PPBai tap Chuong 2 Mulogaritluy thua

Cách giải: Ta chỉ ra một vài nghiệm của phương trình ( thường dạng này1. có duy nhất một nghiệm)..[r]

(1)

8

6

4

2

-2

-10 -5 10

g x() = 2x

f x() =

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT ĐƠNG DƯƠNG

GIẢI TÍCH 12

PHẦN 2:

(2)

LŨY THỪA

1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN.

Số mũ



Cơ

số a

Lũy thừa

 a * N n  

 a R a an a.a a(n

thừa số )

0 

 a0 1

 a

a

) (n N*

n 

 

 a0

n n

a a a   

) ,

(m Z n N*

n m

  

 a0 a an n am (n a b bn a) m       ) , (

limr r Q n N*

n

n  



 a0

a



lim

a

rn

2 TÍNH CHÁT CỦA LŨY THỪA.

* với a > 0, b > 0, ta có

a

.

a a

a

;

a

; (a )

a

;

a

(ab)

a b

;

b







 



 





















 













a > :

a

< a < :

a

Bài 1: Đơn giản biểu thức.

1)

x

y



x

y





2)

b

a

ab

b

a



(3)

4)

m

Bài 2: Biến đổi đưa dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

1)

8

ax

2)

a

3)

b

4)

3

a

Bài : Tính

1)

3    





2)

3)

3 27

4)

 

2

Bài 4: Đơn giản biểu thức.

1)

)

(

3 2    b a b a

2)

3 3 3

2 1)( )

( a a a a a a    

3)

        

b ab

a )

(

1

2

4)

4

3 3

1

4 4

a a

a

A

a a

a

 































5)

1 1

2 2

1

2

1

2

1

a

A

a



































6)

1

3 3

1

3 3

a

A

a

 









7)

3 1 1

4 4

:

a b

a

b

A

a

b

a

a b

a

b

(4)

8)

1 1

1

2 2

1 1

4

1

1 2

1

x

A

x

 

















































 



Bài 5: Rút gọn:

a)

 

  







































































2 3

1

2

1

a

b

A

ab

a

b

a

b









1 1

2 2 2

a a

2

1 a

B

a

c)

2

1

2

1

a

C

a







 











 









 





 



d)



 







1

2 3

1

2 3 3

1

a

D

a

 







e)

2

3 3

2

3 3

a

E

a

 











Luyện tập

1/ Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ các biểu thức sau :

a/

2 2

:

a a a a a

c/ x23 x ; (x > 0) d/ 5

a a

b b

2/ Đơn giản các biểu thức sau :

a/ (a  5)4 b/

(5)

c/ x x8( 1) ; (4 x1) d/

2 2

1 ( )

(

)

2

a

b

P

a

b

ab























1 1

2 2

4

9

4 3

3

;(

0;

1;

)

2

3

a

Q

a

   































h/

3



5



13



48

3/ Đưa nhân tử ở vào dấu :

a/

(4

)

;(

4)

4

x







1

(5

)

; (0

5)

25

a







4/ Trục ở mẫu số của các biểu thức sau :

a/

4

20

1

;

a

0;

b

0

a b



1

3



2

d/

5

4



11

1

5



2

5/ Tính giá trị của biểu thức :

a/

1

5

3 1

3

2 4

3 : 2

: 16 : (5 3

A











 

 















 









:

(

)

a

b

a

a b

A

a a b b

a

ab









; với

6

5

a 

3

5

b 

2

(

) (

)

A



a b ab

a











; với

2

a 

1

2

(6)

6/ Chứng minh đẳng thức sau :

a/

1 2

2

1 1

2 2 2

1

2

0

a a

a

 











b/ a2 a b4 b2 3a b2 (3a2 3b2 3)

    

c/ 3 2  3 2 2

d/ 3

5 7  2 

7/ Rút gọn biểu thức :

a/

a

2

.( )

1

2 1



a

b

c/

x



4 4

x

:

x



(

a

3

25

)

3

5

8/ So sánh

a/ 3600 5400

b/

5

1

( )

2

2.2

c/ 3và

2

HÀM SỐ LŨY THỪA

I.Khái niệm:

Hàm số y x ;    , đươc gọi hàm lũy thừa

Chú ý:

tập xác định hàm số lũy thừa phụ thuộc vào giá trị 

- Với  nguyên dương tập xác định R

- Với nguyên âm 0, tập xác định \ 0

 

- Với  khơng ngun tập xác định là





Làm 1/ 60

II Đạo hàm của hàm số lũy thừa:









Làm 2/61

(7)

1.

