bai tap chuong 2 GT

Để giải các bất phương trình logarit ta có thể biến đổi về bất phương trình logarit cơ bản hay bất phương trình đại số.[r]

Chương II

HAØM SỐ LUỸ THỪA HÀM SỐ MŨ

HÀM SỐ LOGARIT BÀI 1: LUỸ THỪA

A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Luỹ thừa với số mũ nguyên.

 Luỹ thừa với số mũ nguyên dương Cho a , n  *



n

n thừa số

a a.a a

 Luỹ thừa với số mũ 0, luỹ thừa với số mũ nguyên âm Với a0 Khi đó, n nguyên âm

0

a 1; an 1-n

a



00, 0n (n ngun âm) khơng có nghĩa. 2 Căn bậc n:

 Với n nguyên dương, bậc n số thực a số thực b cho: bn = a  Với n nguyên dương lẻ, a tồn na

 Với n nguyên dương chẵn ta có:

- a < khơng tồn bậc n a - a = có n 0 0

- a > có hai bậc n a đối nhau: na>0; -n a<0

3 Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:

Cho số thực a > số hữu tỉ: r = m

n m , n , n2 Khi đó:

m n

r n m

a a  a

4 Luỹ thừa với số mũ vô tỉ:

Cho a số thực dương,  là số vô tỉ (rn) dãy hữu tỉ cho nlim r  n  Khi đó: ln

n

a lim a

 



5 Các tính chất:

Cho hai số dương a, b;  ,  

+

a a  a 



-

a a

a



   

(ab) a b  

a a ( )

b b

 

 

(a )  a



Với a > 1; a a  

Với < a < 1; a a

 

  

B – BÀI TẬP Bài 1: Tính:

a) 9 2725 25144 : 934 34 b)

5 0,75 2

1

( ) 0,25 16

 



c) (0,04) 1,5 (0,125) 23 

Bài 2: Cho a, b số thực dương, viết biểu thức sau dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ a) a a13 b)

1

b b b c) a : a43 d)

1 b : b6

Bài 3: Thực phép tính: a)

1

- 0,75

81 ( ) ( ) 125 32

 

 

b) (0,001) 31 ( 2) 64 23 8 131 (90)2

   

c)

0,75 0,5

27 ( ) 25 16    d) 1

0,25 2

( 0,5) 625 (2 ) 19( 3)



 

    

Bài 4: Rút gọn biểu thức (với a, b số thực dương) a)

4 12

( a b )

a b b)

1

3 3

1

3 3

a - a a - a a - a a + a

 



c)

4

3 3

1

4 4

a (a + a ) a (a + a )



 d)

1

5 -

2

3 -

3

b ( b b ) b ( b b )

 

e)

1 1 3 3

3

a b a b ( a b )

    f) 1 3 6

a b b a a b

 

Bài 5: Chứng minh rằng:

a) 7 2 37 2

    b) ( )13 ( )13

c) 76 73



BÀI 2: LOGARIT

A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa:

Cho a > 0, a1, b >

a

log b =  a = b



Đặc biệt:

logb =  10 b

 

lnb = e b

  

a a

log = ; log a =

2 Tính chất: a

log b

a  b (0 < a 1; b > 0)

a

log a (0 < a 1)



a a a

log (M.N) log M + log N

(0 < a1; M, N > 0)

a a a

M

log ( ) log M - log N N 

(0 < a1; M, N > 0)

a a

log b log b (0 < a 1; b > 0)



 

a a

1

log ( ) log b (0 < a 1; b > 0)

b  

n

a a

1

log b log b (0 < a 1; b > 0) n

 

Công thức đổi số: a b

a

log c log c

log b

 Hay log b.log c = log ca b a

(0 < a, b 1; c > 0)

Đặc biệt: a a a b

1

log b = ; log b = log b log a 



(0 < a 1) ; (0 < b 1)

