Hỏi mỗi cần cẩu làm việc một mình thì bao lâu xong việc, biết rằng nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong giờ xong việc.. Giải.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ:
GIẢI CÁC BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
Các b ớc giải toán cách lập ph ¬ng tr×nh : bíc
Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh:
- Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số
- Biểu diễn đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng biết - Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giã đại lợng
Bíc 2: Giải phơng trình Bớc 3: Trả lời:
-Kiểm tra xem nghiệm phơng trình, nghiệm thoả mÃn điều kiện ẩn, nghiệm không, kết ln
I
LOẠI TỐN HÌNH HỌC :
Bài 1: Một hình chữ nhật có chu vi 28m Nếu tăng chiều rộng gấp lần
và giảm chiều dài nửa chu vi tăng thêm 4cm Tìm kích thớc hình chữ nhật?
Giải:
Gọi chiều dài hình chữ nhật a
Và chiều rộng hình chữ nhật b (a, b>0) Theo ta cã:
2(a+b) = 28 a+b =14
Mặt khác: 2(2b+) = 28 + 14 a+4b = 32
Ta cã hÖ pt sau:
Vậy kích thớc hình chữ nhật lần lợt là: (cm)
Bài 2:
Một sân hình tam giác có diện tích 180m2 Tính cạnh đáy sân biết tăng cạnh đáy 4m giảm chiều cao tơng ứng 1m diện tích khơng đổi?
Gi¶i:
Gọi cạnh đáy chiều cao tơng ứng sân lần lợt a b (a,b>0)
Theo bµi ra: DiƯn tÝch cđa sân 18m2 ab = 360
Mặt khác ta cã: (a + 4)(b - 1) = ab -a + 4b - = Kết hợp 2pt ta cã hÖ
pt sau:
Từ (1) b = thay vào (2) đợc: -a2- 4a + 1440 =
Vậy cạnh đáy sõn l 36m
Bài 3:
Một tam giác vuông có chu vi 30m, cạnh huyền 13m Tính cạnh góc vuông?
Giải:
Gi di cạnh góc vng tam giác vng a, b (a,b >0) Chu vi tam giác là: a + b + 13 =30 a + b = 17 (1)
2
a
32 4
14 b a
b a
6 8
b a
ab 360 a 4b
360
a
a 36 a 40
(2)Mặt khác theo định lý Pytago: a2 + b2 = 169 (2) Kết hợp (1) (2) :
Vậy độ dài cạnh góc vng 12 v m
Bài 4:
Một hình chữ nhËt
có chu vi 32cm diện tích 60 cm2 Tính đờng chéo hình chữ nhật đó?
Gi¶i:
Gọi độ dài cạnh hình chữ nhật a b (a,b>0) Chu vi hình chữ nhật 32cm
2(a + b) = 32 a + b = 16 (1) DiƯn tÝch h×nh chữ nhật 60 cm2
ab = 60 (2) Kết hợp (1) (2) ta có
Độ dài cạnh hình chữ nhật 10 vµ cm
Vậy độ dài đờng chéo hỡnh ch nht l: = cm
Bài 5:Một sân trờng hình chữ nhật có chu vi 340m Ba lần chiều dài hơn
bốn lần chiều rộng 20m Tính chiều dài chiều rộng sân trờng?
Giải:
Gọi chiều dài chiều rộng sân trờng lần lợt la a b (a,b >0) Chu vi sân trờng 340m a + b = 170 (1)
Ba lần chiều dài bốn lần chiều rộng 20m nên 3a - 4b = 20 (2) Kết hợp (1) (2) ta có:
VËy chiỊu dµi vµ chiỊu réng cđa sân trờng lần lợt 100 70m
Bài 6:
Cho tam giác ABC vng cân có AB = AC = 12 cm Điểm M chạy AB Tứ giác MNCP hình bình hành có đỉnh N thuộc cạnh AC Hỏi M cách A diện tích hình bình hành 32 cm2?
Giải:
Đặt MA = x (0 < x< 12) Tam giác ABC vuông cân nên MP = MB = 12- x DiƯn tÝch cđa h×nh b×nh hành MNCP MP.MA = (12-x)x
Theo giả thiết:
Diện tích hình bình hành MNCP 32 cm2
(12 - x)x =32 x2 -12x + 32 =
x = hc x = (thoả mÃn) Vậy M cách A cm
II, LOẠI TỐN TÌM SỐ:
Bài 1:Hai số 12 đơn vị Nếu chia số nhỏ cho 7, chia số lớn cho 5
thì thương thứ thương thứ hai đơn vị.Tìm số
Giải
Cách 1 : Gọi số nhỏ : x
Số lớn : x+12
2 169 12
5 17
a
a b
b a b
60 .
