

(20)

13)

2

ln

dx x a

C

a x a

x a − = + + − ∫

14) ln tan

sin

dx x

C

x = +

∫

15) ln tan

cos

dx x C x  π  =  + +   ∫

16)

2 ln

dx

x x a C

x a

= + + +

+

∫

VD Tính

2 dx I x = − ∫

A 1ln

4 x I C x + = +

− ; B

1 ln x I C x − = + + ;

C 1ln

2 x I C x − = +

+ ; D

1 ln 2 x I C x + = + −

VD Tính

2 6 dx I x x = − − ∫

1.2 Phương pháp đổi biến

a) Định lý

Nếu ∫f x dx( ) =F x( )+C ϕ( )t khả vi thì:

( ( )) ( ) ( ( )) F ϕt ϕ′t dt=F ϕt +C

∫

VD Tính

2 ln dx I x x = − ∫

VD Tính

3 ( 3) dx I x x = + ∫

VD Tính

4 cot

2 sin

x I dx x = + ∫

VD Tính

2 tan

, 0;

2

cos cos

x

I dx x

x x  π  = ∈    + ∫

b) Một số dạng tích phân hữu tỉ (tham khảo)

Dạng 1: 2 ,

( )

x

I dx a

ax b

α + β

= ≠

+

∫

Cách giải. Biến đổi

2

( )

p q

I dx

ax b ax b

     =  +  +   +   ∫ VD 2

4 2(2 1)

4 (2 1)

x x

dx dx

x x x

+ = + +

+ + +

∫ ∫

Dạng 2: I 2 x dx a, 0, ax bx c

α + β

= ≠ ∆ >

+ +

∫

1

1 p q

I dx

a x x x x

    =  +   − −   ∫ ,

(x1,x2 nghiệm mẫu thức)

2

2x (2x 1) dx

     =  +  +   +  

∫ ln 1

2(2 1) x C x = + − + + VD

3

2

2 ( 1)

2 x x dx dx x x x x + = +   + − −  +       ∫ ∫

3 11

( 1)(2 5) 7

x

dx dx

x x x x

 

+  

= − + =  − + + 

 

∫ ∫

5ln 11ln

7 x 14 x C

= − + + +

Dạng 3: I 2 x dx a, 0,

ax bx c

α + β

= ≠ ∆ <

+ +

∫

2 X p I dx X X     =  +    + γ + γ   ∫ VD 2

(2 1)

2

4 (2 1)

x x

I dx dx

x x x

− + +

= =

− + − +

(21)

1

2

(2 1) (2 1)

I I

x

dx dx

x x

−

= +

− + − +

∫ ∫

•

2

1

1 [(2 1) 4]

ln[(2 1) 4]

4 (2 1) 4

d x

I x C

x

− +

= = − + +

− +

∫

• 2

2

1

arctan

2 2 1 2

1

x d

x

I C

x

 − 

 

   − 

   

= =  +

 

 −   + 

 

∫

Vậy 1ln 4( 5) 1arctan

4 2

x

I = x − x+ +  − +C

 

 

Dạng Tích phân hàm hữu tỉ bậc cao

Cách giải. Biến đổi hàm dấu tích phân phân thức tối giản

VD 10 Tính 2

( 1) dx I

x x

=

−

∫

Giải Ta có:

2

1

1 ( 1)

A B C

x x x x− =x + + −

2

( ) ( )

( 1)

B C x A B x A

x x

+ + − −

=

−

Đồng hệ số, ta được:

1, 1,

A= − B= − C =

Vậy 12 1 ln

1

x

I dx C

x x x x

x

  −



= − − + −  = + +

 

∫

VD 11 Tính

2

4

( 1)

x x

I dx

x x

+ +

=

−

∫

Giải Ta có:

2

4

1

( 1) ( 1)

x x A B C

x x

x x x

+ +

= + +

−

− −

Đồng hệ số, ta được: A=4,B= −3,C =9 Vậy

2

4

1 ( 1)

dx dx dx

I

x x x

= − +

− −

∫ ∫ ∫

ln ln

1

x x C

x

= − − − +

−

VD 12 Tính

2

3

3 x

I dx

x x

 − 

 

=  

− +

 

∫

Giải Ta có:

2

3

( 1)( 2)( 3)

7

x x

x x x

x x

− = −

− − +

− +

1

A B C

x x x

= + +

− − +

Đồng hệ số, ta được: 1, 1,

2 10

A= B= C =

Vậy 1

2 10

dx dx dx

I

x x x

= + +

− − +

∫ ∫ ∫

1ln 1ln ln

2 x x 10 x C

= − + − + + +

Chương Chương Ph3 Phéép tíính tnh tíích phân hch phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố c) Tích phân hàm lượng giác

(sin , cos ) I =∫R x x dx

Cách giải

• Nếu R( sin , cos )− x x = −R(sin , cos )x x (nghĩa bậc sin lẻ) ta đặt t =cosx

• Nếu R(sin , cos )x− x = −R(sin , cos )x x (nghĩa bậc cosin lẻ) ta đặt t=sinx

• Nếu R( sin , cos )− x− x =R(sin , cos )x x (nghĩa bậc sin cosin chẵn) ta đặt t=tanx hạ bậc • Nếu (sin , cos )

sin cos

R x x

a x b x c

=

+ + ta đặt:

2

tan sin , cos

2 1

x t t

t x x

t t

−

= ⇒ = =

+ +

VD 13 Tính I =∫ sin cos3 x 2x dx

VD 14 Tính

2

sin sin cos

dx I

x x x

=

+ −

∫

VD 15 Tính

4 sin cos

dx I

x x

=

+ +

∫

1.3 Phương pháp tích phân phần

a) Cơng thức

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u x v x dx′ =u x v x − u x v x dx′

∫ ∫

(22)

Chú ý

Đối với nhiều tích phân khó ta phải đổi biến trước lấy phần

VD 16 Tính I =∫ xlnx dx

VD 17 Tính

2x x I =∫ dx

VD 18 Tính I = cos3x esinxdx

∫

VD 19 Tính I =∫ cos3x dx

VD 20 Tính I =∫ cos(ln )x dx

b) Các dạng tích phân phần thường gặp

• Đối với dạng tích phân ∫P x e( )αxdx, P x( ) đa thức, ta đặt:

( ), x u=P x dv=e dxα

• Đối với dạng tích phân ∫P x( )lnαx dx, P x( ) đa thức, ta đặt:

ln , ( )

u= αx dv =P x dx

………

0 n n

x = <a x < <x − <x =b Lấy điểm ξ ∈k [xk−1;xk] tùy ý (k=1,n) Lập tổng tích phân: 1

1

( )( )

n

k k k

k

f x x −

=

σ =∑ ξ −

§2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

2.1 Định nghĩa. Cho hàm số f x( ) xác định [ ; ]a b Ta chia đoạn [ ; ]a b thành n đoạn nhỏ điểm chia

Ký hiệu ( ) b

a

I =∫ f x dx

Giới hạn hữu hạn (nếu có)

1

max(klimk )

k x x

I

−

− →

= σ gọi là tích phân xác định của f x( ) đoạn [ ; ]a b

Chương Chương Ph3 Phéép tíính tnh tíích phân hch phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố Tính chất

1) ( ) ( ) ,

b b

a a

k f x dx =k f x dx k∈

∫ ∫ ℝ

2) [ ( ) ( )] ( ) ( )

b b b

a a a

f x ±g x dx = f x dx± g x dx

∫ ∫ ∫

3) ( ) 0; ( ) ( )

a b a

a a b

f x dx = f x dx = − f x dx

∫ ∫ ∫

4) ( ) ( ) ( ) , [ ; ]

b c b

a a c

f x dx = f x dx+ f x dx c ∈ a b

∫ ∫ ∫

5) ( ) 0, [ ; ] ( ) b

a

f x ≥ ∀ ∈x a b ⇒ ∫ f x dx ≥

6) ( ) ( ), [ ; ] ( ) ( )

b b

a a

f x ≤g x ∀ ∈x a b ⇒∫f x dx≤∫g x dx 7) ( ) ( )

b b

a a

a< ⇒b ∫ f x dx ≤∫ f x dx

8) m≤f x( )≤M, ∀ ∈x [ ; ]a b

( ) ( ) ( )

b

a

m b a f x dx M b a

⇒ − ≤∫ ≤ −

9) Nếu f x( ) liên tục đoạn [ ; ]a b

[ ; ] : ( ) ( )( ) b

a

c a b f x dx f c b a

∃ ∈ ∫ = −

Khi đó, đại lượng ( ) ( ) b

a

f c f x dx

b a

=

− ∫ gọi giá trị trung bình của f x( ) đoạn [a; b] VD Tích phân

1

2

0 cos

dx

x + x

∫ bị chặn (hữu hạn) hàm số

2

1 ( )

cos

f x

x x

=

+ liên tục đoạn [0; 1] VD Giá trị trung bình hàm số f x( )

x

= [1; ]e

là

1

e dx

(23)

2.2 Công thức Newton – Leibnitz

Cho hàm f x( ) khả tích [ ; ]a b, với x∈[ ; ]a b hàm số ( ) ( )

x

a

x f t dt

ϕ =∫ liên tục x0 ∈[ ; ]a b ϕ′( )x =f x( )

VD Xét

( ) ,

x t

x e dt x

ϕ =∫ >

Ta có: f t( )=et2 ϕ′( )x =f x( )=ex2 2.2.1 Tích phân với cận thay đổi

sin

0 tan

0 lim

sin x

x x

t dt L

t dt

+ →

= ∫

∫

2

0 (arctan ) lim

1 x

x

t dt L

x

→+∞ =

+

∫

Nhận xét

1) Có hai phương pháp tính tích phân §1 2) f x( ) liên tục lẻ [−α α; ] f x dx( )

