Tôpô trong không gian định chuẩn. Hàm khoảng cách - Sự hội tụ. Các tính chất tôpô. Chuẩn tương đương. Không gian Banach. Dãy Cauchy - Không gian Banach. Một số không gian Banach. Sự hội [r]
(1)Huỳnh Thế Phùng - Khoa Toán, Đại học Khoa học Huế
(2)1
Mục lục
Mục lục
Chương Không gian Định chuẩn
1.1 Định nghĩa
1.1.1 Chuẩn
1.1.2 Các ví dụ
1.2 Tơpơ khơng gian định chuẩn
1.2.1 Hàm khoảng cách - Sự hội tụ
1.2.2 Các tính chất tơpơ
1.2.3 Chuẩn tương đương
1.3 Không gian Banach
1.3.1 Dãy Cauchy - Không gian Banach
1.3.2 Một số không gian Banach
1.3.3 Sự hội tụ chuỗi
1.4 Không gian - Không gian thương
1.4.1 Không gian - Khơng gian đóng
1.4.2 Không gian thương
1.5 Bài tập
Chương Các Định lý Giải tích hàm 2.1 Tốn tử tuyến tính liên tục
2.1.1 Định lý
2.1.2 Các ví dụ 10
2.2 Nguyên lý bị chặn 10
2.2.1 Không gian L(X, Y ) . 10
2.2.2 Nguyên lý bị chặn 11
2.3 Định lý Hahn-Banach 11
2.3.1 Phát biểu định lý 11
(3)2.4 Nguyên lý ánh xạ mở 12
2.4.1 Không gian đồng phôi - Nguyên lý ánh xạ mở 12
2.4.2 Định lý đồ thị đóng 13
2.4.3 Không gian hữu hạn chiều 14
2.5 Bài tập 14
Chương Không gian liên hợp - Tôpô yếu 16 3.1 Không gian liên hợp 16
3.2 Liên hợp số không gian cụ thể 17
3.3 Không gian X∗∗ - Không gian phản xạ . 18
3.4 Toán tử liên hợp 19
3.5 Tôpô yếu - Tôpô yếu* 20
3.5.1 Tôpô σ(X, Γ) . 20
3.5.2 Tôpô yếu X . 20
3.5.3 Tôpô yếu* không gian X∗ . 21
3.6 Bài tập 22
Chương Không gian Hilbert 24 4.1 Không gian Hilbert 24
4.1.1 Dạng song tuyến tính đối xứng dương 24
4.1.2 Khơng gian Hilbert 25
4.2 Khai triển trực giao 25
4.2.1 Hệ trực giao 25
4.2.2 Phần bù trực giao 26
4.2.3 Cơ sở không gian Hilbert 27
4.3 Không gian liên hợp không gian Hilbert 28
4.3.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 28
4.3.2 Sự hội tụ yếu không gian Hilbert 29
4.4 Toán tử liên hợp - Toán tử tự liên hợp 29
4.4.1 Toán tử liên hợp 29
4.4.2 Toán tử tự liên hợp 30
4.5 Bài tập 31
(4)Chương 1
Không gian định chuẩn
1.1. Định nghĩa.
1.1.1. Chuẩn.
Cho không gian vectơ X Một ánh xạ k · k : X → R gọi chuẩn X nếu, với x, y ∈ X λ ∈ R ta có
a) kxk ≥ 0;
b) kxk = ⇔ x = 0; c) kλxk = |λ|.kxk; d) kx + yk ≤ kxk + kyk.
Lúc đó, (X, k · k) gọi khơng gian định chuẩn.
1.1.2. Các ví dụ.
a) Các không gian Rn, Cn.
b) Các không gian C[a, b], C(K). c) Các không gian l∞, c0
d) Không gian lp (p ≥ 1).
B 1.1 (Bt ng thc Hăolder) Cho (p, q) hai số dương liên hợp Lúc đó, với
mọi u, v ≥ 0, ta có
uv ≤ up p +
vq
(5)Bổ đề 1.2 Nếu (αn) ∈ lp và (βn) ∈ lq, với (p, q) cặp liên hợp, (αnβn) ∈ l1 và
∞
X
1
|αnβn| ≤
à ∞ X
1
kαnkp
!1 p ÃX∞
1
kβnkq
!1 q
.
Bổ đề 1.3 Với x, y ∈ lp (p ≥ 1) ta có
kx + ykp ≤ kxkp+ kykp.
e) Không gian Lp[a, b], (p ≥ 1).
1.2. Tôpô không gian định chuẩn.
1.2.1. Hàm khoảng cách - Sự hội tụ.
Cho (X, k · k) Trên X ta định nghĩa hàm khoảng cách
d(x, y) := kx − yk.
Lúc đó, X khơng gian metric, nên có khái niệm tơpơ hình cầu, tập đóng, tập mở, hội tụ, ánh xạ liên tục Ngồi ra, metric khơng gian định chuẩn X cịn có số tính chất đặc biệt khác.
Mệnh đề 1.1 d(x + z, y + z) = d(x, y), với x, y, z ∈ X. Mệnh đề 1.2 Với dãy (xn) ⊂ X: xn → x ⇒ kxnk → kxk.
Mệnh đề 1.3 Cho dãy (xn), (yn) ⊂ X, (λn) ⊂ R cho xn → x0, yn → y0,
λn→ λ0 Lúc đó,
a) xn+ yn→ x0+ y0,
b) λnxn→ λ0x0.
1.2.2. Các tính chất tơpơ.
Mệnh đề 1.4 Với x0 ∈ X r > 0,
a) B0(x
0; r) = B(x0; r).
b) B(x0; r) = Int B0(x0; r),
c) ∂B(x0; r) = ∂B0(x0; r) = S(x0; r).
(6)5
a) A đóng (mở) ⇔ A + x0 đóng (mở).
b) A đóng (mở) ⇔ λA đóng (mở).
Từ mệnh đề này, phép tịnh tiến phép vị tự (với hệ số khác không) các phép tự đồng phôi X.
Hệ 1.1 Cho A, B ⊂ X Nếu A mở A + B mở.
1.2.3. Chuẩn tương đương.
Cho không gian vectơ X, xác định hai chuẩn k · k1 và k · k2 Ký hiệu T1,
T2 tôpô xác định chuẩn
Chuẩn k · k1 được gọi mạnh chuẩn k · k2 (hay k · k2 yếu k · k1)
T1 ⊃ T2 Ký hiệu k · k2 ≤ k · k1 hay k · k1 ≥ k · k2 Nếu T1 = T2 ta nói hai chuẩn tương
đương ký hiệu k · k1 ' k · k2
Mệnh đề 1.6 Để k · k2 ≤ k · k1 điều kiện cần đủ là, tồn c > cho
kxk2 ≤ ckxk1; ∀x ∈ X.
Hệ 1.2 k · k2 ' k · k1 khi khi, tồn C ≥ c > cho
ckxk1 ≤ kxk2 ≤ Ckxk1; ∀x ∈ X.
1.3. Không gian Banach.
1.3.1. Dãy Cauchy - Không gian Banach.
Dãy (xn) ⊂ X gọi dãy Cauchy kxm− xkk −→
m,k→∞0 Tức
∀² > 0, ∃n0, ∀m, k ≥ n0 : kxm− xkk < ².
Các kết chứng minh lý thuyết không gian metric Mệnh đề 1.7 Nếu (xn) dãy hội tụ, dãy Cauchy.
Mệnh đề 1.8 Nếu (xn) dãy Cauchy, bị chặn Tức tồn số dương M
sao cho
kxnk ≤ M; ∀n.
Ngồi ra, khơng gian định chuẩn ta cịn có tính chất sau
Mệnh đề 1.9 Nếu (xn), (yn) dãy Cauchy X (λn) dãy số Cauchy,
thì (xn+ yn) (λnxn) dãy Cauchy.
(7)1.3.2. Một số không gian Banach.