16 b a
b a
6 10
b a
) 36 100 ( 136
3a - 4b = 20 a + b = 170
100 70
a b
100 70
a b
P
N M
C B
A
(3)Thương số nhỏ cho là: Thương số lớn cho là: Theo ta có: = +
5x = 7x + 84 + 140 x = 28
Vậy số nhỏ là: 28 Số lớn là: 28 + 12 = 40
Cách 2 : Đặt thương thứ là: a Thương thứ hai là: a + Số nhỏ là: 7a
Số lớn (a + 4)5 Theo ta có :
(a + 4) – 7a = 12 5a + 20 - 7a = 12 2a =
a =
Vậy số nhỏ 7.4 = 28 Số lớn : (4 + 4).5 = 40
Cách 3 : Gọi số cần tìm là: x, y (x,y N)
Hai số 12 đơn vị : y - x = 12
Thương thứ thương thứ hai đơn vị : + = Ta có hệ:
Giả hệ ta x = 28 (thoả mãn )
y = 40 Vậy số cần tìm 28 40
Bài : Cho số có hai chữ số, chữ số hàng chục nửa chữ số hàng
đơn vị Nếu đặt số xen vào hai số ta số lớn số cho 370 Tìm số cho?
Giải
Gọi số phải tìm là:
Chữ số hàng chục nửa chữ số hàng đơn vị : b=2a Đặt số xen vào ta số
Theo ta có : - = 370
100a + 10 + b – 10a – b = 370 90a = 360
a =4
b =2.4 = Vậy số cần tìm : 48
Bài :
Tổng hai số 136 Nếu lấy số nhỏ chia cho số lớn chia cho tổng hai thương 28 Tìm hai số đó?
Giải
Cách 1: Gọi số nhỏ x Số lớn y ( x, y Z y > x )
7
x
5 12
x
7
x
5 12
x
7
x
5
y
5 4 7
12
y x
x y
ab
b a1
b a1ab
a 36 a 40
(4)Ta có : x + y = 136 (1) Số nhỏ chia thương: Số lớn chia cho thương:
Mà tổng hai thương là: 28 => + = 28 (2) Từ (1), (2) ta có hệ:
(thoả mãn )
Vậy hai số cần tìm là: 64 72
Cách 2: Gọi số nhỏ x (x N).Số lớn : 136 - x
Thương số nhỏ cho là:
Thương số nhỏ cho là:
Theo ta có: + = 28
3x + 272 – 2x = 336
x = 64 ( thoả mãn ) Vậy số nhỏ : 64
Số lớn : 136 – 64 =72
Bài : Tìm hai số biết tổng chúng 17 tổng bình phương chúng
là 157
Giải
Cách 1 : Gọi số cần tìm là: a,b (a,b Z)
Theo ta có hệ: Giải hệ: (1) a = 17 – b
(2) (17-b)2 + b2 = 157
b2 -34b + 289 + b2 = 157 2b2 – 34b +132 = 0
(thoả mãn ) Vậy số phải tìm là: 11
Cách 2:
Gọi số phải tìm là: a Số là: 17 – a
Tổng bình phương chúng 157
(17-a)2 + a2 = 157
a2 + 289 – 34a + a2 = 157 2a2 – 34a +132 = 0
Vậy hai số phải tìm là: 6, 11
Bài :
4
x
6
x
4
x
6
x
28 6 4
136
x x
y x
72 64
y x
4
x
6 136 x
4
x
6 136 x
2
a+b = 17 (1) a +b = 157 (2)
11
b b
11
a a
11
(5)Tìm số có hai chữ số biết đem chia số cho tổng chữ số thương dư 3, đem chia số cho tích chữ số thương cịn dư
Giải
Gọi số có hai chữ số (a,b )
Chia số cho tổng chữ số ta có: = 4(a + b) + 10a + b = 4a + 4b + 6a – 3b = (1) Đem chia số cho tích chữ số
= 3ab +
10a + b = 3ab + (2)
Từ (1), (2) ta có hệ: Từ (1) có: b =
Thay vào (2): 10a + = 3a +
18a2 – 45a + 18 = 0
Vậy số cần tìm là: 23
Bài :
Tìm phân số có đồng thời tính chất sau: a,Tử số phân số số tự nhiên có chữ số b, Hiệu tử số mẫu số
c, Nếu giữ nguyên tử số viết thêm vàobên phải mẫu số chữ số tử số ta phân số phân số 1/3
Giải:
Gọi tử số : a (1) mẫu số là: a-4
Nếu giữ nguyên tử thêm vào bên phải mẫu số chữ số = tử Ta có : =
= =
3a = 11a - 40
8a = 40 a = Vậy số phải tìm là:
Bài :
Tỉ số hai số a b là: Tìm 2số biết a- b =8
Giải
Cách 1 : Tỉ số hai số a b là: = 2a - 3b = Theo ta có hệ : :
giải hệ ta : a = 24
abN
ab
ab
6a - 3b = 10a + b = 3ab +
3 a
3 a
3 a
2
1 ( )
a
a loai
3
0( )
b
b loai
9 a
a a
a
) ( 3
1
a a
a
40 10
1
40 11 a
a
3
1
2
2
b a
2
0 3 2
8 b a
(6)b = 16
Cách 2 : Theo ra: a - b = a=b + (1) Tỉ số số a b : a=b (2) Từ (1) (2): 8+b = b b = b = 16
Thay vào (1): a = + 16 = 24 Vậy số phải tìm là: 16; 24
Baì :
Trên đường Lương Ngọc Quyến, thành phố Thái Nguyên nhà liền có số nhà đơn vị Biết tổng số nhà số nhà cuối 210 Tìm số nhà đó?