Khi a > log b > log ca a  b > c >

Khi < a < log b> log ca a  < b < c

B – BÀI TẬP

Bài 1: Khơng sử dụng máy tính, tính: a)

4

1

log log

8 b) log log 0,1253  0,5 c) 4log 32 27log 29 d) 9log 23  4log 278

Bài 2: Hãy tính:

a) log 12 log 15 log 208   b) log 36 log 14 3log 212   73 c) 5

5

log 36 log 12 log



d) 36log 56 101 log2 8log 32

 

Bài 3: Rút gọn biểu thức:

a) log 3.log 9.log 26 b) log1 18 2 log 4 log 2 c) log4 1log36 3log9

9 2 2 d)

2 2

a a

(ln a+log e) ln a-log e

Bài 4: Không dùng bảng số máy tính so sánh: a) log 43

1 log

3 b) log 53 log 47 c) log 20,3 log 35 d) log 102 log 305 e) 3log 1,16 7log 0,996 f) log2 log3 log5

Bài 5: Trong trường hợp sau, tính log xa , biết log b = 3a ; log c = -2a a) x = a3b2 c b) x =

3

a b c

Bài 6:

Hãy tính: log 135030 theo a, b

b) Cho c = log 315 Hãy tính log 1525 theo c c) Cho log 15 = ; log 10 =  

Hãy tính log 503 theo  ,

d) Cho log =  Tính c = log 12504 theo 

Bài 7: Tìm x biết:

a) log x = 45 b) log (5 - x) = 32 c) log (x + 2) = 33 d)

6

log (0,5 + x) = -1

e) log 27 = 3x f) x

1 log = -1

7

Bài 8: Cho hai số dương a, b CMR:

a) a = blogb loga b) a = blnb lna

BÀI 3: HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ

LOGARIT HÀM SỐ LUỸ THỪA

A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Hàm số mũ: y = ax (a > 0; a1)

y = ax (a > 1) y = ax (0 < a < 1)

TXĐ: D = R y’ = axlna >   x

hàm số đồng biến 

x x -lim a  0;

x xlim a  

TXĐ: D = R y’ = axlna <   x

hàm số nghịch biến 

x

x -lim a  ;

x xlim a  0

Bảng biến thiên Bảng biến thiên

Đồ thị Đồ thị

II Hàm số logarit:

y = log xa (a > 1) y = log xa (0 < a < 1) TXĐ: D = (0;+)

y’ =

xlna >  x (0;+ )

hàm số đồng biến (0;+) a

x 0lim log x   ;

a

xlim log x  

TXĐ: D = (0;+)

y’ =

xlna <  x (0;+ )

hàm số nghịch biến (0;+) a

x 0lim log x  ;

a

xlim log x   

y y

x

O O

1

x

x y = ax

  



0

x y = ax

  



Bảng biến thiên Bảng biến thiên

Đồ thị Đồ thị

III Hàm số luỹ thừa: y = x

 TXĐ:

o  nguyên dương: TXĐ: D =

o = 0;  nguyên âm: TXĐ = \{0}

o  không nguyên: TXĐ: D = (0;+)  Đạo hàm: y’ = x - x (0;+ )  

 Hàm số đồng biến (0;+)  0, nghịch biến (0;+)  0

 Đồ thị qua điểm (1;1)

IV Bảng đạo hàm cần nhớ:

(ex)’ = ex (eu)’ = u’eu

(ax)’ = axlna (au)’ = u’aulna

(ln|x|)’ = (x 0)

x  (ln|u|)’ = u' u

(log | x |a )’ = xlna1 (x 0) (log | u |a )’ =

u' ulna

-

(x )' = x   ( 0, x>0)

 (u )' = u   - 1.u'

V Giới hạn:

a) x x

e lim

x





 b)

x

ln(1 + x) lim

x

 

B – BÀI TẬP

Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số:

a) y = 4x b) y = ( )1 x

4

c) y =

log x d) y =

2

log x

e) y = x43 f) y = x –

Bài 2: Tìm giới hạn: a)