Định nghĩa: Cho số a, b dương với a khác Số

đẳnng thức a b gọi logarit số a b ký hiệu logab

 

Ví dụ 1: Tìm x

a) log 2 x 4 b)log2x 3

c)

log

1

4

x 

x

e) log (3 x  1) f) log 3



2

x



4



g) log

1

(2

2

x 

h) log

3

4

1

5

2

x

















k) log2(4x 5) 0 l) logx82

Chú ý: khơng có logarit số số âm

2 Tính chất:

 

2 log 0a log a 1a

log ba a b log aa

 

  

Ví dụ 2: Tính

a) 4log 32 b) 3log 34 c) 2log23

d) log 42 e)

1

log

3

1

log

16

g)

( )

2

a

log

3

a

1

a

h) 49log7 5log493 i) 3 2

6

9log 4log

II.

Quy tắc tính logarit :

(8)

 





Logarit tích tổng logarit

Ví dụ 3: Tính:

a) log log 212  12

b) 1

2 2

4

log log 24 log

9



2.

Logarit thương: a > 0; b

 

2

b1

7 loga log ba 1 log ba 2 b

 

 

     

Logarit thương hiệu logarit

 

      

Ví dụ 4: Tính

a) log25100 log254

b) log 2 20log 26 log 215.

c) log25log210 log225

d) log36log37 log314

e) log 510log 57 log 514

3.

Logarit lũy thừa : a > 0; b> 0, a

 





Logarit lũy thừa tích số mũ với logarit số

 

a n a

Ví dụ 5:

ab

ac

Hãy tính log xa , biết

a)

2

a b x

c

 b)

2

a b x

c

 c) x a 23bc2

(9)

 

 b1

 

 ;  0

Ví dụ 6:

a) Cholog25a;log214b Tính log235 theo a b

b) Cho log210a;log27b Tính log235 theo a b

c) Cholog34a;log35b Tính log310 theo a b

d) Cho log52a;log59b Tính log56 theo a b

e) Cho log23a;log35b;log72c Tính log6350

IV Logarit thập phân, logarit tư nhiên

1 Logarit thập phân: logarit số 10

log10bthường viết logb hay lgb

2 Logarit tự nhiên: logarit số e

log be thường viết lnb

Chú ý: log ba log b

log a

 log ba ln b

ln a 

Luyện tập:

Bài 1: Biết log52 = a log53 = b Tính lơgarit sau theo a b

1) log527 2) log515

3) log512 4) log530

Bài 2: Lôgarit theo số biểu thức sau , viết dạng tổng

hoặc hiệu lôgarit

1)





2

5 a3b 2)

2 ,

6 10 

       

b a

3) 9a45 b 4)

7

27a b

(10)

1) log915 + log918 – log910

2)

3

1

1 2log 400 3log 45

1 log

2  

3) log 21log

6

36  4) log (log34.log23)

1

Bài 4: Tính giá trị biểu thức.

1)

81

1 1log 4

4 2

9

25

log

125

8

.49

log 2

7





















2) log 54 1log 3log 52 2 5

16 42 

3)

1log log 6 log 4

7

2

72 49  5

















Bài 5: Tìm x biết.

1) log6x = 3log62 + 0,5 log625 – log63

2) log4x = log 216 2log 10 4log

3

4

4  

Bài 6: Tính.