Giải Cách 1 : Gọi số nhà là: x
Số nhà cuối là: y (x, y N ) Theo ta có: x + y = 210 (1)
Vì nhà liền nhau đơn vị nhà cách nhà cuối là: 2.5 = 10 y – x = 10 (2)
Từ (1), (2) ta có hệ: Giải hệ được: x = 100 y = 110 Vậy số nhà là: 100 Số nhà cuối là: 110
Cách 2: Gọi số nhà là: x (x N )
Số nhà cuối là: 210- x
Do nhà sát đơn vị Nhà cách nhà cuối là: 2.5 = 10
Ta có: 210 – x – x = 10 -2x = -200
x = 100
Vậy số nhà là: 100 Số nhà cuối là: 110
Bài 9: Tìm số tự nhiên có chữ số.biết chữ số tận của
nó 4, chuyển chữ số lên vị trí số số phải tìm tăng gấp lần
Giải Gọi số phải tìm là:
Chuyển chữ số lên vị trí đầu ta có: =
đặt = x
Ta có pt : (10x +4) = 400000 + x 40x + 16 = 400000 + x x = 10256 Vậy số phải tìm : 10256
Bài 10 :
2
2 3
2
10 210 x y
y x
4 abcde
4 abcdeabcde
abcde
(7)Cho n số nguyên dương (khơng thiết khác khơng ), có số 68.Trung bình cộng n số 56.Khi bỏ số 68 trung bình cộng n – số lại 55
a Tìm n
b Số lớn n số cho bao nhiêu?
Giải
Số nguyên dương phải tìm : n (n Z )
Do bỏ số 68 trung bình cộng n số 55 ta có pt : = 55
n = 13 Tổng 13 số = 56 13 = 728
Trong 13 số có số 68 Tổng 12 số lại = 728 – 68 = 660 Số lớn 12 số lại đạt 11 số
Khi số lớn = 660 – 11 = 649
III, DạNG TOáN CHUYểN Động: Bi1 :
Mt xe máy khởi hành từ Hà Nội Nam Định với vận tốc 35km/h Sau 24 phút, tuyến đường đó, ơtơ xuất phát từ Nam Định Hà Nội với vận tóc 45km/h Biết quãng đường Nam Định – Hà Nội dài 90km Hỏi sau bao lâu, kể từ xe máy khởi hành, hai xe gặp nhau?
Giải:
- Gọi thời gian từ lúc xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp x (h) Điều kiện thích hợp x x>
-Trong thời gian đó, xe máy qng đường 35x (km)
Vì ơtơ xuất phát sau xe máy 24 phút (tức h) nên ôtô thời gian x- (h) quãng đường 45 (x - ) (km)
Đến lúc hai xe gặp nhau, tổng quãng đường chúng quãng đường Nam Định – Hà Nội (dài 90km) nên ta có phương trình:
35x+ 45 (x - ) = 90 - Giải phương trình:
35x+ 45 (x - ) = 90 35x + 45x – 18 = 90 80x = 108
x = =
- Giá trị phù hợp với điều kiện ẩn Vậy thời gian để hai xe gặp giờ, tức giớ 21 phút, kể từ lúc xe máy khởi hành
Bài 2: Một ôtô du lịch từ A đến B với vận tốc 50km/h, 24 phút sau khởi
hành vận tốc giảm 10km/h B chậm 18 phút Tính quãng đường từ A đến B
Giải:
- Gọi độ dài quãng đường từ A đến B x (km) Điều kiện x>
- Sau 24 phút (tức ) ôtô quãng đường 50 = 20 (km) - Nếu với vận tốc 50km/h ôtô từ A đến B
1 68 56
n n
5
5 5
5
5
80 108
20 27 20 27
5 50
(8)- Nhưng quãng đường lại x – 20 (km) ôtô với vận tốc giảm 10km so với ban đầu nên đến B chậm 18 phút (tức giờ) nên ta có phương trình:
+ = + (*)
- Giải phương trình:
(*) 80 + 5(x - 20) = 4x + 60 80 + 5x – 100 = 4x + 60 x = 80
- Giá trị phù hợp với điều kiện ẩn Vậy độ dài quãng đường từ A đến B 80 km
Bài3: Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn đường bô
10km Canô từ A đến B 20 phút, ôtô hết Vận tốc canoo nhỏ vận tốc ôtô 17 km/h Tính vận tốc canô
Giải:
Gọi vận tốc canô x (km/h) Điều kiện x>0 Thì vận tốc ơtơ x + 17 (km/h)
Canô từ A đến B 20 phút(tức giờ) Vây đường sông từ A đến B dài (km)
- Ơtơ từ A đén B nên đường từ A đến B dài 2(x + 17) (km)
- Theo đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn đường bô 10km nên ta có phương trình:
2(x + 17) - = 10 - Giải phương trình:
2(x + 17) - = 10 3.2(x + 17) – 10x = 3.10 6x + 102 -10x = 30 4x = 72 x = 18
- Giá trị phù hợp với điều kiện ẩn Vậy vận tốc canô 18 (km/h)
Bài 4:
Một ôtô khởi hành từ bến với vận tốc 40 km/h Sau 30 phút sau bến ơtơ thứ với vận tốc 60 km/h đuổi theo ôtô thứ Tính thời gian ơtơ thứ đuổi kịp ôtô thứ
Giải:
- Gọi thời gian để ôtô thứ hai đuổi kịp ôtô thứ t (giờ) (t>0)
- Khi bị ôtô thứ hai đuổi kịp ôtô thứ khởi hành thời gian + t (giờ) quãng đường ( + t)40 (km) - Khi quãng đường hai xe nên ta có
phương trình:
( + t)40 = 60t - Giải phương trình: + t)40 = 60t t =
- Giá trị phù hợp với điều kiện ẩn Vậy thời gian để ôtô thứ hai đuổi kịp ôtô thứ
10
5
10 50
20
x
50
x 10
3
3 10
3 10x
3 10x
3 10x
2
(9)Bài 5: Hai người xe đạp khởi hành lúc chỗ,