Rn, Cn, C(K), c
0, l∞, lp, Lp[a, b], (p ≥ 1).
1.3.3. Sự hội tụ chuỗi.
Cho dãy (xn) ⊂ X Ta xét dãy (sn) định nghĩa
sn:= n
X
1
xk.
Nếu dãy (sn) hội tụ đến s ∈ X ta nói chuỗi
s =
∞
X
1
xn (1.1)
hội tụ có tổng s Ngược lại ta nói chuỗi (1.1) phân kỳ. Mệnh đề 1.10 Nếu hai chuỗi Pxn và
P
yn hội tụ λ ∈ R chuỗi
P (λxn),
P
(xn+ yn) hội tụ và
a) P(xn+ yn) =
P
xn+
P
yn,
b) P(λxn) = λ
P
xn.
Mệnh đề 1.11 Cho X không gian Banach Lúc chuỗi Pxn hội tụ chỉ
khi, với ² > 0, tồn n0 sao cho, với n ≥ n0 và p ≥ ta có
° ° ° n+p X n+1 xk ° ° ° < ². Ta nói chuỗi Pxn hội tụ tuyệt đối chuỗi
P
kxnk hội tụ.
Định lý 1.12 Cho X không gian định chuẩn, hai mệnh đề sau tương đương
a) X không gian Banach.
b) Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối X hội tụ.
1.4. Không gian - Không gian thương.
1.4.1. Khơng gian - Khơng gian đóng.
(8)7
Mệnh đề 1.13 Nếu Y ≤ X Y ≤ X khơng gian đóng bé chứa
Y
Cho M ⊂ X Y = span(M) Z = Y gọi không gian con, không gian đóng sinh M.
Mệnh đề 1.14 Nếu M tập đếm span(M) khả ly.
Mệnh đề 1.15 Nếu X không gian Banach Y khơng gian đóng X thì
Y không gian Banach.
Định lý 1.16 Cho Y khơng gian đóng X, u ∈ X \ Y ² > Lúc đó,
tồn x0 ∈ span(Y ∪ {u}) thoả mãn kx0k = và
kx0− yk > − ², ∀y ∈ Y.
Hệ 1.3 Cho Y khơng gian đóng X Y 6= X Lúc đó, với ² > 0
tồn x0 ∈ X thoả mãn:
kx0k = 1; d(x0, Y ) > − ².
1.4.2. Không gian thương.
Cho không gian định chuẩn X Y khơng gian đóng X Lúc ta có khơng gian vectơ thương X/Y Ta định nghĩa không gian chuẩn mà tương thích với chuẩn X theo nghĩa sinh tôpô mạnh X/Y bảo đảm cho phép chiếu tắc từ X lên X/Y liên tục.
Thật vậy, với ξ ∈ X/Y , ξ đa tạp affine song song với Y , ξ là đa tạp affine đóng Ta đặt
kξk := inf
x∈ξkxk.
Dễ dàng chứng minh chuẩn X/Y Lúc đó, X/Y gọi khơng gian định chuẩn thương X theo khơng gian đóng Y
Nhắc lại phép chiếu tắc π : X → X/Y ánh xạ xác định π(x) := ˆx
với x ∈ X. Định lý 1.17
a) Phép chiếu tắc π từ X lên (X/Y, k · k) liên tục.
b) Nếu k · k1 là chuẩn X/Y cho π : X → (X/Y, k · k1) liên tục,
thì k · k1 ≤ k · k.
Định lý 1.18 Nếu X khơng gian Banach Y khơng gian đóng X
(9)1.5. Bài tập.
1.1 Cho không gian định chuẩn X Chứng minh rằng, với λ ∈ (0, 1), r1, r2 > 0
và x1, x2 ∈ X, λB(x1; r1) + (1 − λ)B(x2; r2) = B(λx1+ (1 − λ)x2; λr1+ (1 − λ)r2)
1.2 Chứng minh k(x, y)k :=px2+ 2y2, (x, y) ∈ R2, chuẩn R2 Hình cầu
đơn vị khơng gian hình
1.3 Chứng minh X = C[0, 1] không gian định chuẩn với chuẩn
kxk :=
Z 1
0
|x(t)|dt; ∀x ∈ X.
1.4 Chứng minh X = C1[0, 1] không gian định chuẩn với chuẩn
kxk1 := |x(0)| + max [0,1] |x
0(t)|, kxk
2 := |x(0)| +
Z 1
0
|x0(t)|dt; ∀x ∈ X.
Trong (X, k · k1) khơng gian Banach (X, k · k2) khơng
1.5 Chứng minh không gian định chuẩn X ta ln có kxk ≤ max{kx + yk, kx −
yk} Bất đẳng thức kxk ≥ min{kx + yk, kx − yk} sao?
1.6 Chứng minh (xn) (yn) hai dãy Cauchy không gian định chuẩn X,
thì dãy số (kxn− ynk) hội tụ R.
1.7 Không gian định chuẩn (X, k · k) gọi lồi chặt với x, y ∈ X, độc lập tuyến tính, ta có kx + yk < kxk + kyk Chứng minh lp, Lp, < p < +∞, các
khơng gian lồi chặt, cịn l1, l∞, L1 và L∞ khơng
1.8 Chứng minh đa tạp affine khơng gian định chuẩn X có phần khác rỗng trùng với X.
1.9 Một tập C ⊂ X gọi lồi với x, y ∈ C λ ∈ (0, 1) ta có
λx + (1 − λ)y ∈ C.
a) Chứng minh hình cầu mở, đóng tập lồi
b) Chứng minh C tập lồi, C Int C tập lồi. c) Tìm tập khơng lồi C ⊂ R2 sao cho C Int C tập lồi.
1.10 Chứng minh kết mở rộng Bổ đề 1.2: Cho p, q, r số dương cho
r =
1
p +
1
q Lúc đó, với u = (un) ∈ lp v = (vn) ∈ lq ta có (unvn) ∈ lr
(10)Chương 2
Các Định lý Cơ bản của Giải tích hàm
2.1. Tốn tử tuyến tính liên tục.
2.1.1. Định lý bản.
Cho X Y không gian định chuẩn A ∈ L(X, Y ) Ta nói đến tính liên tục (tại điểm hay điểm) ánh xạ A Định lý sau cho ta tính chất đặc trưng tốn tử tuyến tính liên tục
Định lý 2.1 Với A ∈ L(X, Y ), mệnh đề sau tương đương
a) A liên tục X;
b) A liên tục điểm x0 ∈ X;
c) A liên tục điểm ∈ X; d) Tồn số M ≥ cho
kAxk ≤ Mkxk; ∀x ∈ X. (2.1) Từ kết này, người ta gọi tốn tử tuyến tính liên tục tốn tử tuyến tính bị chặn Khi đó,
nkAxk
kxk
¯ ¯ ¯ x 6= 0
o
là tập hợp bị chặn trên, chẳng hạn M, R Do đó, tồn giá trị sau
kAk := sup
x∈X\{0}
kAxk
kxk (2.2)
(11)Mệnh đề 2.2 Cho A tốn tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y Lúc đó,
a) kAk giá trị M bé thoả mãn Định lý 2.1.d Đặc biệt,
kAxk ≤ kAkkxk; ∀x ∈ X. (2.3)
b) kAk = sup{kAxk; kxk = 1} = sup{kAxk; kxk ≤ 1}.
Mệnh đề 2.3 Cho X, Y Z ba không gian định chuẩn A ∈ L(X, Y ), B ∈
L(Y, Z) toán tử tuyến tính bị chặn Lúc đó, BA tốn tử tuyến tính bị chặn từ X vào Z, và
kBAk ≤ kBkkAk.
2.1.2. Các ví dụ.
a) Tốn tử Ax := x0 là tuyến tính không bị chặn từ C1[0, 1] vào C[0, 1].
b) Cho Z X đặt Y := X/Z (6= {0}) Phép chiếu tắc π từ X lên Y là một tốn tử tuyến tính bị chặn với kπk = 1.