1) log(2 3)20 log(2 3)20

 

 2)

) log( ) log(

3   

3)

e e ln1

ln  4) lne 4ln(e2 e)



 Bài 7: Tìm x biết

1) logx18 = 2)

5

log 

x 3)

6 ) ( log

 

x

Bài 8:

1) Biết log126 = a , log127 = b Tính log27 theo a b

2) Biết log214 = a Tính log4932 theo a

HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

I.

Hàm số mũ:

1 Định nghĩa:

Cho a 0,a 1 

Hàm số y = ax gọi hàm số mũ số a.

(11)

 

x x

e ' e

u u

e ' u 'e

 

 

x ' ax

u ' u 'au

a ln a a ln a

 

3.

Khảo sát hàm số mũ

x

y a ,a 1  y a ,0 a 1 x  

Tập xác định D = R

x

y ' a ln a 0, x   y ' a ln a 0, x x  

x x

lim a 0; lim a ;

x   x 

x x

lim a ; lim a

x   x 

Tiệm cận ngang: trục Ox

BBT

x

-

+

y’

+

y

+

0

BBT

f(x)=2^x

-8 -6 -4 -2

x

y f(x)=(1/2)^x

-8 -6 -4 -2

x y

II Hàm số logarit:

1 Định nghĩa:

Cho a 0,a 1 

Hàm số y =logax gọi hàm số logarit số a

2 Đạo hàm số logarit :

x

-

+

y’

(12)









1 log x 'a

x.ln a

loga '

u.ln a

u ' u

 









1 ln x '

x ln u ' u '

u 



3.

Khảo sát hàm số logarit

y log x, a 1 a  y log x, a 1 a  

Tập xác định D =





1

y '

0, x 0

x.ln a





 

y '

1

0, x 0

x.ln a





 

lim ; lim y ;

x 0 

y

Tiệm cận đứng : trục Oy

BBT

x

0

+

y’

+

y

+

-

BBT

4

-2 -4

-10 -5 10

4

-2 -4

-10 -5 10

Bài 1: Tìm tập xác định hàm số sau.

1) y =

1 

x x

e e

2) y = 1



x e

3) y = ln 

  

 

 

x x

1

4) y = log(-x2 – 2x )

x

0

+

y’

(13)

5) y = ln(x2 -5x + 6) 6) y =

   

 

  

x x x

3

1 log

2

Bài 2: Tính đạo hàm hàm số sau.

1) y = (x2 -2x + 2).ex 2) y = (sinx – cosx).e2x

3) y = x x

x x

e e

 



 4) y = 2x - x

e

5) y = ln(x2 + 1) 6) y =

x x

ln

7) y = (1 + lnx)lnx 8) y = 2.ln



x x

9) y = 3x.log

3x 10) y = (2x + 3)e

11) y = x x 12) y = x

Bài 3: Chứng minh hàm số sau thỏa mãn hệ thức tương ứng

đã cho

1) y = esinx ; y’cosx – ysinx – y’’ = 0

2) y = ln(cosx) ; y’tanx – y’’ – =

3) y = ln(sinx) ; y’ + y’’sinx + tan

x

= 4) y = ex.cosx ; 2y’ – 2y – y’’ = 0

5) y = ln2x ; x2.y’’ + x y’ = 2

Bài 4: Cho hàm số

y e





x

2



x

y





y





2y



0

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

1) y x e x đoạn [ 1; 2]

2)





x x

e

y

e

3) y = ln x x 4) y x2 ln 2x





   [-2; 0] ( TN08-09)

5)

y =

2

log

2

log

2

x





6) y = f(x) = x2 - lnx đoạn [1 ; e]

7) f(x) = (x2 – 3x +1)ex đoạn [0;3]

8)

1

;e

e













(14)

10)

2

ln

( )

x

f x

x



PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

A PHƯƠNG TRÌNH MŨ

I. Phương trình mũ bản





x

a b a 0;a 1 

Nếu b > phương trình có nghiệm x log b a

Nếu b = b < phương trình vơ nghiệm Ví dụ1: giải phương trình sau:

a) x10 1 b) x2 8 c) x4 4 d) xe 5

f) x3 2 g) x

3

1

27

 h)

x

1

2













II Một sớ cách giải phương trình mũ

1.