người thứ phía bắc, người thứ hai phía đơng Sau hai họ cách 60 km theo đường chim bay Biết vận tốc người thứ lớn vận tốc người thứ hai km/h Tính vận tốc người
Giải:
- Gọi vận tốc người thứ hai x (km/h) (x>0) vận tốc gười thứ x+6 (km/h)
- Sau người thứ quãng đường 2x (km), người thứ hai quãng đường 2(x+6) (km)
- Gọi O địa điểm hai người bắt đầu xuất phát, A địa điểm người phía bắc tới sau giờ, B địa điểm người phía đơng tới sau giờ,
A 60km
B O
Khi khoảng cách AB 60km, tam giác AOB tam giác vng O, nên ta có phương trình sau:
(2x)2 +[2(x+6)]2=602
- Gía trị x=18 thoả mãn điều kiện ẩn
- Vậy vận tốc người thứ hai là: 18km/h, vận tốc người thứ là: 18+6=24(km/h)
Bài 6: Một canơ xi dịng 44 km ngược dòng 27 km hết tất giờ
30 phút Biết vận tốc thực ca nô 20km/h Tính vận tốc dịng nước
Giải:
Gọi vận tốc dòng nước x (km), điều kiện x>0 Vận tốc canơ lúc xi dịng 20 + x (km/h)
Vận tốc canơ lúc ngược dịng 20 – x (km/h)
Thời gian canô canô xi dịng (giờ), thời gian canơ ngược dịng (giờ), tổng thời gian luc xi luc gược dogflà 30 phút ( tức giờ), nên ta có phương trình:
+ = (*)
- Giải phương trình: (*) x2 – 34x + 40 = 0 x= x =
Bài 7: Hai ôtô khởi hành từ cùng địa điểm theo cùnh hướng Xe thứ chạy với vận tốc 40 km/h Vận tốc xe thứ hai vận tốc xe tứ 30 phút sau từ địa điểm xuất phát
2
8 48 3456 18
24( )
x x
x
x loai
x
20
44
x
20
27
x
20
44
x
20
27
2 20
(10)cùng hướng nói xe thứ khởi hành, xe vượt xe thứ nhất, sau 30 phút vượt tiếp xe thứ hai Tính vân tốc xe thứ ba
Giải:
Gọi vận tốc xe thứ v(km/h) v>0
Thời gian xe thứ ba bắt đầu khởi hành đến đuổi kịp xe thứ t (t>0)
Từ bắt đầu khởi hành đến xe thứ đuổi kịp xe thứ + t (giờ)
Khi đuổi kịp xe thứ quãng đường xe thứ quãng đường xe thứ nên ta có phương trình :
( + t)40 = vt (1) Vận tốc xe thứ hai 40 = 50 (km/h)
Từ bắt đầu khởi hành đến xe thứ đuổi kịp xe thứ thời gian
+ t + (giờ)
Thời gian xe thứ ba từ lúc bắt đàu khởi hành đến đuổi kịp xe thứ hai t + (giờ)
Khi đuổi kịp quãng đường hai xe nên ta có phương trình :
( + t + )50 = v (t + ) (2)
Từ (1) (2 ) ta có hệ Từ (2) suy (*) thay vào (1) ta được:
t=-3 (loại) t=1 thay vào (*)
Ta thấy giá trị t =1 v = 60 phù hợp với điều kiện ẩn Vậy vận tốc xe thứ ba là: 60 km/h
Bài 8:
Một người xe đạp từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC đoạn xuống dốc CB Thời gian từ A đến B 20 phút, thời gian từ B A Biết vận tốc lên dốc (lúc lúc về) 10 km/h, vận tốc xuống dốc (lúc lúc về) 15 km/h Tính quãng đường AC, CB
Giải:
Gọi quãng đường AC, CB S1 S2,với S1>0,S2>0
Người xe đạp từ A đến B 20 phút(tức giờ) mà thời gian người từ A đến C (giờ), thời gian người từ C đến B (giờ) Nên ta có phương trình + = (1)
Người xe đạp từ B A mà thời gian người từ B đến C (giờ), thời gian người từ C đến A (giờ) Nên ta có phương trình: + = (2)
Từ (1) (2), ta có hệ phương trình: 2 2 3 2 3 40
1 50
2 2
t vt
t t v
2( 2)50 t v t
1 2( 2)50 ( )40
2
1
3 t t t t t t t t 2(1 2)50 60 2.1 v 13 10 S 15 S 10 S 15 S 13 10 S 15 S 15 S 10 S
1 13 10 15
1 S S S S
(11)Giải hệ phương trình ta S1 = 30, S2 = 20
Giá trị phù hợp với điều kiện ẩn, quãng đường AC dài 30 km, quãng đường CB dài 20 km
Bài9 : Ba ca nô rời bến sông A lúc để đến B Canô thứ hai
mỗi canô thứ 3km canô thứ ba 3km nên tới B sau canô thứ trước canô thứ ba Tinh chiều dài đoạn sông AB
Giải:
- Gọi vận tốc canô htứ hai x km/h, x>3, vậ tốc canơ thứ
x + (km/h), vận tốc canô thứ ba x – (km/h) - Gọi chiều dài khúc sông AB y (km), y>0
- Thời gian để canô thứ từ A đến B (giờ) - Thời gian để canô thứ hai từ A đến B (giờ) - Thời gian để canô thứ ba từ A đến B (giờ)
- Canô thứ tới B sau canô thứ trước canô thứ ba nên ta có hệ phương trình:
Giải phương trình cho ta có: Nghiệm phù hợp với điều kiện ẩn
Vậy chiều dài đoạn sông AB 180 km
IV DẠNG TỐN NĂNG XUẤT: Bài 1:
Hai đội cơng trình giao thơng giao sửa chữa đường Đội I làm ngày giao lại cho đội II thực tiếp Sau đội II làm ngày người ta thấy hai đội hồn thành 40% cơng việc cần làm Nếu khả thực công việc không thay đổi, người ta tính để hồn thành khối lượng cơng việc lại hai đội phải làm ngày riêng đội II làm thêm ngày Hỏi đội làm riêng ngày sửa chữa xong đường?