2.2. Nguyên lý bị chặn đều.
2.2.1. Không gian L(X, Y ).
Cho X Y không gian định chuẩn Ta ký hiệu L(X, Y ) tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Tức là
L(X, Y ) := {A ∈ L(X, Y ) | A liên tục }.
Lúc đó, dễ dàng kiểm tra L(X, Y ) không gian vectơ cuả L(X, Y ). Ngoài ra, ánh xạ k · k thực chuẩn L(X, Y ) Vậy L(X, Y ) không gian định chuẩn Hơn nữa, ta có kết sau
Định lý 2.4 Nếu Y không gian Banach L(X, Y ) khơng gian Banach. Vì khơng gian định chuẩn nên nói đến hội tụ L(X, Y ) người ta hiểu hội tụ theo chuẩn; Tức là,
An L(X,Y )
−−−→ A ⇐⇒ kAn− Ak → 0.
Ngồi ra, khơng gian cịn có khái niệm hội tụ đơn giản, hay hội tụ từng
điểm Cụ thể, dãy toán tử (An) ⊂ L(X, Y ) gọi hội tụ đơn giản đến toán tử
A ∈ L(X, Y ) nếu
Ax = lim
n→∞Anx; ∀x ∈ X.
Rõ ràng, dãy hội tụ theo chuẩn hội tụ đơn giản Tuy vậy, điều ngược lại nói
chung khơng Chẳng hạn, dãy tốn tử (An) ⊂ L(l1, l1), với An(x) := (x1, x2, · · · , xn, 0, 0, · · · )
(12)11
2.2.2. Nguyên lý bị chặn đều.
Định lý 2.5 (Nguyên lý bị chặn đều) Cho không gian Banach X, không gian định
chuẩn Y họ toán tử {Ai | i ∈ I} ⊂ L(X, Y ) bị chặn điểm:
sup
i∈I
kAixk < ∞; ∀x ∈ X.
Lúc đó, họ {Ai | i ∈ I} bị chặn đều, nghĩa là
sup
i∈I
kAik < ∞.
Hệ 2.1 Cho không gian Banach X, khơng gian định chuẩn Y dãy tốn tử
{An | n ∈ N} ⊂ L(X, Y ), cho với x ∈ X, tồn giới hạn
Ax := lim
n→∞Anx.
Lúc đó, A ∈ L(X, Y ) và
kAk ≤ lim inf
n→∞ kAnk.
2.3. Định lý Hahn-Banach.
2.3.1. Phát biểu định lý.
Khi Y = R, ta ký hiệu X∗ = L(X, R), không gian phiếm hàm tuyến tính
liên tục X Hiển nhiên, X∗ ≤ X# Từ Định lý 2.4 ta nhận được
Hệ 2.2 X∗ là không gian Banach.
Mệnh đề 2.6 Một phiếm hàm tuyến tính f X liên tục f bị chặn
trên (hoặc bị chặn dưới) lân cận điểm x0 ∈ X.
Một phiếm hàm ϕ : X → R gọi tuyến tính nếu (i) ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y), với x, y ∈ X;
(ii) ϕ(λx) = λϕ(x), với λ ≥ x ∈ X.
Định lý 2.7 (Hahn-Banach) Giả sử M không gian không gian định
chuẩn X, f ∈ M# và ϕ phiếm hàm tuyến tính X thoả mãn
f (m) ≤ ϕ(m); ∀m ∈ M. Lúc đó, tồn F ∈ X# sao cho
(13)2.3.2. Các hệ quả.
Định lý 2.8 Giả sử Y không gian không gian định chuẩn X x0 ∈ X là
vectơ cho
d(x0; Y ) = δ > 0.
Lúc tồn f ∈ X∗ thoả mãn điều kiện sau
f (x0) = δ; kf k = 1; f (y) = 0, ∀y ∈ Y.
Hệ 2.3 Cho x0 là vectơ khác không khơng gian định chuẩn X Lúc tồn
tại phiếm hàm f ∈ X∗ sao cho
f (x0) = kx0k kf k = 1.
Định lý 2.9 Giả sử M không gian không gian định chuẩn X Lúc đó, với
mọi f ∈ M∗, tồn F ∈ X∗ sao cho
F |M = f và kF k = kf k.
2.4. Nguyên lý ánh xạ mở.
2.4.1. Không gian đồng phôi - Nguyên lý ánh xạ mở.
Ta biết, X Y hai không gian vectơ A ∈ L(X, Y ) đẳng cấu tuyến tính tồn ánh xạ ngược A−1, đẳng cấu tuyến tính từ Y lên
X Trong trường hợp X, Y không gian định chuẩn A ∈ L(X, Y ) đẳng cấu
tuyến tính liên tục, A−1 tồn khơng liên tục.
Chẳng hạn, cho X = C[0, 1], Y = C1
0[0, 1] := {x ∈ C1[0, 1] | x(0) = 0} và
A ∈ L(X, Y ) xác định bởi: Ax(t) := R0tx(s)ds, với t ∈ [0, 1] Lúc đó, A một
đẳng cấu tuyến tính liên tục từ X lên Y A−1 không liên tục.
Định lý 2.10 Cho A đẳng cấu tuyến tính liên tục từ khơng gian định chuẩn
X lên không gian định chuẩn Y Để A−1 liên tục, điều kiện cần đủ tồn một
hằng số dương m cho
kAxk ≥ mkxk; ∀x ∈ X. Hơn nữa, ta có kA−1k ≤
m.
Khi A đẳng cấu tuyến tính cho A A−1 đều liên tục, ta nói A là
một phép đồng phơi tuyến tính X, Y gọi khơng gian đồng phơi tuyến tính Lúc đó, ta đồng hai khơng gian X Y (thông qua ánh xạ A) bằng cách xác định chuẩn k · k1 trên X:
(14)13
Rõ ràng, chuẩn tương đương với chuẩn cũ X Mặt khác, ta đồng nhất mỗi phần tử x ∈ X với phần tử Ax ∈ Y
Câu hỏi đặt phép đẳng cấu tuyến tính liên tục phép đồng phơi Từ Định lý 2.1 ta thấy điều xảy A−1 liên tục ∈ Y ,
hay cách tương đương, ảnh lân cận gốc X qua ánh xạ A là một lân cận gốc Y Một cách tổng quát, ta gọi ánh xạ mở biến mọi tập mở X thành tập mở Y
Định lý 2.11 (Nguyên lý ánh xạ mở) Nếu A tốn tử tuyến tính liên tục từ
không gian Banach X lên không gian Banach Y A ánh xạ mở.
Hệ 2.4 Mọi phép đẳng cấu tuyến tính liên tục không gian Banach đều
là phép đồng phơi.
2.4.2. Định lý đồ thị đóng.
Cho X Y hai không gian định chuẩn thực Ta xét khơng gian định chuẩn tích
X × Y := {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y },
với phép toán cộng (+), nhân vô hướng ( · ) xác định bởi (x, y) + (x0, y0) = (x + x0, y + y0), λ(x, y) = (λx, λy)
và trang bị chuẩn (tương đương) sau:
k(x, y)k = kxk + kyk; k(x, y)k∞= max{kxk, kyk}; k(x, y)k2 =
p
kxk2 + kyk2.
Mệnh đề 2.12 Nếu X, Y khơng gian Banach X × Y khơng gian
Banach.
Bây cho A ∈ L(X, Y ), ta kiểm chứng đồ thị A: Gr A := {(x, Ax) | x ∈ X}
là không gian không gian tích X × Y A gọi ánh xạ đóng nếu Gr A khơng gian đóng.
Mệnh đề 2.13 Nếu A ∈ L(X, Y ) A ánh xạ đóng.
Định lý 2.14 (Định lý đồ thị đóng) Nếu X Y không gian Banach và
(15)2.4.3. Không gian hữu hạn chiều.
