Đang tải... (xem toàn văn)
Để giải các bất phương trình logarit ta có thể biến đổi về bất phương trình logarit cơ bản hay bất phương trình đại số.[r]
(1)Chương II
HAØM SỐ LUỸ THỪA HÀM SỐ MŨ
HÀM SỐ LOGARIT BÀI 1: LUỸ THỪA
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Luỹ thừa với số mũ nguyên.
Luỹ thừa với số mũ nguyên dương Cho a , n *
n
n thừa số
a a.a a
Luỹ thừa với số mũ 0, luỹ thừa với số mũ nguyên âm Với a0 Khi đó, n nguyên âm
0
a 1; an 1-n
a
00, 0n (n ngun âm) khơng có nghĩa. 2 Căn bậc n:
Với n nguyên dương, bậc n số thực a số thực b cho: bn = a Với n nguyên dương lẻ, a tồn na
Với n nguyên dương chẵn ta có:
- a < khơng tồn bậc n a - a = có n 0 0
- a > có hai bậc n a đối nhau: na>0; -n a<0
3 Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:
Cho số thực a > số hữu tỉ: r = m
n m , n , n2 Khi đó:
m n
r n m
a a a
4 Luỹ thừa với số mũ vô tỉ:
Cho a số thực dương, là số vô tỉ (rn) dãy hữu tỉ cho nlim r n Khi đó: ln
n
a lim a
5 Các tính chất:
Cho hai số dương a, b; ,
+
a a a
-
a a
a
(ab) a b
a a ( )
b b
(a ) a
Với a > 1; a a
(2)Với < a < 1; a a
B – BÀI TẬP Bài 1: Tính:
a) 9 2725 25144 : 934 34 b)
5 0,75 2
1
( ) 0,25 16
c) (0,04) 1,5 (0,125) 23
Bài 2: Cho a, b số thực dương, viết biểu thức sau dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ a) a a13 b)
1
b b b c) a : a43 d)
1 b : b6
Bài 3: Thực phép tính: a)
1
- 0,75
81 ( ) ( ) 125 32
b) (0,001) 31 ( 2) 64 23 8 131 (90)2
c)
0,75 0,5
27 ( ) 25 16 d) 1
0,25 2
( 0,5) 625 (2 ) 19( 3)
Bài 4: Rút gọn biểu thức (với a, b số thực dương) a)
4 12
( a b )
a b b)
1
3 3
1
3 3
a - a a - a a - a a + a
c)
4
3 3
1
4 4
a (a + a ) a (a + a )
d)
1
5 -
2
3 -
3
b ( b b ) b ( b b )
e)
1 1 3 3
3
a b a b ( a b )
f) 1 3 6
a b b a a b
Bài 5: Chứng minh rằng:
a) 7 2 37 2
b) ( )13 ( )13
c) 76 73
BÀI 2: LOGARIT
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa:
Cho a > 0, a1, b >
a
log b = a = b
Đặc biệt:
logb = 10 b
lnb = e b
a a
log = ; log a =
2 Tính chất: a
log b
a b (0 < a 1; b > 0)
a
log a (0 < a 1)
(3)a a a
log (M.N) log M + log N
(0 < a1; M, N > 0)
a a a
M
log ( ) log M - log N N
(0 < a1; M, N > 0)
a a
log b log b (0 < a 1; b > 0)
a a
1
log ( ) log b (0 < a 1; b > 0)
b
n
a a
1
log b log b (0 < a 1; b > 0) n
Công thức đổi số: a b
a
log c log c
log b
Hay log b.log c = log ca b a
(0 < a, b 1; c > 0)
Đặc biệt: a a a b
1
log b = ; log b = log b log a
(0 < a 1) ; (0 < b 1)
Khi a > log b > log ca a b > c >
Khi < a < log b> log ca a < b < c
B – BÀI TẬP
Bài 1: Khơng sử dụng máy tính, tính: a)
4
1
log log
8 b) log log 0,1253 0,5 c) 4log 32 27log 29 d) 9log 23 4log 278
Bài 2: Hãy tính:
a) log 12 log 15 log 208 b) log 36 log 14 3log 212 73 c) 5
5
log 36 log 12 log
d) 36log 56 101 log2 8log 32
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a) log 3.log 9.log 26 b) log1 18 2 log 4 log 2 c) log4 1log36 3log9
9 2 2 d)
2 2
a a
(ln a+log e) ln a-log e
Bài 4: Không dùng bảng số máy tính so sánh: a) log 43
1 log
3 b) log 53 log 47 c) log 20,3 log 35 d) log 102 log 305 e) 3log 1,16 7log 0,996 f) log2 log3 log5
Bài 5: Trong trường hợp sau, tính log xa , biết log b = 3a ; log c = -2a a) x = a3b2 c b) x =
3
a b c
Bài 6:
(4)Hãy tính: log 135030 theo a, b
b) Cho c = log 315 Hãy tính log 1525 theo c c) Cho log 15 = ; log 10 =
Hãy tính log 503 theo ,
d) Cho log = Tính c = log 12504 theo
Bài 7: Tìm x biết:
a) log x = 45 b) log (5 - x) = 32 c) log (x + 2) = 33 d)
6
log (0,5 + x) = -1
e) log 27 = 3x f) x
1 log = -1
7
Bài 8: Cho hai số dương a, b CMR:
a) a = blogb loga b) a = blnb lna
BÀI 3: HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ
LOGARIT HÀM SỐ LUỸ THỪA
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Hàm số mũ: y = ax (a > 0; a1)
y = ax (a > 1) y = ax (0 < a < 1)
TXĐ: D = R y’ = axlna > x
hàm số đồng biến
x x -lim a 0;
x xlim a
TXĐ: D = R y’ = axlna < x
hàm số nghịch biến
x
x -lim a ;
x xlim a 0
Bảng biến thiên Bảng biến thiên
Đồ thị Đồ thị
II Hàm số logarit:
y = log xa (a > 1) y = log xa (0 < a < 1) TXĐ: D = (0;+)
y’ =
xlna > x (0;+ )
hàm số đồng biến (0;+) a
x 0lim log x ;
a
xlim log x
TXĐ: D = (0;+)
y’ =
xlna < x (0;+ )
hàm số nghịch biến (0;+) a
x 0lim log x ;
a
xlim log x
y y
x
O O
1
x
x y = ax
0
x y = ax
(5)Bảng biến thiên Bảng biến thiên
Đồ thị Đồ thị
III Hàm số luỹ thừa: y = x
TXĐ:
o nguyên dương: TXĐ: D =
o = 0; nguyên âm: TXĐ = \{0}
o không nguyên: TXĐ: D = (0;+) Đạo hàm: y’ = x - x (0;+ )
Hàm số đồng biến (0;+) 0, nghịch biến (0;+) 0
Đồ thị qua điểm (1;1)
IV Bảng đạo hàm cần nhớ:
(ex)’ = ex (eu)’ = u’eu
(ax)’ = axlna (au)’ = u’aulna
(ln|x|)’ = (x 0)
x (ln|u|)’ = u' u
(log | x |a )’ = xlna1 (x 0) (log | u |a )’ =
u' ulna
-
(x )' = x ( 0, x>0)
(u )' = u - 1.u'
V Giới hạn:
a) x x
e lim
x
b)
x
ln(1 + x) lim
x
B – BÀI TẬP
Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số:
a) y = 4x b) y = ( )1 x
4
c) y =
log x d) y =
2
log x
e) y = x43 f) y = x –
Bài 2: Tìm giới hạn: a)
2 3x + x
e e lim
x
b)
2x 5x x
e e lim
x
c) limx 0ln(1 + 3x)
x
d)
2 x
ln(1 + x ) lim
x
Bài 3: Tính đạo hàm:
a) y = 2xex + 2xcosx b) y =
2x x
x + 3 x + x
a
y = log x
0
x
a
y = log x
0
y y
x x
O O
(6)c) y = (x – 1)ex + (x2 + 1)e2xd) y = x e2 4x
e) y = 1(e + e ) + (e - e )x - x 2x - 2x
2
Bài 4: Tính đạo hàm:
a) y = log (5 - 2x) + log (x - 2x)2 b) y = 0,4
5
3x + log (x - 4x + 3) - log
1 - x
c) y = (3x - 2)ln x + (2x - 3)lnx2 d) y = x + 1.ln x2
e) y =
2
1 ln(x + 1) x.ln
1 + x x
f) y = 3x2 – lnx + 4sinx
g) y = log(x2 + x + 1) + logx
x
Bài 5: Tính đạo hàm:
a) y = (2x - x + 1)2 13 (4 - x - x )2 14 c) y = ln 5x3 b) y = (3x + 1)2 (5 - x)
d) y =
3
3
1 + x - x
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
A – TĨM TẮT LÝ THUYẾT I Phương trình mũ:
1 Phương trình mũ bản: f(x)
a b (0 < a 1)
o b0: Phương trình vơ nghiệm
o b > 0: Phương trình có nghiệm f(x) = log ba Phương trình mũ đơn giản:
a) Phương trình đưa phương trình mũ cách áp dụng phương pháp: Đưa số: af(x) ag(x) f(x)=g(x) (0<a 1)
Đặt ẩn phụ Logarit hố
b) Phương trình giải phương pháp đồ thị
c) Phương trình giải cách áp dụng tính chất hàm số
II Phương trình Logarit:
1 Phương trình logarit bản: a
log f(x) = b (1) (0 < a 1)
ĐKXĐ: f(x) > (1) f(x) = ab
2 Phương trình logarit đơn giản:
a) Phương trình đưa phương trình logarit cách áp dụng phương pháp: Đưa số
a a
(7)f(x) > g(x) > f(x) = g(x)
Đặt ẩn phụ Mũ hố hai vế
b) Phương trình giải phương pháp đồ thị