Giải
Gọi x, y (ngày) theo thứ tự số ngày mà đội I, đội II làm riêng để sửa chữa xong đường
Trong ngày đội I sửa , ngày đội II sửa đường Ta có phương trình; (1)
Trong ngày hai đội làm đường
Theo ta có phương trình: (2)
Từ (1) (2) ta có hệ:
3
x y x y
3
x y
2
3
3
y y
x
y y
x x
15 180
x y
5
x
4
y
5 40
100
x y1 1
5
x y
1 60
5
100
x y y
5 40
100
1 60
5
100
x y
x y y
(12)Giải hệ ta được: Vậy đội I làm 25 ngày, đội II làm 20 ngày
Bài 2:
Bai2: Trên cánh đồng cấy 60 lúa giống 40 lúa giống cũ. Thu hoạch tất 460 thóc Hỏi suất loại lúa biết trồng lúa thu hoạch trồng lúa cũ
Giải
Gọi suất lúa giống x (tấn), lúa giống cũ y (tấn); x > 0, y >
Năng suất lúa giống 60 là: 60x (tấn), 3x (tấn) Năng suất lúa giống cũ 40 là: 40y (tấn), 4y (tấn)
Ta có hệ phương trình: Vậy suất lúa giống tấn, suất lúa giống cũ
Bài 3:
Hai cơng nhân sơn cho cơng trình bốn ngày xong việc Nếu người thứ làm ngày người thứ hai đến cùng làm tiếp ngày xong việc Hỏi người làm một xong việc?
Giải
Gọi thời gian người thứ làm xong cơng việc x (ngày), x >
thời gian người thứ hai làm xong cơng việc y ( ngày) , y > Trong ngày số công việc người thứ người thứ hai làm
Theo ta có hệ phương trình:
Vậy: Người thứ làm 12 ngày xong việc
Người thứ hai làm ngày xong việc
Bài 4:
Hai người thợ xây tường 12 phút xong (vơi vữa gạch có cơng nhân khác vận chuyển) Nếu người thứ làm người thứ hai làm hai xây tường Hỏi người làm xây xong tường?
Giải
Gọi thời gian người thứ xây xong tường x (giờ) x > 0, thời gian người thứ hai xây xong tưịng y (giờ) y > Coi tồn cơng việc đơn vị công việc
25 20
x y
60 40 460
4
x y
y x
5
x y
1 1,
x y
1 1 10 1
2
x y
x
12
x y
(13)Trong người thứ xây (bức tường), người thứ hai xây (bức tường)
Vì hai người xây 12 phút hay họ xây xong tường nên hai người xây (bức tường)
Do ta có phương trình: (1)
Nếu người thứ xây người thứ hai xây họ xây (2)
Từ (1), (2) ta có hệ phương trình :
Vậy: Người thứ xây 12 xong bước tường
Người thứ hai xây 18 xong tường
Bài 5:
Hai cần cẩu lớn bốc dỡ lơ hàng cảng Sài Gịn Sau có thêm năm cần cẩu bé (cơng suất bé hơn) làm việc Cả bảy cần cẩu làm việc nữ xong Hỏi cần cẩu làm việc xong việc, biết bảy cần cẩu làm việc từ đầu xong việc
Giải
Gọi thời gian cần cẩu lớn làm xong việc x (giờ), x > 0; Gọi thời gian cần cẩu bé làm xong việc y (giờ), y > Theo đầu hai cần cẩu lớn
làm giờ, năm cần cẩu bé làm xong việc Do ta có phương trình (1)
Nếu bảy cần cẩu làm từ đầu xong việc Do ta lại có phương trình (2)
Từ (1), (2) ta có hệ phương trình
Vậy: Một cần cẩu lớn làm 24 xong việc
Một cần cẩu bé làm 30 xong việc
Bài 6:
Một hợp tác xã xe khách dùng 15 xe nhỏ 10 xe lớn vận chuyển 690 khách Nếu hợp tác xã rút bớt 10 xe nhỏ tăng thêm xe lớn để vận chuyển hành khách số lượng khách vận chuyển tăng thêm 20 người Hỏi loại xe chỗ người? Biết lượng khách xe lần vận chuyển đủ số chỗ theo quy định
Giải
1
x
1
y
36 5 36 1
6
x y
5
x y
1
36
4
x y
x y
12 18
x y
12 15
x y
2
x y
12 15
4
x y
x y
24 30
x y
(14)Gọi x, y theo thứ tự số chỗ ngồi xe nhỏ, xe lớn Điều kiện x, y > 0, x, y nguyên
Theo ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta x = 16, y = 45 (thoả mãn điều kiện)
Vậy xe nhỏ co 16 chỗ ngồi, xe lớn có 45 chỗ ngồi
Bài 7: Hai người thợ A B lát nhà Sau A làm
thêm lát xong nhà Nếu hai người làm B phải làm thêm 40 phút lát xong nhà Hỏi người lát phải làm giờ?