Trong không gian định chuẩn, không gian hữu hạn chiều có nhiều tính chất đẹp mà khơng gian vơ hạn chiều khơng có Mục dành để trình bày tính chất
Định lý 2.15 Tất không gian định chuẩn n chiều đồng phơi tuyến tính với
nhau Nói riêng, chuẩn không gian Rn đều tương đương.
Hệ 2.5 Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều không gian Banach. Hệ 2.6 Trong không gian định chuẩn bất kỳ, không gian hữu hạn
chiều đóng.
Một khơng gian định chuẩn khác {0} không bị chặn nên không compact Tuy nhiên, khơng gian compact địa phương Thật ra, kiểm chứng rằng, không gian định chuẩn X compact địa phương hình cầu đơn vị đóng X compact Ta có định lý sau:
Định lý 2.16 Để không gian định chuẩn X compact địa phương, điều kiện cần và
đủ X có số chiều hữu hạn.
Trong Mục 2.2.1 ta thấy L(X, Y ) không gian không gian
L(X, Y ) Đặc biệt, X khơng gian hữu hạn chiều khơng gian đồng
nhất Điều khẳng định kết
Định lý 2.17 Với X không gian định chuẩn, hai điều sau tương đương:
a) dim X < ∞,
b) L(X, Y ) = L(X, Y ) với không gian định chuẩn Y
Hệ 2.7 Không gian định chuẩn X hữu hạn chiều X∗ = X#.
2.5. Bài tập.
Trong phần này, không định cụ thể, X hiểu không gian định chuẩn
2.1 Cho Y không gian hữu hạn chiều X Chứng minh rằng, với x0 ∈ X
tồn y0 ∈ Y cho kx0− y0k = min{kx0− yk; y ∈ Y }.
2.2 Chứng minh X không gian vô hạn chiều, tập X có phần khác rỗng không compact
(16)15
2.4 Cho f ∈ X∗\ {0} Chứng minh kf k = d(0; f−1(1))−1.
2.5 Cho f ∈ X∗ Chứng minh với a ∈ X ta có |f (a)| = d(a; Ker f )kak.
2.6 Cho X = C[0, 1] với chuẩn kxkmax := max{|x(t)|; t ∈ [0, 1]} Chứng minh các
ánh xạ A : X → X định nghĩa ánh xạ tuyến tính liên tục, xác định chuẩn chúng
a) A(x)(t) = x(0) + tx(t); với t ∈ [0, 1] x ∈ X.
b) A(x)(t) = tx(1) + (1 − t)x(t); với t ∈ [0, 1] x ∈ X. c) A(x)(t) = tx(1 − t) − (1 − t)x(t); với t ∈ [0, 1] x ∈ X. d) A(x)(t) = x(1) + (1 + t)x(t2); với t ∈ [0, 1] x ∈ X.
2.7 Một tốn tử tuyến tính liên tục A : X → Y gọi toán tử hữu hạn chiều nếu dim(Im A) < ∞ Chứng minh A hữu hạn chiều tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục f1, f2, · · · , fn ∈ X∗ và phần tử y1, y2, · · · , yn∈ Y cho
Ax = f1(x)y1+ f2(x)y2+ · · · + fn(x)yn, với x ∈ X.
2.8 Cho X = C1[0, 1] với chuẩn kxk = |x(0)| + max{|x0(t)|; t ∈ [0, 1]} Xét ánh xạ
A : X → X xác định Ax(t) =R0tx(s)ds Chứng minh A ∈ L(X, Y ) tính kAk.
2.9 Chứng minh A phép đồng phơi tuyến tính kA−1k = m−1 với m =
inf{kAxk : kxk = 1}.
2.10 Tìm ví dụ A tồn ánh tuyến tính liên tục hai khơng gian định chuẩn không mở (Hd: Xem Bài tập 1.4, xét ánh xạ đồng I : (C1[0, 1], k · k
1) → (C1[0, 1], k · k2))
2.11 Tìm ví dụ A ánh xạ tuyến tính đóng hai khơng gian định chuẩn không liên tục
2.12 Cho k · k1 và k · k2 là hai chuẩn không gian X cho (X, k · k1) (X, k · k2)
đều không gian Banach Chứng minh
k · k1 ' k · k2 ⇐⇒
¡
∀(xn) ⊂ X, kxnk1 → ⇒ kxnk2 → 0
¢
.
2.13 Cho X, Y không gian Banach A ∈ L(X, Y ) Chứng minh nếu chuỗiPxn hội tụ (hội tụ tuyệt đối) X thì
P
Axn hội tụ (hội tụ tuyệt đối)
Y
2.14 Cho An : l2 → l2 xác định Anx = (x1, x2, · · · , xn, 0, 0, · · · ) với x = (xn)
Chứng minh dãy An hội tụ điểm, không hội tụ theo chuẩn, đến ánh xạ đồng
nhất I l2
2.15 Cho C tập lồi nhận làm điểm x0 6∈ C Chứng minh rằng
a) pC(x) = inf{λ > | x ∈ λC} phiếm hàm tuyến tính xác định trên
X (hàm gọi phiếm hàm Minkowski tập C).
b) Tồn f ∈ X∗ sao cho f (x
0) = ≥ f (c) với c ∈ C Hơn nữa, f (x) ≤ pC(x)
(17)Chương 3
Không gian liên hợp - Tôpô yếu
3.1. Không gian liên hợp.
Trong chương sâu nghiên cứu không gian liên hợp không gian định chuẩn Nhắc lại X không gian định chuẩn khơng gian liên hợp X∗, bao gồm tất phiếm hàm tuyến tính liên tục X, là
một không gian định chuẩn với chuẩn định nghĩa
kf k = sup
kxk≤1
|f (x)| = sup
kxk=1
|f (x)|; f ∈ X∗.
Hơn nữa, theo Hệ 2.2, X∗ là không gian Banach.
Từ định nghĩa chuẩn phiếm hàm, ta có
|f (x)| ≤ kf kkxk; ∀f ∈ X∗; x ∈ X.
Đặc biệt, kf k = |f (x)| ≤ kxk Kết hợp nhận xét với Hệ 2.3 ta nhận kết sau
Mệnh đề 3.1 Với phần tử x ∈ X, ta có
kxk = sup
kf k=1
|f (x)|.
Định lý 3.2 Nếu X∗ là không gian khả ly X vậy.
Bây x ∈ X f ∈ X∗ sao cho f (x) = 0, ta gọi f x trực giao
với Tổng quát hơn, giả sử (xn) dãy X (fn) dãy X∗,
ta nói dãy (xn) (fn) song trực giao
fi(xj) = δij =
(
1, i = j,
(18)17
Định lý 3.3 Nếu hai dãy (xn) ⊂ X (fn) ⊂ X∗ là song trực giao hệ
{xn : n ∈ N∗} độc lập tuyến tính X hệ {fn : n ∈ N∗} độc lập tuyến
tính X∗.
Sự tồn hệ song trực giao hữu hạn khẳng định định lý sau Định lý 3.4
a) Giả sử {x1, x2, · · · , xn} hệ độc lập tuyến tính X Lúc tồn một
hệ {f1, f2, · · · , fn} X∗ sao cho hai hệ song trực giao.
b) Ngược lại, {f1, f2, · · · , fn} hệ độc lập tuyến tính X∗ thì cũng
tồn hệ {x1, x2, · · · , xn} X cho hai hệ song trực giao.
3.2. Liên hợp số không gian cụ thể.
Trong mục ta xác định không gian liên hợp số không gian cụ thể thường gặp
a) Không gian hữu hạn chiều.
Giả sử X không gian định chuẩn n chiều có sở hệ {e1, e2, · · · , en}.
Như biết, X đồng phơi tuyến tính với Rn (hay Cn).
Với phần tử u = (u1, · · · , un) ∈ Rn, ta xác định phiếm hàm fu trên X
như sau: Nếu x ∈ X có biểu diễn x = ξ1e1+ · · · + ξnen, thì
fu(x) := n
X
i=1
uiξi.