α −α

=

∫

Nếu f x( ) liên tục [ ; ]a b F x( ) nguyên hàm tùy ý f x( ) ( ) ( )

x

a

x f t dt

ϕ =∫ F x( )= ϕ( )+x C

là nguyên hàm f x( ) [ ; ]a b

Vậy ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) b

b a a

f x dx =F x =F b −F a

∫

2.2.2 Công thức Newton – Leibnitz

Chương Chương Ph3 Phéép tíính tnh tíích phân hch phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố 3) f x( ) liên tục chẵn [−α α; ] thì:

0

( ) ( )

f x dx f x dx

α α

−α

=

∫ ∫

4) Để tính ( ) b

a

f x dx

∫ ta dùng bảng xét dấu f x( )để

tách f x( ) thành tổng hàm đoạn nhỏ

Đặc biệt

( ) ( )

b b

a a

f x dx = f x dx

∫ ∫ f x( )≠ ∀ ∈0, x ( ; )a b

Chương Chương Ph3 Phéép tíính tnh tíích phân hch phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố VD Tính tích phân

3

2

1

dx I

x x

=

− +

∫

VD Tính tích phân

2

1

( 1) ln e

x x

I dx

x

+

=∫

2

1

1.sin

I x x dx

−

=∫ +

3

I x x dx

−

=∫ −

VD 10* Lập công thức quy nạp (truy hồi) để tính:

0

tann ,

n

I x dx n

π

=∫ ≥

VD 11* Lập cơng thức quy nạp (truy hồi) để tính:

0 sinn n

I x dx

π

(24)

Nhận xét Đặt

t= −π x, ta được:

0 cosn n

I x dx

π

=∫

Trong đó:

0!!=1!!=1; 2!!=2; 3!!=3; !!=2.4; 5!!=1.3.5; 6!!=2.4.6; !!=1.3.5.7; Sử dụng cơng thức truy hồi, ta có cơng thức Walliss:

2

0

( 1)!! , !!

sin cos

( 1)!!

,

2 !!

n n

n

n n

xd x x dx

n

n n

π π  −



= = π −

 

∫ ∫

leû chaün

VD 12* Chứng minh rằng:

0

lim

1 n

n

x dx x

→∞∫ + =

VD 13* Sử dụng định nghĩa tích phân, tính giới hạn:

1

lim 1

n

n L

n n n n

→∞

  

  

=   + + + + + + 

  

 

VD 14* Sử dụng định nghĩa tích phân, tính giới hạn:

1 1

lim

1 2

n

L

n n n n

→∞

 



=  + + + + 

+ + −

 

………

§3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

3.1 Tính diện tích S của hình phẳng

3.1.1 Biên hình phẳng cho tọa độ Descartes

a) Biên hình phẳng cho phương trình tổng quát

S

2( ) 1( ) b

a

S =∫ f x −f x dx

S

2( ) 1( ) d

c

S =∫ g y −g y dy

VD Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đường y=x2 y=x4

A 15

S = ; B

15

S =

C 15

S = ; D

15

S =

VD Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đường y=ex−1, y=e2x−3 x=0

A ln

− ; B ln

−

; C ln 2 −

; D ln 2 −

b) Biên hình phẳng cho phương trình tham số

Hình phẳng giới hạn đường cong có phương trình ( ), ( )

x=x t y =y t với t∈ α β[ ; ] thì: ( ) ( )

S y t x t dt

β α

′ =∫

VD Tính diện tích hình elip

2

:x y

S

a +b ≤

VD Tính diện tích hình phẳng S giới hạn

2 4 3

y= x − x + trục hoành

VD Tính diện tích S giới hạn đường cong:

x t( )=t2−1, ( )y t =4t−t3 O x y

1

−

3.1.2 Diện tích hình quạt cong tọa độ cực

Diện tích hình quạt cong S có biên cho tọa độ cực (xem §6 Chương 2) giới hạn r = ϕ ϕ ∈ α βr( ), [ ; ] là: 2( )

2

S r d

β α

(25)

ChChươngương3 PhPhééppttíínhnhttííchchphânphânhhààmmmmộộttbibiếếnnssốố

VD Tính diện tích hình quạt cong S giới hạn bởi:

2

0, ,

2

y y x

x y x

 = = 

 + − =



VD Tính diện tích hình quạt cong S giới hạn bởi: cos , 0;

8

r = ϕ ϕ ∈  π

 

VD Tính diện tích hình quạt cong S giới hạn bởi: 0,

x= y=x x2+y2+2y=0

A

4

S = π+ ; B

2

S = π+ ; C

S = π; D

S =π

Chương Chương Ph3 Phéép tíính tnh tíích phân hch phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố 3.2 Tính độ dài l đường cong

a) Đường cong có phương trình tổng qt

Cho cung AB có phương trình y=f x( ),x∈[ ; ]a b thì:

2 [ ( )] b

AB a

l =∫ + f x′ dx

VD Tính độ dài l cung ln(cos ), 0;

y = x x∈  π

  

Chương Chương Ph3 Phéép tíính tnh tíích phân hch phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố b) Đường cong có phương trình tham số

Cho cung AB có phương trình tham số ( )

, [ ; ]

( )

x x t

t

y y t

 =

 ∈ α β

 =

 thì:

[ ( )]2 [ ( )]2 AB

l x t y t dt

β α

′ ′

=∫ +

VD 10 Tính độ dài l cung C có phương trình:

2

, 0;

ln

x t

t

y t t

 = +

 ∈ 

    

 =  + +     

Chương Chương Ph3 Phéép tíính tnh tíích phân hch phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố c) Đường cong có phương trình tọa độ cực

Cho cung AB có phương trình tọa độ cực r = ϕ ϕ ∈ α βr( ), [ ; ] thì:

2( ) [ ( )]2

AB

l r r d

β α

′

=∫ ϕ + ϕ ϕ

VD 11 Tính độ dài l cung:

(1 cos ), [0; ]

r =a + ϕ ϕ ∈ π

3.3 Tính thể tích vật thể tròn xoay

a) Vật thể quay quanh Ox

Thể tích V vật thể miền phẳng S giới hạn y =f x( ), y =0, x=a, x =b quay quanh Ox là:

2 [ ( )] b

a

V = π∫ f x dx

VD 12 Tính thể tích V hình phẳng S giới hạn

ln , 0, 1,

y= x y= x= x=e quay xung quanh Ox VD 13 Tính V

2

2 ( ) :E x y

a +b =

quay quanh Ox

b) Vật thể quay quanh Oy

Thể tích V vật thể miền phẳng S giới hạn x=g y( ), x =0, y =c y=d quay quanh Oy là:

2 [ ( )] d

c

V = π∫ g y dy

Giải Ta có:

2

y= x−x 1 ,

1 ,

x y x

 = + − ≥

 ⇔ 

= − − <



VD 14 Tính thể tích V hình phẳng

(26)

1

3 0

8

4 (1 )

3

y dy π y π

= π∫ − = − − =

Vậy ( ) ( )

1 2 2

0

1 1

V = π  + −y − − −y dy

 

∫

Chú ý. Thể tích V vật thể miền phẳng S giới hạn y=f x( ), y =0, x=a x =b quay quanh

Oy cịn tính theo công thức:

2 ( ) (*)

b

a

V = π∫xf x dx

VD 15 Dùng công thức (*) để giải lại VD 14

Chương Chương Ph3 Phéép tíính tnh tíích phân hch phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố 3.4 Tính diện tích mặt trịn xoay

a) Diện tích mặt trịn xoay S đường cong y= f x( ), a≤ ≤x b, quay xung quanh trục Ox là:

2

2 ( ) [ ( )]

b

a

S = π∫ f x + f x′ dx

VD 16 Tính diện tích mặt cầu x2+y2+z2 =R2 b) Diện tích mặt tròn xoay S đường cong x=g x( ), c≤ ≤y d, quay xung quanh trục Oy là:

2

2 ( ) [ ( )]

d

c

S = π∫ g y + g y′ dy

VD 17 Tính S y=x2, 0≤ ≤x xoay quanh Oy

§4 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 4.1 Tích phân suy rộng loại

4.1.1 Định nghĩa

• Cho hàm số f x( ) xác định [ ;a +∞), khả tích đoạn [ ; ] (a b a<b)

Giới hạn (nếu có) ( ) b

a

f x dx

∫ b→ +∞ gọi tích phân suy rộng loại của f x( ) [ ;a +∞) Ký hiệu:

( ) lim ( )

b

a a

f x dx f x dx

+∞

→+∞ =

∫ ∫

• Nghiên cứu tích phân suy rộng (nói chung) khảo sát hội tụ tính giá trị hội tụ (thường khó) • Định nghĩa tương tự:

( ) lim ( ) ;

b b

a a

f x dx f x dx

→−∞ −∞

=

∫ ∫

( ) lim ( ) b

b a a

f x dx f x dx

+∞

→+∞

−∞ →−∞

=

∫ ∫

• Nếu giới hạn tồn hữu hạn ta nói tích phân

hội tụ, ngược lại tích phân phân kỳ

• Trường hợp α khác 1:

1

lim lim

1

b b

dx

I x

x

−α α

→+∞ →+∞

  

= = − α  

 

∫

(1 )

1

,

1

lim 1

1 b b , 1.

−α →+∞

 α > 

= − = α −



− α  + ∞ α <

 Giải • Trường hợp α = 1:

1

lim lim ln

b

b b

dx

I x

x

→+∞ →+∞

  

= =  = +∞ 

∫ (phân kỳ)

VD 1. Khảo sát hội tụ tích phân

dx I

x

+∞ α = ∫

2

(1 )

dx I

x

−∞ =

−

∫

2

dx I

x

+∞ −∞ =

+

∫

Vậy: • Với α >1:

1

I =

α − (hội tụ)

(27)

Chú ý

• Nếu tồn lim ( ) ( ) x

F x F

→+∞ = +∞ , ta dùng công thức:

( ) ( )

a a

f x dx F x

+∞

=

∫

• Nếu tồn lim ( ) ( )

x→−∞F x =F −∞ , ta dùng công thức:

( ) ( )

b

f x dx F x −∞ −∞

=

∫

• Tương tự:

( ) ( )

f x dx F x +∞

+∞ −∞ −∞

=

∫

4.1.2 Các tiêu chuẩn hội tụ

a) Tiêu chuẩn Nếu 0≤f x( )≤g x( ), ∀ ∈x [ ;a+∞)

và ( )

a

g x dx

+∞

∫ hội tụ ( )

a

f x dx

+∞

∫ hội tụ

• Các trường hợp khác tương tự

VD Xét sự hội tụ tích phân 10

x

I e dx

+∞ −

= ∫

b) Tiêu chuẩn

• Nếu ( )

a

f x dx

+∞

∫ hội tụ ( )

a

f x dx

+∞

∫ hội tụ (ngược lại khơng đúng)

• Các trường hợp khác tương tự

VD Xét sự hội tụ tích phân

cos x

I e x dx

+∞ −

= ∫

Chương Chương Ph3 Phéép tíính tnh tíích phân hch phân hààm mm mộột bit biếến sn sốố c) Tiêu chuẩn

• Cho f x( ), ( )g x liên tục, dương [ ;a +∞) lim ( )

( ) x

f x k g x

→+∞ = Khi đó: Nếu 0< < +∞ thì: k

( ) a

f x dx

+∞

∫ ( )

a

g x dx

+∞

∫ hội tụ hoặc phân kỳ Nếu k=0 ( )

a

g x dx

+∞

∫ hội tụ ( ) a

f x dx

+∞

∫ hội tụ

Nếu

( ) a

k

g x dx

+∞

 = +∞ 

 

∫ phân kyø

( ) a

f x dx

+∞

∫ phân kỳ • Các trường hợp khác tương tự

2

1

dx I

x x

+∞ =

+ +

∫

Chú ý

• Nếu f x( )∼g x( ) (x→ +∞) ( )

a

f x dx

+∞

∫ ( )

a

g x dx

+∞

∫ có tính chất

1 sin

dx I

x x

+∞ =

+ +

∫

VD Điều kiện α để

3

1 ln

dx I

x x

+∞ α =

+

∫ hội tụ là: A α >3; B

2

α > ; C α >2; D α >

VD Điều kiện α để

2

4

( 1)

2

x dx

I

x x

+∞ α

+ =

+ −

(28)

4.2 Tích phân suy rộng loại

4.2.1 Định nghĩa

• Cho hàm số f x( ) xác định [ ; )a b không xác định

b, khả tích đoạn [ ;a b− ε ε >] ( 0) Giới hạn (nếu có) ( )

b

a

f x dx

−ε

∫ ε →0được gọi tích phân suy rộng loại của f x( ) [ ; )a b

Ký hiệu:

0

( ) lim ( )

b b

a a

f x dx f x dx

−ε ε→ =

∫ ∫

• Định nghĩa tương tự:

0

( ) lim ( )

b b

a a

f x dx f x dx ε→

+ε

=

∫ ∫ (suy rộng a);

0

( ) lim ( )

b b

a a

f x dx f x dx −ε ε→

+ε

=

∫ ∫ (suy rộng a, b)

• Nếu giới hạn tồn hữu hạn ta nói tích phân

hội tụ, ngược lại tích phân phân kỳ VD 10 Khảo sát hội tụ

0

,

b

dx

I b

xα

=∫ > Giải • Trường hợp α = 1:

0 0

lim lim ln ln lim ln

b

dx

I x b

x

+ + ε +

ε→ ε→ ε→

ε

  

= =  = − ε = +∞



∫

• Trường hợp α khác 1:

0 0

1

lim lim lim

1

b b b

dx

I x dx x

x

−α −α

α

ε→ ε→ ε→ ε

ε ε

  

= = = − α  

 

∫ ∫

(1 )

0

1 lim ,

1

1 , 1.

b b

−α

−α −α

ε→

 α < 

= − ε =  − α



− α  + ∞ α >

 Vậy

Với α <1:

1

b I

−α =

− α (hội tụ) Với α ≥1: I = +∞ (phân kỳ)

VD 11 Tính tích phân

2

6

1

dx I

x

=

−

∫

A

I = −π; B

I =π; C

I = π; D I = +∞

3 ln e

dx I

x x

=∫

2

dx I

x x

= −

∫

4.1.2 Các tiêu chuẩn hội tụ

• Các tiêu chuẩn hội tụ tích phân suy rộng loại Chú ý

• Nếu f x( )∼g x( ) (x→b) ( ) b

a

f x dx

∫ ( )

b

a

g x dx

∫

có tính chất (với b cận suy rộng) VD 14 Tích phân suy rộng

1

0 ( 1)(2 )

x dx I

x x x

α =

+ −

∫

hội tụ khi: A α < −1; B

2

α < − ; C

α > − ; D α ∈ℝ

VD 15 Tích phân suy rộng

2

1

( 1)sin

x

I dx

x x

α+ =

+

∫

phân kỳ khi: A α ≤ −1; B

2

α ≤ − ; C

α ≥ − ; D α ∈ℝ

Chú ý

• Cho I =I1+I2 với I I, 1,I2 tích phân suy rộng ta có:

(29)

2)

2

( )

0

I I

 → −∞ 

 ≤



phaân kyø

2

( )

