Tuy vaäy, ñeán vôùi chuyeân ñeà Soá hoïc laàn naøy, chuùng ta haõy taïm thôøi gaït boû ñi nhöõng vaán ñeà khoù khaên noùi treân ñeå cuøng nhau tìm hieåu moät vaán ñeà raát quen thuoäc vô[r]
(1)Chuyên đề: Lý thuyết toán chữ số số, hệ nhị phân, hệ thập phân
Nhóm thực hiện: Nhóm 8 Thành viên: Nguyễn Phạm Nhựt Kha, Hồ Trung Nhân, Phạm Thị Vân Anh Lớp 10T1, Trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Email:xathumientay9002@yahoo.com Lời mở đầu
Số học mơn phân mơn có bề dày lịch sử Tốn học Do đó, việc nghiên cứu số học khó khăn, đặc biệt tìm lời giải đáp cho vấn đề nhìn đơn giản lại chẳng đơn giản chút Tuy vậy, đến với chuyên đề Số học lần này, tạm thời gạt bỏ vấn đề khó khăn nói để tìm hiểu vấn đề quen thuộc với chúng ta: “Cơ sở lý thuyết toán chữ số số, hệ nhị phân, hệ thập phân” Bài viết nhóm chúng tơi tổng hợp qua số tài liệu, q trình trình bày có số sơ suất, phát lỗi có ý kiến bổ sung vào tổng hợp, bạn nên liên hệ với chúng tơi qua email nhằm giúp chun đề nhóm chúng tơi hồn chỉnh
I-/
Các toán chữ số số :
Để giải toán xoay quanh chữ số số, ta thường dùng tiêu chuẩn chia hết kết hợp lý luận chặt chẽ để tìm số thỏa yêu cầu tốn Qua ví dụ đây, bạn thấy rõ điều
1.1.Một số tiêu chuẩn chia hết: Cho n a a h h1 a0 số nguyên dương
a) Cho s n a0a1 ah tổng chữ số số Khi đó, n s n (mod 3) Cụ thể n chia hết cho s n chia hết cho 3
b) Chúng ta thay 9; hay n s n (mod 9) Cụ thể n chia hết cho tổng
s n chia heát cho 9
c) Cho ' 1
h h
s n a a a Khi đó, nchia hết cho 11 s n' chia hết cho 11 d) n chia hết cho 7, 11, 13 a ah h1 a3 a a a2 chia hết cho 7, 11, 13 e) n chia hết cho 27 37 a ah h1 a3a a a2 chia hết cho 27 37 f) n chia hết cho 2k 5k k h
1 k
a a chia heát cho
k 5k
Chứng minh
Với a) b), 10k 9 1k
, có nghóa 10k
(mod 9) Do đó,
0
10
h h
k
k k
k k
n a a s n
(mod 9)
Với c), 10k 11 1k
Do đó, 10k 1k (mod 11) Do đó,
0
10 '
h h
k k
k k
k k
n a a s n
(mod11)
(2)Với e), ta có 999 27.37 n a a h h1 1000a3 a a a2 a ah h1 999 1a3 a a a2 , suy đpcm Với f), ta có 10k
(mod m) với m2k m5k Kết hợp .10 k
h k k
n a a a a suy đpcm
1.2.Ví dụ:
Ví dụ 1. [AHSME 1973] Trong đẳng thức sau, chữ đại diện cho chữ số khác hệ thập phân:
YE ME TTT Tính tổng E M T Y
Lời giải. Vì TTT T 111T.3.37, YE ME 37, E7 Lại có: T chữ số
T số có hai chữ số chữ số hàng đơn vị 7, T 9 TTT 999 27.37 , suy 21
E M T Y
Ví dụ 2. [AIME 2001] Tìm tổng tất số nguyên dương có hai chữ số cho số chia hết cho chữ số tạo thành
Lời giải. Đặt ab số thỏa ycbt Khi đó: 10a b phải chia hết cho a b
Suy b chia hết cho a 10a chia hết cho b Từ điều kiện đầu đặt b ka với k nguyên dương,
điều kiện sau cho thấy k1 k2 k5 Do đó, số có chữ số thỏa ycbt là: 11, 22,…, 99,
12, 24, 36, 48, vaø 15 Tổng cần tìm 11.45 12.10 15 =630
Ví dụ Cho số
2003 0' 2002 0' 100 0100
s s
A x Tìm x để A chia hết cho 37.