Rõ ràng fu tuyến tính đó, theo Hệ 2.7, fu ∈ X∗ Có thể kiểm chứng
rằng ánh xạ Φ : Rn−→ X∗, xác định bởi
u ∈ Rn7→ Φ(u) = f
u ∈ X∗,
là đơn ánh tuyến tính
Mặt khác, với f ∈ X∗, đặt u = (u
1, · · · , un) với ui = f (ei), ta có
f³
n
X
i=1
ξiei
´ =
n
X
i=1
f (ei)ξi = n
X
i=1
uiξi = fu
³Xn i=1
ξiei
´
.
Tức f ≡ fu Hay Φ song ánh tuyến tính từ Rn lên X∗ Vậy X∗ không gian
hữu hạn chiều đồng phôi tuyến tính với Rn, nên đồng phơi tuyến tính với X.
b) Không gian c∗
(19)Với u = (un) ∈ l1, ta định nghĩa phiếm hàm Φ(u) = fu trên c0
x = (ξn) ∈ c0 7→ fu(x) := ∞
X
1
unξn.
Dễ thấy chuỗi vế phải hội tụ |fu(x)| ≤ kuk1kxk Mặt khác, fu phiếm hàm tuyến
tính, từ suy fu ∈ c∗0
kfuk ≤ kuk1.
Vậy, Φ ánh xạ tuyến tính đơn ánh từ l1 vào c∗0 Bây lấy tuỳ ý f ∈ c∗0,
đặt u = (un), với un = f (en) (en là dãy số mà thành phần thứ n thành
phần khác khơng) Lúc đó, ta kiểm tra u ∈ l1 và f = fu = Φ(u).
Hơn nữa, kf k = kuk1 Vậy Φ đẳng cấu tuyến tính từ l1 lên c∗0
c) Không gian l∗
1 đẳng cấu với l∞.
d) Không gian l∗
p đẳng cấu với lq ((p, q) cặp số dương liên hợp).
e) Không gian L∗
1[0, 1] đẳng cấu với L∞[0, 1].
f) Không gian L∗
p[0, 1] đẳng cấu với Lq[0, 1] ((p, q) cặp số dương liên hợp).
3.3. Không gian X∗∗ - Không gian phản xạ.
Cho X không gian định chuẩn Lúc đó, X∗ cũng khơng gian định
chuẩn, nên ta nói đến khơng gian liên hợp X∗∗ := (X∗)∗ của X∗∗ được gọi
là không gian liên hợp thứ hai X Tiếp tục thế, ta định nghĩa khơng gian liên hợp thứ ba X∗∗∗, thứ tư X∗∗∗∗, v.v
Định lý 3.5 Tồn phép nhúng đẳng cự tuyến tính Φ từ X vào khơng gian liên
hợp thứ hai X∗∗ của nó.
Từ định lý này, ta đồng phần tử x ∈ X với phần tử Φ(x) ∈ X∗∗
và xem X khơng gian X∗∗ Lúc này, phần tử x ∈ X có thể
xem phiếm hàm tuyến tính liên tục X∗ xác định bởi
f ∈ X∗ 7→ x(f ) = f (x) ∈ R.
Định lý 3.6 Không gian định chuẩn X hữu hạn chiều X∗ cũng hữu
hạn chiều.
Từ định lý ta thấy, X khơng gian hữu hạn chiều X∗∗ = X Một
cách tổng quát, ta gọi không gian định chuẩn X phản xạ X = X∗∗ Rõ ràng,
nếu X phản xạ X phải không gian Banach Từ khảo sát ta thấy, một không gian hữu hạn chiều phản xạ, không gian lp, Lp[0, 1] (1 < p < ∞) đều
(20)19
Định lý 3.7 Nếu X không gian phản xạ Y khơng gian đóng X
thì Y khơng gian phản xạ.
Định lý 3.8 Cho X không gian Banach Lúc đó, X khơng gian phản xạ khi
và không gian liên hợp X∗ là phản xạ.
Từ định lý này, ta thấy không gian l1, l∞ khơng phản xạ
3.4. Tốn tử liên hợp.
Cho X Y hai không gian định chuẩn A ∈ L(X, Y ) Với phiếm hàm
g ∈ Y∗ ta đặt A∗g = f := g ◦ A Lúc đó, A ∈ L(X, Y ) g ∈ Y∗ = L(Y, R) nên
f ∈ X∗, kf k ≤ kAkkgk Dễ thấy A∗ là toán tử tuyến tính từ Y∗ vào X∗.
Hơn nữa, từ bất đẳng thức
kA∗gk ≤ kAkkgk; ∀g ∈ Y∗
ta suy A∗ ∈ L(Y∗, X∗) kA∗k ≤ kAk Toán tử A∗ được gọi liên hợp toán
tử A cho bởi
(A∗g)(x) = g(Ax) ∀x ∈ X.
Ta lại nói đến tốn tử liên hợp A∗ Tức toán tử A∗∗ ∈ L(X∗∗, Y∗∗)
xác định
A∗∗h = h ◦ A∗; ∀h ∈ X∗∗.
Hơn nữa, kA∗∗k ≤ kA∗k ≤ kAk.
Định lý 3.9 Thu hẹp A∗∗ lên X toán tử A Tức A∗∗x = Ax, với mọi
x ∈ X.
Hệ 3.1 kA∗∗k = kA∗k = kAk.
Mệnh đề 3.10 Cho X, Y , Z ba không gian định chuẩn thực A, B ∈ L(X, Y ),
C ∈ L(Y, Z), λ ∈ R Lúc đó a) (λA)∗ = λA∗,
b) (A + B)∗ = A∗+ B∗,
c) (CB)∗ = B∗C∗.
Định lý 3.11 Cho X Y không gian định chuẩn A ∈ L(X, Y ).
a) Nếu A phép đồng phơi A∗ cũng vậy,
b) Ngược lại, A∗ là phép đồng phôi X không gian Banach A là
(21)3.5. Tôpô yếu - Tôpô yếu*.
Cho X khơng gian định chuẩn Lúc X không gian tôpô mà tại điểm x0 ∈ X có sở lân cận hình cầu B(x0; r) với r > 0.
Tơpơ gọi tôpô chuẩn ký hiệu τ Bây ta xây dựng trên
X tôpô khác mà ta gọi tôpô yếu.
3.5.1. Tôpô σ(X, Γ).
Cho Γ không gian không gian đối ngẫu đại số X# Với x ∈ X,
² số dương {f1, · · · , fm} họ tuỳ ý phần tử thuộc Γ ta định nghĩa
tập
V (x; f1, · · · , fm; ²) := {y ∈ X | |fi(x) − fi(y)| < ²; ≤ i ≤ m}.
Ký hiệu V họ chứa tất tập X có dạng Ta kiểm tra được V sở tôpô X Hơn nữa, x0 ∈ X cố định, họ Vx0
gồm tất tập có dạng V (x0; f1, · · · , fm; ²) sở lân cận điểm x0
Tôpô thường gọi tôpô sinh họ Γ ký hiệu σ(X, Γ) Dễ thấy,
σ(X, Γ) tôpô yếu X bảo đảm phiếm hàm f ∈ Γ liên tục Dĩ nhiên,
nếu Γ1 ≤ Γ2 ≤ X# thì σ(X, Γ1) ⊂ σ(X, Γ2) Ta cịn có kết thú vị sau:
Mệnh đề 3.12 Cho Γ1 và Γ2 là hai không gian X# Lúc đó, Γ1 = Γ2 khi và
chỉ σ(X, Γ1) = σ(X, Γ2).
Mệnh đề 3.13 Tôpô σ(X, Γ) Hausdorff khi, với x1, x2 ∈ X, x1 6= x2,
tồn f ∈ Γ cho f (x1) 6= f (x2).