0

I I

 → +∞ 

 ≥



phân kyø

I phân kỳ

3)

2

( )

0

I I

 → −∞ 

 >



phaân kyø

2

( )

0

I I

 → +∞ 

 <



phân kyø

chưa thể kết luận I phân kỳ

VD 16

2

1 sin

x

I dx

x x

α +

=∫ phân kỳ khi: A

4

α ≤ ; B

α ≤ − ; C

α ≤ − ; D α ∈ℝ

………

Chương Chương Lý thuy4 Lý thuyếết chut chuỗỗii

§1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ

• Cho dãy số có vô hạn số hạng u1,u2, ,un, Biểu thức

• Tổng n số hạng Sn =u1+u2+ + unđược gọi tổng riêng thứn chuỗi số

1

n n

n

u u u u

∞ =

+ + + + =∑

gọi chuỗi số

• Các sốu1,u2, ,un, số hạng unđược gọi số hạng tổng quát chuỗi số

• Nếu dãy { } n n

S

∈ℕ hội tụđến sốS hữu hạn ta nói chuỗi số hội tụ có tổng S, ta ghi

1 n n

u S

∞ =

=

∑

Ngược lại, ta nói chuỗi số phân kỳ

VD Xét sự hội tụ chuỗi nhân

n

aq

∞ =

∑ với a≠0 Giải

• q=1: Sn =na→ ∞ ⇒ chuỗi phân kỳ • q≠1: 1.1

1

n n

n

q q

S u aq

q q

− −

= =

− −

Với q <1 n

aq S

q

→ ⇒

− chuỗi hội tụ

VD Xét sự hội tụ chuỗi số

1

( 1)

n n n ∞

= +

∑

Với q >1 Sn → ∞ ⇒ chuỗi phân kỳ Vậy

1 n

n

aq

∞ − =

∑ hội tụ⇔q <1

1 ln

n n

∞ =

   + 

 

 

∑

1

n n

∞ =

∑

1.2 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ

• Nếu chuỗi

n n

u

∞ =

∑ hội tụ lim n n→∞u = , ngược lại lim n

n→∞u ≠ n 1un ∞

=

∑ phân kỳ VD Xét sự hội tụ chuỗi số

4

13

n

n n

∞

= + +

∑

4

1

n

n n

∞

= +

∑

1.3 Tính chất

• Nếu

1

,

n n

u v

∞ ∞

= =

∑ ∑ hội tụ thì:

1 1

( n n) n n

n n n

u v u v

∞ ∞ ∞

= = =

+ = +

∑ ∑ ∑

• Nếu

n n

u

∞ =

∑ hội tụ thì:

1

n n

u u

∞ ∞

= =

α = α

∑ ∑

• Tính chất hội tụ hay phân kỳ chuỗi số không đổi ta thêm bớt hữu hạn số hạng

(30)

§2 CHUỖI SỐ DƯƠNG

2.1 Định nghĩa • n n u ∞ =

∑ gọi chuỗi số dương nếu un≥0, ∀n Khi un>0, ∀n chuỗi số dương thực

2.2 Các định lý so sánh

Định lý 1

Cho hai chuỗi số dương

1 , n n n n u v ∞ ∞ = =

∑ ∑ thỏa: 0≤un ≤vn, ∀ ≥n n

VD Xét sự hội tụ chuỗi số 1 2n n n ∞ = ∑

VD Xét sự hội tụ chuỗi điều hòa

1 n n

∞ =

∑ cách so sánh với

1 ln n n ∞ =    +        ∑

• Nếu n n

v

∞ =

∑ hội tụ n n

u

∞ =

∑ hội tụ • Nếu

1 n n

u

∞ =

∑ phân kỳ n n

v

∞ =

∑ phân kỳ

Định lý 2

Cho hai chuỗi số

1 , n n n n u v ∞ ∞ = =

∑ ∑ thỏa:

n

u > vn >0 với n đủ lớn lim n n n u k v →∞ = • Nếu k=0

1 n n u ∞ =

∑ phân kỳ n n v ∞ =

⇒∑ phân kỳ • Nếu k= +∞

1 n n u ∞ =

∑ hội tụ n n v ∞ =

⇒∑ hội tụ • Nếu 0< < +∞ k

1 , n n n n u v ∞ ∞ = =

∑ ∑ tính chất

VD Xét sự hội tụ chuỗi số

1

2 ( 1) n n n n n ∞ + = +

∑ cách

so sánh với n n ∞ =           ∑ Chú ý Chuỗi

1 n n ∞ α =

∑ hội tụ α >1 phân kỳ α ≤1 VD Xét sự hội tụ chuỗi số

5 1 n n n ∞ = + + ∑

2.3 Các tiêu chuẩn hội tụ

2.3.1 Tiêu chuẩn D’Alembert Cho chuỗi số dương

1 n n u ∞ =

∑ lim n n n u D u + →∞ =

• Nếu D<1 chuỗi hội tụ • Nếu D>1 chuỗi phân kỳ • Nếu D=1 chưa thể kết luận VD Xét sự hội tụ chuỗi số

1 1 n n n n ∞ =    +        ∑

2

1 ( !)