Giải
Gọi thời gian để thợ A B lát riêng xong nhà theo thứ tự x(giờ), y (giờ)
Trong thợ A, B lát số công việc
Theo ta có hệ phương trình:
Giải hệ ta Vậy thời gian lát xong nhà thợ A 12 giờ, thợ B 10
Bài 8: Một xưởng may phải may xong 3000 áo thun thời gian
quy định Để hoàn thành sớm kế hoạch, ngày xưởng may nhiều áo so với số áo phải may ngày theo kế hoạch Vì ngày trước hết thời hạn, xưởng may 2650 áo Hỏi theo kế hoạch, ngày xưởng phải may xong áo?
Giải
Gọi số áo phải may ngày theo kế hoạch
Thời gian quy định may xong 3000 áo (ngày) Số áo thực tế may ngày (áo) Thời gian may xong 2650 áo (ngày)
Vì xưởng may xong 2650 áo trước hết hạn ngày nên ta có phương trình
khơng thoả mãn điều kiênl ẩn
Vậy theo kế hoạch, ngày xưởng phải may xong 100 áo
Bài 9: Một ấp dự kiến thu hoạch xong 200 hecta lúa trước tháng Được
tin báo lũ sớm nên người ta cố gắng thu hoạch nhanh so với kế hoạch ngày hecta Do việc thu hoạch hố sớm dự kiến ngày Hỏi theo dự kiến ngày ấp thu hoạch hecta lúa?
15 10 690
5 14 710
x y
x y
1 1,
x y
6
1
4
3
x y
x y y
10
12
x y
( , 0)
x x N x 3000
x 6 x
2650
x
3000 5 2650
x x
2
3000( 6) ( 6) 2650 64 3600
x x x x
x x
1
' 32 3600 4624, 68, 32 68 100
32 68 36
x x
2 36
(15)Giải
Gọi x (hecta) diện tích lúa thu hoạch ngày theo kế hoạch Điều kiện x >
Thời gian thu hoạch theo kế hoạch ngày Thời gian thu hoạch thực tế ngày
Theo ta có phương trình:
(nhận), (loại)
Vậy theo kế hoạch ngày ấp thu 20 (ha) lúa
Bài 10: Hai máy xúc đất giao xúc hết khối lượng đất để đắp đập.
Nếu hai máy làm việc xúc hết số đất ngày Nếu máy xúc thứ xúc xong 1/2số đất máy thứ hai xúc hết số đất lại thời gian xúc hai máy cộng lại ngày
Hỏi làm riêng biệt để xúc hết lượng đất nói máy xúc bao ngiêu ngày?
Giải
Gọi (ngày) thời gian máy thứ xúc hết nửa lượng đất (ngày) thời gian máy thứ hai xúc nửa lượng đất Điều kiện
Khi ta có số ngày máy thứ xúc hết số đất, thời gian máy thứ hai xúc hết số đất
Trong ngày máy thứ xúc , máy thứ hai xúc lượng đất
Theo ta có phương trình:
Vậy số ngày để máy thứ nhất, máy thứ hai xúc hết số đất theo thứ tự là: ngày, 12 ngày 12 ngày, ngày
Bài 11: Một xưởng vật liệu xây dựng giao sản xuất 216m3 đá theo thời hạn định trước Ba ngày đầu tiên, xưởng sản xuất theo định mức kế hoạch Những ngày họ sản xuất vượt định mức ngày 8m3 đá họ sản xuất 232m3 đá xong sớm thời gian định trước ngày Hỏi theo kế hoạch ngày xưởng sản xuất khối đá?
200
x
200
x
200 200
x x 5 500 0
x x
2
1
5 4.( 500) 2025 45
20, 25
x x
x x 21 2025
x
9 x 0 x
2x 2(9 x)
1 2x1
18 2x
1 1 1
2x18 2 x 4
2
4(18 2 2 ) (18 ) 9 18 0
x x x x
x
x
2
1
( 9) 18.4 9 3
9 3 3, 9 3 6
2 2
x x
(16)Giải
Gọi lượng đá xưởng sản xuất ngày theo kế hoạch Số ngày phải sản xuất theo kế hoạch (ngày)
Số ngày xưởng sản xuất cao định mức kế hoạch (ngày)
Theo bà ta có phương trình:
Giải phương trình ta nghiệm: (nhận), (loại)
Vậy theo kế hoạch ngày xưởng sản xuất 24m3 đá.