B – BÀI TẬP
Bài 1: Giải phương trình:
a) (0,3)3x - b) ( )1 x 25
5
c) x - 3x + 22
2 d) (0,5) (0,5)x + - 2x
e) (2 3) 2x (2 - 3) f) 2x - 3x + 22
g) 2.3x + 6.3x - 3x 9
h) 7x - 1 2x
Bài 2: Giải phương trình: a) log (5x + 3) = log (7x + 5)3 b) log(x – 1) – log(2x – 11) = log2 c) log (x - 5) + log (x + 2) = 32 d) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3)
e) log (3 + 8) = + x3 x f)
log x + log x = log
Bài 3: Giải phương trình: a) 32x - 32x 108
b) 2x + 1 2x - 1 2x 28
c) 3x + 18.3 -x 29
d) 64 - 8x x 56 0
e) 3.4 - 2.6x x 9x
f) 27x 12x 2.8x
Bài 4: Giải phương trình:
a) 1log(x + x - 5) log5x + log2
2 5x
b) log(x - 4x - 1) log8x - log4x2
2
c) log x + 4log x + log x = 132 d) log x - 20log x + = 02 e)
4 16
log x = log 4x log 2x log 8x
f) log 27 log + log 243 = 09x 3x g) log x.log x.log x = 83
Bài 5:
a) 2 5x + x 200
b) 0,125.42x - (4 2)x
c) log [x(x - 1)] 12 d) log x + log (x - 1) = 12
Bài 6: Giải phương trình sau: a) 4x 3x
3 b) 32 - log x3 81x
c) 3 8x x + 1x 36 d) x 56 log 5x 5
Bài 7: Giải phương trình sau: a) 2x - x
b) log x = - x2
(8)a)
4 4
x + y = 20
log x + log y = + log
b) x + y = 1 2x 2y
4 4 0,5
c)
- x y
3 = 1152 log (x + y) =
d)
2
2
x - y =
log (x + y) - log (x - y) =
BÀI 5: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Bất phương trình mũ:
1 Bất phương trình mũ bản: Dạng 1: ax > b (0 < a1) (1)
Nếu b0: BPT (1) có tập nghiệm
Nếu b > và:
a > 1, tập nghiệm BPT (1): (log b; +a ) < a < 1, tập nghiệm BPT (1): ( ;log ba ) Dạng 2: ax b (0 < a1) (2)
b0: BPT (2) có tập nghiệm
Nếu b > và:
a > 1, tập nghiệm BPT (2): (log b; +a ) < a < 1, tập nghiệm BPT (2): ( ;log ba ] Dạng 3: ax < b (0 < a 1
) (3)
b0: tập nghiệm BPT
Nếu b > và:
a > 1, tập nghiệm BPT (3): ( ;log ba ) < a < 1, tập nghiệm BPT (3): (log b; +a ) Dạng 4: ax b (0 < a1) (4)
b0: tập nghiệm BPT
Nếu b > và:
a > 1, tập nghiệm BPT (4): ( ;log ba ] < a < 1, tập nghiệm BPT (4): [log b; +a )
2 Bất phương trình mũ đơn giản:
Để giải bất phương trình mũ, ta biến đổi đưa bất phương trình mũ bất phương trình đại số
Ta ý:
a > 1: af(x) ag(x) f(x) > g(x)
< a < 1: af(x) ag(x) f(x) < g(x)
II Bất phương trình logarit:
1 Bất phương trình logarit bản: Dạng 1: log x > b (0 < a 1)a
Nếu a > 1: tập nghiệm (a ;b )
(9) Nếu a > 1: tập nghiệm (a ;b )
Nếu < a < 1: tập nghiệm (0; ab] Dạng 3: log x < b (0 < a 1)a
Nếu a > 1: tập nghiệm (0; ab) Nếu < a < 1: tập nghiệm (a ;b )
Dạng 4: log x b (0 < a 1)a
Nếu a > 1: tập nghiệm (0; ab] Nếu < a < 1: tập nghiệm [a ;b )
2 Bất phương trình logarit đơn giản
Để giải bất phương trình logarit ta biến đổi bất phương trình logarit hay bất phương trình đại số Ta ý:
a > 1: log f(x) > log g(x) a a f(x) > g(x) > 0 < a < 1: log f(x) > log g(x) a a < f(x) < g(x)
B – BÀI TẬP
Bài 1: Giải bất phương trình: a) x 3x2
2
b)
2
2x - 3x
7
( )
9 7
c) 3x + 3x - 28
d) 23 - 6x>
e) 16 > 0,125x f) 2x 2 x + 1- 0
g) 4x 3.2 + > 0x
*h) (0,4)x (2,5)x + 1> 1,5
Bài 2: Giải bất phương trình:
a) log (4 - 2x) 28 b) 1
5
log (3x - 5) > log (x + 1)
c) log x - log (x - 2) < log 30,2 0,2 d) log (3x - 1) < 15 e)
3
log (5x - 1) > f) 0,5
log (x - 5x + 6)1
g)
1 2x log
x
h) log x - 5log x + 023 3
m) log x + log x - 020,5 0,5
n)
3