3.5.2. Tôpô yếu X.
Bây chọn Γ = X∗ thì ta có tơpơ σ(X, X∗) tôpô yếu bảo đảm tất
cả phiếm hàm f ∈ X∗ đều liên tục Rõ ràng, tơpơ yếu tơpơ chuẩn Vì vậy,
nó gọi tơpơ yếu X để phân biệt với tôpô chuẩn tôpô mạnh. Mệnh đề 3.14 Tôpô σ(X, X∗) Hausdorff.
Định lý 3.15 σ(X, X∗) = τ dim X < +∞.
Liên quan đến tôpô yếu ta có khái niệm hội tụ yếu, mở yếu, đóng yếu, compact yếu Các kết cho ta tiếp cận tốt khái niệm Một dãy (xn) X hội tụ yếu đến phần tử ¯x ∈ X ký hiệu là
xn−→ ¯w x x = w − lim¯ n→∞xn
để phân biệt với ký hiệu hội tụ mạnh
(22)21 Mệnh đề 3.16 Cho dãy (xn) ⊂ X Lúc đó,
xn −→ ¯w x ⇐⇒ f (xn) −→ f (¯x); ∀f ∈ X∗.
Mệnh đề 3.17 Cho X, Y không gian định chuẩn (xn) ⊂ X, (An) ⊂ L(X, Y ).
a) Giới hạn yếu, có, (xn) nhất.
b) Nếu xn−→ ¯w x (xn) dãy bị chặn và
k¯xk ≤ lim inf
n→∞ kxnk.
c) Nếu (An) −→ A ∈ L(X, Y ) xn−→ ¯w x, Anxn−→ A¯w x.
Từ gợi ý Mệnh đề 3.17, khái niệm dãy hội tụ yếu ta cịn đưa vào khái niệm Cauchy yếu: Dãy (xn) gọi Cauchy yếu với phiếm hàm
f ∈ X∗, (f (x
n)) dãy số Cauchy Không gian X gọi đầy đủ yếu trong
đó dãy Cauchy yếu hội tụ yếu
Định lý 3.18 Mọi không gian phản xạ đầy đủ yếu.
Một tập hợp M ⊂ X gọi compact yếu theo dãy với dãy (xn) ⊂ M
tồn dãy (xkn) hội tụ yếu đến ¯x ∈ M.
Định lý 3.19
a) Mọi tập hợp compact yếu theo dãy bị chặn đầy đủ yếu theo dãy.
b) Mọi tập bị chặn, đóng yếu theo dãy khơng gian phản xạ X compact yếu theo dãy.
Hệ 3.2 Hình cầu đơn vị đóng khơng gian phản xạ X compact yếu theo
dãy.
3.5.3. Tôpô yếu* không gian X∗.
Cũng với lập luận trên, thay xét X ta xét khơng gian liên hợp X∗,
thì ta nhận tơpơ yếu τ (X∗, X∗∗) X∗ Tuy vậy, xem X một
không gian X∗∗ nên cịn định nghĩa tơpơ τ (X∗, X), gọi tơpơ yếu*
trên X∗ Đó tôpô yếu X∗ bảo đảm x ∈ X liên tục Rõ ràng, tơpơ
này cịn yếu tôpô yếu τ (X∗, X∗∗) Từ Mệnh đề 3.12 ta thấy hai tôpô là
trùng X không gian phản xạ!
(23)Một dãy (fn) X∗ hội tụ yếu* đến phiếm hàm g ∈ X∗ ký hiệu
fn w
∗
−→ g g = w∗− lim
n→∞fn
Mệnh đề 3.21 Cho dãy (fn) ⊂ X∗ Lúc đó,
fn w
∗
−→ g ⇐⇒ fn(x) −→ g(x); ∀x ∈ X.
Ngồi ra, ta cịn có kết quan trọng sau
Định lý 3.22 (Banach-Alaoglu) Với khơng gian định chuẩn X, hình cầu đơn vị
đóng B∗ trong khơng gian liên hợp X∗ là compact yếu*.
Định lý 3.23 Cho X khơng gian Banach Lúc đó, X khơng gian phản xạ
khi hình cầu đơn vị đóng compact yếu.
3.6. Bài tập.
3.1 Cho X, Y không gian định chuẩn Chứng minh (X × Y )∗ = X∗× Y∗ Đặc
biệt, (X × R)∗ = X∗ × R.
3.2 Chứng minh tập lồi đóng khơng gian định chuẩn đóng yếu
3.3 Chứng minh X không gian phản xạ C tập lồi đóng khác rỗng trong
X, với x0 ∈ X tồn c0 ∈ C cho kx0− c0k = d(x0; C).
3.4 Cho M tập trù mật X∗ và (x
n) dãy bị chặn X cho
f (xn) → f (x) với f ∈ M Chứng minh xn−→ x.W
3.5 Chứng minh dãy (ξk) l
1 hội tụ mạnh hội tụ yếu
Điều có mâu thuẫn với Định lý 3.15 hay khơng?
3.6 Cho A tốn tử tuyến tính hai không Banach X Y thoả mãn: Với mọi dãy (xn) ⊂ X, hội tụ với g ∈ Y∗ ta có g(Axn) → Chứng minh A
liên tục
3.7 Cho dãy (ξk) ⊂ c
0, xác định
ξ1 = (1, 0, · · · , 0, · · · ); ξ2 = (0, 1, 0, · · · , 0, · · · ); ξ3 = (0, 0, 1, 0, · · · , 0, · · · )
Chứng minh dãy (ξk) hội tụ yếu không hội tụ mạnh c
0 Xác định giới hạn
yếu dãy
3.8 Với k ∈ N∗ ta định nghĩa ánh xạ A
k : c0 → l1 xác định
Ak(x) =
¡
x1,x2
22, · · · ,
xk
k2, 0, · · ·
¢
; ∀x = (xn) ∈ c0.
a) Chứng minh Ak ∈ L(c0, l1), tìm kAkk toán tử liên hợp A∗k với k ∈ N∗
(24)23
3.9 Cho X không gian định chuẩn Với V ⊂ X ta đặt Vo := {f ∈ X∗ | f (v) ≤
1; ∀v ∈ V } Chứng minh
a) Vo là tập lồi đóng X∗.
b) U ⊂ V ⊂ X ⇒ Uo ⊃ Vo.
c) V lân cận gốc Vo là tập lồi, đóng, bị chặn X∗.
3.10 Cho khơng gian Banach X, Y A tốn tử tuyến tính liên tục từ X lên
Y Chứng minh Im A∗ = Ker A⊥= {f ∈ X∗ | f (x) = 0; ∀x ∈ Ker A}.
3.11 Cho X, Y không gian Banach dãy (An) ⊂ L(X, Y ) Chứng minh rằng
để dãy (An) hội tụ điểm đến toán tử A ∈ L(X, Y ) điều kiện cần đủ tồn tại
số L > tập M trù mật X cho i) kAnk ≤ L với n,
(25)Chương 4
Không gian Hilbert
4.1. Không gian Hilbert.
4.1.1. Dạng song tuyến tính đối xứng dương.
Cho X không gian vectơ trường R, ánh xạ ϕ : X × X → R được gọi dạng song tuyến tính đối xứng dương nếu, với x, y, z ∈ X λ ∈ R, các tính chất sau thoả mãn:
a) ϕ(x, x) ≥ 0, b) ϕ(x, y) = ϕ(y, x),
c) ϕ(x + y, z) = ϕ(x, z) + ϕ(y, z), d) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y).
Lúc đó, người ta thường ký hiệu vắn tắt hx, yi := ϕ(x, y).
Mệnh đề 4.1 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Với x, y ∈ X, ta có
hx, yi2 ≤ hx, xihy, yi.
Nếu h·, ·i dạng song tuyến tính đối xứng dương X phiếm hàm p trên X xác định p(x) :=phx, xi nửa chuẩn X, tức là, với x, y ∈ X
và λ ∈ R, ta có a) p(x) ≥ 0,
b) p(λx) = |λ|p(x),
c) p(x + y) ≤ p(x) + p(y).