Lời giải Dễ thấy sau số có 4008 số, cịn sau số có 2004 số Do đó:
1336 668
4008 2004 3
10 10 10 10
A x x
Ta coù:
10 999 37.27 1 Vì 103 1 (mod 37) Từ suy
11336 1 668 5
A x x x (mod 37) (1)
Để ý thấy số có hai chữ số tận có số 37 chia hết cho 37 Vì từ (1) ta có A37 x3
Ví dụ Tìm số có chữ số abcdef cho abcdef abc def 2
Lời giải Đặt A abc , B def 100A A B; , 999 Ta có:
2
1000A B A B 999A A B A B 1 (1)
Do A999 neân A B A B 1 9992, suy A B 999
-Nếu A B 999 từ (1) suy A998, B1 Từ abcdef 998001
-Nếu A B 999 Ta có: 999 27.37 Mặt khác, A B , A B 1 1 nên hai số A B
A B có số chia hết cho 27 số chia hết cho 37
Xét trường hợp: 27
1 37
A B A B
Ta coù A B 1 37 m m , hay 37m1 27 10m1 27 80m8 27
Mặt khác, 81m27 Từ suy m 8 27, hay m27n8 n Do ta có:
1 37 27 999 296
(3)Nhưng 0A B 1 997 nên suy A B 1 296 Kết hợp với (1) ta có A88 (loại)
Xét trường hợp: 37
1 27
A B A B
Ta coù A B 37k k , hay 37k1 27 10k1 27 80k 27
Mặt khác, 81 27k suy k 8 27 hay k 27r r Do ta có:
37 27 999 296
A B r r
Với r1 ta có A B 703 Kết hợp với (1) ta có A494, B209 Suy abcdef 494209
Vậy có hai số có chữ số thỏa yêu cầu toán là: 998001 449209
Ví dụ A B hai số có bảy chữ số khác từ đến A B Chứng minh A không chia
heát cho B
Lời giải Trước hết, ta đặt S A tổng chữ số A, S B tổng chữ số B
Theo giả thiết ta có S A S B 1 28 Vì 28 1 (mod 9) nên theo tiêu chuẩn
1.1.b) ta suy A1 (mod 9) vaø B1 (mod 9) (1)
Giả sử kết luận tốn khơng đúng, tức A B Do ta có biểu diễn sau: ApB với p
số nguyên dương Từ A B suy p1
Vì A B hai số có bảy chữ số từ đến nên dễ thấy 8000000 A B 1000000
Nhö vaäy, A
B , suy p8
Vậy ta 1 p8
Do B1 (mod 9) B9m1, với m nguyên dương Từ ApBp m9 1 9pm p
A p
(mod 9) (2)
Từ (1) (2) 1 p8 suy vơ lí Nghĩa điều giả sử sai, tức A B (đpcm)
2
1.Một số tính chất haøm S n :
Cho n số nguyên dương, đặt S n tổng chữ số n Khi đó: a) S n n9
b) S n 1n2 S n 1 S n 2 c) S n n 2 minn S n1 2 ,n S n2 1 d) S n n 2 S n S n 1
Chứng minh.
Dễ thấy a) kết tiêu chuẩn 1.1.b) Ta chứng minh b), c), d)
Đặt n1a ak k1 a0 , n2 b bh h1 b0 vaø n1n2 c cs s1 c0
Để chứng minh b), ta chọn số t nhỏ cho ai bi 10 với i t Khi atbt 10,
10
t t t
c a b vaø ct1at1bt11, neân:
1 1
t t t
i i i
i i i
c a b
(4)Để chứng minh c), không tính tổng quát, ta giả sử minn S n1 2 ,n S n2 1 n S n1 2 Ta cần chứng minh S n n 2 n S n1 2 Theo tính chất 2.1.b) ta có:
1
1 2 2 2
n times
S n n S n n n S n S n S n n S n
Để chứng minh d), ta sử dụng tính chất 2.1.b) 2.1.c)
1 1
0
1 1
0 0
1
0
10 10
10
h h
i i
i i
i i
h h h
i i
i i
i i i
h i i
S n n S n b S n b
S n b S n b b S n
S n b S n S n
*Lưu ý:Các tính chất quan trọng việc giải toán phụ thuộc vào tổng chữ số số
2.2.Ví dụ:
Ví dụ [Russia 1999] Biểu diễn số nguyên dương n hệ thập phân, chữ số (trừ chữ số đầu tiên) lớn chữ số bên trái Tính S n9