Bài 12:Hai đội thợ quét sơn nhà Nếu họ làm 4
ngày xong việc Nếu họ làm riêng đội I hồn thành cơng việc nhanh đội II ngày Hỏi làm riêng đội phải làm ngày để xong việc?
Giải
Gọi thời gian đội I làm xong việc x (ngày), x >
Vì đội II hồn thành cơng việc lâu đội I ngày nên thời gian đội II làm xong việc x + (ngày)
Mỗi ngày đội I làm (công việc) Mỗi ngày đội II làm (công việc)
Mỗi ngày hai đội làm (công việc)
Ta có phương trình:
Giải pt ta được: x1= 6, x2= -4 (loại)
Vậy: Một đội I làm ngày xong việc; Một đội II làm 12 ngày xong việc
Bài 13:Một đội thợ mỏ phải khai thác 216 than thời gian nhất
định Ba ngày đầu, ngày đội khai thác theo định mức Sau đó, ngày họ khai thác vượt định mức Do họ khai thác vượt định mức 232 xong trước thời hạn ngày Hỏi theo kế hoạch ngày đội thợ phải khai thác than?
Giải
Gọi lượng than mà đội phải khai thác thong ngày theo kế hoạch x (tấn), x >
Thời gian quy định để khai thác 216 (ngày) Lượng than khai thác ngày đầu 3x (tấn)
Do lượng than khai thác ngày lại 232-3x (tấn) Mỗi ngày sau đội khai thác x + (tấn)
Thời gian đẻ khai thác 232- 3x than (ngày)
Theo ta có phương trình: Hay
3
( )
x m
216
x
232
x x
216 232 4
x
x x
2 48 1728 0
x x
x x 21 2427
1
x1
6
x 1
1 1
6
x x
216
x
232
x x
216 232
1
8
x
x x
2 48 1728 0
(17)Giải phương trình ta x1= -72 (loại), x2 = 24
Vậy theo kế hoạch, ngày đội thợ phải khai thác 24 than
V, CÁC LOẠI TỐN KHÁC:
Bài 1: Tổng tuổi tơi em năm 26 mà tuổi em tuổi mà tổng số tuổi năm lần tuổi Tính tuổi người
Giải:
Gọi x tuổi năm nay( 0<x<26 ) tuổi em 26-x
Giả sử đến y năm tổng số chúng tơi lần tuổi tơi Khi tuổi là: x + y, tuổi em là: 26-x+y
Tổng số tuổi người lúc là: x + y + 26- x + y =26 + 2y
Theo đầu tổng số tuổi người lần tuổi ta có phương trình: 26 + 2y = 5x (1)
Tuổi em 1/3 tuổi tơi, ta có phương trình: 26-x = (x + y) 4x + y = 78 (2) Từ (1) (2) ta có thỏa mãn điều kiện đầu Vậy năm tơi 14 tuổi cịn em tơi 12 tuổi
Bài 2:47 học sinh nam nữ về dự hội nghị “ học sinh xuất sắc “ Người ta hỏi tất bạn nữ bạn quen bạn nam?
Đào nhận quen 16 bạn nam Lê nhận quen 17 bạn nam Mận nhận quen 18 bạn nam
Cứ bạn nữ sau lại quen nhiều bạn nữ trước bạn nam Cuối Cam quen tất bạn nam Tính xem có nam nữ
Giải: Cách 1:
Gọi x số bạn nữ 0<x<47 Đào quen 15+1 bạn nam
Lê quen 15+2 bạn nam
Vì có x bạn nữ nên Cam quen 15+x bạn nam Vậy có 15+x bạn nam
=> Tổng số nam nữ là: 15+2x
Ta có 15+2x = 47 => x=16( thỏa mãn điều kiện) Vậy có 16 bạn nữ 31 bạn nam
Cách 2: Gọi x y số bạn nữ số bạn nam hội nghị
(0<x,y<47)
Ta có phương trình: x + y = 47 (1) Đào quen 15 +1 bạn nam
Lê quen 15 +2 bạn nam
Vì x bạn nữ nên Cam quen 15 +x bạn nam Vậy số bạn nam là:15 + x = y (2) bạn nam
1
1 14
22
x y
(18)Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:
=> thỏa mãn điều kiện Vậy số bạn nữ 16, số bạn nam 31
Bài 3:
Hòa 8g chất lỏng với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ 200kg/ để có hỗn hợp có khối lượng riêng 700kg/ Tìm khối lượng riêng chất lỏng
Giải:
Cách 1:Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ x (x>200) khối lượng riêng chất lỏng thứ x- 200
Ta có khối lượng dung dịch hòa lẫn là: + =14(g) Theo đầu ta có:
Thể tích dung dịch là: Thể tích dung dịch là:
Thể tích dung dịch sau hịa lẫn là:
Thể tích dung dịch khơng đổi trước sau hịa lẫn nên ta có phương trình:
+ =
Giải ta
Vậy khối lượng riêng chất lỏng thứ 800 kg/, khối lượng riêng chất lỏng thứ hai 600 kg/
Cách 2: Gọi khối lượng riêng chất lỏng thứ x (x > 200), khối
lượng riêng chất lỏng thứ hai y theo đề ta có phương trình: x- y = 200 (1)
Khối lượng dung dịch hòa lẫn là: + = 14 (g) Theo đầu ta có:
Thể tích dung dịch là: Thể tích dung dịch là:
Thể tích dung dịch sau hịa lẫn là:
Thể tích dung dịch khơng đổi trước sau hịa lẫn nên ta có phương trình:
+ = (2)
Từ (1) (2) ta thỏa mãn điều kiện
Vậy khối lượng riêng chất lỏng thứ 800 kg/, khối lượng riêng chất lỏng thứ hai 600 kg/
Bài : Cho lượng dung dịch chứa 10% muối Nếu pha thêm 200g nước
vào dung dịch dung dịch 6% Hỏi có gam dung dịch cho?