Lúc đó, ta nói p nửa chuẩn X sinh dạng song tuyến tính h·, ·i. Ví dụ 4.1 Các dạng song tuyến tính đối xứng dương Rn, l
(26)25
Mệnh đề 4.2 Để nửa chuẩn p không gian vectơ X sinh dạng
song tuyến tính đối xứng dương h·, ·i, điều kiện cần đủ là
p2(x + y) + p2(x − y) = 2(p2(x) + p2(y)), với x, y ∈ X.
Và lúc đó
hx, yi =
4 ¡
p2(x + y) − p2(x − y)¢.
4.1.2. Khơng gian Hilbert.
Nếu dạng song tuyến tính đối xứng dương h·, ·i X thoả mãn thêm điều kiện
hx, xi > 0, với x 6= 0,
thì gọi tích vơ hướng X (X, h·, ·i) gọi khơng gian tiền Hilbert Lúc đó, dễ thấy
kxk = p(x) =phx, xi
xác định chuẩn X Vậy, không gian tiền Hilbert không gian định chuẩn, khái niệm, kết thiết lập không gian định chuẩn áp dụng cho không gian tiền Hilbert Hơn nữa, chuẩn khơng gian tiền Hilbert cịn thoả mãn tính chất sau
|hx, yi| ≤ kxkkyk, kx + yk2+ kx − yk2 = 2(kxk2+ kyk2), ∀x, y ∈ X.
Mệnh đề 4.3 Nếu không gian tiền Hilbert X, dãy (xn) (yn) hội tụ lần
lượt x y thì
lim
n→∞hxn, yni = hx, yi.
Nói cách khác, h·, ·i phiếm hàm liên tục X × X.
Một không gian tiền Hilbert (với tư cách không gian định chuẩn) đầy đủ gọi không gian Hilbert Chẳng hạn, không gian Rn, l
2 và L2[0, 1] các
không gian Hilbert
4.2. Khai triển trực giao.
4.2.1. Hệ trực giao.
Hai vectơ x y không gian tiền Hilbert X gọi trực giao với nhau ký hiệu x⊥y nếu
hx, yi = 0.
(27)Định lý 4.4 Giả sử S hệ trực giao gồm vectơ khác khơng Lúc S là
một hệ độc lập tuyến tính Hơn nữa, với {x1, x2, · · · , xm} ⊂ S ta có
kx1+ x2+ · · · + xmk2 = kx1k2+ kx2k2+ · · · + kxmk2.
Định lý 4.5 Nếu {x1, x2, · · · , xn, · · · } họ độc lập tuyến tính, đếm trong
khơng gian tiền Hilbert X, ln tìm hệ số αkj (k ∈ N; ≤ j < k) cho
hệ gồm vectơ sau lập thành hệ trực giao: y1 = x1,
y2 = x2+ α21x1,
· · ·
yn = xn+ αn,n−1xn−1+ · · · + αn,1x1,
· · ·
Quá trình tìm họ {yn} gọi phương pháp trực giao hoá hệ {xn}.
Giả sử M tập X Ta nói vectơ x trực giao với M, ký hiệu là
x⊥M, x⊥y với y ∈ M Tổng quát hơn, ta nói hai tập M N trực giao với
nhau, ký hiệu M⊥N, m⊥n với m ∈ M n ∈ N.
Mệnh đề 4.6 Cho M ⊂ X x ∈ X Lúc x⊥M x⊥ span(M).
4.2.2. Phần bù trực giao.
Cho không gian tiền Hilbert X.
Mệnh đề 4.7 Cho M tập khác rỗng X Lúc đó,
M⊥ := {x ∈ X | x⊥M}
là khơng gian đóng.
Bổ đề 4.1 Cho tập lồi C ⊆ X x0 ∈ X, c0 ∈ C Lúc đó
kx0− c0k = d(x0; C) ⇔ hx0− c0, c − c0i ≤ 0; ∀c ∈ C.
Đặc biệt, C
Định lý 4.8 Nếu M không gian đóng khơng gian Hilbert X, X
là tổng trực tiếp M M⊥ Tức với x ∈ X, tồn y ∈ M và
z ∈ M⊥ sao cho
(28)27
Hệ 4.1 Nếu M khơng gian đóng khơng gian Hilbert X, thì
M = (M⊥)⊥.
Hệ 4.2 Nếu M tập khác rỗng không gian Hilbert X, thì span(M) = (M⊥)⊥.
Hệ 4.3 Cho M tập khác rỗng không gian Hilbert X Lúc đó, span(M) = X ⇐⇒¡∀x ∈ X : x⊥M ⇔ x = 0¢.
4.2.3. Cơ sở không gian Hilbert.
Định lý 4.9 Giả sử {en; n ∈ N∗} hệ trực chuẩn không gian Hilbert X
và (λn) dãy số thực Lúc đó, hai chuỗi sau đồng thời hội tụ phân kỳ: ∞
X
1
λnen; ∞
X
1
λ2
n.
Định lý 4.10 Giả sử {en; n ∈ N∗} hệ trực chuẩn không gian Hilbert X.
Với x ∈ X, chuỗi
∞
X
1
hx, enien
hội tụ Hơn nữa,
∞
X
1
hx, eni2 ≤ kxk2 (Bất đẳng thức Bessen).
Nếu hệ trực chuẩn {en; n ∈ N∗} có tính chất
∀x ∈ X,
∞
X
1
hx, eni2 = kxk2 (Đẳng thức Parseval),
thì gọi hệ trực chuẩn đầy đủ, hay sở trực chuẩn (đếm được) không gian Hilbert X Lúc này, ta kiểm chứng rằng
x =
∞
X
1
hx, enien.
(29)Định lý 4.11 Giả sử không gian Hilbert X có sở trực chuẩn đếm {en; n ∈
N∗} Với x, y ∈ X, ta có
hx, yi =
∞
X
1
hx, enihy, eni.
Định lý 4.12 Để khơng gian Hilbert X có sở trực chuẩn đếm được, điều kiện
cần đủ X vô hạn chiều khả ly.
Hệ 4.4 Mọi không gian Hilbert vô hạn chiều, khả ly đẳng cấu với nhau.
4.3. Không gian liên hợp không gian Hilbert.
4.3.1. Phiếm hàm tuyến tính liên tục.
Với vectơ cố định u không gian Hilbert X, ta xét phiếm hàm fu trên X
xác định
fu(x) = hx, ui; x ∈ X.
Rõ ràng, fu tuyến tính Hơn nữa, từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,
|fu(x)| = |hx, ui| ≤ kukkxk; ∀x ∈ X,
suy fu ∈ X∗ và kfuk ≤ kuk Mặt khác, fu(u) = kuk2, ta có kfuk ≥ kuk.
Vậy,
kfuk = kuk.
Tóm lại, phần tử u ∈ X xác định phiềm hàm tuyến tính liên tục fu có chuẩn
đúng kuk Ngược lại, ta có
Định lý 4.13 Với phiếm hàm tuyến tính liên tục f không gian Hilbert X,
tồn vectơ u ∈ X cho
f (x) = hx, ui; ∀x ∈ X. Hơn nữa, kuk = kf k.
Từ định lý ta thấy có song ánh từ X lên X∗ xác định bởi
u ∈ X 7→ fu ∈ X∗.
Có thể kiểm chứng phép đẳng cấu tuyến tính từ X lên X∗ Do
(30)29
4.3.2. Sự hội tụ yếu khơng gian Hilbert.
Vì khơng gian Hilbert khơng gian định chuẩn nên X, ngồi tơpơ chuẩn, cịn có tơpơ yếu tơpơ yếu bảo đảm liên tục phiếm hàm
f ∈ X∗ = X Từ Mệnh đề 3.16 ta thấy, để dãy (x
n) X hội tụ yếu đến ¯x ∈ X
điều kiện cần đủ
hxn, ui → h¯x, ui; ∀u ∈ X.