Lời giải Đặt n a a k k1 a0 Vì 9n10n n nên ta có: 1
2
k k k
a a a a
a a a a
Ta tìm chữ số 9n a ak, k1 ak, ,a1 a a2, 0 a11,10 a0
9 10
S n
Ví dụ [Ireland 1996] Tìm số nguyên dương n cho S n 1996 S n
Lời giải Xét
5936 3' 133 35
s
n Khi đó:
5986 0' 400 05
s
n Ta coù:
3.5986 17964 1996.9 1996 3
S n S n
Ví dụ 3. [IMO 1976] Khi 4444
4444 biểu diễn hệ thập phân, tổng chữ số A Đặt B tổng chữ số A Tính tổng chữ số B
Lời giải. Tổng chữ số B Ta chứng minh điều
Đặt 4444
4444
a Ta có A S a vaø B S A , ta cần tìm S B
Ta có:
4444 10000 10 a44444444104.44441017776
Suy a khơng thể có q 17776 chữ số Nếu chữ số đạt giá trị cao thì
17776.9 159984
A S a Với số tự nhiên nhỏ 159984, số có tổng chữ số lớn
nhất 99999, B S A 45 Với số tự nhiên nhỏ 45, số có tổng chữ số lớn
nhất 39, S B 12
p dụng tính chất 2.1.a), ta có:
44444444
(5)
4444 4444 3.1481
4444 4444
1481
3 1481
4444 4 4 16 2
2 2 mod
II-/Hệ thống ghi soá:
1.1.
Định nghĩa :Cho b số nguyên lớn Với số nguyên n1, tồn k a a, , , ,0 ak số nguyên cho 0ai b 1, i0, 1, , k, ak 0, và:
1
1
k k
k k
n a b a b a b a
(*)
(*) gọi hệ ghi số b n kí hiệu là: n a a k k1 a0 b
Chứng minh. Để chứng minh tồn tại, ta nhắc lại thuật toán chia: 1
n q b r , 0 r1 b
1 2
q q b r , 0 r2 b
k k k
q q b r , 0rk b
Và qk thương cuối ta nhận
Đặt: q0 n, a0 n q b1 , a1 q1 q b2 , , ak1qk1 q bk , ak qk
Khi đó:
1
1 0
0 1
k k k k
i i k i i
i i i k i i
i i i i
a b q q b b q b q q b q b q n
Để chứng minh nhất, ta giả sử h h
n c c b c b cách biểu diễn khác n Nếu h k , ví dụ h k , đó: n bh bk1
Ta coù: 1
0 1
k k k k
k
n a a b a b b b b b b
(!)
Neáu h k , suy
k k
b k
a a b a b c c b c b a0 c0b Mặt khác: a0 c0 b; a0 c0
1
1
k k
k k
a a b a b c c b c b
Bằng cách chứng minh tương tự ta được: a1 c1, a2 c2,…, k k
a c (ñpcm)
*Hệ thập phân mà ta thường dùng trường hợp b10 viết n a a k k1 a0
1.2.Quy tắc đổi số viết hệ số sang hệ số khác:
a) Đổi số hệ số b sang hệ thập phân:
Quy tắc: Muốn đổi số từ hệ số b sang hệ thập phân, ta lấy chữ số (từ trái sang phải) nhân với b, cộng kết với chữ số thứ hai (từ trái sang phải), lấy tổng nhân với b, cộng kết với chữ số thứ ba,… tiếp tục phép cộng với chữ số cuối cho ta kết cần tìm
Ví dụ. Đổi số 3214 5 sang hệ thập phân
(6)3
15 17
85 86
430 434
Vaäy 3214 5 434 10
b) Đổi số từ hệ thập phân sang hệ số b bất kì:
Quy tắc: Muốn đổi số N từ hệ thập phân sang hệ số b (khác 10), ta chia số N cho b, chia thương tìm cho b,… có thương Các số dư có được, kể từ số dư cuối trở lên số dư đầu tiên, chữ số từ trái sang phải số phải tìm
Ví dụ. Đổi số 427 10 sang hệ số
Lời giải. Theo quy tắc ta được: 427
53
3
6
5
6 Vaäy 427 10 653 8
c) Đổi số viết hệ số a sang hệ số b a b, 10.