2 3x + x

e e lim

x





b)

2x 5x x

e e lim

x





c) limx 0ln(1 + 3x)

x

 d)

2 x

ln(1 + x ) lim

x

 Bài 3: Tính đạo hàm:

a) y = 2xex + 2xcosx b) y =

2x x

x + 3 x + x

a

y = log x

0 



 

x

a

y = log x

0 



 

y y

x x

O O

c) y = (x – 1)ex + (x2 + 1)e2xd) y = x e2 4x

e) y = 1(e + e ) + (e - e )x - x 2x - 2x

2

Bài 4: Tính đạo hàm:

a) y = log (5 - 2x) + log (x - 2x)2 b) y = 0,4

5

3x + log (x - 4x + 3) - log

1 - x

c) y = (3x - 2)ln x + (2x - 3)lnx2 d) y = x + 1.ln x2

e) y =

2

1 ln(x + 1) x.ln

1 + x x

f) y = 3x2 – lnx + 4sinx

g) y = log(x2 + x + 1) + logx

x

Bài 5: Tính đạo hàm:

a) y = (2x - x + 1)2 13 (4 - x - x )2 14 c) y = ln 5x3 b) y = (3x + 1)2 (5 - x)

 d) y =

3

3

1 + x - x

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

A – TĨM TẮT LÝ THUYẾT I Phương trình mũ:

1 Phương trình mũ bản: f(x)

a  b (0 < a 1)

o b0: Phương trình vơ nghiệm

o b > 0: Phương trình có nghiệm f(x) = log ba Phương trình mũ đơn giản:

a) Phương trình đưa phương trình mũ cách áp dụng phương pháp:  Đưa số: af(x) ag(x)  f(x)=g(x) (0<a 1)

 Đặt ẩn phụ  Logarit hố

b) Phương trình giải phương pháp đồ thị

c) Phương trình giải cách áp dụng tính chất hàm số

II Phương trình Logarit:

1 Phương trình logarit bản: a

log f(x) = b (1) (0 < a 1)

ĐKXĐ: f(x) > (1) f(x) = ab

2 Phương trình logarit đơn giản:

a) Phương trình đưa phương trình logarit cách áp dụng phương pháp:  Đưa số

a a

f(x) > g(x) > f(x) = g(x)

      Đặt ẩn phụ Mũ hố hai vế

b) Phương trình giải phương pháp đồ thị

B – BÀI TẬP

Bài 1: Giải phương trình:

a) (0,3)3x -  b) ( )1 x 25

5 

c) x - 3x + 22

2  d) (0,5) (0,5)x + - 2x 

e) (2 3) 2x  (2 - 3) f) 2x - 3x + 22 

g) 2.3x + 6.3x - 3x 9

   h) 7x - 1 2x

Bài 2: Giải phương trình: a) log (5x + 3) = log (7x + 5)3 b) log(x – 1) – log(2x – 11) = log2 c) log (x - 5) + log (x + 2) = 32 d) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3)

e) log (3 + 8) = + x3 x f)

log x + log x = log

Bài 3: Giải phương trình: a) 32x - 32x 108

  b) 2x + 1 2x - 1 2x  28

c) 3x + 18.3 -x 29

  d) 64 - 8x x 56 0

e) 3.4 - 2.6x x 9x

 f) 27x 12x  2.8x

Bài 4: Giải phương trình:

a) 1log(x + x - 5) log5x + log2

2  5x

b) log(x - 4x - 1) log8x - log4x2

2 

c) log x + 4log x + log x = 132 d) log x - 20log x + = 02 e)