Đưa số:

 

f x b

a a  f x b

   

 

f x g x

a a  f x g x

Ví dụ2: giải phương trình sau:

a) 5x25x 1  b)

3x 1

3

 

 

 

 

c)

x 3x

4   16

Ví dụ3: giải phương trình sau:

a)

x 2x

1 x 1

7

 

 

 

 

 

b)

x

1 4 3x

2



 

 

 

 

c)





5 x

2x

4

0,75

3

 















(15)

e) 2x2 x 841 3x f)

x

1 2x

125 25

 













Ví dụ4: giải phương trình sau:

a) x 13  3x 2  3x 3 3x 4 750 b) 2x 13  32x 108

c) 2x 15   3.52x 1 550 d) x 12  2x 1 2x 28 e) 2.3x 1  6.3x 1  3x 9 f)

2x 1 1

6

1 x 6x

.4

2 



 

 

 

2 Đặt ẩn phụ

Dạng 1: Phương trình A.a2x B.axC 0 Cách giải: Đặt t a x, điều kiện: t > 0

Giải phương trình theo t: At2 + Bt + C =0, chọn t thỏa đk

Suy xa  t x log t a

Ví dụ 5: Giải phương trình sau: a) 1 2x.5 5.5x 250

5  

b) 22x 2  9.2x 2 0 ( tốt nghiệp năm 2005 – 2006)

c) 32x 1  9.3x6 0 ( tốt nghiệp năm 2007 – 2008)

d) 22x 6 2x 7 170

e) 9x  2.3x150

f) 64x  8x  560

g) 25x  6.5x 50 ( tốt nghiệp năm 2008 – 2009)

h) 9x  24.3x 1 150

i) 34x 8  4.32x 5 27 0

j) 4 x 36.2 x 1 32 0

  

k) e6x  3.e3x 2

l) 4 x2 5 x  2 x2  5 x 24

(16)

Đặt:

t a

a

1

; t 0

t











Ví dụ 6: Giải phương trình sau:

a)

x 1

b) 3x 1 31 x 10

c) 5 x  51 x 4 0

d) e2x  4.e2x 3

e) 9sin x2 9cos x2 10

f) 2sin x2 4.2cos x2 6

g)



 



h)



 



x x

2



3

i)



 



Dạng 3: Phương trình m.a2x n.a bx xp.b2x 0

Cách giải: Chia vế phương trình cho số

2x x x 2x

a ;a b , b để đưa dạng 2

Ví dụ 7: Giải phương trình sau a) 2.25x 7.10x5.4x 0

b) 3.16x2.81x 5.36x

c) 25x 10x 22x 1

d) 4.9x 12x 3.16x 0

e) 3.4x  2.6x 9x

f) 4x1 6x1 9x1

 

g) 32x 4 45.6x  9.22x 2 0

h) 3.25x 2.49x 5.35x

( Phần 3, dành cho lớp 12C1 tham khảo)

(17)

Nếu  0; 0    loga loga; a 1 

Thường sử dụng phương pháp gặp phương trình có dạng:

   

f x g x

a b

Lấy logarit số để đưa ẩn thoát khỏi số mũ. Ví dụ 8: Giải phương trình sau

a) 2x x.5 200

b) 2x243x 2

c) 5x25x 6 2x 3

d) 3x x .2 8.4x 2

e) 5 xx 1 8x 100

4.

Phương pháp đơn điệu:

Cách giải: Ta vài nghiệm phương trình ( thường dạng này

có nghiệm) Dùng tính đơn điệu để chứng minh phương trình khơng cịn nghiệm khác nữa.

Chú ý: Khi a> xy ax ay

Khi 0<a<1 xy ax ay

Ví dụ 9: Giải phương trình sau: a) 4x 3x 1

 

b)

x

3  

 

 

 

c) 2x5x 7x

d) 3x  5 2x

B PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

I.