Ta đổi số cho từ hệ số a sang hệ thập phân, sau đổi số từ hệ thập phân sang hệ số b
Ví dụ Số 1987 viết dạng hệ số b có dạng 1987xyz b Ngồi ra, biết
1
x y z Tìm b biểu diễn 1987 hệ số
Lời giải. Từ 1987xyz b , ta có:
2 1987
xb yb z (1)
trong x1 Từ (1) y z, 0,b0 suy ra:
2 1987 1987
xb b (do x1) b2 1987 b45 (vì 1987 số phương,
khi b số nguyên)
Cơ số b phải lớn 12 Vì số b12, số
2
11.12 11.12 11 1727 1987 b
xyz
12 b 45
Theo giả thiết, ta có: x y z 1 25 (2)
Trừ vế (1) (2): x b 21y b 1 1962 b1 bx x y 1962
Phân tích 1962 thừa số ngun tố, ta có 1962 2.9.109 Vì 12 b 45 nên từ suy b1 2.9 18
(7)Thực phép chuyển số, ta 1987 911 19
Vậy hệ số cần tìm 19, với phép biểu diễn 1987 911 19 .
2.1.Hệ thập phân:
Hệ thập phân hệ ghi số sử dụng phổ biến nhiều mặt xã hội, hệ gồm 10 số từ đến dấu phẩy để định vị hàng thập phân sau hàng đơn vị, lấy lũy thừa mười để xác định vị trí hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm,… Sau định nghĩa số toán hệ thập phân
2.1.1.Định nghĩa: Một số tự nhiên k hệ thập phân viết k a a n n1 a a1 với ai, i0,1, 2, ,n 10 chữ số 0,1, 2, ,9 an 0 có nghĩa k an10n an 110n1 a110 a0
2.1.2.Ví dụ:
Ví dụ Tìm số có ba chữ số, biết viết thêm vào bên phải số số gấp ba lần số có cách viết thêm vào bên trái số
Lời giải. Số cần tìm có dạng abc
Thêm vào bên phải, số trở thành abc1
Thêm vào bên trái, số trở thành 2abc Theo đề bài, ta có
3
1 3.2
.10 10 10 2.10 10 10
abc abc
a b c a b c
Rút gọn, ta 700a70b7c5999100a10b c 857
Vì 100a10b c abc nên abc857
Ví dụ Tìm số tự nhiên n, biết tổng chữ số n biểu diễn hệ thập phân bằng 2003 5
n n
Lời giải Đặt S n tổng chữ số n, biểu diễn n hệ thập phân. Giả sử: n a a a k , với ak 0 Khi đó:
2
1
10 10 10k
k k k
n a a a a
S n a1a2 ak Từ suy 10 1 10 1 10 1
k k
k
n S n a a a
Vì a2, ,ak10, cịn a10 (tức a10) nên:
1
10k
n S n a n S n
Mặt khác, rõ ràng S n 0 Vậy ta có: 0S n n (1)
Theo giả thiết lại có:
2
2
2003 2003 (2) 2003 2004 (3)
n n n n
n n n n n
Từ (2) suy ra: n1 n 2002 0 (4)
Từ (3) suy ra: n n 20040 (5)
Bây từ (4) (5) ta có: 2002n2004 Vì n số tự nhiên nên n2003 Như điều kiện cần 2003
(8)Đảo lại, n2003, ta n2 2003n 5 Mặt khác, S2003 2 Vậy
2003
S n n n
Tóm lại, n2003 số tự nhiên thỏa ycbt
Ví dụ Tìm hai chữ số đứng bên trái bên phải dấu phẩy số thập phân: 3 22008
Lời giải. Đặt un 3 22n 3 22n 5 6 n 6 2 Trước hết, ta chứng minh công thức sau:
2 10
k k k
u u u (1)
Thaät vaäy,
2
2
1
1
1
5 6
5 6 6 6 6 10
k k
k
k k k
k k k
k k
u
u u
Vậy (1) chứng minh
Ta có u0 2,u110 nên từ (1) suy un số nguyên dương với n0,1, 2, Cũng từ (1) suy
n n
u u (mod 10)
Do u0 2 nên có số u u u0, , , ,4 u1004 có số tận Mặt khác, hiển nhiên
2008
0 3 0,1 (2) Dễ dàng có bất đẳng thức sau (suy từ (2)):