(2 )! n n n n ∞ = ∑

2.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy

Cho chuỗi số dương n n u ∞ =

∑ lim n n n

u C

→∞ =

• Nếu C <1 chuỗi hội tụ • Nếu C >1 chuỗi phân kỳ • Nếu C =1 chưa thể kết luận

2 1 n n ∞ =           ∑

VD 8. Xét hội tụ chuỗi số 13 n n n n ∞ = ∑

(31)

2.3.3 Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy

Cho hàm số f x( ) liên tục, không âm giảm nửa khoảng [ ;k+∞), k∈ℕ Khi đó:

( ) ( )

n k k

f n f x dx

+∞ ∞

=

⇔

∑ hội tụ ∫ hội tụ.

1

n n

∞ =

∑

VD 10 Xét sự hội tụ chuỗi số

3

1 ln

n n n

∞ =

∑

§3 CHUỖI SỐ CĨ DẤU TÙY Ý

VD

1

( 1)n n n

∞ =

−

∑ ,

1

2

( 1)

n n

∞ +

+ =

+ −

∑ chuỗi đan dấu 3.1 Chuỗi đan dấu

a) Định nghĩa Chuỗi số

( 1)n n n

u

∞ =

−

∑ gọi chuỗi sốđan dấu nếu un>0,∀n

b) Định lý Leibnitz

Nếu dãy { }un n∈ℕ giảm nghiêm ngặt un →0 chuỗi

1 ( 1)n n n

u

∞ =

−

∑ hội tụ Khi đó, ta gọi chuỗi Leibnitz

( 1)n

n n

∞ =

−

∑

1

2

( 1) n n

n n

∞

+ =

+ −

∑

( 1) ( 1)

n

n n

∞ =

− + −

∑

3.2 Chuỗi có dấu tùy ý

a) Định nghĩa • Chuỗi

1 , n n n

u u

∞ =

∈

∑ ℝ gọi chuỗi có dấu tùy ý

•

n n

u

∞ =

∑ gọi hội tụ tuyệt đối nếu

n n

u

∞ =

∑ hội tụ •

1 n n

u

∞ =

∑ gọi bán hội tụnếu

n n

u

∞ =

∑ hội tụ

1 n n

u

∞ =

∑ phân kỳ

b) Định lý

Nếu

n n

u

∞ =

∑ hội tụ chuỗi có dấu tùy ý

n n

u

∞ =

∑ hội tụ VD Xét sự hội tụ chuỗi số

2

cos( n) n

n n

∞ =

∑

1

( 1) ( 2)

n n

+ ∞

=

− + −

∑

VD Chuỗi số

( 1)n

n n

∞ =

−

∑ bán hội tụ

§4 CHUỖI HÀM

4.1 Khái niệm chung chuỗi hàm

4.1.1 Các định nghĩa

• Cho dãy hàm u x1( ),u x2( ), ,u xn( ), xác định D⊂ℝ Tổng hình thức:

1

1 ( ) ( ) n( ) n( )

n

u x u x u x u x

∞ =

+ + + + =∑ (1)

gọi chuỗi hàm số hay chuỗi hàm D⊂ℝ • Nếu x0∈D, chuỗi số 0

1 ( ) n n

u x

∞ =

(32)

• Tập hợp điểm hội tụx0 chuỗi (1) gọi miền hội tụ của chuỗi (1)

• Chuỗi (1) gọi hội tụ tuyệt đối tại x0∈D chuỗi 0

1 ( ) n n

u x

∞ =

∑ hội tụ

• Tổng S xn( )=u x1( )+u x2( )+ + u xn( )được gọi tổng riêng thứn chuỗi (1)

Trong miền hội tụ chuỗi (1), tổng S xn( ) hội tụ hàm số f x( )

• Hàm ( ) lim n( ) n

f x S x

→∞

= xác định miền hội tụ chuỗi (1) gọi tổng của chuỗi (1)

Chương Chương Lý thuy4 Lý thuyếết chut chuỗỗii Ta viết là:

1

( ) ( ) n

n

u x f x

∞ =

=

∑

Khi đó, R xn( )=f x( )−S xn( )được gọi phần dư (1) x thuộc miền hội tụ lim n( )

n→∞R x = VD Tìm miền hội tụ chuỗi hàm

1 nx

n

ne

∞ − =

∑

Giải • Với x>0: lim n nx x

n ne e

− −

→∞ = < ⇒ chuỗi hội tụ • Với x≤0: ne−nx →/ ⇒ chuỗi phân kỳ

Vậy miền hội tụ chuỗi hàm (0;+ ∞)

VD Tìm miền hội tụ chuỗi hàm

1 ! n

n

x n

∞ =

∑

Giải • Với x =0: Chuỗi hội tụ • Với x ≠0, ta có:

2( 1) 2

lim : lim

( 1)! !

n n

x x x

n n n

+

→∞ →∞

 

  = =

 +  +

 

 