Phương trình logarit bản:

loga b

b x a

x

 

 

loga b

b

f x a

f x 

 

Ví dụ 1: Giải phương trình:

(18)

d) log2













2

log2 x  x 1

II Cách giải sớ phương trình logarit

Khi giải phương trình logarit nói chung, ta cần đặt điều kiện để logarit xác định

1.

Đưa số:

 

log f xa lo g g xa

Đặt điều kiện:

f (x) 0

g(x) 0











Phương trình cho tương đương với: f(x) = g(x)

a) log3









b)









log x  6x 7 log x 3

c) log x log2  2





d) log2









e) log x 1









f) log2x log4





g) log3xlog3





h) log









2    1

i) log2x log2





j) log x log x log x log2 4 8 16x 25

12 

   

k)

1

log x



x 5



log 5x





log

1

2

5x





 













l)

1

log x



4x 1



log 8x





log 4x





2







m) log

2

13

n) log x log3 3x log x 61

3

  

o)

log

x 8

log x

x 1

(19)

2 Đặt ẩn phụ:

a)





b)

log

3

(x+1) – 5log

(x+1)+6 = 0

c)

log (

2

x



1) 3log (



2

x



1)

2



log 32 0

2



d)

x

e) log 2 logx  2x4 log 2x8

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT

I.

Bất phương trình mũ:

1 Bất phương trình mũ bản: bất phương trình có trong

các dạng

x x x x

a b (a b, a b, a b), với a 1 

Để giải bất phương trình mũ ta sử dụng tính đơn điệu hàm số mũ, Ta xét bất phương trình ax b



Nếu b 0 bất phương trình có tập nghiệm R

Nếu b > bất phương trình tương đương với ax alog ba Với a > bất phương trình có nghiệm x log b a Với <a<1 bất phương trình có nghiệm x log b a

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

a) x3 5 b) x2 16 c)

x

3

2 

 

 

 

d) xe 2 e)

10

1

10



x

2

4

3





 









2 Một số bất phương trình đơn giản: có cách giải tương tự như

giải phương trình Chú ý đến tính đơn điệu hàm số mũ

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: a) 2x23x 4

b)

2

2x 3x

7

9

 

 

 

 

c) 3x 2 3x 1 28

(20)

e) 22x 1 22x 2 22x 3 448

f) 2x2x  0

g)









h) 5.4x 2.25x 7.10x

II Bất phương trình logarit

1.

Bất phương trình logarit bản: bất phương trình có một

trong dạng sau:





log xa b log x b; log x b; log x ba  a  a 

Để giải bất phương trình logarit ta sử dụng tính đơn điệu của hàm số logarit Ta xét bất phương trình log x ba  ,

0 a 1 

Với a > bất phương trình có nghiệm x a b Với <a<1 bất phương trình có nghiệm 0 x a  b

a) log x 32  b)

log x

 

1

log x

2



d) log x2  4 e) log x3 1 f)

log x 2

2.

Một sớ bất phương trình đơn giản: có cách giải tương tự như

giải phương trình Chú ý đến tính đơn điệu hàm số logarit

a)





b) log1









5

  

c) log0,2x log 5





d) log x 5log x 032  3  

e) log3 log1





 

















(21)

Luyện tập phương trình mũ logarit

I PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1.



 

x



x

2 42x2  2.4x2x 42x  ( Cao Đẳng KTKTCNII- 2006)0 3 3.8x 4.12x 18x  2.27x  ( Khối A – 2006)0

4. 2x2x 22 x x2  (ĐH khối D – 2003)3

5. 2x2x  4.2x2x  22x4 0 (ĐH khối D – 2006) 6. 9x2 x 1 10.3x2x2 1 0( Tham khảo 2006)

7. 3 2x x2  ( ĐH Hùng Vương- hệ CĐ 2006)1 8. 125x 50x 23 1x ( C Đ KT đơng du – 2006)

9 trình:

2

2 2cos cos 2cos cos

2cos cos

6.9 x x 13.6 x x 6.4 x x 0

10 23x1 7.22x 7.2x 2 0

    ( Tham khảo Khối D – 2007)

11 25x 2(3 x).5x 2x 0 (ĐH tài kế tốn Hà Nội – 97)

12 2x1 4x  x 1 (ĐH Ngoại Thương 97)

13. 4x23 2x 4x26 5x 42x23 7x  (Học viện quan hệ quốc tế1 - 99)

14. 22x21 9.2x2x22x2  (ĐH Thủy Lợi – 2000)0

15. (7 2)x ( 5)(3 2)x 3(1 2)x         

16.

8

2

18

2

1 2

2

x

x



x



x



17 32 1x 3x2 1 6.3 x3 x2( 1)

18. x 22 2x+1 - 1+ = 2x 2x+1+1 + x 22 x -

19 2x - 1 - 2x - x2 = (x - 1) (Đại học Thủy Lợi 2001)2 20. 4x  2x 1 m = 0(ĐH Sư phạm Vinh – 2000)

II PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1. log 2 log logx  2x  2x8 (DB_A_2006)

2.

2

(22)

3. log 2 log logx  2x  2x8 Đs: x 2( DB_A_2006)

4. log (33 1).log (33 3)

x x

   Đs: 3

28

log

,

log 10

27

x



x



5.

2(log

1) log

log

1

0

4

x



x





Đs:

2,

1

4

x



x



6.

3

4

(2 log ) log 3

1

1 log

x







1

,

81

3

x



x



(DB_B_2007)

7.

2

log (

x



2) log (



x



5)



log 0



Đs:

6,

3

17

2

x



x





8.

2

log (x1) log x  1 Đs:x1,x3

CĐ_ABD_2008

9.

2

2log (2

x



2) log (9



x



1) 1



1,

3

2

x



x



DB_B_2008

10.

3

1

6

3

log (9

)

log

x







x 

11. log2 1x (2x2 x 1) log x1(2x1)2 4 Đs:

2,

5

4

x



x



A_2008

12 log5 x xlog550 Đs: x 100 CĐKTĐN_2005_A_D

13. 2





1

log 4

15.2

27

2log

0

4.2

3

x x

x







x 

D_2007

14.

2

1

log (

1)

log

2

log

x

4

2

x







 



5

2

x 

DB_A_2007

15. log 55





x x

   Đs:x 1 DB_D_2003

16.









4

(23)

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1.

15.2

x

1

2

x

1 2

x

 





x 

2.

2

2 2

9

3 

 

 

 

 

x x

x x Đs:1 2  x 1 2

DB_D_2005

3. 5.4x 2.25x 7.10x

  Đs:0 x CĐKTĐN_2007

4. 22x24 2x 16.22x x 21 2 0 Đs: 1 3  x 1 3

DB_D_2008

5. 32 1x  22 1x  5.6x 0 Đs:

log 2

x 

6.

1

2

4

16

4

2

x











x   

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1.

3

5

log (

) 1

1

x







x  

2. 1





2

log

x



2log

x



1



log 0



x 

3. 2

4

log [log (

x



2

x



x

)] 0



( ; 4) (1; ) x      

4. log ( ) 2x1  x  Đs:  2 3x0 DB_A_2006 5. log (45 144) log log (25 1)

x x

     Đs: 2x4

B_2006

6.

1

2

log

2

3

2

log

2

x



2

x

x 

DB_A_2004

7.

2 0,7

log (log

) 0

4

x





(24)

8.

2

3

2

log

x

0

x







x  

D_2008

9.

3

2

3

log (log

) 0

1

x







x  

10.

4

(log logx  x ) log 2x 0.Đs:

(0; ] (1;

1

)

2

x 





11. 3









3

2log 4

x



3



log 2

x



3



2

3

4



x



12. log log 5(log 3)

2 2

2 x x   x 

13 2log22x x2log2x  20 0 14.

(25)