2008
1004 1004 0,1
u u (3)
Từ (3) dựa vào u1004 có số tận 2, để ý số u1004 0,1 có dạng 1,9 Vì số
3 22008 số thập phân có chữ số bên trái bên phải dấu phẩy tương ứng
3.1.Hệ nhị phaân:
Hệ nhị phân hệ ghi số có ý nghĩa quan trọng lý thuyết thực tế , đặc biệt việc đời máy tính điện tử dựa sở hệ nhị phân Ở chuyên đề lần này, đề cập đến việc giải số toán nhờ vào việc chuyển hệ nhị phân
3.1.1.Định nghĩa:Một số tự nhiên k hệ nhị phân viết k a a n n1 a a1 với ai, i0,1, 2, ,n chữ số 0,1 an 0 có nghĩa 12 1.2
n n
n n
k a a a a
(9)0 0 0
0 1
1 1 0
1 10 1
Bảng cộng Bảng nhân
3.1.2.Ví dụ:
Ví dụ Cho n số nguyên dương Giả sử dạng nhị phân n có dạng
1 k 2
n a a a Đặt
1 2 2 k k
f n a a a a Chứng minh với n nguyên dương ta có hệ thức sau:
2
4 2 3 2
f n f n
f n f n f n
f n f n f n
Lời giải
1) Xét hệ thức f 2n f n Khi dựa vào phép chia 2
0
n n
Suy hệ nhị phân 2n a a a 0k (vì n a a a k 2 ) Khi đó, ta
1 2
2
k k
f n a a a
f n f n
f n a a a
2) Xét hệ thức f 4n1 2f 2n1 f n Khi dựa vào phép chia
2
2
1
0 n n n n n
Suy dạng nhị phân
1 2
1 2
2 01
k k
n a a a
n a a a
Ta coù:
1 2
2
1 2
2 1
1 2
2 (1)
2 1 2 (2)
4 10 2 2 (3)
k k
k k k k
k k k
k k k k
k k k k
k k k k
f n a a a a a a a a
f n a a a a a a a a
f n a a a a a a a a
Từ (1) (2) thu được:
1
2 2 2.2
2 2
k k k
k k
k k
f n f n a a a a a a
a a a
(10)Kết hợp với (3) ta có đpcm
3) Xét hệ thức f 4n3 3f 2n1 2f n Khi dựa vào phép chia
1
n
n
Do đó, n a a a k 2 dựa vào phần 2) ta suy ra:
1 2
4n 3 a a a 11k Vì thế:
2 1
1 2
4 11 2k 2k 2 1k k (4)
k k k k
f n a a a a a a a a
Từ (1) (2) ta có:
1 2
1
1
1
1
3 2 2 2 2 3.2
2 2 (5)
k k k
k k
k k
k
k k k
k
f n f n a a a a a a
a a a
a a a
Từ (4) (5) ta có đpcm
Ví dụ “Trị chơi bốc diêm” Trước mặt hai bạn có ba đống que diêm, đống có a3 que, đống
có b5 que đống có c7 que Mỗi người thay phiên bốc que tùy ý, lần đến
lượt bốc đống thơi Người bốc que cuối thắng Nếu biết chơi người trước chắn thắng
Hai bạn thử chơi với giải thích lý Nếu ba đống chứa 3, 5, que sao? Tổng quát: với
, ,
a b c sao?
Lời giải Viết a b c, , hệ nhị phân Ta có:
2 2 2
2 2 2
1 2 2
3 1 1 1
a a a a
b b b b
c c c c
Lấy tổng số biểu diễn chữ số hàng:
0 0 1 2
a b c a b c a b c
Các tổng lẻ (như a0b0c0 1 1) chẵn (a1b1c1 1 1, a2b2c2 0 1) Người trước ( )A dùng chiến thuật: lấy số que đống cho sau mọi tổng chẵn. Thí dụ: lấy que đống (để có a0b0c0 1 tổng khác chẵn) lấy đống thứ ba chẳng hạn Lúc đó, người sau B đứng trước ba đống với số que sau:
2 2 1 1 1
Trong tổng a0b0c0, a1b1c1, a2b2c2 chẵn B lấy que đống làm cho ít
nhất ba tổng trở thành lẻ Đến lượt mình, A lại lấy que mọi tổng chẵn.
(11)Chú ý ban đầu cho ba đống với 3, 5, 6 que người sau thắng (nếu biết cách chơi).