4 16

log x = log 4x log 2x log 8x

f) log 27 log + log 243 = 09x  3x g) log x.log x.log x = 83

Bài 5:

a) 2 5x + x 200

 b) 0,125.42x -  (4 2)x

c) log [x(x - 1)] 12  d) log x + log (x - 1) = 12

Bài 6: Giải phương trình sau: a) 4x 3x

3  b) 32 - log x3  81x

c) 3 8x x + 1x  36 d) x 56  log 5x 5

Bài 7: Giải phương trình sau: a) 2x - x

 b) log x = - x2

a)

4 4

x + y = 20

log x + log y = + log

  

b) x + y = 1 2x 2y

4 4 0,5

 

 

 c)

- x y

3 = 1152 log (x + y) =

    

d)

2

2

x - y =

log (x + y) - log (x - y) =

  

BÀI 5: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Bất phương trình mũ:

1 Bất phương trình mũ bản: Dạng 1: ax > b (0 < a1) (1)

 Nếu b0: BPT (1) có tập nghiệm 

 Nếu b > và:

 a > 1, tập nghiệm BPT (1): (log b; +a )  < a < 1, tập nghiệm BPT (1): ( ;log ba ) Dạng 2: ax b (0 < a1) (2)

 b0: BPT (2) có tập nghiệm 

 Nếu b > và:

 a > 1, tập nghiệm BPT (2): (log b; +a )  < a < 1, tập nghiệm BPT (2): ( ;log ba ] Dạng 3: ax < b (0 < a 1

 ) (3)

 b0: tập nghiệm BPT 

 Nếu b > và:

 a > 1, tập nghiệm BPT (3): ( ;log ba )  < a < 1, tập nghiệm BPT (3): (log b; +a ) Dạng 4: ax  b (0 < a1) (4)

 b0: tập nghiệm BPT 

 Nếu b > và:

 a > 1, tập nghiệm BPT (4): ( ;log ba ]  < a < 1, tập nghiệm BPT (4): [log b; +a )

2 Bất phương trình mũ đơn giản:

Để giải bất phương trình mũ, ta biến đổi đưa bất phương trình mũ bất phương trình đại số

Ta ý:

 a > 1: af(x) ag(x)  f(x) > g(x)

 < a < 1: af(x) ag(x)  f(x) < g(x)

II Bất phương trình logarit:

1 Bất phương trình logarit bản: Dạng 1: log x > b (0 < a 1)a 

 Nếu a > 1: tập nghiệm (a ;b )

 Nếu a > 1: tập nghiệm (a ;b )

 Nếu < a < 1: tập nghiệm (0; ab] Dạng 3: log x < b (0 < a 1)a 

 Nếu a > 1: tập nghiệm (0; ab)  Nếu < a < 1: tập nghiệm (a ;b )

Dạng 4: log x b (0 < a 1)a  

 Nếu a > 1: tập nghiệm (0; ab]  Nếu < a < 1: tập nghiệm [a ;b )

2 Bất phương trình logarit đơn giản

Để giải bất phương trình logarit ta biến đổi bất phương trình logarit hay bất phương trình đại số Ta ý:

a > 1: log f(x) > log g(x) a a  f(x) > g(x) > 0 < a < 1: log f(x) > log g(x) a a  < f(x) < g(x)

B – BÀI TẬP

Bài 1: Giải bất phương trình: a) x 3x2

2 

 b)

2

2x - 3x

7

( )

9 7

c) 3x + 3x - 28

  d) 23 - 6x>

e) 16 > 0,125x f) 2x 2 x + 1- 0

 

g) 4x 3.2 + > 0x

 *h) (0,4)x  (2,5)x + 1> 1,5

Bài 2: Giải bất phương trình:

a) log (4 - 2x) 28  b) 1

5

log (3x - 5) > log (x + 1)

c) log x - log (x - 2) < log 30,2 0,2 d) log (3x - 1) < 15 e)

3

log (5x - 1) > f) 0,5

log (x - 5x + 6)1

g)

1 2x log

x



 h) log x - 5log x + 023 3 

m) log x + log x - 020,5 0,5 

n)

3