Nói chung, tơpơ yếu yếu hẳn tơpơ chuẩn Ta xét ví dụ
Ví dụ 4.2 Nếu {en; n ∈ N∗} hệ trực chuẩn khơng gian Hilbert X thì
en−→ ew n−6→ 0.
Từ Mệnh đề 3.17.c ta có kết sau
Mệnh đề 4.14 Cho (xn) (yn) hai dãy không gian Hilbert X Lúc đó,
(xn−→ x) ∧ (yw n → y) ⇒ (hxn, yni → hx, yi).
Chú ý hai dãy (xn) (yn) hội tụ yếu dãy (hxn, yni) khơng
hội tụ đến hx, yi Chẳng hạn, xem Ví dụ 4.2.
Định lý 4.15 Cho dãy (xn) không gian Hilbert X Lúc đó,
(xn−→ x) ∧ (kxw nk → kxk) ⇒ (xn → x).
4.4. Toán tử liên hợp - Toán tử tự liên hợp.
4.4.1. Toán tử liên hợp.
Cho X Y hai không gian Hilbert A ∈ L(X, Y ) Nhắc lại lúc tốn tử liên hợp A∗ của A tốn tử tuyến tính liên tục từ Y = Y∗ vào X = X∗ xác
định
A∗y = y ◦ A; ∀y ∈ Y.
Nói cách khác, ta có
hx, A∗yi = hAx, yi; ∀x ∈ X, y ∈ Y.
Vì khơng gian Hilbert phản xạ nên dễ thấy A = A∗∗ với A ∈ L(X, Y ) Để
dễ hình dung, ta xét tốn tử liên hợp số toán tử đơn giản
1) Giả sử X = Rm và Y = Rn Lúc đó, A ∈ L(Rm, Rn) = L(Rm, Rn) đều
tương ứng với ma trận thực cấp m × n (mà ta ký hiệu A) Ta kiểm chứng tốn tử A∗ ∈ L(Rn, Rm) tương ứng với ma trận chuyển vị AT
(31)2) Giả sử X = Y = L2[a, b] K(t, s) hàm bình phương khả tích trên
[a, b] × [a, b]: Z
b a
Z b
a
|K(t, s)|2dtds < ∞.
Lúc đó, toán tử A từ X vào Y xác định bởi
Ax(t) =
Z b
a
K(t, s)x(s)ds; x ∈ L2[a, b]
là toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y A gọi tốn tử tích phân có hạch là K Ta kiểm chứng tốn tử liên hợp A∗ được xác định bởi
A∗y(t) =
Z b
a
K(s, t)y(s)ds; y ∈ L2[a, b].
Với A ∈ L(X, Y ) ta ký hiệu
N (A) = A−1(0) = {x ∈ X | Ax = 0},
R(A) = A(X) = {Ax | x ∈ X}.
Định lý 4.16 Nếu A ∈ L(X, Y ), thì
X = N (A) ⊕ R(A∗); Y = N (A∗) ⊕ R(A).
4.4.2. Toán tử tự liên hợp.
Một toán tử tuyến tính liên tục A từ khơng gian Hilbert X vào gọi là tự liên hợp A∗ = A Lúc đó,
hAx, yi = hx, Ayi; ∀x, y ∈ X.
Chẳng hạn, X = Y = Rn thì tốn tử A ∈ L(X) tự liên hợp chỉ
khi ma trận A đối xứng Còn X = Y = L2[a, b] A ∈ L(X) toán tử tích
phân có hạch K(t, s), A tự liên hợp khi
K(t, s) = K(s, t) hầu khắp nơi [a, b] × [a, b].
Định lý 4.17 Giả sử λ µ hai giá trị riêng khác tốn tử tự liên hợp A.
Lúc đó, không gian riêng sau trực giao với nhau: Nλ = {x ∈ X | Ax = λx},
(32)31
4.5. Bài tập.
Trong mục này, khơng nói thêm, X hiểu không gian tiền Hilbert. 4.1 Cho x, y ∈ X Chứng minh x y phụ thuộc tuyến tính khi
hx, xihy, yi = hx, yi2.
4.2 Cho M không gian đóng khơng gian Hilbert X x0 ∈ X Chứng minh
rằng d(x0, M ) = max{hx, yi | y ∈ M⊥∩ S(0, 1)}.
4.3 Cho M đa tạp affine, x ∈ X m ∈ M Chứng minh kx − mk = d(x; M) khi x − m⊥n − m với n ∈ M.
4.4 Cho (xn), (yn) hai dãy chứa hình cầu đơn vị đóng X thoả mãn
hxn, yni → Chứng minh kxnk → 1, kynk → kxn− ynk → 0.
4.5 Cho A : L2[0, 1] → L2[0, 1] xác định bởi
Ax(t) :=
Z t
0
(1 + s2t)x(s)ds; ∀x ∈ L
2[0, 1], t ∈ [0, 1].
Chứng minh A tốn tử tuyến tính liên tục xác định toán tử A∗.
4.6 Cho x, y ∈ X M ≤ X Chứng minh khẳng định sau 1 x⊥y ⇔ kxk ≤ kx − λyk; ∀λ ∈ R.
2 x⊥M ⇔ kxk ≤ kx − mk; ∀m ∈ M.
4.7 Ký hiệu l2 khơng gian Hilbert dãy số thực bình phương khả tổng Xét
A : l2 → l2 xác định bởi:
x = (x1, x2, · · · , xn, · · · ) −→ Ax =
¡
x1,
x2
2 , · · · ,
xn
n , · · ·
¢
.
Chứng minh A tốn tử tuyến tính liên tục tự liên hợp. 4.8 Chứng minh với δ > tồn ²(δ) > cho
∀x, y ∈ B0(0; 1),³kx − yk ≥ δ ⇒°°°x + y
2 ° °
° < − ² ´
.
Hơn nữa, limδ→0²(δ) = 0.
4.9 Cho (cn) dãy số thực dương Trong không gian l2 xét tập
S = {x ∈ l2 | |xn| ≤ cn; ∀n}.
Chứng minh S tập compact l2
P
c2
(33)4.10 Cho A : l2 → l2 xác định bởi:
x = (x1, x2, · · · ) −→ Ax = (2x2,
1 2x1,
4 3x4,
3
4x3, · · · ).
a) Chứng minh A ∈ L(l2, l2), xác định kAk.
b) Tìm tốn tử liên hợp A∗.
4.11 Cho M khơng gian đóng không gian Hilbert X Ta gọi phép chiếu trực giao lên M ánh xạ ΠM : X → M cho tương ứng x ∈ X, phần tử ΠM(x) = m ∈ M
sao cho x − m⊥m Chứng minh ΠM tốn tử tuyến tính liên tục, tự liên hợp từ
X vào M.
4.12 Giả sử X không gian Hilbert A : X → X tốn tử tuyến tính, tự liên hợp Chứng minh A liên tục.
4.13 Cho A : l2 → l2 xác định
A(x) := (x2, x3, x1, x5, x6, x4, x8, x9, x7, · · · ); ∀x = (xn) ∈ l2.
(34)33
Tài liệu tham khảo
[1] D N Arnold, Functional Analysis, Springer Verlag, 1997.
[2] Haăm Brezis, Gii tớch hm - Lý thuyt ứng dụng, Nxb ĐHQG Tp.HCM, 2002. [3] P.Đ Chính, Giải tích hàm Tập I, Nxb ĐH&THCN, 1979.
[4] J Dieudonné, Cơ sở giải tích đại I, Nxb ĐH&THCN, 1979.
[5] B Gelbaum, J Olmsted, Các phản ví dụ giải tích, Nxb ĐH&THCN, 1982. [6] Yu S Otran, Bài tập lý thuyết hàm số biến số thực, Nxb ĐH&THCN, 1979. [7] W Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1973.
... class='text_page_counter'>(34)33
Tài liệu tham khảo
[1] D N Arnold, Functional Analysis, Springer Verlag, 1997.
[2]