Có thể dễ dàng mở rộng trò chơi với nhiều đống, số que đống số tùy ý cho trước
Ví dụ “Trị chơi đốn số” Tơi ghi số từ đến 15, bạn số Bản thử hỏi tơi để biết số Lưu ý sẵn sàng trả lời bạn tiếng: “đúng” “sai” Bạn tìm cách để biết số với số câu hỏi Cũng với trị chơi này, tơi ghi số từ đến 1000 lúc hỏi khơng q câu để biết số cần tìm
Lời giải Dựa vào quy tắc đổi số từ hệ thập phân sang hệ nhị phân, ta có câu hỏi:
Câu hỏi 1: Bạn chia x cho Số dư 1, không ?
-Đúng: -Sai:
Câu hỏi 2: Bạn chia thương vừa tìm cho Số dư 1, không ?
-Đúng: -Sai:
Câu hỏi 3: Bạn chia thương vừa tìm (sau câu hỏi 2) cho Số dư 1, không ?
-Đúng: -Sai:
Câu hỏi 4: Bạn chia thương vừa tìm (sau câu hỏi 3) cho Số dư 1, không ?
-Đúng: -Sai:
Hỏi câu dừng lại Các kết (0 1) từ câu hỏi lên câu hỏi chữ số liên tiếp (từ trái sang phải) số x viết hệ nhị phân Nếu kết câu trả lời sau:
Câu hỏi cho Câu hỏi cho Câu hỏi cho Câu hỏi cho
thì số cần biết
2
1011 1.2 0.2 1.2 11
x
Vì 1000 chuyển sang hệ nhị phân khơng có q 10 chữ số nên số câu hỏi để tìm số từ đến 1000 khơng q 10 câu
Ví dụ Trên bảng có 10 dấu (+) 15 dấu (-) Hai dấu bị xóa thay dấu (+) hai dấu xóa giống nhau, thay dấu (-) hai dấu xóa khác Sau 24 lần thực vậy, dấu lại bảng ?
Lời giải Thay dấu (+) số 0, dấu (-) số Nếu hai dấu bị xóa dấu (+) ta thay hai số số Nếu hai dấu bị xóa dấu (-) ta thay hai số số Nếu hai dấu bị xóa khác ta thay hai số số
Như tổng hai số bị xóa tính chẵn, lẻ với số thay chúng Điều chứng tỏ tổng 25 số ban đầu số cuối cịn lại bảng có tính chẵn, lẻ
Do 10.0 15.1 15 số lẻ nên số lại bảng số 1, tức dấu lại bảng dấu (-)
III-/Bài tập áp dụng:
(12)2) Tìm N abcd, biết a cd ad, , N số phương 3) Tìm số có chữ số biết rằng:
-Tổng chữ số khơng nhỏ
-Tổng bình phương chữ số khơng lớn 30 -Hai lần số viết theo chiều ngược lại khơng lớn số cho
4) Tìm số có hai chữ số, biết số bội tích hai chữ số
5) Chứng minh điều kiện cần đủ để số M a a an chia hết cho 17 a an 12a0 chia hết cho 17
6) Tìm chữ số x để số 2 78x chia hết cho 17.
7) Lấy số có ba chữ số trừ tổng chữ số nó, tiếp tục làm số Chứng minh kết cuối
8) Tìm số x y, biết x y, 10:
a) 23x 32y b) 51x 15y
9) Chứng minh rằng:
a) 121 số phương hệ số b2
b) 144 số phương hệ số b4
c) 1311 lập phương số tự nhiên hệ số b3
10) Cho n số nguyên dương Ta xác định hàm số f n sau: Giá trị f n
số có mặt biểu diễn n hệ nhị phân Chứng minh hàm số f n có tính chất sau:
a) f n 1
b) Với n1, 2, ta có
- f 2n f n
- f 2n1 f 2n1
11) Đặt a S 29 1999
; b S a ; c S b , S n kí hiệu tổng chữ số n biểu diễn
n hệ đếm thập phân Tìm c
12) Tìm tất số nguyên dương x cho tích chữ số (viết dạng thập phân) bằng 10 22
x x
13) Tìm tám chữ số tận số A 51995
14) Chứng minh số chữ số viết hệ thập phân hai số 20022001 20022001 22001
nhau
15) Xác định tất số nguyên dương n cho 11111 n số phương.
16) [AIME 1984] Tìm số nguyên dương n nhỏ cho n bội 15 n tạo thành từ chữ số
(13)Tài liệu tham khảo:
-Chun đề 3: “Các toán số học” thầy Phan Huy Khải xuất năm 2009 -Sách: “Số học “Bà Chúa Tốn học”” thầy Hồng Chúng xuất năm 1993