⇒ chuỗi hội tụ Vậy miền hội tụ chuỗi hàm ℝ

4.1.2 Chuỗi hàm hội tụ

Chuỗi (1) gọi hội tụ miền D

1

( ) ( ) ( ) ( )

n n n n m

R x =u + x +u+ x + +u+ x +

hội tụđều miền D

Chương Chương Lý thuy4 Lý thuyếết chut chuỗỗii Nghĩa là:

0, N N( ) : n N, x D |R xn( ) |

ε ε ε

∀ > ∃ = ∀ > ∀ ∈ ⇒ < b) Tiêu chuẩn hội tụđều Weierstrass

Nếu chuỗi (1) thỏa mãn:

( ) , ,

n n n

u x ≤C ∀ ∈x D C ∈ℝ

1

n n

C

∞ =

∑ hội tụ chuỗi (1) hội tụđều miền D

VD Chuỗi hàm

sin

n nx n

∞ =

∑ hội tụđều ℝ vì:

2

sin

,

nx

x

n ≤n ∀ ∈ℝ

1

n n

∞ =

∑ hội tụ

4.2 Chuỗi lũy thừa

4.2.1 Định nghĩa Chuỗi hàm 0

0

( )n

n n

a x x

∞ =

−

∑ với an,x0 số gọi chuỗi lũy thừa

Nhận xét

• Nếu đặt x′ = −x x0thì chuỗi lũy thừa có dạng

n n n

a x

∞ =

∑

• Miền hội tụ

n n n

a x

∞ =

∑ chứa x=0 nên khác rỗng

4.2.2 Bổ đề Abel

Nếu chuỗi hàm

n n n

a x

∞ =

∑ hội tụ x = α ≠0 chuỗi hội tụ tuyệt đối điểm x∈ − α( ; α)

• Hệ quả Nếu chuỗi hàm

0 n n n

a x

∞ =

∑ phân kỳ x= β phân kỳ x thỏa x > β

4.2.3 Bán kính hội tụ

• SốR>0để

n n n

a x

∞ =

∑ hội tụ tuyệt đối (−R R; ) phân kỳ ∀x:x >Rđược gọi bán kính hội tụ

(33)

• Khoảng (−R R; )được gọi khoảng hội tụ Nhận xét

• Nếu chuỗi hội tụ∀ ∈x ℝ R= +∞

• Nếu chuỗi phân kỳ ∀ ≠x R=0

b) Phương pháp tìm bán kính hội tụ

Nếu tồn lim n n

n

a r a

+

→∞ = lim n

n n

a r

→∞ = thì: 0,

1 ,

,

r

R r

r r

 = +∞

 

= < < +∞ +∞ =



Tìm miền hội tụcủa chuỗi lũy thừa

Bước 2. Xét hội tụ chuỗi số x= ±R Bước

• Nếu chuỗi số phân kỳ x= ±R kết luận: miền hội tụ chuỗi hàm (−R R; ) Bước 1. Tìm bán kính hội tụR, suy khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa là: (−R R; )

• Nếu chuỗi số phân kỳ x =R hội tụ x = −R kết luận: miền hội tụ chuỗi hàm [−R R; ) • Tương tự: miền hội tụ (−R R; ], [−R R; ]

n

x n

∞ =

∑

( 1)

n

n n

x n

∞ =

−

∑

2

1 1

n n

n

x n

∞ =

   + 

 

 

∑

3 (n 2)n n

x

∞ =

+

∑

4.3 Sơ lược chuỗi Fourier

a) Chuỗi lượng giác Chuỗi hàm dạng:

1

( cos sin )

2 n n

n a

a nx b nx

∞ =

+∑ + (*)

gọi chuỗi lượng giác

Nếu chuỗi (*) hội tụđều [−π π; ]đến hàm sốf x( ) hệ sốan,bnđược tính theo công thức:

1

( ) cos , 0, 1, 2,

n

a f x nx dx n

π

π−

= ∫ = (2);

1

( )sin , 1, 2,

n

b f x nx dx n

π

π−

= ∫ = (3)

b) Định nghĩa chuỗi Fourier

• Chuỗi lượng giác (*) có hệ sốđược tính theo cơng thức (2), (3) gọi chuỗi Fourier của hàm f x( ) Các hệ sốan,bnđược gọi hệ số Fourier f x( ) • Mọi hàm f x( ) khả tích [−π π; ] tương ứng với chuỗi Fourier thơng thường ta viết:

0

( ) ( cos sin )

2 n n

n a

f x a nx b nx

∞ =

+∑ +

∼

VD Tìm chuỗi Fourier hàm số:

1,

( )

1,

x f x

x

π

− − ≤ < 

=  ≤ ≤ 

VD Tìm chuỗi Fourier f x( )= x [−π π; ]

c) Khai triển Fourier hàm số

Định lý Dirichlet

Nếu hàm số f x( ) tuần hoàn với chu kỳ 2π, đơn điệu khúc bị chặn [−π π; ] chuỗi Fourier hội tụ điểm [−π π; ]đến tổng là:

( ) ( )

2

f x− +f x+

VD 10 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số:

0,

( )

,

x f x

x x

π

 − ≤ < 

= 

≤ ≤ 

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	0,98 MB