Giải:
Gọi lượng dung dịch cho m (m>0) Ta biết công thức: C% = 100
47 15
x y x y
16
31
x y
3
m3
m
0,08
x
0, 06 20
x 0,14 700 0,08
x
0,06 200
x
0,014 700 800 200( )
x
x loai
mm33
0,08
x
0,06
y
0,14 700 0,08
x
0,06
y
0,014 700800
600
x y
3
m3
m
ct
(19)Ban đầu: C% = 10% ta có: = 10 (1)
Khi pha thêm số gam dung dịch là: m + 200
C% = 6% Ta có: = + = (2) Từ (1) (2) giải ta được: m=3000g( thỏa mãnđiều kiện )
Vậy khối lượng dung dịch cho 3000g
Bµi 5:
Hai anh Quang Tùng góp vốn kinh doanh Anh Quang góp vốn 15 triệu đồng, anh Hùng góp 13 triệu đồng Sau thời gian đợc lãi triệu đồng Lãi đợc chia tỉ lệ với vốn đợc góp Em tính tiền lãi mà anh đ-ợc hởng
Giải
Gọi số lãi mà anh Quang anh Hùng đợc hởng lần lợt x y (triệu đồng): x > 0, y >
Vì số tiền lãi hai anh có đợc triệu đồng nên có phơng trình: x + y = Vì tiền lãi tỉ lệ với tiền vốn góp nên có:
Theo ta có hệ: Vậy anh Quang đợc h-ởng số tiền lãi 3,75 triệu đồng
Và anh Hùng đợc hởng số tiền lãi 3,25 triệu đồng
Bµi 6.
Hơm mẹ Lan chợ mua trứng gà trứng vịt hết 10 000 đồng.Hôm mẹ Lan mua trứng gà trứng vịt hết 9600 đồng mà giá trứng nh cũ Hãy tính giá trứng loại
Giải
Gọi giá loại trứng gà vịt lần lợt x y (x > 0, y > 0) Hôm qua mẹ Lan mua trứng gà trứng vịt hết 10000 đồng nên có phơng trình: 5x + 5y = 10000 (1)
Hôm mẹ Lan mua trứng gà trứng vịt hết 9600 nên có:
3x + 7y = 9600 (2)
Từ (1)và (2) ta có hệ phơng trình: Vậy giá trứng gà 1100 đồng
Và giá trứng vịt 900 đồng
Bµi 7.Trong trang sách bớt dòng dòng bớt chữ thì
cả trang bớt 136 chữ Nếu tăng thêm dòng dòng tăng thêm chữ trang tăng thêm 109 chữ Tính số dòng trang số chữ dòng
Gii
Gọi x số dòng trang sách Gọi y số chữ dòng
Nu ta bt trang sách dòng tức bớt 4y chữ số dòng lại trang – x Nếu bớt tiếp dòng chữ tức bớt đI 3.(x - 4) chữ trang bớt 136 chữ, ta có phơng trình:
(1)
Nếu tăng thêm chữ dòng tức tăng thêm 2x
ct m
m
200 ct
m m
ct
m m
200 ct
m
1
15 13
x y
7
13(7 ) 15 15 13
x y
x y
x y
y y
3, 25 3,75
x y
5 10000 2000
3 9600 3(2000 ) 9600
x y x y
x y y y
1100
900
x y
(x N ) (y N )
2 3( 4) 136 148
x x
x y
(20)chữ dòng có (y+2) chữ trang tăng thêm 109 chữ, nên có ph-ơng trình:
(2)
Từ (1) (2) ta có hệ phơng trình:
Vậy trang sách có 32 dòng dòng có 13 chữ
Bài Giải toán cổ sau:
Quýt, cam mời bảy tơi
Đem chia cho trăm ngời vui Chia ba quýt
Còn cam chia mời vừa xinh Trăm ngời, trăm miếng ngon lành Quýt, cam loại tính dành bao ?
Gii
Gọi số cam quýt lần lợt x y
Vì tổng số cam quýt 17 nên có:
Nếu quýt chia 3, cam chia 10 đợc 100 miếng nên có:
Theo ta có hệ: Vậy có 10 quýt, qu¶ cam
2 3( 2) 109 103
x y
x y
3 148 32
2 103 13
x y x
x y y
*
( ,x y N ) 17
x y 10x3y100
17 17
10 100 10 3(17 ) 100
x y y x
x y x x
7 10
x y